指数函数与对数函数学案与典型习题及答案

指数函数与对数函数学案与典型习题及答案
指数函数与对数函数学案与典型习题及答案

指数函数和对数函数

高考要求

1理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质 2掌握指数函数的概念、图像和性质

3理解对数的概念,掌握对数的运算性质;

4掌握对数函数的概念、图像和性质能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题

知识点

1根式的运算性质:

①当n 为任意正整数时,(n a )n

=a

②当n 为奇数时,n

n

a =a ;当n 为偶数时,n

n

a =|a|=?

??<-≥)0()

0(a a a a

⑶根式的基本性质:

n m np

m p a a =,

(a ≥0) 2分数指数幂的运算性质:

)

()(),()()

,(Q n b a ab Q n m a

a Q n m a a a n n n mn

n

m n m n m ∈?=∈=∈=?+

3 )10(≠>=a a a y x 且的图象和性质

4指数式与对数式的互化:log b a a N N b =?=

5重要公式: 01log =a ,log =a a 对数恒等式N a

N

a =log

6对数的运算法则

如果0,1,0,0a a N M >≠>>有log ()log log a a a MN M N =+

log log log a

a a M

M N N

=- log log n m a a m

M M n =

7对数换底公式:

a

N

N m m a log log log =

( a > 0 ,a ≠ 1 ,m > 0 ,m ≠ 1,N>0)

8两个常用的推论:

①1log log =?a b b a , 1log log log =??a c b c b a

② b m

n

b a n

a m log log =

( a, b > 0且均不为1)

9对数函数的性质:

10同底的指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数

11指数方程和对数方程主要有以下几种类型: (1) a f(x)=b ?f(x)=log a b, log a f(x)=b ?f(x)=a b ; (定义法) (2) a f(x)=a g(x)?f(x)=g(x), log a f(x)=log a g(x)?f(x)=g(x)>0(转化法) (3) a f(x)=b g(x)?f(x)log m a=g(x)log m b (取对数法) (4) l og a f(x)=log b g(x)?log a f(x)=log a g(x)/log a b(换底法) 题型讲解

例1 计算:(1)12131

6324

(12427162(8)-

-+-+-;

(2)2

(lg 2)lg 2lg50lg 25+?+;

(3)3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+

解:(1)原式12

1

33(1)246

3

2

4(113

2

28

?

-?-?

?

=-+-?

2133

3

2

11222

118811?

=+-?=-=

(2)原式2

2

(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=

(3)原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3

(

)()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2

=+?+=+?+

3lg 25lg35

2lg36lg 24

=?=

例2 已知112

2

3x x

-

+=,求

22332

2

23

x x x x

--+-+-的值

解:∵112

2

3x x

-

+=,∴112

2

2()9x x -

+=,∴129x x -++=,∴17x x -+=,

∴12()49x x -+=,∴2

2

47x x -+=,

又∵331112

2

2

2

()(1)3(71)18x x x x x x ---+=+?-+=?-=,

22332

2

2472

3183

3

x x x x

--+--=

=-+-

例3 已知35a

b

c ==,且

11

2a b

+=,求c 的值 解:由3a c =得:log 31

a

c =,即log 31c a =,∴1l o g 3c a =; 同理可得1l o g 5c

b =,∴由11

2a b

+= 得 log 3log 52c c +=,∴log 152c =,∴215c =,∵0c >

,∴c 例4 设1x >,1y >,且2log 2log 30x y y x -+=,求224T x y =-的最小值

解:令 log x t y =,∵1x >,1y >,∴0t > 由2log 2log 30x y y x -+=得2

230t t

-

+=,∴22320t t +-=, ∴(21)(2)0t t -+=,∵0t >,∴12t =,即1

log 2

x y =,∴1

2y x =, ∴222244(2)4T x y x x x =-=-=--,

∵1x >,∴当2x =时,min 4T =-

例5 设a 、b 、c 为正数,且满足22a b c +=

(1)求证:22log (1)log (1)1b c a c

a b +-+

++= (2)若4log (1)1b c a ++=,82

log ()3a b c +-=,求a 、b 、c 的值 证明:(1)左边2

22log log log ()a b c a b c a b c a b c

a b a b

+++-+++-=+=? 2222222

2222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab

+-++-+-=====;解:(2)由4l o g (1)1b c a ++=得14b c

a

++

=,∴30a b c -++=……………① 由82

log ()3

a b c +-=得2

384a b c +-==………… ……………②

由①+②得2b a -=……………………………………③ 由①得3c a b =-,代入222

a b c +=得2(43)0a a b -=,

∵0a >, ∴430a b -=………………………………④由③、④解得6a =,8b =,从而c =

例6 (1)若2

1a b a >>>,则log b

b

a

,log b a ,log a b 从小到大依次为 ; (2)若235x

y

z

==,且x ,y ,z 都是正数,则2x ,3y ,5z 从小到大依次为 ;

(3)设0x >,且1x x

a b <<(0a >,0b >),则a 与b 的大小关系是( )

A 1b a <<

B 1b <<

C 1b a <<

D 1a b <<

解:(1)由2

1a b a >>>得

b a a <,故log b b

a

t ===,则1t >,lg lg 2t x =

,lg lg 3

t

y =,lg lg5t z =,

∴2lg 3lg lg (lg9lg8)

