数学基础知识与典型例题复习--立体几何

数学基础知识与典型例题

公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点且所有这些公共点的集合是一条直线

公理3：经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面（不共线的三点确定一平面）．：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面.

注：⑴水平放置的平面图形的直观图的画法——用斜二测

．．．．画．法．．其规则是：

①在已知图形取水平平面，取互相垂直的轴,

Ox Oy，再取0z轴，使xOz

∠

运用平面的三个公理及推论，能证明共点、共线、共面一类问题。

空间两条直线位置关系有：相交、平行、异面.

⑴相交直线───共面有且只有一个公共点；

⑶异面直线───不同在任．一平面内

”用符号表示为( )

,A Pα

?(D) P

对于空间中的三条直线，有以下四个条件：①三条直线两两相交；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④两直线相交，第三条平行于其中一条与另个一条相交

3

例7. 已知如右图，在中选择适当的符号填入各个空格：

ABβ，A

例8.已知正

第1页第2页

第3页 第4页

(3) 直线与平面平行——没有公共点． ①直线和平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线与平面内的一条直线平那么这条直线和这个平面平行. 即 ,a b α? 2.两个平面的位置关系：平行、相交（垂直是相交的一种特殊情况） (1)两个平面相交———有一条公共直线． (2)两平面平行———没有公共点经过平面外一点可以作 个平面平行于这个平面；可以作 条直线平行于这个平面17. 如图，直线AC DF= 。 p q ① 直线l ∥平面α l 上两点到α的距离相等 ② 直线l ⊥平面α l 垂直于α内无数条直线 ③ 平面α∥平面β

直线α?l ，且β//l

④

平面α内任一直线平行于平面β

βα//

CD ＝a ，F 是BE 的中点，求证：(1) DF //平面ABC ；(2) AF ⊥BD .

第5页 第6页

(2)判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面即 ,,,m n m n A l l m l n

ααα??=⊥⊥⊥

(3)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．2. 三垂线定理:

(1)斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直

3.直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角，直线和这个平面所成的角．注:①最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角．即2cos cos θ（1θ为最小角，如图）其中A B 与α 内直线AC 所成的角，②一条直线垂直于平面，就说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，的角，可见，直线和平面所成的角的范围是:)2 ()2 (C)1 (D)3

(A )cosθ·si n α=si n β (B )si n θ·si n β=si n α (C)cosθ·cos α=cos β (D)cosθ·si n α=cos β

o .则图中Rt △的个数为（

例30. 空间四边形P A BC ＝45°,∠PBC ＝60°，M 为A B 点.(1)求BC 与平面P A B PMC.

第7页 第8页

2.两个平面互相垂直：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．即l AOB αβ--∠

二面角的平面角为90?αβ⊥

⑴两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直．即a ααβ???⊥?S

=，其中α

cos =

.

互相垂直，则( )

β (B)α 中有且只有一条直线垂直于内垂直于交线的直线必垂直于与l 所成的角为

一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；3.若屋顶斜面与水平面所成的角都是 (C)P 3=P 2＞P 1 (D)P 3=P 将椭圆4

9+x 3=的距离2F =______.

AB =C B =2a ,B E=a , 则FC= 。

⊥底面ABCD ，PD =A 所成的角；

？若存在，请加以证明，并求

棱柱的主要性质：①侧棱都相等，侧面是平行四边形

截面是对应边互相平行的全等多边形;③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形平行六面体与长方体:

①概念：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体

(2)正棱锥的概念和性质:

①正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心

样的棱锥叫做正棱锥．

各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各侧面底边上的高4.球:(1)球面和球的概念:与定点的距离等于或小于定长的点的集合,叫做球体,简称球.定点叫做球心,定长叫做球的半径与定点距离等于定长的点集合叫做球面.

