Microsoft Mathematics求函数单调区间的和极值-微积分上的应用

Microsoft Mathematics求函数单调区间的和极值-微积分上的应用
Microsoft Mathematics求函数单调区间的和极值-微积分上的应用

用Microsoft Mathematics求函数单调区间的和极值

微软数学软件没有求极值的现成的命令。我可以先求函数的驻点(导数为零的点),然后根据图形判断驻点是否为极值点。

先求函数的驻点

solve(deriv(x^3-2x+3, x)=0, x)

求导数大于零的区间(单增区间):

solveIneq(deriv(3+x^3-2x, x)>0, x)

函数图形:

先求单增区间:solveIneq(deriv(x/(2+x^2), x)>0, x)

求驻点:solve(deriv(x/(x^2+2), x)=0, x)

得驻点:

绘图观察驻点是否为极值点:

极大值:solve({y=x/(x^2+2),x=sqrt(2)})

极小值:solve({y=x/(x^2+2),x=-sqrt(2)})

《函数的单调性与极值》教学案设计

《函数的单调性与极值》教学案设计 教学目标:正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 掌握利用导数判断函数单调性的方法; 教学重点:利用导数判断函数单调性; 教学难点:利用导数判断函数单调性 教学过程: 一 引入: 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 10时,函数y=f(x) 在区间(2,∞+)内为增函数;在区间(∞-,2)内, 切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小,即/y <0时,函数y=f(x) 在区间 (∞-,2)内为减函数. 定义:一般地,设函数y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内/y >0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数;,如果在这个区间内/ y <0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。 例1 确定函数422+-=x x y 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数。 例2 确定函数76223+-=x x y 的单调区间。 y

2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出,函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大,我们说f(0)是函数的一个极大值;函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小,我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地,设函数y=f(x)在0x x 及其附近有定义,如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大,我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值;如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小,我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。请注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念。由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 (ⅱ)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,

函数的单调性、极值与最值问题

函数的单调性、极值与最值问题 典例9 (12分)已知函数f (x )=ln x +a (1-x ). (1)讨论f (x )的单调性; (2)当f (x )有最大值,且最大值大于2a -2时,求a 的取值范围. 审 题 路 线 图 求f ′(x ) ――――――→讨论f ′(x ) 的符号 f (x )单调性―→f (x )最大值―→解f (x )max >2a -2.

评分细则(1)函数求导正确给1分; (2)分类讨论,每种情况给2分,结论1分; (3)求出最大值给2分; (4)构造函数g(a)=ln a+a-1给2分; (5)通过分类讨论得出a的范围,给2分.

跟踪演练9(优质试题·天津)已知函数f(x)=a x,g(x)=log a x,其中a>1. (1)求函数h(x)=f(x)-x ln a的单调区间; (2)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2, g(x2))处的切线平行,证明x1+g(x2)=-2ln ln a ln a; (3)证明当a≥1e e时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线. (1)解由已知得h(x)=a x-x ln a, 则h′(x)=a x ln a-ln a. 令h′(x)=0,解得x=0. 由a>1,可知当x变化时,h′(x),h(x)的变化情况如下表: 所以函数h(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞). (2)证明由f′(x)=a x ln a,可得曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处 的切线斜率为1x a ln a.由g′(x)= 1 x ln a,可得曲线y=g(x)在点