230lg 2lg3lg 2lg3

t t t x y ?--=

-=>?,∴23x y >; 同理可得:250x z -<,∴25x z <,∴325y x z <<

(3)取1x =,知选B

例8 已知函数2

()1

x

x f x a x -=+

+(1)a >, 求证:(1)函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;(2)方程()0f x =没有负数根

证明:(1)设121x x -<<,则1212

121222

()()11

x

x x x f x f x a a x x ---=+

--++ 121212*********()

11(1)(1)

x x x x x x x x a a a a x x x x ---=-+

-=-+

++++, ∵121x x -<<,∴110x +>,210x +>,120x x -<,∴12123()

0(1)(1)

x x x x -<++;

∵121x x -<<,且1a >,∴12x

x

a a <,∴12

0x

x a a

-<,∴12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <,

∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;另法:∵1a >,(1,)x ∈-+∞

∴2

23

()()ln 01(1)x

x x f x a a a x x -''=+

=+>++∴函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数; (2)假设0x 是方程()0f x =的负数根,且01x ≠-,则0002

01

x

x a x -+

=+, 即0

0000023(1)3

1111

x x x a

x x x --+=

==-+++, ① 当010x -<<时,0011x <+<,∴

0331x >+,∴03

121

x ->+,而由1a >知01x a < ∴①式不成立; 当01x <-时,010x +<,∴

0301x <+,∴03

111

x -<-+,而0x a >

∴①式不成立综上所述,方程()0f x =没有负数根

例9 已知函数()log (1)x a f x a =-(0a >且1a ≠)

求证:(1)函数()f x 的图象在y 轴的一侧;(2)函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0

证明:(1)由10x a ->得:1x

a >,

∴当1a >时,0x >,即函数()f x 的定义域为(0,)+∞,此时函数()f x 的图象在y 轴的右侧; 当01a <<时,0x <,即函数()f x 的定义域为(,0)-∞,此时函数()f x 的图象在y 轴的左侧

∴函数()f x 的图象在y 轴的一侧;

(2)设11(,)A x y 、22(,)B x y 是函数()f x 图象上任意两点,且12x x <,

则直线AB 的斜率1212

y y k x x -=-,1

1

2

2

121log (1)log (1)log 1x x x

a a a x a y y a a a --=---=-,

当1a >时,由(1)知120x x <<,∴121x x a a <<,∴12011x x

a a <-<-,

∴121011x x a a -<<-,∴120y y -<,又120x x -<,∴0k >;当01a <<时,由(1)知120x x <<,∴121x x

a a >>,

∴1

2

110x x a a ->->,∴12

1

11

x x

a a ->-,∴120y y -<,又120x x -<,∴0k > ∴函数()f x 图象上任意两点连线的斜率都大于0

学生练习

1合{

} ,16,9,4,1=P ,若P a ∈,P b ∈,则P b a ∈⊕,则运算⊕可能是( ) (A)加法 (B)减法

(C) 除法 (D)乘法

2已知集合{1,2,3}A =,{1,0,1}B =-,则满足条件(3)(1)(2)f f f =+的映射:f A B →的个数是 ( )

(A )2 (B )4 (C )5 (D )7

3某天清晨,小鹏同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好多了,中午时他的体温基本正常,但是下午他的体温又开始上升,直到半夜才感觉身上不那么发烫了 下面大致能上反映出小鹏这一天(0时—24时)体温的变化情况的图是 ( )

A ) (B) (C) (D)

4定义两种运算:a b ⊕

=

a b ?,则函数2()(2)2

x

f x x ⊕=

?-为( )

(A )奇函数 (B )偶函数

(C )奇函数且为偶函数 (D )非奇函数且非偶函数5偶函数()log ||a f x x b =-在(,0)-∞上单调

递增,则(1)f a +与(2)f b +的大小关系是 ( ) (A )(1)(2)f a f b +≥+ (B )(1)(2)f a f b +<+

(C )(1)(2)f a f b +≤+ (D )(1)(2)f a f b +>+

6如图,指出函数①y=a x

;②y=b x

;③y=c x

;④y=d x

的图象,则a,b,c,d 的大小关系是 A a

C 1

D alog y 3>0,则下列不等式恒成立的是 ( )

A 3

/1-x

3

1(<3x –y

C x -1)31(<31–y

D x

-1)3

1(>31–y

8已知函数f(x)=lg(a x –b x )(a,b 为常数,a>1>b>0),若x ∈ (1,+∞)时,f(x)>0恒成立,则( ) A a –b ≥1 B a –b>1 C a –b ≤1 D a=b+1 9如图是对数函数y=log a x 的图象,已知a 取值3,4/3,3/5,1/10,则

相应于①, ②, ③, ④的a 值依

次是

10已知y=log a (2–ax)在[0,1]上是x 的减函数,则a 的取值范围是

11已知函数,),(D x x f y ∈=+∈R y ,且正数C 为常数对于任意的D x ∈1,存在一个D x ∈2,使

()()C x f x f =21,

则称函数)(x f y =在D 上的均值为C 试依据上述定义,写出一个均值为9的函数的例子:_____

12设函数f(x)=lg 3

421x

x a ?++,其中a ∈R,如果当x ∈(–∞,1)时,f(x)有意义,求a 的取值范围

13 a 为何值时,关于x 的方程2lgx –lg(x –1)=lga 无解?有一解?有两解?

