小学数学论文《多边形内角和与外角和的研究》
多边形内角和与外角和的研究
单位:温州市龙湾区海滨第二小学
作者:王梓翔
指导老师:娄旭初
摘要：本文以平等线的基本公理出发，测量和推理证明了三角形的内角和的问题，并以三角形的内角和是180°这一结论为依据，得出了多边形内角和为（N-2）*180°的结论，最后又以这一结论以依据，进行了多边形外角和度数必为360°的推理证明。通过测量和推理等方法，完成了整个论证过程。论证之后，我在老师的指导下，查阅了欧几米德的《几何原本》的相关资料，了解了欧氏几何和非欧氏几何的相关知识。
关键词：多边形内角和外角和
正文：
一、提出问题
我们在学习人民出版社的第七册数学教材的第二单元时，做到一些让我们测量三角形的三个角的题目（如课堂作业本的第13页的第4题），我们发现三个角相加的总度数大多都在180°左右。而老师也告诉我们，三角形的三个角相加就是等于180°，是不是这样呢？如果三角形的度数是一定的，那比它多一条边的四边形的所有角相加是不是也是一定的呢？那五边形、六边形甚至更多边形呢？我决定自己动手研究这个问题。
二、解决问题
（一）多边形内角和的研究。
1、三角形的内角和问题。
（1）测量三角形的内角和。
我从边数最少的三角形（三边）开始研究这个问题。我决定多画几个各式各样的三角形来进行测量，看看是否真的每一个三角形的内角（老师告诉我里边的角叫做内角）和都是180°（图1）
三角形序号 ∠1 ∠2 ∠3 内角和 （1） 90° 60° 30° 180° （2） 98° 35° 45° 178°
（3） 35° 70° 74° 179° （4） 60° 60° 60° 180° （5）
110°
40°
31°
181°
我第二天很高兴地去告诉老师我自己画了好多三角形去测，真的和他说的一样，都是180°。老师称赞我有讨究的精神，同时老师也告诉我，如果真的要研究这个问题，我这样是不够的，因为我只能说明我已经测量过的三角形的内角和为180°（而且我只能说明可能是180°，因为我可能测量不准），而不能真的说明三角形的内角必为180°。那该怎么办呢？老师给了我一点提示。
（2）证明三角形内角和为180°。
老师让我自学了第四单元平行与垂直中的有关平行线的内容。然后给了我两提示。
A 、证明∠1=∠2（图2）
老师在课上提醒过我们，要注意平角=180°的运用，所以我回家花了一点时间就证明出来了：
∠1+∠3=180° ∠2+∠3=180° 所以∠1=∠2。 同样道理 ∠3=∠4。
B 、老师告诉我一个公理，老师说公理就是不需要证明的道理，数学中的结论都要建立在公理的基础上的。（图3）∠1=∠2 根据这两个
结论，老师给了这样一副图（图4）叫我去试着证明三角形的内角和=180°，我思考了两个晚上，终于想出来了，在口述给老师听之后老师帮我一起整理成了下面的形式：
∠1=∠4=∠5。 ∠2=∠6=∠7。
所以∠3+∠1+∠2=∠3+∠5+∠7=180°
所以三角形的内角和必为180°。
老师告诉我，这样的过程叫做推理，是我们数学中非常重要的思想方法。
2、四边形的内角和问题。
（1）测量四边形的内角和。
既然三角形的内角和必为180°，那四边形的内角和是不是一定的呢？我对这个问题也产生了兴趣。所以在老师的鼓励下开始研究这个问题。
先我也和研究三角形的方式一下，采取了测量多个四边形（其中包括了像长方形，平行四边形，梯形或任意四边形）的形式进行研究。（图5）
四边形序号∠1 ∠2 ∠3 ∠4 内角和（1）105°75°83°98°361°（2）90°90°90°90°360°（3）110°70°110°70°360°（4）102°60°85°115°362°（5）147°58°95°59°359°
因为号四边形为长方形，所以它的每一个角都是90°，所以它的内角和就必为360°。那其他任意四边形也应该为360°，而测量所得也都是360°左右。但根据三角形的研究经验，测量也不能完全说明这个问题，要进行推理证明也行，所以我就自已开始了四边形内角和为360°的推理证明研究。
（2）证明四边形的内角和为360°。
想到360刚好是180的两倍，那四边形的内角和刚好是三角形Array的两倍，我忽然想到四边形刚好能切割成两个三角形，那不是刚好
是360°吗？（图6）我第二天很高兴地跑去和老师说，老师在称赞
我的同时也帮我一起把这个证明的过程给理了出来：
∠1+∠2+∠3=180°∠4+∠5+∠6=180°
所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°
所以四边形的内角和必为360°
(3)任意边形的内角和问题
证明了三、四边形的内角和，我很自然的想到了那五、六、七、八……边形呢？结合四边形的证明方法，我想到了其实这些多边其实都是可以切割成几个三角形的。而三角形的内角和已经确定了，那么这些多边形的内角和也应该是确定的。所以我开始一边作图一边开始总结。（图7）
