§5.6__几何证明举例(4)

5.6几何证明举例（4 ）——角平分线的性质定理

备课人——张根江

课程标准：了解角平分线及其性质。

学习目标：

1、证明角平分线的性质定理及其逆定理，并会运用它证明有关的命题。

2、掌握基本的证明方法，会通过分析的方法探索证明的思路。

学习重点难点：

角的平分线的性质定理及其逆定理。

我的目标以及突破重难点的设想：

一、教材助读（预习）

思考：角平分线的性质定理及其逆定理是什么？如何证明？

二、探究学习

探究一：角的平分线的性质定理

在前面，我们利用实验的方法得出角的平分线的性质：“角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等”，怎样用推理的方法证明它的真实性？

归纳总结：。探究二：角的平分线的性质定理的逆定理（合作交流）

（1）说出这个命题的逆命题？

（2）这个逆命题是真命题吗？怎样证明它的正确性？

（3）求证：角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

已知：

求证：

证明：

3 3

三、应用新知

例：我们通过画图得知三角形三条平分线交于一点，如何证明这个结论？

已知：如图，AM ，BN ，CP 是△ABC 的三条角平分线。

求证：AM ，BN ，CP 交于一点。

四、课堂小结：

五、巩固训练：

1、课本184页练习1,2题

2、配套 67页1—5题

六、布置作业：（补充题）

我的反思：

板书设计：

几何证明题集-R5

因此n []122()n E K K K K =-++++ ，故有：2n K =。 2.50 证明有七条棱的多面体不存在。证明：首先可证，每一面只能是三角形。若有一面是四边形或更多的多边形，则剩下至多三条棱，这剩下的至多三条棱无法与四顶点或更多的顶点相连而得到一多面体。因此可得，假若存在有七条棱的多面体V ，设V 的面数为F ，棱数为E ，则23E F =。 ∵7E =，∴14 3 F =（非整数），与假设没有矛盾（由假设知F 必为正整数）。故不存在有七条棱的多面体。 2.51 证明正四面体一双对棱中点的连线垂直于这两棱。题设：在正四面体ABCD 中，E F 、是AB CD 、中点。题断：EF AB ⊥，EF CD ⊥。证明：连AF BF DE CE 、、、。 ABCD 是正四面体， ∴FA FB =。又EA EB = ，∴FE AB ⊥。同理得：EF CD ⊥。 2.52 正四面体以一顶点所引高的中点到其他三顶点连线，证明它们是一个三直三面角的三棱。题设：在正四面体ABCD 中，'AA ⊥平面BCD 于且'A ，O 为'AA 的中点。题断：O BCD -是三直三面角。证明：设正四面体ABCD 的棱长为a 。我们不难知道：'A 为正△BCD 的中心，因此 'BA ''CA DA == = 。 'AA ∴=。 ''2AA OA = =，题图 2-51 题图 2-52

OB ∴。同样得OC= ，OD=。 222222 )) OB OC a BC ∴+=+==。因而知：BOC ∠=90?。同理可证：COD ∠=90?，DOB ∠=90?。故O BCD -是三直三面角。 2.53 证明正四面体一双对棱互相垂直。题设：AB CD 、是正四面体ABCD的一双对棱。题断：AB CD ⊥。证明：取AB的中点E，连CE DE 、。 ∵CE AB ⊥，DE AB ⊥， ∴AB⊥平面DCE CD ?。故AB⊥CD。 2.54 求作一平面使截正四面体的截面成矩形。题设：正四面体ABCD。求作：一平面π截此四面体，使截面PQRS 为矩形。分析：由已解决的2.28题知，首先π必平行于一双对棱（这是由于矩形?平行四边形）。在这里，不妨假设 π已作成，π是平行于一双对棱AC、BD的。 P Q R S 、、、在AB、BC、CD、DA上，我们不难知道PQ∥AC，QR∥BD。由上题得：AC BD ⊥。 ∴PQ⊥QR，因而PQRS为矩形。由此可见：平行于一双对棱的任一平面合条件。因而本题有无限多解。作图：从略。 2.55 求作一平面使截正四面体的截面成正方形。题设：正四面体ABCD。题作：平面α截此体，使得截面PQRS为正方形。题图 2-53 题图2-54

几何证明举例第6节第5课时

5.6.5几何证明举例 ---HL定理及已知一直角边和斜边作直角三角形的尺规作图学习目标 1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力； 2、能够证明直角三角形全等的“HL”判定定理及解决实际问题。教学重点应用直角三角形全等的“HL”判定定理解决问题。教学难点证明“HL”定理的思路的探究和分析。教学过程（一）初步探究：HL的证明有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？写出你的证明过程？（二）HL应用：用三角尺可以作角平线如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM=ON，再过点M作OA的垂线，过点N作OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线，你能说出它的理由吗？（三）再次探究：三角形全等条件的探索如图，已知∠ACB=BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件？把它们分别写出来。