14 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料根据以前的统计数据,若零售价定为每瓶4元,每月可销售

400瓶;若每瓶售价每降低005元,则可多销售40瓶请你给该商店设计一个方案:每月的进货量当月销售完,销售

价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时,才可获得最大的利润?

15已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足:(1)对于任意x ∈[0,1],总有f(x)≥0;(2)f(1)=1

(3)若01≥x ,02≥x ,121≤+x x ,则有)()()(2121x f x f x x f +≥+ (Ⅰ)试求f(0)的值;(Ⅱ)试求函数f(x)的最大值;

(Ⅲ)试证明:满足上述条件的函数f(x)对一切实数x ,都有f(x)≤2x

16 设a 、b 为常数,F x b x a x f x f M };sin cos )(|)({+==:把平面上任意一点(a ,b )映射为函数

.sin cos x b x a +(1)证明:不存在两个不同点对应于同一个函数;

(2)证明:当M x f ∈)(0时,M t x f x f ∈+=)()(01,这里t 为常数;

(3)对于属于M 的一个固定值)(0x f ,得}),({01R t t x f M ∈+=,在映射F 的作用下,M 1作为象,求其原象,并说明它是什么图象?

参考答案:1D 2D 3C 4A 5D 6B 7D 8A9 3,4/3,3/5,1/10, 10 (1,2)

119)(=x f ,x e x f 9)(=, x

a x f sin 9)(=(10≠

13 04时,方程有两解14450

15(I )令021==x x ,依条件(3)可得f(0+0) ≥f(0)+f(0),即f(0) ≤0又由条件(1)得f(0) ≥0,则f(0)=0

(Ⅱ)任取1021≤<≤x x ,可知]1,0(12∈-x x ,

则)()(])[()(1121122x f x x f x x x f x f +-≥+-=,即0)()()(1212≥-≥-x x f x f x f ,故)()(12x f x f ≥ 于是当0≤x ≤1时,有f(x)≤f(1)=1因此,当x=1时,f(x)有最大值为1, (Ⅲ)证明:研究①当]1,2

1(∈x 时,f(x) ≤1<2x

②当]2

1,0(∈x 时,首先,f(2x) ≥f(x)+f(x)=2f(x),∴)2(2

1

)(x f x f ≤

显然,当]2

1,21(2∈x 时,21

)1(21)212(21)21()(=?=??≤≤f f f x f 成立

假设当]21,2

1

(

1

k k x +∈时,有k x f 21)(≤成立,其中k =1,2,…那么当]21

,21(12++∈k k x 时, 111

2

12121)21(21)212(21)2

1(

)(+++=?≤?=??≤≤k k k k k f f f x f 可知对于]21,2

1

(

1

n n x +∈,总有n x f 2

1)(≤,其中n=1,2,… 而对于任意]2

1,0(∈x ,存在正整数n ,使得]21,21(

1

n n x +∈,此时x x f n 22

1

)(≤≤, ③当x=0时,f(0)=0≤2x

综上可知,满足条件的函数f(x),对x ∈[0,1],总有f(x) ≤2x 成立

16 (1)假设有两个不同的点(a ,b ),(c ,d )对应同一函数,即x b x a b a F s i n c o s

),(+=与x d x c d c F sin cos ),(+=相同,

即 x d x c x b x a sin cos sin cos +=+对一切实数x 均成立

特别令x =0,得a =c ;令2

π

=

x ,得b=d 这与(a ,b ),(c ,d )是两个不同点矛盾,假设不成立

故不存在两个不同点对应同函数

(2)当M x f ∈)(0时,可得常数a 0,b 0,使x b x a x f sin cos )(000+=

)()(01t x f x f +=)sin()cos(00t x b t x a +++=

x t a t b x t b t a sin )sin cos (cos )sin cos (0000-++=

由于t b a ,,00为常数,设n m n t a t b m t b t a ,,sin cos ,sin cos 0000则=-=+是常数

从而M x n x m x f ∈+=sin cos )(1

(3)设M x f ∈)(0,由此得x n x m t x f sin cos )(0+=+(t b t a m sin cos 00+=其中,t a t b n sin cos 00-=) 在映射F 下,)(0t x f +的原象是(m ,n ),则M 1的原象是},sin cos ,sin cos |),{(0000R t t a t b n t b t a m n m ∈-=+=

消去t 得202022b a n m +=+,即在映射F 下,M 1的原象}|),{(2

02022b a n m n m +=+是以原点为圆心,2

02

0b a +为

半径的圆

指数函数与对数函数高考题

第二章 函数 三 指数函数与对数函数 【考点阐述】指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数.对数.对数的运算性质.对数函数. 【考试要求】(4)理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图像和性质.(5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质.(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 【考题分类】 (一)选择题(共15题) 1.(安徽卷文7)设 232555 322555a b c ===(),(),() ,则a ,b ,c 的大小关系是 (A )a >c >b (B )a >b >c (C )c >a >b (D )b >c >a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数,所以a c >,2()5x y =在0x >时是减函数,所以c b >。 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 2.(湖南卷文8)函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系 中的图像可能是 【答案】D 【解析】对于A 、B 两图,|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-11矛盾,选D 。 3.(辽宁卷文10)设525b m ==,且112a b +=,则m = (A (B )10 (C )20 (D )100 【答案】 D

解析:选A.211 log 2log 5log 102,10, m m m m a b +=+==∴= 又0,m m >∴= 4.(全国Ⅰ卷理8文10)设a= 3 log 2,b=In2,c=1 2 5 - ,则 A. a>,所以a=>,所以c,从而错选A,这也 是命题者的用苦良心之处. 【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去),或 1b a = ,所以a+2b=2 a a + 又0f(1)=1+2 1=3,即a+2b 的取值范围是(3,+∞). 6.(全国Ⅰ卷文7)已知函数()|lg |f x x =.若a b ≠且,()()f a f b =,则a b +的取值范围是 (A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】C 【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小 题时极易忽视a 的取值范围,而利用均值不等式求得a+b=12a a + ≥,从而错选D,这也是命 题者的用苦良心之处.