人教版高中数学《函数的单调性与最值》教学设计全国一等奖

1.3.1函数的单调性与最大(小)值(第一课时) 教学设计 一、教学内容解析: (1)教学内容的内涵、数学思想方法、核心与教学重点; 本课教学内容出自人教版《普通高中课程标准实验教科书必修数学1》(以下简称“新教材”)第一章节。 函数的单调性是研究当自变量x不断增大时,它的函数y增大还是减小的性质.如增函数表现为“随着x增大,y也增大”这一特征.与函数的奇偶性不同,函数的奇偶性是研究x成为相反数时,y是否也成为相反数,即函数的对称性质. 函数的单调性与函数的极值类似,是函数的局部性质,在整个定义域上不一定具有.这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不同,它们是函数在整个定义域上的性质. 函数单调性的研究方法也具有典型意义,体现了对函数研究的一般方法:加强“数”与“形”的结合,由直观到抽象;由特殊到一般.首先借助对函数图象的观察、分析、归纳,发现函数的增、减变化的直观特征,进一步量化,发现增、减变化数字特征,从而进一步用数学符号刻画. 函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据,在研究函数的值域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用(内部);在解不等式、证明不等式、数列的性质等数学的其他内容的研究中也有重要的应用(外部).可见,不论在函数内部还是在外部,函数的单调性都有重要应用,因而在数学中具有核心地位. 教学的重点是:引导学生对函数定义域I的给定区间D上“随着x增大,y也增大(或减小)”这一特征进行抽象的符号描述:在区间D上任意取x1,x2,当x1<x2时,有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)),则称函数f(x)在区间D上是增函数(或减函数). (2)教学内容的知识类型; 在本课教学内容中,包含了四种知识类型。函数单调性的相关概念属于概念性知识,函数单调性的符号语言表述属于事实性知识,利用函数单调性的定义证明函数单调性的步骤属于程序性知识,发现问题----提出问题----解决问题的研究模式,以及从直观到抽象,由特殊到一般,从感性到理性、先猜想后证明等研究问题的一般方法,属于元认知知识. (3)教学内容的上位知识与下位知识; 在本课教学内容中,函数的单调性,是文字语言、图形语言、符号语言的上位知识.图象法、作差法是判断证明函数单调性的下位知识. (4)思维教学资源与价值观教育资源; 生活常见数据曲线图例子,能引发观察发现思维;函数f(x)= +1和函数 1 y x x =+,能引发 提出问题---分析问题----解决问题的研究思维,不等关系等价转化为作差定号,是转化化归思维的好资源,是树立辩证唯物主义价值观的好契机;创设熟悉的二次函数探究背景,是引发从直观到抽象,由特殊到一般,从感性到理性、先猜想后证明思维的好材料,树立了“事物是普遍联系的”价值观. 二、教学目标设置: 本课教学以《普通高中数学课程标准(实验)》(以下统称为“课标”)为基本依据,以“数学育人”作为根本目标设置。 “课标”数学1模块内容要求是:不仅把函数看成变量之间的依赖关系,还要用集合与对应的语言刻画函数,体会函数的思想方法与研究方法,结合实际问题,体会函数在数学和其他学科中的重要性。 “课标”对本课课堂教学内容要求是:通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性.(第一课时) 为尽好达到以上要求,结合学生实际,本课课堂教学目标设置如下: (1)知识与技能: 理解函数单调性的概念,让学生能清晰表述函数单调性的定义与相关概念; 能利用图象法直观判断函数的单调性;

函数的单调性、极值和最值(1)

)函数的单调性、极值和最值(1) 【复习目标】 1.会用导数求函数的单调区间 2.会用导数求函数在给定区间上的极值 【考试说明要求】 使用导数研究函数的性质(单调性、极值和最值)是高考的热点问题;在高考中考查形式多种多样,常以选择题或者填空题形式考察基本概念、运算及导数的应用,也经常以解答题形式与其他数学仅仅结合起来,综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题 【知识点】 1、函数的单调性与导数 (1) 如果在某个区间上f ′(x)>0,那么f(x)为该区间上的 如果在某个区间上f ′(x)<0,那么f(x)为该区间上的 (2)利用导数确定函数单调区间的一般步骤. 2、函数的极值与导数 (1)观察图象,不难发现,函数图象在 点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下 降”(由单调增函数变为减函数)这时在 点P附近,点P的位置最高,即1 () f x比 它附近的函数值都大,我们称1 () f x为 函数() f x的一个 类似地,图中2 () f x为函数() f x的一个,极大值与极小值统称为函数 的。 (2)求极值的一般步骤: 【例题分析】 例1 利用导数确定下列函数单调区间 3 (1)6 y x x =-2 1 (2)ln 2 y x x =- x ()0 x>