如图的球中，是球心，线段OC是半径，线段AB是直径，球一般用表示它的球心的字母来表示，上图记为球

球面距离指的是经过两点的大圆的劣孤长，也是球面上经过这两点的最短距离如图2所示：NS为地轴，所在经线为

⌒

NPS

经线为东径n度(n＝∠AOB)在北纬m度(m

须知道Q的经度与纬度.

第9页第10页

例48. 若棱锥底面面积为，平行于底面的截面面积是2

54cm，底面和这个截面的距离是12cm，则棱锥的高为

为同一球面上的四点，且连接每两点的线段长都等于2

已知AB=5，A D=4，AA=3，AB

直线和平面所成的角,二面角,都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等。

直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。

化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱的垂面法及面积射影法。距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。

异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离。

所成的角为

的距离为（）

第11页第12页

第13页 第14页

其中2,AB PA ==所成的锐二面角θ的大小；

在空间，具有大小和方向的量叫做向量．长度相等且方向相同的有向线段表示同一空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量运算的推广． 3

4.两个向量的数量积(1)向量,a b 的数量积(2)向量的数量积的性质是单位向量)；②a b ⊥? (3)向量的数量积满足如下运算律①交换律:a b b ?=? ③分配律:()a b c ?+

5.如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，

第15页 第16页

②利用法向量可求二面角的平面角定理：设,m n 分别是二面角l αβ--中平面,m n

所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小cos ||||

m n m n ? （m ，n 为平面

例70. 如图直角梯形，O A ＝AB ＝1，SO ⊥平

轴建立直角坐标系O-xyz .

数学基础知识与典型例题(第九章直线、平面、简单的几何体)答案

例1.C 例2.A 例3.D 例4.A 例5.D例6.B 例7. ∈

?

?

?

∈

∈

?,

,

,

,

,

,例8.8 例9.4

例10. 解:∵BC＝a,∠BAC＝45°,∴AC＝a, AB＝2a,△ABD中，AB＝2a，∠DAB＝30°，

∴BD

, AD=

3

6

2a,作CE//AB,且CE=AB,∴∠BCE=135°,则BE=5a, 又CD=

3

15a,∴BE=5a,

DE=

3

51a, ∠DCE是AB与CD所成的角或其补角,∴cos∠DCE=

EC

DC

DE

EC

DC

?

-

+

2

2

2

2

=－

10

30, ∴cosα=

10

30.

例11. D解析：b与α可能相交，可能平行，也可能b在α内，故选(D)

例12.C例13.C 例14.C 例15.D 例16. 1个，无数个例17. 20

3

例18.④

例19.(1)过F作FG⊥AB于G，FG//AE，FG＝

2

1AE，又CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，∴CD//AE，

CD＝

2

1AE，∴FG//CD，FG＝CD，∴四边形CDFG是平行四边形，DF//CG，CG?平面ABC，∴DF//平

面ABC；(2) Rt△ABE中，AE＝2a，AB＝2a，F为BE中点，∴AF⊥BE，又DF⊥FG，DF⊥AE，∴DF⊥

平面ABE，DF⊥AF，又BE⊥AF，∴AF⊥平面BDF，∴AF⊥BD。

例20.解析：（1）欲证EG∥平面BB1D1D，须在平面BB1D1D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面B EGO’

及辅助直线B O’，显然B O’即是.

（2）按线线平行?线面平行?面面平行的思路，在平面B1D1H内寻找B1D1和O’H两条关键的相交直线，

转化为证明：B1D1∥平面B DF，O’H∥平面B DF。

⑶为证A1O⊥平面B DF，由三垂线定理，易得B D⊥A1O，

再寻A1O垂直于平面B DF内的另一条直线。猜想A1O⊥OF.

借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2?A1O⊥OF.

（4）∵CC1⊥平面A C∴CC1⊥B D又B D⊥A C

∴B D⊥平面AA1C又B D?平面B DF ∴平面B DF⊥平面AA1C

例21.B 例22.A 例23.B 例24.A 例25.A 例26.A 例27.C 例28.③④例29. 45

例30.分析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.