图形 切割三角形个数
算式 内角和 （1）五边形 3 3*180° 540° （2）六边形 4 4*180° 720° （3）七边形 5 5*180° 900° （4）八边形 6 6*180
° 1080° （5）九边形
7
7*180°
1260°
老师在看了我的表之后，非常吃惊，他说我是一个很善于思考钻研的孩子。并且它帮助我把这个结论用字母表示数的知识再提升了一下：
图形 切割三角形个数
算式 内角和 N 边形
N-2
（N-2）*180°
（N-2）*180°
这样可以一下子说明这个事情，比如100边形，那它的内角和就是98*180°，真是又简单又清楚。数学真是神奇啊！
（二）多边形外角和的研究
就在我认为自己已经很厉害的时候，老师建议我可以再自己去研究一下多边形外角和。我查找外角的意思（一条边的反向延长线与它相临的边所组成的角便是外角）结合老师给我的图(图8)，开始了下面的研究。
1、三角形外角和的研究
因为测量并不能说明问题，所以我直接开始推理。一连几天，我对着图一筹莫展，最后请教老师。老师告诉我还是要注意平角为180°这个隐藏条件，在老师
的提示下我终于通过三角形内角和为180°和平角为180°两个条件，算出了三角形的外角和。过程如下（图9）：
∠1+∠2=180°∠5+∠6=180°∠3+∠4=180°
（∠1+∠3+∠5）+（∠2+∠4+∠6）=180°*3=540°
∠1+∠3+∠5=180°
所以∠2+∠4+∠6=540°-180°=360°
2、多边形外角和的研究。
有了三角形的推理基础，我觉得我可以跳过四、五……边形的推理，直接用字母表示数，进行N边形的推理：
N边形的内角和为（N-2）*180°。
N边形有N个内角和N个外角，一个内角和一个对应外角相加为180°，所以所有内外角和为N*180°。
内外角和为N个180°，和内角和为（N-2）个180°，相差了2个180°，就是外角的度数，所以N边形的外角和为360°。
三、结论和体会
（一）结论
1、N边形的内角和为（N-2）*180°。（N≧3，N为自然数）
2、N边形的外角和为360 °。（N≧3，N为自然数）
（二）体会
1、在这次研究中，我知道了很多的数学问题都是要通过推理证明的，测量所得的结果往往只能做为数学猜想的基础。
2、复杂的数学结论都是建立在简单的已有结论的基础上的，就像我的这次研究过程，上一个结论总是下一个结论得出的基础。
3、老师在修改我的论文时，总能找到一些表达不够严谨的地方，而最后得出的结论竟然两句话就能讲完，我从中感觉到了数学的严谨和简洁，体会到了数学的神奇和美。
4、我体会到了自学和自主研究的重要性，通过一段时间的研究，我解决了一个看似很难的问题，并且我觉得我永远都不会忘记这结论，比老师给我上课的效果还要好。
5、在整个过程中，我觉得我很成功，我很快乐。
四、研究后续
我在研究完这个问题的很长时间之后，发现一个问题：我在证明三角形内角和为180°这时候，用到了“两直线平等，同位角相等”（后来查资料得来的）的公理，那公理没有经过论证就可以用吗？数学中不是经过推理证明才能确定结论的成立吗？那为什么公理就不
用证明呢？我把心中的疑问带去问老师。
老师说我在这个问题上已经想的很远了，他推荐我去看一些有关于《几何原本》的资料，这本欧几里德的著作是我们现代数学的基础。
我在查阅了一些相关资料之后得知，我的这个疑问和历史上执续了2000多年的“第五公设公案”不谋而合。（第五平行公设：同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。这恰好与老师给我的公理相一致。）第五个公设非常啰嗦，没有前四个简洁好懂。并且在接下来的重要的29个推论中，第五公设只用来推理第29个推论，前面的28个推论都是建立在前4个公设的基础上。很多数学家想把这个公设从这个体系中去掉，但是几经努力而无果，无法从其他公设中推导出第五公设。
而另一些数学也从反对第五公设出发，建立了另一套几何学系统，被称为非欧几何（罗氏几何、黎曼几何）。虽然我不太明白里面的一些讲法，但是其中提出者之一数学天才高斯是老师和我们介绍过的，而且资料表明19世纪初非欧式几何的发现，是后来爱因斯坦发现广义相对论的基础。这一切都说明了非欧几何的伟大。
通过对这些资料的查阅，我更加体会到了数学的严谨和神奇，我一定要好好地学习数学这门好玩的学科。
文献：
1、平面几何五大公理（百度百科）https://www.360docs.net/doc/7210209709.html,/view/576671.htm
2、非欧几何的来源（百度空间）
https://www.360docs.net/doc/7210209709.html,/redrum/blog/item/52922538c8ff0220b9998f0b.html
3、几何原本（百度百科）http://baike.baidu.c om/view/44606.htm