湖北省襄阳四中2014年5月高三冲刺模拟一理科数学试题_word版

湖北省襄阳四中2014年5月高三冲刺模拟一理科数学试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1、复数3

1i z i

=-（其中i 为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ）

A ．在复平面内复数z 对应的点在第一象限

B ．复数z 的共轭复数122

i z =-- C ．若复数1()z z b b R =+∈为纯虚数，则12b =- D ．复数z 的模1||2

z = 2、设全集6

{1},{1,2},(){0},1

U U x Z

M N C M N x =∈≥?=?=+ (){4,5}U C M N ?=，则M =（ ）

A ．{1,2,3} B.{1,1,2,3}- C.{1,2} D. {1,1,2}-

3、如果满足?=∠60ABC ，12=AC ，k BC =的△ABC 恰有一个，那么k 的取值范围是 ( )

A ．38=k B.120≤

则球的表面积是( ) A.499π B.73π C.283π D.289π

5、如图，在△ABC 中，13AN NC = ，P 是BN 上的一点，若29

AP mAB AC =+

，则实数

m 的值为（ ） A ．

19 B.1

3

C ．1 D.3 6、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25

731v t t t

=-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止。在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m ）是

（ ）

A. 125ln5+

B. 11

825ln

3

+ C. 425ln5+ D. 450ln 2+ 7、2013年11月24日，伊朗与伊朗核谈判六国（美国、英国、法国、俄罗斯、中国和德国）在瑞士日内瓦达成阶段性协议，会后六国外长合影留念，若中俄两国外长表示友好要相邻排列，且均不与美国外长相邻，则不同的站位种数为（ ） A.48 B. 72 C. 144 D. 168

8、将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成1000个同样大小的小正方体。经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值为()E X = （ ） A.

27125 B. 6

5

C. 51125

D. 35

9、过椭圆C ：12

32

2=+y x 上任一点P ，作椭圆C 的右准线的垂线PH （H 为垂足），延长PH 到点Q ，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P 在椭圆C 上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值

范围为（ ）

A ．]3

3,

0( B ．]2

3

,33(

C ．)1,23(

D ． )1,33[ 10．若对于定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，且存在常数λ(R λ∈)使得 ()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—伴随函数”． 有下列关于“λ—伴随函数”的结论：

①()0f x =是常数函数中唯一个“λ—伴随函数”； ②()f x x =不是“λ—伴随函数”；

③2()f x x =是一个“λ—伴随函数”； ④“1

2

—伴随函数”至少有一个零点．

其中正确结论的个数是 （ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

二、填空题（本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分） （一）必考题（11-14题）

11．直线210x y -+=的倾斜角为θ，则

221

sin 2cos θθ

-的

值为 ． 12．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出S 的值是 ．

13. 0(,)|050y M x y x x y ?≥?????=≥??????+-≤???，(,)|350y t

N x y x x y ?≤?????=≤???

???

+-≥???

，(,)x y M N ∈ ，当2x y +取得最大值时，(,)x y N ∈，

(,)x y M ?，则实数t 的取值范围是 .

14. 数列{21}n -的前n 项组成集合{1,3,7,,21}n n A =- ，从集合n A 中任取k （1,2,,n ）个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，则规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =+++ ．例如： 当1n =时，111{

1},1,1A T S ===； 当2n =时，2122{1,3},13,13,13137A T T S ==+=?=++?=． 则（1）3S = ；（2）n S = ．

（二）选考题（在第15、16两题中任选一题作答） 15．（选修4—1：几何证明选讲）

如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，如果CE DE 4

3

=，58=AC ，D 为EF 的中点，则AB ＝ ．

P

B

16．（选修4

—4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线

sin )20a ρθθ--=与曲线sin cos 1sin 2x y θθ

θ

=+??

=+?（θ为参数）有两个不同的交点，

则实数a 的取值范围为 .