解∵P A⊥A B,∴∠A PB＝90°在RtΔA PB中,∵∠A BP＝45°,设P A＝a,则PB＝a,A B＝2a,

∵PB⊥PC，在RtΔPBC中，∵∠PBC＝60°,PB＝a.∴BC＝2a,PC＝3a.∵A P⊥PC,

∴在RtΔA PC中，A C＝2

2PC

PA+＝2

2)

3

(a

a+＝2a

(1)∵PC⊥P A,PC⊥PB,∴PC⊥平面P A B，∴BC在平面PBC上的射影是BP.

∠CBP是CB与平面P A B所成的角∵∠PBC＝60°,∴BC与平面PB A的角为60°.

(2)由上知，P A＝PB＝a,A C＝A B＝2a.∴M为A B的中点，则A B⊥PM，A B⊥CM.∴A B⊥平面PCM.

说明:要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.

例31.D 例32. C例33.B例34.C例35.D例36.C例37.1

cos

3

arc例38.

39.a

7

例40. (1)∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，又∵底面ABCD为正方形，

∴AC⊥BD，而PD与BD交于点D，∴AC⊥平面PBD，

又AC?平面P AC，∴平面P AC⊥平面PB D .

（2）记AC与BD相交于O，连结PO，由（1）知，AC⊥平面PBD，

∴PC在平面PBD内的射影是PO，∴∠CPO就是PC与平面PBD所成的角，

∵PD=AD,∴在Rt△PDC中，PC=2CD，而在正方形ABCD中，

OC=

2

1

AC=

2

2

CD，∴在Rt△POC中，有∠CPO=30°.即PC与平面PBD所成的角为30°.

（3）在平面PBD内作DE⊥PO交PB于点E，连AE，则PC⊥平面ADE.以下证明：

由（1）知，AC⊥平面PBD，∴AC⊥DE，又PO、AC交于点O，∴DE⊥平面P AC，

∴DE⊥PC，（或用三垂线定理证明）而PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD，又∵AD⊥CD，

∴AD⊥平面PCD，∴AD⊥PC，∴PC⊥平面ADE，由AC⊥平面PBD，

∴过点O作OF⊥DE于F，连AF，由三垂线定理可得，AF⊥DE，∴∠OF A是二面角A—ED—B的平面角，

设PD=AD=a，在Rt△PDC中，求OF=

6

6a,而AO=

2

2a,∴在Rt△AOF中，∠OF A=60°，即所求的二面角

A—ED—B为60°.

例41.B 例42.A 例43.D 例44.C 例45.C例46.A 例47. C1-CAB或A1-ABC等例48. 30c m 例49.

6

6

依题意知，这四点为一个正四面体的顶点，球为该四面体的外接球；所求距离为内接球半径，两球同心，距

离为四面体高的

4

1

。

例50. 解（1）如图8－16，连结A1O，则A1O⊥底面AB CD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥A D交A D

于N，连结A1M，A1N。由三垂线定得得A1M⊥AB，A1N⊥A D。∵∠A1A M=∠A1A N，∴Rt△A1N A≌Rt△A1M A,

∴A1M=A1N，从而OM=ON。∴点O在∠BA D的平分线上。

（2）∵A M=AA1cos

3

π=3×

2

1=

2

3,∴A O=A Msec

4

π=2

2

3。又在Rt△A O A

1

中，

A1O2=AA12 –A O2=9 －

2

9=

2

9,∴A

1

O=

2

2

3，

∴平行六面体的体积V=5×4×

2

2

3=302。

例51. A 例52.B 例53B例54.B例55.C 例56.A例57. (1)450（2）

2

2（3）300

例58. 75 0或1650 例59.A关于αβ

、的对称点A

1

，A2，A1A2的长度即为所求最短距离．

例60. 解：以

1

1

B

A为x轴，

1

1

D

A为y轴，A

A

1

为z轴建立空间直角坐标系

（1）设E是BD的中点， P—ABCD是正四棱锥，∴ABCD

PE⊥

又2,

AB PA

=∴2

=

PE∴)4,1,1(P∴

11

(2,2,0),(1,1,2)