变题:利用导数确定函数 3()3()f x x ax a R =-∈的单调区间 例2 已知函数 32()263,f x x x x R =-+∈ (1)求()f x 的极值; (2)若关于x 的方程 ()f x a =有3个不同的根,求实数a 的取值范围。 变题:已知条件改为以下几种情况,试求实数a 的取值范围。 ①方程 ()f x a =有2个不同的根; ②方程()f x a =有1个不同的根 ; ③试讨论函数()()h x f x a = -的零点个数。 例3 如果函数y=f (x )的导函数 ()y f x '=的图象如图所示, 给出下列判断: ①函数y=f (x )在区间(-3,12-)内是单调增函数; ②函数y=f (x )在区间1(,3)2 -内是单调减函数; ③函数y=f (x )在区间(4,5)内是单调增函数; ④当x=-2时,函数y=f (x )有极小值; ⑤当12 x =- 时,函数y=f (x )有极大值.; ⑥当3x = 时,函数y=f (x )有极小值. 则上述判断中准确的是________. 【附加例题】 1、函数 ()(3)x f x x e =-的单调增区间是 2、函数 ()ln f x x x =的单调减区间是 3、函数24()2f x x x =-的极大值与极小值分别是 【拓展延伸】 已知函数 322()f x x ax bx a =+++在x =1处有极值 10,则 f(2)等于 《导数应用》说课稿

函数的单调性与极值教学案

函数的单调性与极值(5月10日) 教学目标:正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 掌握利用导数判断函数单调性的方法; 教学重点:利用导数判断函数单调性; 教学难点:利用导数判断函数单调性 教学过程: 一 引入: 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 10时,函数y=f(x) 在区间(2,∞+)内为增函数;在区间(∞-,2)内, 切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小,即/y <0时,函数y=f(x) 在区间 (∞-,2)内为减函数. 定义:一般地,设函数y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内/y >0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数;,如果在这个区间内/ y <0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。 例1 确定函数422+-=x x y 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数。 例2 确定函数76223+-=x x y 的单调区间。

2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出,函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大,我们说f(0)是函数的一个极大值;函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小,我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地,设函数y=f(x)在0x x =及其附近有定义,如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大,我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值;如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小,我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。请注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念。由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 (ⅱ)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值, (ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点。 由上图可以看出,在函数取得极值处,如果曲线有切线的话,则切线是水平的,从而有0)(='x f 。但反过来不一定。如函数3x y =,在0=x 处,曲线的切线是水平的,但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点的函数值小。假设0x 使

第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)

第05讲-函数的单调性与最值 一、考情分析 借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义. 二、知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义设函数y=f(x)的定义域为A,区间M?A,如果取区间M中任意两个值x1,x2,改变量Δx=x2-x1>0,则当 Δy=f(x2)-f(x1)>0时,就称 函数y=f(x)在区间M上是增 函数 Δy=f(x2)-f(x1)<0时,就称函数y =f(x)在区间M上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)上是增函数或是减函数, 性,区间M称为单调区间. 2.函数的最值 前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件(1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M; (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M (3)对于任意x∈I,都有f(x)≥M; (4)存在x0∈I,使得f(x0)=M 结论M为最大值M为最小值 [方法技巧] 1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).

