09年全国卷、重庆、四川、山西、陕西、上海、湖南、湖北高考文综解析几何题集

1．（本小题共14分）

已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>x =。

（Ⅰ）求双曲线C 的方程；

（Ⅱ）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆

225x y +=上，求m 的值.

2.（本小题满分13分）

如图，过抛物线y 2

＝2PX(P>0)的焦点F 的直线与抛物线相交于M 、N 两点，自M 、N 向准线L 作垂线，垂足分别为M 1、N 1

(Ⅰ)求证：FM 1⊥FN 1:

(Ⅱ)记△FMM 1、、△FM 1N 1、△FN N 1的面积分别为S

1、、S

2、，S 3

，试

判断S 2

2＝4S 1S 3是否成立，并证明你的结论。

3．（本小题满分13分）

已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点 为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q ）. （Ⅰ）求椭圆C 的方程;

（Ⅱ）设点P 是椭圆C 的左准线与x 轴的交点，过点P 的直线l 与椭圆C 相交于M,N 两点，当线段MN 的中点落在正方形Q 内（包括边界）时，求直线l 的斜率的取值范围。

4．（本小题满分14分）

如图，已知圆:G 2

2

2

(2)x y r -+=是椭圆2

2116

x y +=的内接△ABC 的内切圆, 其中A 为椭圆的左顶点.

（1）求圆G 的半径r ;

（2）过点(0,1)M 作圆G 的两条切线交椭圆于E F ，两点，

证明：直线EF 与圆G 相切．

5.（本小题满分12分） 如图，已知抛物线2

:E y x =与圆222

:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四

个点。

（Ⅰ）求r 的取值范围

（Ⅱ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 的坐标。 6．（本小题满分12分）

已知双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b -=>>，离心率e =

（I ） 求双曲线C 的方程；

(II)如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、

二象限，若1

,[,2]

3

AP PB λλ=∈ ，求AOB ?面积的取

值范围。

7.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.

已知双曲线C 的中心是原点，右焦点为F

)

，一条渐近线m:0=,设过点

A (-的直线l 的方向向量(1,)e k =v

。

（1） 求双曲线C 的方程；

（2） 若过原点的直线//a l ，且a 与l K 的值；

（3） 证明：当2

k >

时，在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l .

8. （本小题满分12分）

已知椭圆2221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、，离心率2

e =，右准

线方程为2x =。

（I ）求椭圆的标准方程；

（II ）过点1F 的直线l 与该椭圆交于M N 、两点，且22F M F N +=

l 的方程。 9．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

已知以原点O 为中心的双曲线的一条准线方程为x =，离心率e = （Ⅰ）求该双曲线的方程；

（Ⅱ）如题（20）图，点A 的坐标为(,0)，B 是圆

22(1x y +=上的点，点M 在双曲线右支上，求MA MB +的

最小值，并求此时M 点的坐标；

10．（本小题满分12分）

双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1

l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、

、成等差数列，且BF 与FA

同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

11.（本小题满分12分）

已知椭圆22

132

x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于B ，D 两点，过2F 的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．

（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：22

00132

x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．

答 案

1.【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

（Ⅰ）由题意，得2a c

c a

?=????=??

，解得1,a c == ∴2

2

2

2b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2

2

12

y x -=. （Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，

由2

212

0y x x y m ?-=???++=?

得22

220x mx m ---=（判别式0?>）, ∴12

000,22

x x x m y x m m +=

==+=, ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，

∴()2

2

25m m +=，∴1m =±.

2.解析：本小题主要考查抛物线的概念，抛物线的几何性质等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力（满分13分） （1） 证法1：由抛物线的定义得

11,,MF MM NF NN ==

1111,MFM MM F NFN NN F ∴∠=∠∠=∠ 2分

如图，设准线l 与x 的交点为1F

111////MM NN FF Q

111111,F FM MM F F FN NN F ∴∠=∠∠=∠

而0

111111180F FM MFM F FN N FN ∠+∠+∠+∠= 即0

111122180F FM F FN ∠+∠=

0111190F FM F FN ∴∠+∠=

故11FM FN ⊥

证法2：依题意，焦点为(

,0),2p F 准线l 的方程为2

p x =- 设点M,N 的坐标分别为1122,),,),M x y N x y （（直线MN 的方程为2

p

x my =+

，则有 11121112(,),(,),(,),(,)22

p p

M y N y FM p y FN p y -

-=-=- 由222p x my y px ?=+???=?