（四）尺规作图：已知线段l，m（l＜ｍ），求作：Ｒｔ△ＡＢＣ，使直角边ＡＣ等于ｌ，斜边ＡＢ等于ｍ。（五）课堂练习 1、判断下列命题的真假，并说明理由。（1）两个锐角对应相等的两个直角三角形全等。（2）斜边及一锐角对应相等的两个直角三角形全等。（3）两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（4）一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等。 2.如右图，在Rt△ABC和Rt△DCB中，AB=DC，∠A=∠D=90°，AC与BD交于点O，则有△__________≌△__________，其判定依据是__________，还有△__________≌△__________，其判定依据是__________. （六）当堂检测 1、已知：如图（1），AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△__________≌△__________（HL）. （1）（2）（3） 2、已知：如图（2），BE，CF为△ABC的高，且BE=CF，BE，CF交于点H，若BC=10，FC=8，则EC=__________. 3、已知：如图（3），AB=CD，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且DE=BF，∠D=60°，则∠A=（_______）反思

青岛版初中数学八年级上册5.6几何证明举例

§5.6 几何证明举例（2）教学目标： 1. 学生能够证明等腰三角形的性质定理和判定定理。 2. 会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的证明和计算。 3. 应用等腰三角形的性质和判定进一步认识等边三角形。 4. 培养学生分析问题和逻辑推理的能力。教学重、难点：重点：会证明等腰三角形的性质定理和判定定理。难点：等腰三角形的性质定理和判定定理的应用。教学准备：电子白板、直尺、圆规、直角三角板教学过程一、情境导入、复习回顾 1、等腰三角形的性质是什么，这个命题的逆命题是什么？二、交流展示(鼓励学生自己写出证明的过程，注意几何证明的三步) （1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？怎样证明。证明：等腰三角形的两个底角相等。已知：如图，在△ABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C 法1 证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D ∴∠BAD = ∠CAD (角平分线定义) 在△BAD与△CAD中 ∵AB = AC (已知) ∠BAD = ∠CAD (已证) AD = AD (公共边) ∴△BAD≌△CAD(SAS) ∴∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等) 法2 证明：作BC边上的中线 AD ∴ BD = CD (中线定义) 在△BAD与△CAD中 ∵AB = AC (已知) BD = CD （已证） AD = AD (公共边) ∴△BAD≌△CAD( SSS )

∴∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等) （2）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是真命题吗，怎样证明它的正确性？证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形。已知：如图，在如图，在△ABC中，∠B=∠C 求证：AB=AC 证明：作AD⊥BC,垂足为D 则∠ADB=∠ADC=90°(垂直的定义)，在△ABD和△ACD中， ∵∠B=∠C (已知)， ∠ADB=∠ADC=90°(已证) AD=AD (公共边) ∴△ABD≌△ACD (AAS) ∴AB=AC(全等三角形的对应边相等) (3) 利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明： (鼓励学生当老师讲给其他同学听) ①等边三角形的每个内角都是60° ②三个角都相等的三角形是等边三角形。三、精讲点拨： 1、等腰三角形的性质：性质1：性质2： 2、数学语言表达：性质1：性质2：在△ABC ∵ AB=AC ∵ AB=AC ∴∠B= ∠C ① AD平分∠BAC （等边对等角） ②AD⊥BC ③ BD=DC ( ①,② ,③均可作为一个条件，推出其他两项 ) （三线合一）四、典例精析例1 已知，D是△ABC内的一点，且DE=DC，BD平分∠ABC,CD平分∠ACB 求证：AB=AC

几何证明举例教学设计

几何证明举例——等腰三角形教学设计教学目标 1、初步掌握等腰三角形的性质及简单应用。 2、理解等腰三角形和等边三角形的性质定理之间的关系。 3、培养分类讨论、方程的思想和添加辅助线解决问题的能力。教学重点和难点重点是等腰三角形性质的应用；难点是等腰三角形的“三线合一”性质的灵活运用。教学过程设计一、探索并证明等腰三角形的三条性质复习引入新课：动手操作你还记得八(上)用折叠的方法探索命题“等腰三角形的两个底角相等”的过程吗？（学生事先准备好纸剪的等腰三角形操作）。展示等腰三角形折叠动画。二、新课探索新课探索一：等腰三角形的性质定理和判定定理 1、回答下面的问题，并与同学交流： (1)“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗?怎样证明? (2)说出命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题； (3)这个逆命题是真命题吗?怎样证明它的正确性? 2、知识点1：等腰三角形的性质定理1 等腰三角形的两个底角相等。(等边对等角) （1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C 温馨提示一：回顾八(上)用折叠的方法探索命题“等腰三角形的两个底角相等”的过程。由当时的操作，如何添加辅助线，然后给出证明。注意作辅助线的方法可有多种，如作底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线，相应地，在判定两个三角形全等时的依据也不同。例4如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。 3、方法点拨（3）证明一：取BC的中点D，连接AD 在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD（SSS） ∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)