指数函数和对数函数知识点总结

指数函数和对数函数知识点总结及练习题 一.指数函数 (一)指数及指数幂的运算 n m n m a a = s r s r a a a +=? rs s r a a =)( r r r b a ab =)( (二)指数函数及其性质 1.指数函数的概念:一般地,形如x a y =(0>a 且1≠a )叫做指数函数。 2.指数函数的图象和性质 10<a 6 54321 -1 -4-2 2460 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2 246 1 定义域 R 定义域 R 值域y >0 值域y >0 在R 上单调递减 在R 上单调递增 非奇非偶函数 非奇非偶函数 定点(0,1) 定点(0,1) 二.对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =(0>a 且1≠a ),那么x 叫做以a 为底N 的对数,记作N x a log =,其中a 叫做底数,N 叫做真数,N a log 叫做对数式。 2.指数式与对数式的互化 幂值 真数 x N N a a x =?=log 底数 指数 对数

3.两个重要对数 (1)常用对数:以10为底的对数N lg (2)自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数N ln (二)对数的运算性质(0>a 且1≠a ,0,0>>N M ) ①MN N M a a a log log log =+ ②N M N M a a a log log log =- ③M n M a n a log log = ④换底公式:a b b c c a log log log =(0>c 且1≠c ) 关于换底公式的重要结论:①b m n b a n a m log log = ②1log log =?a b b a (三)对数函数 1.对数函数的概念:形如x y a log =(0>a 且1≠a )叫做对数函数,其中x 是自变量。 2对数函数的图象及性质 01 32.5 2 1.51 0.5-0.5 -1-1.5-2-2.5 -1 1 23456780 1 1 32.5 2 1.5 1 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1 1 2345678 1 1 定义域x >0 定义域x >0 值域为R 值域为R 在R 上递减 在R 上递增 定点(1,0) 定点(1,0)

(完整版)高考指数函数和对数函数专题复习

指数函数与对数函数专项练习 例1.设a >0, f (x)=x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x ) 的反函数f -1 (x)的奇偶性与单调性. 解:(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0)0(f >=?=-?=, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )=)x ax (log 2a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解:设x ax )x (u 2-=, 对称轴a 21 x =. (1) 当1a >时, 1a 0)2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤≥. 综上所述: 1a > 1.(安徽卷文7)设 232 555 322555a b c ===(),(),() ,则a ,b ,c 的大小关系是 (A )a >c >b (B )a >b >c (C )c >a >b (D )b >c >a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数,所以a c >, 2 ()5x y =在0x >时是减函数,所以c b >。 2.(湖南卷文8)函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一 直角坐标系中的图像可能是【答案】D

指数函数和对数函数

指数函数和对数函数 知能目标 1. 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质. 掌握指数函数的概念、图象和性质. 2. 理解对数的概念, 掌握对数的运算性质. 掌握对数函数的概念、图象和性质. 3. 能够运用指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 综合脉络 1. 以指数函数、对数函数为中心的综合网络 2. 指数式与对数式有如下关系(指数式化为对数式或对数式化为指数式的重要依据): 0a (N log b N a a b >=?=且)1a ≠ 指数函数与对数函数互为反函数, 它们的图象关于直线x y =对称, 指数函数与对数函数 的性质见下表: 3. 指数函数,对数函数是高考重点之一 指数函数,对数函数是两类重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函 数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图象与性 质并能进行一定的综合运用. (一) 典型例题讲解: 例1.设a >0, f (x)= x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f - 1 (x)的奇偶性与单调性.

例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )=)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 例3. 已知x 满足≤+6x 2a a 4x 2x a a +++)1a ,0a ( ≠>, 函数y =)ax (log x a 1 log 2 a 12 a ? 的值域为]0 ,8 1[-, 求a 的值. (二) 专题测试与练习:

指数函数与对数函数知识点总结

指数函数与对数函数知识点总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次 方根,其中n >1,且n ∈N * . 当n 是奇数时, a a n n =,当n 是偶数时, ?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定: ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>; (3)s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数, 记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数 (二)对数的运算性质 如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○ 1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○ 2 =N M a log M a log -N a log ; ○ 3 n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ; 0>b ). 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log =; (2)a b b a log 1log =. (二)对数函数

