【恒心】2015届湖北省黄冈中学高三上学期期末考试数学(理科)试题及参考答案【纯word版】

黄冈中学2015届高三（上）期末考试数学试题（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的． 1．直线2(1)40x m y +++=与直线320mx y +-=平行，则m =（ ）

A ．2

B ．3-

C ．2或3-

D ．2-或3-

2．设全集U =R ，{}

111,202x

A x x

B x ????

??=+<=-≥?? ???????

，则图中阴影部分所表示的集合( ）

A ．()2,0-

B ．(]2,1--

C ．(1,0]-

D ．(1,0)-

3．下列有关命题的说法正确的是（ ）

A ．命题“若21,1x x ==则”的否命题为：“若2

11x x =≠，则”； B ．“1x =-”是“2

560x x --=”的必要不充分条件； C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；

D ．若命题22000:,10:,10p x R x x p x R x x ?∈-+

4．设向量12,e e 是夹角为

23

π

的单位向量，若13a e =，12b e e =-，则向量b 在a 方向的投影为（ ） A ． 32 B ．12 C ． 1

2

- D ．1

5．已知等比数列{}n a 的首项12014a =，公比为1

2

q =，记123n n b a a a a =，则n b 达到最大值时，

n 的值为（ ）

A ．10

B ．11

C ．12

D ．不存在

6．在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(2，1，1)，(2，2，2)．给出编号为①，

( )

A ．①和②

B ．①和③

C ．③和②

D ．④和②

7．已知在ABC ?中，边a 、b 、c 的对角为A 、B 、C ，30o

A =，6b =，[60,120]o

o

C ∈，则此三角形中边a 的取值使得函数2

()lg(1)f x ax ax =-+的值域为R 的概率为（ ）

A ．

14 B ． 12 C ． 13 D ． 2

3

图① 图② 图③

图④

U

B

A

8．近期由于雨雪天气，路况不好，某人驾车遇到紧急情况而刹车，以速度()25

731v t t t

=-++（t 为时间单位s ）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m ）是（ ）

A ． 125ln5+

B ． 425ln5+

C ． 11

825ln

3

+ D ． 450ln 2+ 9．已知双曲线122

22=-b

y a x ()0,0>>b a 的左右焦点分别为21,F F ，若双曲线右支上存在一点P ,使

得2F 关于直线1PF 的对称点恰在y 轴上，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）

A ． 3321<

3

2>e C ． 3>e D ． 31<

10．已知函数()f x ，若,x y 满足(1)()0f x f y +->，则2221x y x +-+的取值范围（ ）

A ．(2,10)

B ．[2,10]

C ．

D ． ]+∞

二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分． 请将答案填在答题卡．．．对应题号．．．．

的位置上． 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分． （一）必考题（11—14题） 11．复平面内与复数21i

z i

=

+所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为_______． 12．设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则178a a a +++= ．

13．已知实数,,x y z 满足2332x y z -+=的最小值为 ．

14．定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，()1|2|f x x =--；②(3)3()f x f x =．设关于x 的函数()()

F x f x a =-的零点从小到大依次为123,,,,n

x x x x ．若1a =，则123x x x ++=

________ ；若(1,3)a ∈，则122n x x x ++

=________________．

（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑． 如果全选，则按第15题作答结果计分．）

15．（选修4-1：几何证明选讲）如右图，圆O 的直径AB =8，C 为圆周上一点，BC =4，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段AE 的长为 ．

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）直线l

的参数方程是2x y ?=??

?

?=+??

（其中t 为参数），圆c 的极坐标方程为2cos()4

π

ρθ=+

，过直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知向量(2cos ,2),(2cos(),0)(0)6

a x

b x π

ωωω==+>，函数()f x a b

=

的图象与直线2y =-π． （I ）求函数()f x 在[0,2]π上的单调递增区间； （II ）将函数()f x 的图象向右平移

12

π

个单位，得到函数()y g x =的图象．若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有6个零点，求b 的最小值．

18．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 满足：()

11,1n n a a n N a *

+>∈=，该数列的前三项分别

加上1、1、3后顺次成为等比数列{}n b 的前三项． （I ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （II ）设()*12

12,n n n

a a a T n N

b b b =

++???+∈若()2312n n n T c c Z n ++-<∈恒成立，求c 的最小值．

19．（本小题满分12分）私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：

（Ⅰ（Ⅱ）若从年龄在[15，25)，[25，35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，再记选中的4人中不．赞成．．