高中竞赛数学讲义第56讲解析法证几何题

第56讲解析法证几何题解析法是利用代数方法解决几何问题的一种常用方法．其一般的顺序是：建立坐标系，设出各点坐标及各线的方程，然后根据求解或求证要求进行代数推算．它的优点是具有一般性与程序性，几何所有的平面几何问题都可以用解析法获解，但对于有些题目演算太繁．此外，如果建立坐标系或设点坐标时处理不当，也可能增加计算量．建系设点坐标的一般原则是使各点坐标出现尽量多的0，但也不可死搬教条，对于一些“地位平等”的点、线，建系设点坐标时，要保持其原有的“对称性”． A 类例题例1．如图，以直角三角形ABC 的斜边A B 及直角边B C 为边向三角形两侧作正方形ABDE 、CBFG ．求证：DC ⊥FA ．分析只要证k C D ·k AF ＝－1，故只要求点D 的坐标．证明以C 为原点，CB 为x 轴正方向建立直角坐标系．设A (0，a )，B (b ，0)，D (x ，y )．则直线AB 的方程为ax ＋by －ab ＝0．故直线BD 的方程为bx －ay －(b ·b －a ·0)＝0，即bx －ay －b 2＝0． ED 方程设为ax ＋by ＋C ＝0．由AB 、ED 距离等于|AB |，得 |C ＋ab | a 2＋b 2＝a 2＋b 2，解得C ＝±(a 2＋b 2)－ab ．如图，应舍去负号．所以直线ED 方程为ax ＋by ＋a 2＋b 2－ab ＝0．解得x ＝b －a ，y ＝－b ．(只要作DH ⊥x 轴，由△DBH ≌△BAC 就可得到这个结果)．即D (b －a ，－b )．因为k AF ＝b －a b ，k CD ＝－b b －a ，而k AF ·k CD ＝－1．所以DC ⊥FA ．例2．自ΔABC 的顶点A 引BC 的垂线，垂足为D ，在AD 上任取一点H ，直线BH 交AC 于E ，CH 交AB 于F ．试证：AD 平分ED 与DF 所成的角．证明建立直角坐标系，设A (0，a )，B (b ，0)，C (c ，0)，H (0，h )，于是 BH ：x b ＋y h ＝1 AC ：x c ＋y a ＝1 过BH 、AC 的交点E 的直线系为： λ(x b ＋y h －1)＋μ(x c ＋y a －1)＝0．以(0，0)代入，得λ＋μ＝0． y x H F E D C B A y x O A B C D E F G

第56讲解析法证几何题教学内容

第56讲解析法证几何题

斜边AB及直角边BC为边向三角形两侧作正方形ABDE、CBFG．求证：DC⊥FA．分析只要证k CD·k AF＝－1，故只要求点D的坐标．证明以C为原点，CB为x轴正方向建立直角坐标系．设A(0，a)，B(b，0)，D(x，y)．则直线AB的方程为ax＋by－ab＝0．故直线BD的方程为bx－ay－(b·b－a·0)＝0，即bx－ay－b2＝0． ED方程设为ax＋by＋C＝0．由AB、ED距离等于|AB|，得 |C＋ab| ＝a2＋b2， a2＋b2 解得C＝±(a2＋b2)－ab．如图，应舍去负号．收集于网络，如有侵权请联系管理员删除

所以直线ED方程为ax＋by＋a2＋b2－ab＝0．解得x＝b－a，y＝－b．(只要作DH⊥x轴，由△DBH≌△BAC就可得到这个结果)．即D(b－a，－b)．因为k AF＝b－a b，k CD＝－b b－a，而k AF·k CD＝－1．所以 DC⊥FA．例2．自ΔABC的顶点A引BC的垂线，垂足为D，在AD上任取一点H，直线BH交AC于E，CH交AB于F．试证：AD平分ED与DF所成的角．证明建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，H(0，h)，于是 BH：x b＋ y h＝1 AC：x c＋ y a＝1 x