指数函数与对数函数关系的典型例题

经典例题透析 类型一、求函数的反函数 例1.已知f(x)=225x - (0≤x ≤4), 求f(x)的反函数. 思路点拨:这里要先求f(x)的范围(值域). 解:∵0≤x ≤4,∴0≤x 2≤16, 9≤25-x 2≤25,∴ 3≤y ≤5, ∵ y=225x -, y 2=25-x 2,∴ x 2=25-y 2.∵ 0≤x ≤4,∴x=225y - (3≤y ≤5) 将x , y 互换,∴ f(x)的反函数f -1(x)=225x - (3≤x ≤5). 例2.已知f(x)=21(0)1(0) x x x x +≥??-0)的图象上,又在它的反函数图象上,求f(x)解析式. 思路点拨:由前面总结的性质我们知道,点(4,1)在反函数的图象上,则点(1,4)必在原函数的图象上.这样就有了两个用来确定a ,b 的点,也就有了两个求解a ,b 的方程. 解: ? ?+?=+?=)2......(14)1......(4122b a b a 解得.a=-51, b=521,∴ f(x)=-51x+521. 另:这个题告诉我们,函数的图象若与其反函数的图象相交,交点不一定都在直线y=x 上. 例5.已知f(x)= ax b x c ++的反函数为f -1(x)=253 x x +-,求a ,b ,c 的值. 思路点拨:注意二者互为反函数,也就是说已知函数f -1(x)=253 x x +-的反函数就是函数f(x). 解:求f -1(x)=253 x x +-的反函数,令f -1(x)=y 有yx-3y=2x+5. ∴(y-2)x=3y+5 ∴ x=352y y +-(y ≠2),f -1(x)的反函数为 y=352x x +-.即ax b x c ++=352x x +-,∴ a=3, b=5, c=-2.

指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳

一、幂函数 1、幂的有关概念 正整数指数幂: ...() n n a a a a n N =∈ g123 零指数幂: 01(0) a a =≠ 负整数指数幂: 1 (0,) p p a a p N a -=≠∈ 分数指数幂:正分数指数幂的意义是: (0,,,1) m n m n a a a m n N n =>∈> 且 负分数指数幂的意义是: 1 (0,,,1) m n m n m n a a m n N n a a - ==>∈> 且 2、幂函数的定义 一般地,函数 a y x =叫做幂函数,其中x是自变量,a是常数(我们只讨论a是有理数的情况). 3、幂函数的图象 幂函数a y x = 当 11 ,,1,2,3 32 a= 时的图象见左图;当 1 2,1, 2 a=--- 时的图象见上图: 由图象可知,对于幂函数而言,它们都具有下列性质:

a y x =有下列性质: (1)0a >时: ①图象都通过点(0,0),(1,1); ②在第一象限内,函数值随x 的增大而增大,即在(0,)+∞上是增函数. (2)0a <时: ①图象都通过点(1,1); ②在第一象限内,函数值随x 的增大而减小,即在(0,)+∞上是减函数; ③在第一象限内,图象向上与y 轴无限地接近,向右与x 轴无限地接近. (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点; (4)任何幂函数图象都不经过第四象限; (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点. 二、指数函数 ①定义:函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数, 1)函数的定义域为R ; 2)函数的值域为),0(+∞; 3)当10<a 时函数为增函数. 4)有两个特殊点:零点(0,1),不变点(1,)a . 5)抽象性质: ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=?-= 三、对数函数 如果b a N =(0a >,1a ≠),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N b = log b a a N N b =?=(0a >,1a ≠,0N >). 1.对数的性质 ()log log log a a a MN M N =+. log log log a a a M M N N =-.

高考指数函数与对数函数专题复习

例1.设a >0, f (x)=x x e a a e -是R 上的奇函数. (1) 求a 的值; (2) 试判断f (x )的反函数f - 1 (x)的奇偶性与单调性. 解:(1) 因为)x (f 在R 上是奇函数, 所以)0a (1a 0a a 1 0) 0(f >=?=-? =, (2) =-?∈++=--)x (f )R x (2 4 x x ln )x (f 121 -=++-24x x ln 2=++2 4x x ln 2)x (f 1--, ∴)x (f 1-为奇函数. 用定义法可证)x (f 1 -为单调增函数. 例2. 是否存在实数a, 使函数f (x )=)x ax (log 2 a -在区间]4 ,2[上是增函数? 如果存在, 说明a 可以取哪些值; 如果不存在, 请说明理由. 解:设x ax ) x (u 2-=, 对称轴a 21x = . (1) 当1a >时, 1a 0 )2(u 2 a 21>??????>≤; (2) 当1a 0<<时, 81a 00)4(u 4 a 21 ≤≥. 综上所述: 1a > 1.(安徽卷文7)设 232 555 322555a b c ===(),(),() ,则a ,b ,c 的大小关系是 (A )a >c >b (B )a >b >c (C )c >a >b (D )b >c >a 【答案】A 【解析】2 5 y x =在0x >时是增函数,所以a c >,2 ()5x y =在0x >时是减函数,所以c b >。 2.(湖南卷文8)函数y=ax2+ bx 与y= ||log b a x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可 能是【答案】D 【解析】对于A 、B 两图,|b a |>1而ax2+ bx=0的两根之和为 -b a ,由图知0<-b a <1得-1

指数函数 和 对数函数公式 (全)