“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

20．（本小题满分12分） 如图1所示，直角梯形ABCD ，

//AD BC ，AD AB ⊥，24AB BC AD ===，E 、F 为线段AB 、CD 上的点，且//EF BC ，设AE x =，沿EF 将梯形ABCD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF （如图2所示）． （Ⅰ）若以B 、C 、D 、F 为顶点的三棱锥体积记为()f x ，求()f x 的最大值及取最大值时E 的位置； （Ⅱ）在（1）的条件下，试在线段EF 上的确定一点G 使得CG BD ⊥，并求直线GD 与平面BCD 所成的角θ的正弦值．

21．（本小题满分13分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q ）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设点P 是直线4-=x 与x 轴的交点，过点P 的直线l 与椭圆C 相交于N M ,两点，当线段MN 的中点落在正方形Q 内（包括边界）时，求直线l 斜率的取值范围．

22．（本小题满分14分）已知函数()(1)ln(1)f x a x x =++图像上的点22

(1,(1))e f e --处的切线与直线310x y ++=垂直( 2.71828)e =???． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）求函数2(1)y f x =-与3y x mx =-(1)m >的图象在区间1

[,]e e

上交点的个数；

（Ⅲ）证明：当0m n >>时，(1)(1)n m

m e n e e e +<+．

A

D

F

E B

C

B

F

D A E

期末考试参考答案

1-5：C D C A B 6-10：C D B B A 11．1i -； 12.255 ； 13. ； 14. 14，6(31)n -；

15．4 ； 16．6.解： 因为当R x ∈时，函数()x

a x f =始终满足()10<

数1

log log a

a y x x

==-,显然此时单调函数单调递增，则选B ． 8.解：令 ()257301v t t t =-+=+，则4t =。汽车刹车的距402573425ln51t dt t ??

-+=+ ?+?

??，故选B 。

12．解：令0x =得11a =，令1x =-得80123782256a a a a a a -+-+

-+==，所以所求为255.

14. 解：定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足：①当[1,3)x ∈时，()1|2|f x x =--；②(3)3()f x f x =，所以()f x 的构成规律是：对于任意 的整数k ，()f x 在每一个区间1[3,3)k k +，()3|23|k k f x x =--，

1[3,3)k k x +∈，且在此区间()f x 满足0()3k f x ≤≤；当1a =时，

()()F x f x a =-的零点从大到小依次满足：1243x x +=?，23443x x +=?， (212)

43n n n x x -+=?，所以12243(13)

6(31)13

n n n x x x ?-++

==--。

17.解：（I ）()2cos(2)6

f x x ω=+

+2分

由题意得T π=，所以1ω=，所以()2cos(2)6

f x x π

=++

所以单增区间满足：2[2,2]6

x k k π

πππ+

∈-，解得7[,]1212

x k k ππ

ππ∈-

-，……4分 又[0,2]x π∈，所以511[

,]1212x ππ∈和1723[,]1212

x ππ∈； ……………6分

（II ）由题意得()2cos2y g x x ==()0g x =得512x k ππ=+或712

x k π

π=+，……8分

每个周期恰有2个零点，要恰有6个零点，则b 不小于6个零点的横坐标即可， 即min 73121212

b ππ

π=+

=。…………………………………………………………………12分

18．（I ）21n a n =-， ………… 3分 2n n b =…………6分

（II ）错位相减法得23

32n n

n T +=- …………………………………………………………10分 要()2312n n n T c c Z n ++-<∈恒成立，则133n -<恒成立，又1

3n -单调递增， 得1

3[2,3)n

-∈，所以最小的整数3c =………………………………………………12分

19．

（Ⅱ）由表知年龄在[15，25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25，35) 内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为：

()11122

464442222

510510424666622

2=,1045104522575

C C C C C p C C C C ξ?==?+?=?+?=……………………7分 （Ⅲ）ξ的所有可能取值为：0,1,2,3……………6分 ()22

64225106154515

0=,104522575

C C p C C ξ==?=?=

()21112646442222

51051041562410234

1=,1045104522575C C C C C p C C C C ξ?==?+?=?+?= ()12442251046124

3=,104522575

C C p C C ξ==?=?=

所以ξ的分布列是：

…………………………………………………10分

所以ξ的数学期望65

E ξ=

． ……………………………………………………12分

20．解：（1）由题意知，平面AEFD ⊥平面EBCF ，AE EF ⊥，所以AE ⊥面BCF ，……2分 以B 、C 、D 、F 为顶点的三棱锥底面为BCF ?，高为AE ，

所以211228

()(4)4(4)(2)32333

f x x x x x x =

-=-=--+，………………………………4分 当2x =时，max 8

()3

f x =，此时对应的点E 为AB 的中点。……………………………6分

（Ⅱ）由（1）中知EA 、EF 、EB 两两互相垂直，以E 为原点， 以EA 为x 轴、EF 为y 轴、EB 为z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,0),(2,0,0),(2,4,0),(0,2,2)E B C D ，设(0,,0)o G y ，