证明几何不等式证法举例

证明几何不等式证法举例四川省广元市宝轮中学唐明友几何不等式的证明是初中数学一个难点，所用知识不外乎有：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；同一三角形中，大角对打边，大边对大角以及三角形内角和定理等知识，下面就其证明思路进行分析。一.中线加倍法例1.如图，AD 是△ABC 中BC 边上的中线，求证：A D<2 AC AB + 证明：延长AD 至E ，使DE=DA ，连接CE ∵DA=DE,DC=DB,∠1=∠2，∴△AB D ≌△EC D ，∴AB=EC 在△ACE 中AEAD+BC 证明：分别取AB 、CD 的中点E 、F ，连接OE 、OF 、EF ∵A C ⊥BD ，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点∴OE 、OF 分别是Rt △ABO 、Rt △CDO 斜边上的中线，即OE= 21AB,OF=2 1CD, 又EF 是梯形ABCD 的中位线，可得EF=2 BC AD + 在△OEF 中，OE+OF>EF ，即21AB+21CD>2 BC AD + ∴AB+CD>AD+BC 评注：由结论的右边AD+BC 可联想到梯形的中位线，确定取AB 、CD 的中点E 、F,再由A C ⊥BD 可得一些直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质，便迎刃而解了。四.平移法例4.如图，在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，BE=CF ，求证：EF

几何证明举例学案

几何证明举例——有关全等三角形的证明第一课时教学目标： 1、会证明“AAS”定理，并会应用三角形全等的判定方法证明三角形全等。 2、根据判定两个三角形是否全等，进而推证有关线段和角相等。 3、知道证明的过程有不同的表达形式，学会综合法证明的书写格式。 4、在证明过程中体会数学的转化思想。学习过程一、复习引入 1、同学们还记得有关全等三角形的几个基本事实吗? 2、全等三角形的判定方法有哪些？它有什么性质？其中哪些是基本事实？ 3、几何证明的步骤是什么？二、探究证明 1、求证：如果一个三角形的两角及其中一角的对边与另一个三角形的两角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等。

2、例已知：如图，AB =AC ，DB =DC . 求证：∠B =∠C . 3、变式1、已知：如上图，AB =AC ，∠B =∠C . 求证： DB =DC . 练习、已知：如图，PB =PC ，CE 、BD 相交于点P ，∠BDA =∠CEA. 求证：AB =AC. A C B D

5、合作与探究两个全等三角形的对应边上的高线、对应边上的中线、对应角的平分线有什么性质呢？三、课堂小结 1、判定三角形全等的方法有:————————————————————————————。 2、证明全等的思路： 3、利用三角形全等可以得到线段相等或角相等. 4、证明两条线段（或角）相等的方法： C A B D P E

四、当堂达标 1、如图,已知△ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙Ｂ．乙和丙Ｃ．只有乙Ｄ．只有丙 2．如图,已知MB＝ND,∠MBA＝∠NDC,下列不能判定△ABM≌△CDN的条件是（） A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN 3．某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是（） A．带①去B．带②去 c . 带③去 D．带①和②去 4：如图，AC和BD相交于点O,OA=OC,OB=OD

青岛版-数学-八年级上册-《几何证明举例》专项练习

C A B C D E P 图 ⑴ 5.6 几何证明举例 1、已知：在△ABC 中，∠A=900，AB=AC ，在BC 上任取一点P ，作PQ ∥AB 交AC 于Q ，作PR ∥CA 交BA 于R ，D 是BC 的中点，求证：△RDQ 是等腰直角三角形. C B 2、已知：在△ABC 中，∠A=900，AB=AC ，D 是AC 的中点，AE ⊥BD ，AE 延长线交BC 于F ，求证：∠ADB=∠FDC. 3、已知：在△ABC 中BD 、CE 是高，在BD 、CE 或其延长线上分别截取BM=AC 、CN=AB ，求证：MA ⊥NA. 4、已知：如图(1)，在△ABC 中，BP 、CP 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE 过点P 交AB 于D ，交AC 于E ，且DE ∥BC ．求证：DE －DB=EC ．

5、在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC=90°，O为BC的中点. (1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)； (2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论. 6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，连结EC、ED，求证：CE=DE 7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC 且BC＝10，求△DCE的周长. A B C O M N

几何证明习题答案 1. 连接AD,由△ABC为等腰直角三角形可得AD垂直AC,且 AD=BD,∠DAQ=∠DBR=45度, 又由平行关系得,四边形RPQA为矩形,所以AQ=RP, △BRP也是等腰直角三角行,即BR=PR,所以AQ=BR 由边角边,△BRD全等于△AQD,所以∠BDR=∠ADQ,DR=DQ, ∠RDQ=∠RDA+∠ADQ=∠RDA+∠BDR=90度, 所以△RDQ是等腰RT△. 2. 作AG平分∠BAC交BD于G ∵∠BAC=90°∴∠CAG= ∠BAG=45° ∵∠BAC=90°AC=AB ∴∠C=∠ABC=45° ∴∠C=∠BAG ∵AE⊥BD ∴∠ABE+∠BAE=90° ∵∠CAF+∠BAE=90°∴∠CAF=∠ABE ∵ AC=AB ∴△ACF ≌△BAG ∴CF=AG ∵∠C=∠DAG =45°CD=AD ∴△CDF ≌△ADG ∴∠CDF=∠ADB 3. 易证△ABM≌△NAC．∠NAM＝∠NAE＋∠BAM＝∠NAE＋ANE＝90° 4. 略 5.（1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，所以O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等；（2）△OMN是等腰直角三角形. 证明：连接OA，如图， ∵AC=AB，∠BAC=90°，∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°， ∴∠NAO=45°，∴∠NAO=∠B，在△NAO和△MBO 中，

