国泰君安量化&衍生品笔试

1、 假设及是两个定义在)(1t N )(2t N ),,(P F Ω上的Possion Process ，intensity 分别为1λ及

2λ，relative to the same filtration ，。是否可以说，及不会同时发生跳跃，almost surely ？证明之。

)(t F 0≥t )(1t N )(2t N

2、 假设两个随机过程，，其中)(/x t x x t t dW dt x dx σμ+=)(/y t y y t t dW dt y dy σμ+=x μ、

x σ、y μ及y σ是常数，及定义在)(x t W )(y t W ),,(P F Ω上的Wiener Process ，，dt dW dW y t x t

ρ=)()(ρ为常数。ρ对有何影响？给出直观解释，并证明之。 )/(x y E

3、 随机过程t t t dW dt X dX σμ+=/，R x X ∈=0，μ及σ是常数，为一Wiener

Process 。

t W （1） 证明∞<∫+∞

?][0dt X e E t t X ρ，其中ρ>0。

（2） 求解Optimal Stopping Problem ：，其中，为一常数。

])([),(0)(,0dt a X e E

Sup x s t t s x s ∫?=Φ+?≥τ

ρτ0≥a

4、 股票价格服从随机过程t t t t t dW dt S dS σμ+=/，

为一定义在t W ),,(P F Ω上的Wiener Process ，t μ及t σ为。假设无风险利率为0，市场无摩擦。某一期权交易者买进以该股票为标的的看涨期权，其价值为。假设，市场上该期权是按照固定的，而不是实际的Adapted F t ?t V ?σt σ，进行定价交易。如果交易者已经通过连续交易回避了风险因素，即有0=??t

t S V ，请给出对冲交易后实际的动态过程。 t V