2.函数y =f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y =-f (x ),y =1 f (x ) 的单调性相反. 3.“对勾函数”y =x +a x (a >0)的增区间为(-∞,-a ),(a ,+∞);单调减区间是[-a ,0),(0,a ]. 三、 经典例题 考点一 确定函数的单调性(区间) 【例1-1】(2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试(理))如果函数f(x)在[a ,b]上是增函数,对于任意的x 1,x 2∈[a ,b](x 1≠x 2),下列结论不正确的是( ) A . ()()1212 f x f x x x -->0 B .f(a)0 D .()() 2121x x f x f x -->0 【答案】B 【解析】 试题分析:函数在[a ,b]上是增函数则满足对于该区间上的12,x x ,当12x x <时有()()12f x f x <,因此 ()()1212 0f x f x x x ->-,(x 1-x 2) [f(x 1)-f(x 2)]>0, ()() 21 210x x f x f x ->-均成立,因为不能确定12,x x 的 大小,因此f(a)

《函数的单调性与极值》教案(优质课)

《函数的单调性与极值》教案 【教学目标】: 正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 掌握利用导数判断函数单调性的方法; 【教学重点】:利用导数判断函数单调性; 【教学难点】:利用导数判断函数单调性 【教学过程】: 一 引入: 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 10时,函数y=f(x) 在区间(2,∞+)内为增函数;在区间(∞-,2)内,切线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x 的增大而减小,即/y < 0时,函数y=f(x) 在区间 (∞-,2)内为减函数. 定义:一般地,设函数y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内/y >0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数;,如果在这个区间内/y <0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减函数。

例1 确定函数422+-=x x y 在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数。 例2 确定函数76223+-=x x y 的单调区间。 2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出,函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大,我们说f(0)是函数的一个极大值;函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小,我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地,设函数y=f(x)在0x x =及其附近有定义,如果)(0x f 的值比0 x 附近所有各点的函数值都大,我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值;如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小,我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。请注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念。由定义,极值只是某个点的函数值与它

函数的单调性与最值(含例题详解)

函数的单调性与最值 一、知识梳理 1.增函数、减函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D?I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1f(x2) . 2.单调区间的定义 若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,则称函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 3.函数的最值 前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件①对于任意x∈I,都有 f(x)≤M;②存在x0∈I,使得 f(x0)=M ①对于任意x∈I,都有f(x)≥M;②存在 x0 ∈ I,使得f(x0) =M 结论M为最大值M为最小值 注意: 1.函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减.单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结. 2.两函数f(x),g(x)在x∈(a,b)上都是增(减)函数,则f(x)+g(x)也为增(减)函数,但 f(x)·g(x),1等的单调性与其正负有关,切不可盲目类比. f( x) [试一试] 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A.y=ln(x+2) B.y=-x+1 D.y=x+1 解析:选 A 选项 A 的函数y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数. 2.函数f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调增区间为___ ;f(x)max= ________ . 解析:函数f(x)的对称轴x=1,单调增区间为[1,4],f(x)max=f(-2)=f(4)=8. 答案:

函数的单调性与极值经典例题复习+训练

函数的单调性与极值练习 一、选择题 1.函数3 ()3f x x x =-(||1x <) ( )。 A.有最大值,但无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,也无最小值 D.无最大值,但有最小值 2.函数3() f x x a x b =++在区间(-1,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数, 则( )。A.1a =,1b =B.1a =,R b ∈C.3a =-,3b =D.3a =-,R b ∈ 3.函数2 1ln 2 y x x = -的单调减区间为 ( ) 。 A.(0,1)B.(0,1)∪(-∞,-1)C.(0,1)∪(1,+∞)D.(0,+∞) 4.函数232 x y x x = -+的单调增区间为 ( )。 A. ) B.(-2,1)∪(1,2) C. ,1)∪(1 ) D. ,1),(1 ) 5.设()f x '是函数()f x 的导函数,()y f x '= 的图象如右图所示,则()y f x =的图象有 可能的是 ( )。 A B C D 二、填空题 6.已知0a >,函数3 () f x x a x =-+在[1,+∞)上是单调减函数,则a 的最大值 为___。 7.设()(1)(2)(3)f x x x x =---,则方程()0f x '=的实数根的个数是___。 三、解答题 8.求函数1 ()f x x x =+ 的极值。 )

