已知在已知在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°(1)如图1,如图。若D,O,B在一条直线上

已知在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°（1）如图1，如图。若D,O,B在一条直线上,连接AD,BC,取AD,BC的中点M,N，MP⊥AD,NP⊥BC,MP.NP 相交于P，则PM+PN与AD+BC之间有何确定的关系？

（2）如图2将△OCD绕0旋转，则（1）中结论是否成立

解:1.

结论:PM+PN=1/2(PA+PB)

证明:连接PA,PB,PD,PC,PD与AD交于点E

∵MP⊥AD,NP⊥BC

AD,BC的中点M,N,

∴PA=PD,PC=PB

∵OA=OB,OD=OC,∠AOB＝∠COD＝900.

∴AC=BD

∴△APC≌△PBD

∴∠PAC=∠PDB

∵D,O,B在一条直线上∠AOB＝∠COD＝900

∴∠PDO+∠DEO=900

∠PAC+∠PEA=900

∴∠APD=900

∵PA=PD

∴△PAD为等腰直角三角形

∴PM=1/2AD

同理 PN=1/2BC

∴PM+PN=1/2(PA+PB)

2. PM+PN=1/2(PA+PB)结论成立

连接PA,PD,PC,PB,AC,BD,PD与AC交于F,BD与AC交于H

∵在△AOC与△BOD中

OA=OB, ∠AOC=∠BOD, OC=OD

∴△AOC≌△BOD

∠ODH=∠OCH

由1. 可知

∠PDH=∠PAH

∵∠ODH+∠HDC+∠OCD=1800-∠DOC=900∴∠OCD+∠HDC+∠OCD=900

∴∠DHC=900

∴∠DFH+∠FDH=∠PAF+∠AFP=∠DPA=900同理PM=1/2AD PN=1/2BC

PM+PN=1/2(PA+PB)