三、解答题（本大题共6小题，共75分） 17.（本小题满分12分） 已知函数)12

(sin 2)322cos(3)(2π

π-+-

=

x x x f ，钝角．．⊿ABC （角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ）的角B 满足1)(=B f . （1）求函数f (x )的单调递增区间；] （2）若33,3==c b ，求B 、a .[

18.（本小题满分12分）

将各项均为正数的数列{}n a 排成如下所示的三角形数阵（第n 行有n 个数，同一行中，下标小的数排在左边）。n b 表示数阵中，第n 行、第1列的数。已知数列{}n b 为等比数列，且从第3行开始，各行均构成公差为d 的等差数列（第3行的3个数构成公差为d 的等差数列；第4行的4个数构成公差为d 的等差数列，……），11a =，1217a =，1834a =。 （1）求数阵中第m 行、第n 列的数()A m n ，（用m 、n 表示）。 （2）求2014a 的值；

1a

2a 3a

4a

5a

6a

7a

8a

9a

10a

…

…

…

…

…

19.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA 1 =1．D 是棱CC 1上的一点， P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点，且1PB ∥平面1BDA ． （1）求证：CD=C 1D

（2）求二面角A-A 1D-B 的平面角的余弦值； （3）求点C 到平面B 1DP 的距离

20.（本小题满分12分）

某公司为了实现2015年1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的

25%，现有三个奖励模型：

12370.025, 1.003,log 1x x

y x y y ===+ ，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？说明理由．（参考数据：6001.0036≈，4

72401=）

21.（本小题满分13分）

已知抛物线y 2

=6x 上的两个动点A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，其中12x x ≠且124x x +=．线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C .

（1）试证直线AB 的垂直平分线经过定点。

（2）设AB 中点为00(,)M x y ，求⊿ABC 面积的表达式，要求用0y 表示。 （3）求⊿ABC 面积的最大值。

22.（本小题满分14分）

已知a R ∈，函数()ln 1a

f x x x

=+-，()(ln 1)x g x x e x =-+． （1）求函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值； （2）是否存在实数0(0,]x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直？若存在，

求出

0x 的值，若不存在，请说明理由；

（3）求证：*11111(1)ln[(1)(2)]()ln

()234!

n

n k e k k k n n N n n =++++?++>-?∈∑

答案

选择题

CADCA CCDDB

填空题

11、5

2

12、10 13、4t > 14、（1）63 （2分）（2）(1)

221n n +-（3分）

15、24 16、104??

????

，

三、解答题17、

18、解答】（1）设{}n b 的公比为q 。

依题意，12a 为数阵中第5行、第2列的数；18a 为数阵中第6行、第3列的数。 ∴ 11b =，1n n b q -=，41217a q d =+=，518234a q d =+=。…………… 3分 ∴ 2q =，1d =，12n n b -=。

∴ 1()(1)2

1

m m A m n b n d n -=+-=+-，。 ………………… 6分 （2）由123621953++++= ，12362632016+++++= ，2013195360-=知， 2014a 为数阵中第63行，第61列的数。

∴ 622013260a =+。 ………………… 12分 19、解析：（1）连接1B A 交1BA 于O ,

1//B P 1面BDA ,111,,B P AB P AB P D OD ?= 1面面面BA 1//B P OD ∴,又O 为1B A 的中点，D ∴为AP 中点，1C ∴1为A P , 1ACD PC D ∴???1C D CD ∴=,D 为1CC 的中点。…………4分

（2）由题意11,AB AC AB AA AB C C ⊥⊥?⊥1面AA ,过B 作

AH AD ⊥,连接BH ， 则BH AD ⊥,AHB ∴∠为二面角1A A D B --的平面角。

在1AA D ?

中，111,AA AD A D ==

=

,

则2

3

AH AH BH AHB BH ==∠===…………8分 （3）因为11C B PD B PCD V V -=，所以11111

33

B PD PCD h S A B S ???=?,111A B =

11111

244

PCD PC C PC D S S S ???=-=-=,

在1B DP ?