指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==,l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01 且。 因为若a <0时,()y x =-4,当x = 1 4 时,函数值不存在。 a =0 ,y x =0,当x ≤0,函数值不存在。 a =1 时,y x =1对一切x 虽有意义,函数值恒为1,但y x =1的反函数不存在, 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=212 10,, 的图象的认识。 图象特征与函数性质: 图象特征 函数性质 (1)图象都位于x 轴上方; (1)x 取任何实数值时,都有a x >0; (2)图象都经过点(0,1); (2)无论a 取任何正数,x =0时,y =1; (3)y y x x ==210,在第一象限内的纵坐标都大于1,在第二象限内的纵坐标都小于1,y x =?? ? ? ?12的图象正好相反; (3)当a >1时,x a x a x x >><<<>?????0101, 则, 则 (4)y y x x ==210,的图象自左到右逐渐(4)当a >1时,y a x =是增函数,

对数函数与指数函数的运算

对数函数与指数函数的运算 1.化简下列各式(其中各字母均为正数): (1) ;)(65312121132 b a b a b a ????-- (2).)4()3(6521 332121231----?÷-??b a b a b a 2.化简(1) 313 2)3(---a y x (2) )111)((2211b ab a b a +-+-- 3.化简下列各式 (1) 6113175.0231729)95()27174(256)61(027 .0------+-+-- (2) (a 3+a -3)(a 3-a -3)÷[(a 4+a -4+1)(a-a -1)] 4.求值(1)lg14-2lg 37+lg7-lg18 (2)9lg 243lg

(3) 2.1lg 10lg 38lg 27lg -+ (4)(lg2)3+(lg5)3+3lg2?lg5 (5)化简22)4(lg 16lg 25lg )25(lg ++ 答案: 1.(1)原式= .100653121612131656131212131=?=?=?-+-+--b a b a b a b a b a (2)原式=- )(45)4(25233136121332361------÷-=?÷b a b a b a b a .45145452 32321ab ab ab b a -=?-=?-=-- 2. (1) 639 27x a y ; (2) 3311b a +;

3.(1) 5132;(2) a a 1 ; 4. (1) 0;(2) 25;(3) 23;(4) 1;(5) 2 ;

指数函数和对数函数公式(全)

指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数 y a x ,y log a x 在 a 1及 0 a 1两种不同情况。 1、指数函数: y x 且a 叫指数函数。 定义:函数 aa 0 1 定义域为 R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数 y a x 中的 a 必须 a 0且a 1 。 因为若 a 0时, y 4 x ,当 x 1 时,函数值不存在。 4 a 0 , y 0x ,当 x 0 ,函数值不存在。 a 时, y 1 x x 虽有意义,函数值恒为 1,但 1 对一切 y 1x 的反函数不存在, 因 为 要 求 函 数 y a x 中 的 a 0且 a 1 。 x 1、对三个指数函数 y 2 x , y 1 ,y 10x 的图象的 2 认识。 图象特征与函数性质: 图象特征 函数性质 ( 1)图象都位于 x 轴上方; ( 1) x 取任何实数值时,都有 a x 0 ; 2 0 1 ); ( 2)无论 a 取任何正数, x 0 时, y 1 ; ( )图象都经过点( , ( 3) y 2x , y 10 x 在第一象限内的纵坐 ( 3)当 a x 0,则 a x 1 1 时, 0,则 a x 1 标都大于 1,在第二象限内的纵坐标都小于 1, x 1 y 2 x x 0,则 a x 1 当 0 的图象正好相反; a 1时, 0,则 a x 1 x ( 4) y 2x , y 10 x 的图象自左到右逐渐 ( 4)当 a 1 时, y a x 是增函数,

指数函数和对数函数的重点知识

指数函数和对数函数的重点知识 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==,log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时,()y x =-4,当x = 1 4 时,函数值不存在。 a =0,y x =0,当x ≤0,函数值不存在。 a =1时,y x =1对一切x 虽有意义,函数值恒为 1,但y x =1的反函数不存在, 因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210 ,,的图象的认识。 图象特征 函数性质 (1)图象都位于x 轴上方; (1)x 取任何实数值时,都有a x >0; (2)图象都经过点(0,1); (2)无论a 取任何正数,x =0时,y =1; (3)y y x x ==210,在第一象限内的纵坐 标都大于1,在第二象限内的纵坐标都小于1,y x =?? ???12的图象正好相反; (3)当a >1时,x a x a x x >><<<>?????0101 ,则,则 (4)y y x x ==210,的图象自左到右逐渐上升,y x =?? ? ? ?12的图象逐渐下降。 (4)当a >1时,y a x =是增函数, 当01<

指数函数和对数函数 知识点总结

指数函数和对数函数 知识点总结 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中n >1,且n ∈N * . 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,?? ?<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2.正数的分数指数幂,规定: 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质),,0(R s r a ∈> (1)r a ·s r r a a += ;(2)rs s r a a =)( ;(3) s r r a a ab =)( (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自 变量,函数的定义域为R . 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 做以.a 为底..N 的对数,记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 说明: ○1 注意底数的限制0>a ,且a x N a =?log ;③注意对数的书 写格式. N a log 两个重要对数: ○ 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○ 2 自然对数:以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 2、对数的运算性质:如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ○1 M a (log ·=)N M a log +N a log ; ○ 2 =N M a log M a log -N a log ;③n a M log n =M a log )(R n ∈. 注意:换底公式a b b c c a log log log =(0>a ,且1≠a ;0>c ,且 1≠c ;0>b ) . 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log = ; (2)a b b a log 1log =. 3、对数函数的概念:函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函数,其中x 是自变量,