(完整word版)几何证明题的技巧

几何证明题的技巧 1）证明线段相等，角相等的题，通常找到线段所在图形，证明全等 2）隐藏条件：比如特殊图形的性质自己要清楚，有些时候几何题做不出来就是因为没有利用好隐藏条件 3）辅助线起到关键作用 4）几何证明步骤：依据—结论—定理切记勿忽略细微条件 5）遇到面积问题，辅助线通常做高，遇到圆，多为做半径，切线 6）个别题型做辅助线： 1 通过连结，延长，作垂直，作平行线等添加辅助线的方法，构造全等三角形。 2遇到有中点条件时，常常延长中线（即倍长中线），或以中点为旋转中心，使分散的条件汇集起来。 3遇到求边之间的和，差，倍数关系时，通常采用截长补短的方法，求角度之间的关系时，也一样。要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。一、证明两线段相等 1.两全等三角形中对应边相等。 2.同一三角形中等角对等边。 3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。 4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。 5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。 6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。 7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。 8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。 *9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。 *10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。 11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。

*12.两圆的内（外）公切线的长相等。 13.等于同一线段的两条线段相等。二、证明两个角相等 1.两全等三角形的对应角相等。 2.同一三角形中等边对等角。 3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。 4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。 5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。 *6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。 *7.圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 8.相似三角形的对应角相等。 *9.圆的内接四边形的外角等于内对角。 10.等于同一角的两个角相等。三、证明两条直线互相垂直 1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。 2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。 3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。 4.邻补角的平分线互相垂直。 5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。 6.两条直线相交成直角则两直线垂直。 7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。 8.利用勾股定理的逆定理。 9.利用菱形的对角线互相垂直。 *10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。 *11.利用半圆上的圆周角是直角。四、证明两直线平行 1.垂直于同一直线的各直线平行。 2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。 3.平行四边形的对边平行。

几何证明10种模型总结

模块一 K 字型全等如图，BD AD ⊥，AB AC ⊥，AE CE ⊥，且AB AC =，则有ABD CAE △△≌．模块二母子型 1．等边三角形 2．正方形（等腰直角三角形）（15—16年成华期末）在ABC △中，90ACB ∠=?，AC BC =，直线l 经过点C ，且AD l ⊥ 于点D ，BE l ⊥于点E ．（1）当直线l 绕点C 旋转到图1-1位置时，求证：①ACD CBE △≌△，②AD BE DE +=；（2）当直线l 绕点C 旋转到图1-2位置时，求证：BE DE AD +=；（3）当直线l 绕点C 旋转到图1-3位置时，请直接写出线段AD 、BE 、DE 之间满足的等量关系．图1-1 图1-2 图1-3 模块一 K 字型全等 C B D A E C B D A E C B A E D B C A E D C B D A C G F D B A E G D B C A E F D B C G F E A l A D B E C A B l C D E A B l D C E

（15—16年嘉祥期末）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 上一点，AE 交BD 于F ，过F 作FH AE ⊥交BC 于H ，连接AH ．（1）过点F 分别作AB 、BC 的垂线，垂足分别为M 、N ，求证：AF FH =；（2）过点H 作HG BD ⊥，垂足为G ，试求FG 和BD 的数量关系．（嘉祥）在锐角三角形ABC 中，AH 是BC 边上的高，分别以AB 、AC 为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，求证：AM 是AEG △的中线．如图，CD 是经过BCA ∠顶点C 的一条直线，CA CB =，E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在直线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图4-1，若90BCA ∠=?，90α∠=?，则BE _____CF ；EF _____||BE AF -（填“＞”、“＜”、“=”）； ②如图4-2，若0180BCA ?<

初中几何证明题五大经典含问题详解

标准文档实用文案经典题（一） 1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．求证：CD＝GF．（初二）证明：过点G作GH⊥AB于H，连接OE ∵EG⊥CO，EF⊥AB ∴∠EGO=90°，∠EFO=90° ∴∠EGO+∠EFO=180° ∴E、G、O、F四点共圆 ∴∠GEO=∠HFG ∵∠EGO=∠FHG=90°