B D AP

=-=

∴

11

B D AP

?=

即

11

PA B D

⊥

（2）设平面PAD的法向量是(,,)

m x y z

=

，(0,2,0),(1,1,2)

AD AP

==

∴0

2

,0=

+

=z

x

y, 取1

=

z

得(2,0,1)

m=-

，又平面

11

BDD B的法向量是(

1,1,0)

n=

,∴

cos,

m n

m n

m n

?

<>==

,∴

θ=3）1(2,0,2)

B A=-

, ∴

1

B到平面PAD的距离1B A m

d

m

?

=

例61.B例62.A例63.B 例64.D 例65.C 例66.C例67.

16

3

或－11 例68.10

例69. 是

例70. 解：⑴如图所示：C（2,0,0），S（

0,0,1），O（0,0,0

），B（1,1,0）

(2,0,1),(1,1,0)cos,

SC OB SC OBα

∴=-=∴<>==

⑵①(1,1,1),(1,1,0)

SB CB n SBC

=-=-⊥

,,1010,:1,2,(1,1,2)

n SB n CB n SB p q n CB p p q n

∴⊥⊥∴?=+-=∴?=-+===∴=

解得

②SOE

BC

E

BC

OE

O面

则

于

作

过⊥

⊥,,SAB

SOE⊥

∴

,,,,2,

SE O OH SE H OH SBC OA CB F OF FH

OFH

⊥⊥=∠

又两面交于过作于则延长与交于则连则为所求,

3

sin

2

SO OE

OE SE OH

SE

ββ

?

=∴==

又

③k

的坐标为()

1,1,2

-；

3

6

=

OH

9、当遇到失败时，你就“疯狂地自信”吧！

第17页第18页

“苦就是甜！

坏事就是好事！

逆境就是训练！

失败就是财富！

灾难就是潜能开发！

有这样的疯狂人生观，

你就一定能成功！”

当你失败时，你是保持笑，还是保持哭？

看一个人是不是一个真正的强者、硬汉，不要看他在胜利时的表现，而是要看

他失败时的表现。

巴顿将军曾说：看一个人的成功，并不是看他在巅峰的时候，而是要看他从巅

峰跌入低谷时的反弹力。

2004年奥运会，全世界的人都被中国女排反败为胜的大逆转惊呆了。

在俄罗斯队连赢中国队两局后，却看见中国女排反而在场上欢快地绕着跑、相互

在击掌，好像自己胜了两局一样，教练陈忠和脸上竟然还堆满了笑。

而已经赢了两局的俄罗斯女排教练，此时却虎着脸对队员痛骂，冲着自己的队

员怒吼，天知道为什么俄罗斯主帅赢了球，却还哭丧着脸，让俄罗斯女队开始怀

疑起了自己，也都莫名其妙地都哭丧起脸来，越打越差。

结果神话诞生了，中国女排在先失两局的险境下，连扳３局大逆转，战胜了只

差一局就可夺奥运金牌的俄罗斯女排。

教练陈忠和说：“丢掉头两局后，我就告诉队员，你们就按已经输了一样地打！

大家心态放松了，就越打越勇，越打气势越盛了。”

队长冯坤说：“丢掉两局时，我们也没有丧失获胜的信心。”

这就是成功者的特质，强者的性格，失败了多少回不重要，重要的是在失败时，

还能保持开心、放松、自信的心态，才有可能从失败中，再一次地站起来。

所以，不是成功者不会失败，而是成功者善于反败为胜，并且还能：

经历一个又一个失败后，仍然保持着热情万丈――这就是成功者的特质。

Success is going from failure to failure，without losing your enthusiasm.

第19页第20页