1998年第三十九届IMO试题(不含答案)

第三十九届（1998年）

中国台湾台北（Taipei，Taiwan）

1. 在凸四边形ABCD中，对角线AC和BD互相垂直，对边AB和DC不平行。假设点P为AB和DC的垂直平分线的交点，它在四边形ABCD内。证明当且仅当三角形ABP和CDP面积相等时ABCD是圆内接四边形。（卢森堡）

2. 在一次竞赛中，有a名选手和b名裁判，b是一个不小于3的奇数。每个裁判可对每位选手评级为“及格”或“不及格”。假设k是这样定义的一个数：对于任意

两个裁判，他们的评级对至多k个选手是相同的。求证：

1

2

k b

a b

-

≥。（印度）

3. 对于任一正整数n，设d(n)为n的正因数（包括1和n本身）。判断出满足对

于一些n有

2

()

()

d n

k

d n

=的所有正整数k。（白俄罗斯）

4. 找出所有满足条件的正整数对(a,b)，使得ab2+b+7能整除a2b+a+b。（英国）

5. 设I为三角形ABC的内心。设ABC的内切圆分别切边BC、CA和AB于K、L和M。过点B的平行于MK的直线分别交直线LM和LK于R和S。证明角RIS 是锐角。（乌克兰）

6. 考虑所有的定义域和值域都为正整数集N的函数f，它满足对于所有N内的s 和t都满足f(t2f(s))=s(f(t))2。找到f(1998)的最小的可能值。（保加利亚）