∴△EGO∽△FHG ∴FGEO=HGGO ∵GH⊥AB，CD⊥AB ∴GH∥CD ∴CDCOHGGO? ∴CDCOFGEO? ∵EO=CO ∴CD=GF 2、已知：如图，P是正方形ABCD内部的一点，∠PAD＝∠PDA＝15°。求证：△PBC是正三角形．（初二）证明：作正三角形ADM，连接MP ∵∠MAD=60°，∠PAD=15° ∴∠MAP=∠MAD+∠PAD=75° ∵∠BAD=90°，∠PAD=15° ∴∠BAP=∠BAD-∠PAD=90°-15°=75° ∴∠BAP=∠MAP ∵MA=BA，AP=AP ∴△MAP≌△BAP ∴∠BPA=∠MPA，MP=BP 同理∠CPD=∠MPD，MP=CP ∵∠PAD＝∠PDA＝15°∴PA=PD，∠BAP=∠CDP=75° ∵BA=CD ∴△BAP≌∠CDP ∴∠BPA=∠CPD ∵∠BPA=∠MPA，∠CPD=∠MPD ∴∠MPA=∠MPD=75° ∴∠BPC=360°-75°×4=60° ∵MP=BP，MP=CP ∴BP=CP ∴△BPC是正三角形标准文档实用文案

3、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．求证：∠DEN＝∠F．证明:连接AC，取AC的中点G,连接NG、MG ∵CN=DN，CG=DG ∴GN∥AD，GN=21AD ∴∠DEN=∠GNM ∵AM=BM，AG=CG ∴GM∥BC，GM=21BC ∴∠F=∠GMN ∵AD=BC ∴GN=GM ∴∠GMN=∠GNM ∴∠DEN=∠F 经典题（二） 1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．（1）求证：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）证明：（1）延长AD交圆于F，连接BF，过点O作OG⊥AD于G ∵OG⊥AF ∴AG=FG ∵AB⌒ =AB⌒ ∴∠F=∠ACB 又AD⊥BC，BE⊥AC ∴∠BHD+∠DBH=90° ∠ACB+∠DBH=90° ∴∠ACB=∠BHD ∴∠F=∠BHD ∴BH=BF又AD⊥BC ∴DH=DF ∴AH=AG+GH=FG+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2（GH+DH）=2GD 又AD⊥BC，OM ⊥BC，OG⊥AD ∴四边形OMDG是矩形 ∴OM=GD ∴AH=2OM （2）连接OB、OC ∵∠BAC=60∴∠BOC=120° ∵OB=OC，OM⊥BC ∴∠BOM=21∠BOC=60°∴∠OBM=30° ∴BO=2OM 由（1）知AH=2OM∴AH=BO=AO 标准文档

八年级数学下册 11.5 几何证明举例(3)导学案青岛版

几何的证明举例导学案（三）课本内容：P132——134 例四、例五课前准备：三角板学习目标： 1、进一步学习几何证明的思路和步骤； 2、牢固掌握等腰三角形的性质，并能够熟练地应用它们。一、自主预习课本P132——133内容，独立完成课后练习1、2后，与小组同学交流二、通过预习等腰三角形的性质，请思考以下问题： 1、等腰三角形的顶角是45゜，则底角是（）。 2、三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，则这个三角形一定是（）。 3、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ∥AB ，则图中有等腰三角形个. 三、巩固练习 1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）（A ）60° （B ）120° （C ）60°或150° （D ）60°或120 2.已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）（第3题）

（A ）12或9 （B ）12 （C ）9 （D ）7 3.如图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝44°，CD ⊥AB 于D ，则∠DCB 等于（）（A ）44° （B ）68° （C ）46° （D ）22° 4.如图（1），已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边，AD ⊥BC ，AD ＝ BC ，将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 5、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝2∠ACB ，BD 平分∠ABC ，AD ∥BC ，则图中等腰三角形共有个. 6、如图所示，AB ＝AC ，AC 上一点D 在AB 的垂直平分线上，若△ABC 的周长为16cm ，△BCD 的周长为10cm ，则AB 的长为 . 7、如图，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，AB 的垂直平分线交AC 于D ，求∠DBC 的度数. 四、学习小结：通过本节课的学习，你都有哪些收获？五、达标检测 1、如图，△ABC 是等边三角形，AD 是高，并且AB 恰好是DE 的垂直（第5题） C D

平面几何证明常用方法

目录 1.引言??????????????????????? 2.利用平行四边形性质添加平行线证题???????? 3.利用圆中的等量关系巧作辅助圆证题????????? 4.利用平移、旋转, 翻折,几何证明中的三种基本变换证题 5.反证法证题??????????????????? 6.巧用面积法解几何题???????????????? 结论??????????????????????? 参考文献????????????????????? 致谢???????????????