由CG BD ⊥得(2,4,0)(2,2,2)0o GC BD y =--=，解得2o y =。…………………………8分 所以(0,0,2)GD =，设平面BCD 的法向量为(,,)n x y z =，由0

0n BD x y z y n

BC ?=-+

+=?????==???，

可取(1,0,1)n =，所以sin |cos ,||

2n GD θ=<>=即为所求。…………………………12分 21． 解: （Ⅰ）依题意，设椭圆C 的方程为22

221x y a b +=(a >b >0),焦距为2c ，

由题设条件知，2

8,a b c ==，所以22142b a ==故椭圆C 的方程为4

822y x +=1…………4分

（Ⅱ）椭圆C 的左准线方程为x=-4,所以点P 的坐标为（-4,0），

显然直线l 的斜率k 存在，所以直线的方程为y=k(x+4)． 如图，设点M ，N 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),线段MN 的 中点为G(x 0,y 0)，

由???

??=++=148)4(2

2y x x k y

得(1+2k 2)x 2+16k 2x+32k 2-8=0 ① …………………6分 由2)2

-4(1+2k 2)(32k 2-8)>0 解得22-

2

② …………………7分 因为x 1,x 2是方程①的两根，所以x 1+x 2=-2

2

2116k k +，

于是x 0=221x x +=2

2

218k k +-,y 0=k(x 0+4)=2214k k + ∵x 0=2

2

218k k +-≤0，所以点G 不可能在y 轴的右边． …………………9分

又直线F 1B 2,F 1B 1方程分别为y=x+2,y=-x-2

所以点G 在正方形Q 内（包括边界）的充要条件为

???--≥+≤220000x y x y 即???????-+≥+++-≤+2

218214221821422

2

22

2

k k k

k k k k k ………………………………11分 解得213--≤k≤213-，此时②也成立．故直线l 斜率的取值范围是[213--,2

1

3-]．……13分

22.解析:（1）1

'()ln(1)ln(1)[ln(1)1]1

f x a x a x a x x =+++?

=+++，-----1分 由于()f x 在点22

(1,(1))e f e --处的切线与直线310x y ++=垂直，

所以22'(1)(ln 1)3,1f e a e a -=+=∴=，()(1)ln(1)f x x x =++，'()ln(1)1f x x =++.……2分

令1'()01;f x x e =?=

-1

'()01;f x x e

>?>-1'()01 1.f x x e

故()f x 的单调递减区间为1[1,]e -，单调递增区间为1

(1,)e

-+∞…………4分

（Ⅱ）函数(1)y f x =-与3y mx x =-的图象在区间1

[,]e e

上有两个不同的交点

?方程32ln x x x mx =-在区间1

[,]e e 上有两个不同的实数解

?方程22ln m x x =-在区间1

[,]e e

上有两个不同的实数解.

?函数y m =与2()2ln g x x x =-图象在区间1

[,]e e

上有两个不同的

交点.- ………………………………………………………………6分

22(1)(1)'()20(0)x x g x x x x x

+-=-

==>，1x =；当(0,1)x ∈时，'()0,g x <当(1,)x ∈+∞时，'()0,g x >故()g x 在1

[,1]e

上是减函数，

在[1,]e 是增函数；在区间1[,]e e

上min ()(1)1g x g ==，2

211()23()2g g e e e e =+<<=-，

2

max ()()2g x g e e ==-，其大致图象如右图： …………………………8分 由图象可知，

当m 的取值范围是2

1(1,2]

e +时，函数(1)y

f x =-与3

y mx x =-的图象在区间1[,]e e 上有两个不同的交点； 当2

12m e >+

时，函数(1)y f x =-与3

y mx x =-的图象在区间1[,]e e

上有1个交点 (9)

分

（Ⅲ）令,m n

u e v e ==，0,0m n u v >>∴>>，

要证(1)

(1)n

m

m e n e e e +>+，只需证ln(1)ln(1)v u u v +<+，这等价于

ln(1)ln(1)

u v u v

++<

， 令ln(1)()(0)x h x x x

+=>，22

ln(1)

(1)ln(1)1'()(1)x

x x x x x h x x x x -+-+++==+ 令()(1)ln(1)(0)k x x x x x =-++>，'()1ln(1)1ln(1)0(0,11)k x x x x x =-+-=-+<>+>’，故()k x 在(0,)+∞单调递减，

所以()(0)0k x k <=，故'()h x 0<，故ln(1)

()(0)x h x x x

+=

>是减函数， 0,()()u v h u h v >>∴<，即ln(1)ln(1)

u v u v

++<

， 就是(1)(1)n

m

m e n e e e +<+成立. …………………………………………………14分