得2220y mpy p --= 于是，122y y mp +=，212y y p =-

22211120FM FN p y y p p ∴?=+=-=

，故11FM FN ⊥

（Ⅱ）2

2134S S S =成立，证明如下：

证法1：设1122(,),(,)M x y N x y ，则由抛物线的定义得

1112||||,||||22

p p

MM MF x NN NF x ==+

==+，于是 11111111||||()||222p

S MM F M x y =??=+

21211211

||||||22S M N FF p y y =??=-

31112211||||()||222

p

S NN F N x y =??=+

2

22131211221114(||)4()||()||22222p p S S S p y y x y x y =?-=?+?+

222

12121212121[()4][()]||424

p p p y y y y x x x x y y ?+-=+++

将11222,2

p x my p x my ?=+????=+??与122

12

2y y mp y y p +=??=-?代入上式化简可得 22222222()()p m p p p m p p +=+，此式恒成立。

故22134S S S =成立。

证法2：如图，设直线MN M 的倾角为α，12||,||MF r NF r == 则由抛物线的定义得1113||||,||||MM MF r NN NF r ====

11111////,

,MM NN FF FMM FNN απα

∠=∠=-

于是22211322111

sin ,sin()sin 222

S r S r r απαα=

=-= 在1FMM ?和1FNN ?中，由余弦定理可得

2222222211111222||22cos 2(1cos ),||22cos 2(1cos )FM r r r FN r r r αααα=-=-=+=+

由（I ）的结论，得2111

||||2

S FM FN =

? 2

222222221112121311||||4(1cos )(1cos )sin 444

S FM FN r r r r S S ααα∴=?=???-+==

即2

2134S S S =，得证。

3.解: （Ⅰ）依题意，设椭圆C 的方程为22

221(0),x y a b a b

+=>>焦距为2c ，

由题设条件知，2

8,,a b c == 所以2

2

1 4.2

b a =

= 故椭圆C 的方程为22

184

x y += . （Ⅱ）椭圆C 的左准线方程为4,x =-所以点P 的坐标(4,0)-，

显然直线l 的斜率k 存在，所以直线l 的方程为(4)y k x =+。

如图，设点M ，N 的坐标分别为1122(,),(,),x y x y 线段MN 的中点为G 00(,)x y ，

由22(4),

18

4y k x x y =+???+=??得2222

(12)163280k x k x k +++-=. ……①

由2222(16)4(12)(328)0k k k ?=-+->

解得22

k -

<<

. ……② 因为12,x x 是方程①的两根，所以2

122

1612k x x k

+=-+，于是 1202x x x +==2

2

812k k

-+，0024(4)12k y k x k =+=+ . 因为2

02

8012k x k =-

≤+，所以点G 不可能在y 轴的右边， 又直线12F B ,11F B 方程分别为2,2,y x y x =+=-- 所以点G 在正方形Q 内（包括边界）的充要条件为

00002,2.y x y x ≤+??≥-? 即222

2

22

482,1212482,1212k k k k k k k k ?≤-+??++??≥-?++? 亦即222210,2210.k k k k ?+-≤??--≤??

解得11

22

k -

≤≤

，此时②也成立. 故直线l

斜率的取值范围是11

[,].22

-

4．解: （1）设B 02,r y +（），过圆心G 作GD AB ⊥于D ,BC 交长轴于H 由

GD HB AD AH =

06y r

=+, 即

0y =

而点B 02,r y +（）在椭圆上,222

0(2)124(2)(6)

1161616

r r r r r y +---+=-==- (2) 由(1)、 (2)式得2

158120r r +-=,解得23r =

或6

5

r =-（舍去） (2) 设过点M(0,1)与圆22

4

(2)9

x y -+=

相切的直线方程为:1y kx -= (3)

则

23=

即2

323650k k ++= (4)

解得12991616

k k --=

=

将(3)代入2

2116

x y +=得22(161)320k x kx ++=,则异于零的解为2

32161k x k =-+ 设111(,1)F x k x +,222(,1)E x k x +，则12

1222

123232,161161

k k x x k k =-

=-++ 则直线FE 的斜率为：221112*********

EF k x k x k k k x x k k -+=

==--

于是直线FE 的方程为:211221132323

1()1614161

k k y x k k +-=+++

即37

43

y x =

- 则圆心(2,0)到直线FE

的距离23d =

= 故结论成立.

5.解：（Ⅰ）将抛物线2:E y x =代入圆222:(4)(0)M x y r r -+=>的方程，消去2

y ，整

理得2

2

7160x x r -+-=．．．．．．．．．．．．．（1）

抛物线2

:E y x =与圆2

2

2

:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根

∴?????>-=?>=+>--016070)16(4492

21212r x x x x r 即?????<<->

-<4

42

5

25r r r 或。解这个方程组得425<

4)r ∈. （II ）

设四个交点的坐标分别为1(A x

、1(,B x

、2(,C x

、2(D x 。

则由（I ）根据韦达定理有212127,16x x x x r +==-

，4)r ∈

则21211

2||||2

S x x x x =

??-=-

222121212[()4]((715)S x x x x x x r ∴=+-++=+-

t =，则22(72)(72)S t t =+- 下面求2

S 的最大值。 方法1：由三次均值有：

221

(72)(72)(72)(72)(144)2

S t t t t t =+-=++-

33

17272144128(

)()2323

t t t ++++-≤=?