平面几何证明题的常用技巧数学计算机科学学院摘要灵活、恰当地选择解题方法是求解平面几何问题的良好途径。解决任何一道平面几何证明题 ,都要应用这样或那样的方法 , 而选择哪一种方法 , 就取决于我们用什么样的解题思路。本文试对平面几何证明题中常用的几种解题思路及方法进行分析。【关键词】平面几何证明题思路技巧 The plane geometry proving the commonly used skill College of Mathematics and Computer Science Abstract: Flexible, properly choose the problem solving method is a good way of solving plane geometry. Any solve a plane geometry proving, one way or the other method, and the choice of which method, it depends on what kind of way we use. This article try to plane geometry proving that is commonly used in several problem-solving ideas and methods are analyzed. Key words：Plane geometry To prove the topic Train of thought skills 1 引言平面几何难学 , 是很多初中生在学习中的共识 , 这里面包含了很多主观和客观因素 , 而学习不得法 ,没有适当的解题思路则是其中的一个重要原因。波利亚曾说过 ,“解题的成功要靠正确思路的选择 , 要靠从可以接近它的方向去攻击堡垒。为了辨别哪一条思路正确 , 哪一个方向可接近它 ,就要试探各种方向和思路。”由此可见 , 掌握证明题的一般思路、探索证题过程中的数学思维、总结证题的基本规律是求解几何证明题的关键。 2利用平行四边形性质添加平行线证题在同一平面内, 不相交的两条直线叫平行线. 平行线是初中平面几何最基本的, 也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时, 若能依据证题的需要,添加恰当的平行线, 则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题, 一般有如下四种情况.

空间几何证明举例

空间几何证明举例 1．（典型例题）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F. （1）证明：PA//平面EDB ；（2）证明：BP ⊥平面EFD ； [对症下药]（1）如图，连接AC 、AC 交BD 于O ，连接EO 。∵底面ABCD 为正方形，∴O 为AC 的中点，在△PAC 中，EO 是中位线，∴PA//EO ，又EO ?平面EDB ，且PA ?平面EDB ，所以PA//平面EDB ；（2）∵PD ⊥平面ABCD ，∴平面PDC ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为正方形，∴BC ⊥CD ，∴BC ⊥平面PCD ，∴BC ⊥DE ，又DE ⊥PC ，∴DE ⊥平面PBC ，∴DF 在平面PBC 上的射影为EF ，又EF ⊥PB ，∴DF ⊥PB ，又PB ⊥EF ，∴PB ⊥平面DEF ；（3）由（2）知，PB ⊥DF ，故∠EFD 是二面角C —PB —D 的平面角。由（2）知，DE ⊥EF ，PD ⊥DB ，设正方形ABCD 的边长为a 则PD=DC=a ，BD=2a ，PB= 3 a ，PC=2a,DE=21 PC= a 2 2 ,在Rt △ PDBk ,OF=a PB BD PD 3 6 =?.在Rt △EFD 中，sin ∠ EFD= 2 3 =DF DE ,∴∠EFD=.3 π 所以二面角C —PB —D 的大小为.3 π 2.（典型例题）如图10-4所示，在正三棱锥A —BCD 中，∠BAC=30°，AB=a ，平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于E 、F 、G 、H 。（1）判定四边形EFGH 的形状，并说明理由；（2）设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明。 [专家把脉]正三棱锥的性质不熟悉而出错，正三棱锥的相对的棱互相垂直；正三棱锥的三个侧面是等腰三角形不是等边三角形。 [对症下药]（1）∵AD ∥面EFGH ，面ACD ?面EFGH=HG ，∴AD ∥HG ，同理EF ∥AD ，所以HG ∥EF ，同理EH ∥FG ，∴EFGH 为平行四边形。又A —BCD 为正三棱锥，∴A 在底面BCD 上的射影O 是△BCD 的中心，∴DO ⊥BC ，根据三垂线定理，AD ⊥BC ，∴HG ⊥EH ，四边形EFGH 为矩形；

中考数学总复习考点跟踪训练56几何型综合问题

2019-2020年中考数学总复习考点跟踪训练56几何型综合问题一、选择题 1. (xx 遂宁)如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是( ) A. 3 B. 4 C. 6 D. 5 2. (xx 鄂州)如下图，已知OA ＝OB ＝OC ，且∠ACB＝30°，则∠AOB 的大小是( ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 3. (xx 绥化)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝1，D 在AC 上，将△ADB 沿直线BD 翻折后，点A 落在点E 处，如果AD⊥ED，那么△ABE 的面积是( ) A. 1 B. 32 C. 3＋33 D. 1＋23 4 4. (xx 温州)在△AB C 中，∠C 为锐角，分别以AB 、AC 为直径作半圆，过点B 、A 、C 作BAC ︵，如图所示．若AB ＝4，AC ＝2，S 1－S 2＝ π 4 ，则S 3－S 4的值是( )