指数函数与对数函数图像及交点问题

关于指数函数与对数函数的问题 一、指数函数 底数对指数函数的影响: ①在同一坐标系内分别作函数的图象,易看出:当a>l时,底数越大,函数图象在第一象限越靠近y轴;同样地,当00,且a≠l时,函数与函数y=的图象关于y轴对称。 利用指数函数的性质比较大小: 若底数相同而指数不同,用指数函数的单调性比较: 若底数不同而指数相同,用作商法比较; 若底数、指数均不同,借助中间量,同时要注意结合图象及特殊值

二、对数函数 底数对函数值大小的影响: 1.在同一坐标系中分别作出函数的图象,如图所示,可以看出:当a>l时,底数越大,图象越靠近x轴,同理,当O

对数函数的图象与性质: 三、对数函数与指数函数的对比: (1)对数函数与指数函数互为反函数,它们的定义域、值域互换,图象关于直线y=x对称. (2)它们都是单调函数,都不具有奇偶性.当a>l时,它们是增函数;当O

四、关于同底指数函数与对数函数的交点问题 一、1a >时方程 x log a a x =的解 先求如图3所示曲线x log y a y a x ==与相切时a 的值。设曲线x log y a y a x ==与相切 于点M (00x ,x ),由于曲线x a y =在点M 处的切线斜率为1, 所以?????==?????===1a ln a , x a 1|)'a (,x a 0000x 0x x x x 0x 即

指数函数和对数函数综合题目与标准答案

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较, 指数函数和对数函数综合 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 【要点链接】 1.指数函数、幂函数、对数函数增长的比较: 对数函数增长比较缓慢,指数函数增长的速度最快. 2.要能熟练掌握指数函数、幂函数、对数函数的图像,并能利用它们的图像的增减情况解决 一些问题. 【随堂练习】 一、选择题 1.下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是( ) A .1100 x y e = B .100ln y x = C .100y x = D .1002x y =? 2.若112 2 a a -<,则a 的取值范围是( ) A .1a ≥ B .0a > C .01a << D .01a ≤≤ 3.x x f 2)(=,x x g 3)(=,x x h )2 1()(=,当x ∈(-)0,∞时,它们的函数值的大小关系 是( ) A .)()()(x f x g x h << B .)()()(x h x f x g << C .)()()(x f x h x g << D .)()()(x h x g x f << 4.若b x <<1,2 )(log x a b =,x c a log =,则a 、b 、c 的关系是( ) A .c b a << B .b c a << C .a b c << D .b a c << 二、填空题 5.函数x e y x x y x y x y ====,ln ,,3 2 在区间(1,)+∞增长较快的一个是__________. 6.若a >0,b >0,ab >1,a 2 1log =ln2,则log a b 与a 2 1log 的关系是_________________. 7.函数2 x y =与x y 2=的图象的交点的个数为____________. 三、解答题 8.比较下列各数的大小: 5 2)2(-、21 )23(-、3)3 1(-、54 )32(-. 9.设方程2 22x x =-在(0,1)内的实数根为m ,求证当x m >时,2 22x x >-. 答案 1.A 指数增长最快. 2.C 在同一坐标系内画出幂函数2 1 x y =及2 1- =x y 的图象,注意定义域,可知10<

指数函数与对数函数的关系(附答案)

3.2.3 指数函数与对数函数的关系 知识点一:反函数 1.已知函数y =f(x)有反函数,则方程f(x)=0的根的情况是 A .有且仅有一个实根 B .至少有一个实根 C .至多有一个实根 D .0个,1个或1个以上根 2.若函数y =f(x)的反函数是y =g(x),f(a)=b ,ab≠0,则g(b)等于 A .a B .a -1 C .b D .b -1 3.若函数f(x)的图象上有一点(0,1),则其反函数f -1 (x)上一定存在点 A .(0,1) B .(1,0) C .(0,0) D .不能确定 4.已知函数y =2x -a 的反函数是y =bx +3,则a =__________,b =__________. 5.函数y =3x (02)的反函数是 A .y =2x (x<-1) B .y =(12)x (x>-1) C .y =2-x (x<-1) D .y =(12 )-x (x>-1) 8.函数f(x)=log a (3x -1)(a>0且a≠1)的反函数的图象过定点 A .(1,0) B .(0,1) C .(0,23) D .(2 3,0) 9.已知对数函数f(x)=log a x(a>0,a≠1,x>0)满足f(a 4 )=0,则函数f(x)的反函数f -1 (x)=__________. 10.若函数f -1(x)为函数y =lg(x +1)的反函数,则f -1 (x)的值域是__________. 11.将函数y =3x -2 的图象向左平移两个单位,再将所得图象关于直线y =x 对称后所得图象的函数解析式为__________. 能力点一:求反函数 12.函数y =1+log 1 2 x 的反函数是 A .y =2x -1(x∈R ) B .y =(12)x -1(x∈R ) C .y =2 1-x (x∈R ) D .y =(12 )x -1 (x∈R )

指数函数与对数函数专题(含详细解析)