当且仅当72144t t +=-，即76t =

时取最大值。经检验此时(4)2

r ∈满足题意。

法2：设四个交点的坐标分别为1(A x 、1(,B x 、2(,C x 、2(D x 则直线AC 、BD 的方程分别为

)(),(11

212111

21

21x x x x x x x y x x x x x x x y --+=

+----=

-

解得点P 的坐标为)0,(21x x 。 设21x x t =

，由216r t -=及（Ⅰ）得)4

1

,0(∈t

由于四边形ABCD 为等腰梯形，因而其面积||)22(2

1

2121x x x x S -+=

则]4))[(2(2122122112x x x x x x x x S -+++=将721=+x x ，t x x =21代入上

式，并令2

)(S t f =，等

)2

7

0(34398288)27()27()(232<<++--=-+=t t t t t t t f ，

∴)76)(72(2985624)`(2

-+-=+--=t t t t t f ， 令0)`(=t f 得67=

t ，或2

7

-=t （舍去） 当670<

t f ；当67=t 时0)`(=t f ；当2

7

67<

故当且仅当6

7

=

t 时，)(t f 有最大值，即四边形ABCD 的面积最大，故所求的点P 的坐标为)0,6

7

(。 6.解析：

解法1（Ⅰ）由题意知，双曲线C 的顶点（0，a

）到渐近线0ax by -=，

5

=

所以ab c =

由2222

1ab c a c

b a

c c a b ?=

???=???==????=??=+???

得 所以曲线C 的方程是2

y 4

21x -= （Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C 的两条渐近线方程为2y x =±

设(,2),,2),0,0A m m B

n n m n ->>（ 由,),AP PB P λλλλλ

=uu u r uu r m-n 2(m+n)

得点的坐标为（1+1+ 将P 点的坐标代入222

(1)1,44y x λλ+-=化简得mn=

因为2,AOB θ∠=14

tan(

)2,tan ,sin 2225

π

θθθ-===

又,OA OB ==

所以111

sin 22()122AOB S OA OB mn θλλ?=

??==++ 记111

()()1,[,2]23S λλλλ=++∈

则211

()(1)2S λλ

'=-

由()01S λλ'==得 又S （1）=2，189(),(2)334

S S =

= 当1λ=时，AOB ?面积取到最小值2，当当13λ=时，AOB ?面积取到最大值8

3

所以AOB ?面积范围是8

[2,3

]

解答2（Ⅰ）由题意知，双曲线C 的顶点（0，a

）到渐近线05

ax by -=的距离为

，

ab c =

=

由2222

12ab c a c

b a

c c a b ?=

???=???==????=??=+???

得 所以曲线C 的方程是2

y 4

21x -=. （Ⅱ）设直线AB 的方程为,y kx m =+ 由题意知2,0k m <>

由2,),222y kx m m m

A y x

k k =+??

=--?得点的坐标为（

由2,),222y kx m m m

B y x k k =+?-?=-++?得点的坐标为（

121,(),()122122m m AP PB P k k k k

λλλλλ=-++-++-+得点的坐标为（uu u r uu r

将P 点的坐标代入2

1x -=2y 4得2224(1)4m k λλ

+=- 设Q 为直线AB 与y 轴的交点，则Q 点的坐标为（0，m ）

AOB S ?=AOQ BOQ S S ??+

22

111

()222114()2222411()12A B A B OQ x OQ x m x x m m m m k k k λλ=

+=-=+=-+-=++g g g

以下同解答1

7.【解析】（1）设双曲线C 的方程为222(0)x y λλ-=>

32λ

λ∴+=，解额2λ=双曲线C 的方程为

2

212

x y -= （2

）直线:0l kx y -+=，直线:0a kx y -=

=

2

k =±

（3）【证法一】设过原点且平行于l 的直线:0b kx y -=

则直线l 与b

的距离d =

当2

k >

时，d > 又双曲线C 的渐近线为

x 0=

∴ 双曲线C 的右支在直线b 的右下方，

∴ 双曲线C 右支上的任意点到直线l

故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l

【证法二】假设双曲线C 右支上存在点00(,)Q x y 到直线l

则22

00(1)22

(2)x y ?=-=? 由（1

）得00y kx =+

设t =

当2

k >

时，0t =；

2

t=+=>

将

00

y kx t

=+代入（2）得222

00

(12)42(1)0

k x ktx t

---+=

2

k t

>>

，

22

120,40,2(1)0

k kt t

∴-<-<-+<

∴方程(*)不存在正根，即假设不成立，

故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l

8.【解析】（I

）由已知得

2

2

?