A. 29π 4 B. 23π 4 C. 11π 4 D. 5π 4 二、填空题 5. (xx苏州)如图，AB切⊙O于点B，OA＝2，∠OAB＝30°，弦BC∥OA，劣弧BC的弧长为 ________．(结果保留π) 6. (xx绵阳)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF 的周长为4，则正方形ABCD的边长为________． 7. (xx孝感)如图，已知矩形ABCD，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE、BE，若△ABE是等边三角形，则S△DCE S△ABE ＝________． 8. (xx牡丹江)已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点 B1在y轴上且坐标是(0，2)，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上，C1的坐标是(1， 0)．B1C1∥B2C2∥B3C3，以此继续下去，则点A xx到x轴的距离是________．

几何证明举例练习题

1.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=40°，CD ⊥AB于D，则∠DCB 等于 . 2.如图，Rt △ABC中，∠C=90°，将△ABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转α度（α＜∠BAC），得到Rt△ADE，其中斜边AE交BC于点F，直角边DE 分别交AB、BC于点G、H．（1）请根据题意用实线补全图形；（2）求证：△AFB≌△AGE． 3.如图，△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交ACA于点D，如果BC=10cm，那么△BCD的周长是 4.如图，在直角△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于E， AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则 ED=________． 5.如图，AE是△ABC的中线，已知EC=6，DE=2，则 BD的长为 6.如图，把矩形纸片ABCD沿BE折叠，点C恰好与 AD边上点F重合，且DE=DF，则折角∠CBE的度数为________． 7. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是28°，则顶角是________． 8. 等腰三角形一个外角等于110°，则底角为 9. 如图，AB=AC，BD=BC，若∠A=40°，则∠ABD的度数是 10.利用对称性可设计出美丽的图案．在边长为的方格纸中，有如图的四边形（顶点都在格点上）．（1）作出该四边形关于直线l成轴对称的图形；（2）完成上述设计后，整个图案的两个四边形面积的和等于______． 11. 将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，折叠后A′B与F′B在同一条直线上，则∠CBD的度数为________． 12. 如图所示，∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC 于点D．AB+BC=2BD，则 ∠BAP+∠BCP=________度． 13. 如图，点O是△ABC内一点，且点O到三边距离相等，∠BOC=132°，则∠A=________． 14. 如图，文文把一张长方形的纸沿着DE、DF折了两次，使A、B都落在DA′上，则∠EDF的度数为________． 15.已知：如图，△ABC中，AB=AC。小强想做∠BAC的平分线，但他没有量角器，只有刻度尺，他如何做出∠BAC的平分线？

几何证明举例1习题

学科教师辅导讲义

例2: 如图，AB CD ∥，180 FED D +=o ∠∠，求证：EF AB ∥． k F E D B C A 例3: 如图，EF BC ⊥，DE AB ⊥，B ADE = ∠∠，求证：AD EF ∥． D C F E B A 三、强化练习： 1、如图所示，已知EC、FD与直线AB交于C、D两点，∠1=∠2。求证：CE∥DF. 2、如图（1）所示，若要能使得AB∥ED，∠ABC、∠C、∠D应满足什么条件？四、总结：证明直线平行常用的方法 1._______________________________________________ 2.______________________________________________ 3.________________________________________________

2、已知：如图，AB=AC，AD=AE，AB、DC相交于点M。AC、BE相交于点N，∠DAB=∠EAC。求证：∠D=∠E。 N M E D C B A 3、已知：如图，E、F是线段BC上的两点， AB∥CD，AB=CD，CE=BF。求证：AE=DF。 F E D C B A （三）课后练习一、选择题： 1、如图，AB∥CD，∠1=110°∠ECD=70°，∠E的大小是（） A．30° B．40° C．50° D．60° 2、如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（） A B C D O E

A C D F E B (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm 二、解答题： 1、已知：如图，点D 、E 、F 分别是AC 、AB 、BC 上的一点，DF ∥AB ，∠DFE =∠A . 求证：EF ∥AC . 2、已知：如图，在△ABC 中，BF 、CE 分别是AC 、AB 上的高，BF 和CE 交于H ， BH=CH 求证：（1）BF=CE ；（2）AB=AC ． 3、已知：如图3，CE 平分BCD ∠，1270==o ∠ ∠，340=o ∠。求证：AB CD ∥． H F E C B A