第 讲 指数函数与对数函数 时间: 年 月 日 刘老师 学生签名: 一、 兴趣导入 二、 学前测试 log 1. log . 2. (1).; (); (). (2).log log log ; log log ;(0,0). 3. ; log ; a b a x y x y x y xy x x x a a a n a a N x a a N b N a a a a a ab a b MN M N M n M M N a N a x +=?=?===?=+=>>==指数式、对数式:指数、对数的运算性质: 常用关系式: log log ;log log ; log log . log 4. ; 5. 6. ,(, 111. 2a aM m N n b a a a b M N N n N M M M m y x R x x αααα== ==∈指数函数的定义、图象、性质对数函数的定义、图象、性质,指、对函数间的关系。幂函数 定义:是常数)叫幂函数。定义域是使的意义的的值的集合,与的取值有关。性质:()图象都过点(,)(0.+00 3 7. 8.ααα><)在(∞)上,当时,是增函数,时,是减函数。 ()若为有理数,且定义域关于原点对称,则是奇或偶函数。指数方程、对数方程: 均属超越方程,解法是化成同底数幂(同底的对数),从而幂指数(真数)相等。或用换元法、或两边取对数。 指数不等式、对数不等式:解法与指数方程、对数方程类似。 三、方法培养

☆专题1:指数运算与对数运算 [例1] 已知,27log 12a =试用a 表示.16log 6 变式练习:1已知,ln .log log 3,12x x x x a +==/求证:.) 2(2log 3 e e e = 2若a >1,b >1且lg(a +b )=lg a +lg b ,则lg(a -1)+lg(b -1)的值 (A) 等于lg2 (B)等于1 (C)等于0 (D)不是与a ,b 无关的常数 ☆专题2:指数函数与对数函数 [例2] 求下列函数的定义域:

《指数函数与对数函数》测试题与答案(word版可编辑修改)

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指数函数与对数函数检测题 一、选择题: 1、已知,则( ) (10)x f x =(5)f =A 、 B 、 C 、 D 、510105lg10lg 52、对于,下列说法中,正确的是( ) 0,1a a >≠①若则; ②若则;M N =log log a a M N =log log a a M N =M N =③若则; ④若则。22log log a a M N =M N =M N =22log log a a M N =A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合,则是 ( )2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈S T A 、 B 、 C 、 D 、有限集?T S 4、函数的值域为( ) 22log (1)y x x =+≥A 、 B 、 C 、 D 、()2,+∞(),2-∞[)2,+∞[)3,+∞5、设,则( ) 1.5 0.90.4812314,8,2y y y -?? === ? ?? A 、 B 、 C 、 D 、312y y y >>213y y y >>132y y y >>123y y y >>6、在中,实数的取值范围是( ) (2)log (5)a b a -=-a A 、 B 、 C 、 D 、52a a ><或2335a a <<<<或25a <<34a <<7、计算等于( ) ()()2 2 lg 2lg 52lg 2lg 5++?A 、0 B 、1 C 、2 D 、38、已知,那么用表示是( ) 3log 2a =33log 82log 6-a A 、 B 、 C 、 D 、52a -2a -23(1)a a -+231a a --9、若,则等于( ) 21025x =10x -A 、 B 、 C 、 D 、 1515-150162510、若函数是指数函数,则有( ) 2(55)x y a a a =-+?A 、或 B 、 C 、 D 、,且1a =4a =1a =4a =0a >1 a ≠

指数函数与对数函数及其不等式

一. 选择题 1. 设0x >且) (0,b a, ,1b a x x ∞+∈<<, 则a 、b 的大小关系是 ( ) A. 1a b << B. 1b a << C. a b 1<< D. b a 1<< 2. 如果1a 0<<, 那么下列不等式中正确的是 ( ) A. 2 131)a 1()a 1(->- B. 23)a 1()a 1(+>- c. 1)a 1()a 1(>-+ 343的结果为() A 、5 B 、5 C 、-5 D 、-5 4、函数y=5x +1的反函数是 A 、y=log 5(x+1) B 、y=log x 5+1 C 、y=log 5(x -1) D 、y=log (x+1)5 5、函数f x x ()=-21,使f x ()≤0成立的x 的值的集合是 A 、{}x x <0 B 、{}x x <1 C 、{}x x =0 D 、{}x x =1 6、设 5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ,则 A 、y 3>y 1>y 2 B 、y 2>y 1>y 3 C 、y 1>y 2>y 3 D 、y 1>y 3>y 2 7、25532lg 2lg lg 16981-+等于 A 、lg2 B 、lg3 C 、lg4 D 、lg5 8. 当1a >时, 在同一坐标系中, 函数x a y -=与=y x log a 的图象是图中的 ( )

二、填空题: 1、已知21366log log x =-,则x 的值是 。 2、计算:21 0319)41()2(4)21(----+-?- = . 3、函数y=lg(ax+1)的定义域为(-∞,1),则a= 。 4、当x ∈[-2,2)时,y =3-x -1的值域是 _ . 5. 若函数=y 2x l o g 2+的反函数定义域为),3(∞+ , 则此函数的定义域为 . 三、解答题: 1、(8分)已知函数f (x )=a x +b 的图象过点(1,3),且它的反函数f -1(x )的图象过(2,0) 点,试确定f (x )的解析式. 2、(8分)设A ={x ∈R |2≤ x ≤π},定义在集合A 上的函数y =log a x (a >0,a ≠1)的最大值比最小值大1,求a 的值 3. 已知函数12x )x (f -=的反函数为)x (f 1-, )1x 3(log )x (g 4+=. (1) 若≤-)x (f 1)x (g ,求x 的取值范围D; (2) 设函数)x (f 2 1)x (g )x (H 1-- =,当∈x D 时, 求函数)x (H 的值域.

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