=

??

?

?=

??

c

a

a

c

，解得1

==

a c

∴

1

==

b

∴所求椭圆的方程为

2

21

2

+=

x

y…………………………………4分

（II）由（I）得

1

(1,0)

-

F、

2

(1,0)

F

①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为1

=-

x，由2

2

1

1

2

=-

?

?

?

+=

??

x

x

y

得

2

=±

y

设(1,

2

-

M

、(1,

2

--

N，

∴

22

((2,)(4,0)4

22

+=-+--=-=

F M F N，这与已知相矛盾。

②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为(1)

=+

y k x，

设

11

(,)

M x y、

22

(,)

N x y，

联立2

2

(1)

1

2

=+

?

?

?

+=

??

y k x

x

y

，消元得2222

(12)4220

+++-=

k x k x k

∴ 22121222

422

,1212--+==++k k x x x x k k ，

∴ 12122

2(2)12+=++=

+k

y y k x x k

， 又∵211222(1,),(1,)=-=-

F M x y F N x y ∴ 221212(2,)+=+-+

F M F N x x y y

∴

22+== F M F N 化简得42

4023170--=k k 解得2

2

17

140

或(舍去)==-k k ∴ 1=±k

∴ 所求直线l 的方程为11或=+=--y x y x …………………………………12分 9.解：（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线的方程为

22221(0,0)x y a b a b -=>>

，设c

5x =

得25

a c =

，由e =

得c a =

解得1,a c ==从而2b =，∴该双曲线的方程为22

14

y x -

=； （Ⅱ）设点D

的坐标为，则点A 、D 为双曲线的焦点，||||22MA MD a -== 所以||||2||||2||MA MB MB MD BD +=+++≥ ， B

是圆22(1x y +=上的点，其圆心

为C ，半径为1，

故||||101B D C D -+≥ 从

而

||||2|101

M A M B B +++≥ 当,M B 在线段CD 上时取等号，此时||||MA MB +

1

直线CD

的方程为y x =-M 在双曲线右支上，故0x >

由方程组22

44

x y y x ?-=??=-+??

解得33x y ==

所以M 点的坐标为(,33

；

10、解：

（Ⅰ）设双曲线方程为1b

y a x 2222=-(a>0,b>0)，右焦点为F(c,0)(c>0)，则c 2=a 2+b 2

不妨设l 1：bx-ay =0，l 2：bx+ay =0

则

b b

a |

0a c b ||FA |2

2

=+?-?=

，

a AF OF ||22=-=

因为||2+||2=||2

，且||=2||-||，

所以||2+|OA |2=(2||-|OA |)2

，

于是得tan ∠3

4=

。 又BF 与FA 同向，故∠AOF=2

1

∠AOB ， 所以 3

4AOF

tan 1AOF tan 22=

∠-∠ 解得

tan ∠AOF=

2

1

，或tan ∠AOF=-2（舍去）。 因此

b 5b a

c ,b 2a ,2

1

a b 22=+=== 所以双曲线的离心率e=

a

c =25 （Ⅱ）由a=2b 知，双曲线的方程可化为

x 2-4y 2=4b 2

① 由l 1的斜率为

2

1

，c=5b 知，直线AB 的方程为 y=-2(x-5b) ② 将②代入①并化简，得 15x 2

-325bx+84b 2

=0

设AB 与双曲线的两交点的坐标分别为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，则

x 1+x 2=15

b

532，x 1·x 2=15b 842 ③

AB 被双曲线所截得的线段长

l =]x x 4)x x [(5|x x |)2(121221212

-+=

-?-+ ④

将③代入④，并化简得l =

3

b

4，而由已知l =4，故b=3，a=6 所以双曲线的方程为

19

y 36x 2

2=-

11．证明

（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，

由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，

故22001x y +=，

所以，2222

00001132222

x y x y ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程

22132

x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则

2122632k x x k +=-+，2122

3632

k x x k -=+，

21221)

32k BD x x k +=-==+ ；

因为AC 与BC 相交于点p ，且AC 的斜率为1

k

-

．

所以，222

2111)12332k k AC k k

?+?

+??==+?+． 四边形ABCD 的面积

222222222124(1)(1)962(32)(23)25

(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++??+++????

≥．

当2

1k =时，上式取等号．

（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =． 综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625

．