中，1111

955344,3225522

B D B P PD DB P DB P +-

===∠==∠=?，

11331

,2243

B PD S h ?∴=?==………………… 12分

20、解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x ∈[10，1000]时

①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x?25%

（1）y =0.025x ，易知满足①，但当x >200时，y >5不满足公司要求；…2分

（2）y =1.003x

，易知满足①，但当x >600时，y >6不满足公司要求；…4分

（3）

37log 1x

y =+易知满足①，

当x ∈[10，1000]时，37710001240115y log log ≤+<+<，满足②，……… 7分

对于③，设()7125x

F x log %x =+-，()11110741074

,F x x ln ln '=

-≤-<，()()100max F x F =<，满足条件③。…………11分

所以，只有371y log x =+满足题意。…………12分

21、设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2

,222

10210y y y x x x +==+=

， 0122

122121212366

6y y y y y y y x x y y k AB =

+=--=--=

. 线段AB 的垂直平分线的方程是)2(3

00--=-x y

y y . （1）

易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.………4分

由（1）知直线AB 的方程为)2(3

00-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2）

（2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即012222

002=-+-y y y y . （3）

依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，

所以22200044(212)4480y y y ?=--=-+>,

32320<<-y .

221221)()(y y x x AB -+-=

2212

0))()3

(

1(y y y -+=

]4))[(91(2122120

y y y y y -++=

))122(44)(9

1(2

02020--+=y y y

)12)(9(3

22

020y y -+=

. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离

2

02029)0()25(y y CM h +=-+-==.

2

020209)12)(9(3

121y y y h AB S ABC +?-+=?=

?…………8分

)9)(224)(9(21312

02020y y y +-+=32

02020)3

92249(2131y y y ++-++≤7314= ………………11分

当且仅当2

202249y y -=+

，即0y =

66(

(33A B 或

66((33

A B -时等号成立.

所以，ABC ?面积的最大值为7314

.……………13分

22、解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞

∵ ()ln 1a f x x x =

+- ∴ 2()x a f x x -'= 令 2()0x a

f x x a x

-'==?= ① 若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在区间(0,]e 上单调递增，此时，()f x 无最小值； ② 若0a e <<，则当(0,)x a ∈时，()0f x '<，当[,]x a e ∈时，()0f x '>， ∴()f x 在区间(0,]a 上单调递减，在区间(,]a e 上单调递增， ∴当x a =时，()f x 有最小值ln a ；

③ 若a e ≥，则()0f x '≤，()f x 在区间(0,]e 上单调递减，

∴当x e =时，()f x 有最小值a

e

．

综上：()00min a f x lna ,a e a ,a e e

?

?≤?

=<

（2） ∵ ()(ln 1)x

g x x e x =-+ ∴ 1()(ln 1)1x g x x e x

'=+-?+

由（1）可知：当1a =时，1

()ln 1f x x x

=+-在区间(0,]e 上有最小值ln10=

∴1()ln 10f x x x =+-≥∴当0(0,]x e ∈时，0000

1()(ln 1)10x

g x x e x '=+-?+>

∵曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于：方程0()0g x '=有实数解， 而 0()0g x '> 即方程0()0g x '=无实数解，

故不存在实数0(0,]x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直。……8分 （3）由（1）可知：当1a =时，1

()ln 10f x x x

=+-≥ 对[0,)x ?∈+∞恒成立， 即 当1x ≥时，恒有

1

1l n x x ≥- ．．．．．．．．（＊） 取*()x n n N =∈，得1

1ln n n

≥-

∴()()1111123!23!n

e n ln ln ln lnn n ln n ln n n ++++≥-++++=-=

故111123!

n

e ln n n ++++≥ (n ∈N*)

又 在（*）式中，取()()12x k k k =++(k ∈N*)，得：

()()()()()()()111

11211121122ln k k k k k k k k k k ????++≥-=--?????+++++??

∴

1

111

1

l n [(1)(

2)][

]()

22(1)(

2)4n

k k

k k n n n n =++≥-?->-++∑ 故()()11111112234n n k e ln k k k n ln n n!=??????++++?++>-? ? ??????

?∑ (n ∈N*) 或：又 在（＊）式中，取*(1)(2)()x k k k k N =++∈， 得：ln[(1)(2)]ln 6ln 1k k k e ++≥>=

∴1

1

ln[(1)(2)]()4n

k k k k n n =++≥>-∑

故11111(1)ln[(1)(2)]()ln 234!

n

n k e k k k n n n =++++?++>-?∑ (n ∈N*)………14分