函数的单调性与极值 类型一导数与函数的单调性 一、选择题 1.函数3 y x x =-的单调增区间是___。 2.若三次函数3 y a x x =-在区间(-∞,+∞)内是减函数,则a 的取值范围___。 3.函数ln y x x =在区间(0,1)上的增减性是___。 二、填空题 4.若函数32 ()f x x bx cx d =+++的单调递减区间为[-1,2],则b =__,c =__。 5.若函数3 () f x a x x =+恰有三个单调区间,则a 的取值范围是___。 6.设2 ()f x x x =+ (0x <),则()f x 的单调增区间为___。 7.求函数2 2 ln y x x =-的单调区间。 类型二、函数的极值 一、选择题 1.函数1()()2 x x f x e e -= +的极小值点是___。 2.函数sin()2 y x π π=+ +在区间[-π,π]上的极大值点为___。 3.函数3 13y x x =+-的极大与极小值___。 二、填空题 4.函数3 2 1y x x x =+-+在区间[-2,1]上的最小值为___。 5.若函数3 () f x x a x =+在R上有两个极值点,则实数a 的取值范围是___。 6.函数()sin cos f x x x =+在[- 2π,2 π ]上的最大值为___,最小值为___。 7.已知函数3 2 () 32f x a x b x x =+-+在1x =±处取得极值,讨论( 1 )f 和( 1 )f -是函数()f x 的极大值还是极小值。

(整理)函数的单调性与极值76094

专题六 函数导数专题 【考点透析】函数和导数的主要考点包括函数的概念、图象与性质,函数与方程,函数模型及其应用, 导数及其应用、微积分及微积分基本定理等. 【例题解析】 题型1 函数的概念及其表示 例1 (2008高考山东文5)设函数2 211()21x x f x x x x ?-?=?+->??, ,,, ≤则 1(2)f f ?? ??? 的值为( ) A . 1516 B .2716 - C . 89 D .18 分析:由内向外逐步计算. 解析: ()()11 24, 24 f f ==,故()2 11115124416f f f ??????==-= ? ? ? ??????? .答案A . 点评:本题考查分段函数的概念和运算能力.解决的关键是由内到外“逐步有选择”的代入函数解析式,求 出函数值. 例2(绍兴市2008学年第一学期统考数学试题第14题)如图,函数()f x 的图象是曲线OAB ,其中点 ,,O A B 的坐标分别为()0,0,(1,2),(3,1),则()13f f ?? ? ??? 的值等于 . 分析:从图象上理解自变量与函数值的对应关系. 解析:对于(3)1,f =(1)2f =. 点评:图象是表示函数的一种方法,图象上反应了这个函数的一切性质. 题型2 函数的图象与性质 例3(浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第14题)已知m 为非零实数,若函数 ln( 1)1 m y x =--的图象关于原点中心对称,则m = . 分析:图象的对称性反应在函数性质上就是这个函数是奇函数,根据奇函数对定义域内任意x 都有 ()()f x f x -=-点特点可得一个关于x 的恒等式,根据这个恒等式就可以确定m 的值,特别地()()()0000f f f -=-?=也可以解决问题. 解析: 对于函数ln(1)1 m y x =--的图象关于原点中心对称,则对于()00f =,因此有ln(1)0,11,2m m m --=∴--==-.答案2-. 点评:函数的奇偶性是函数的重要性质之一,这两个性质反应了函数图象的某种对称性,这二者之间是可以相互转换的. 例4 (绍兴市2008学年第一学期统考数学试题第5题)设0.2 1 312 1log 3,,23a b c ?? === ???,则( )

函数的单调性及最值知识点习题

1.3.1函数的单调性与最大(小)值 1、函数单调性的定义 设函数y=f(x)的定义域为I : 如果对于属于定义域I 某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x , (1)当 时,都有 ,那么就说函数f(x)在区间D 上是增函数: (2)当 时,都有 ,那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数。 注意:21,x x 具有三个特征:①属于同一区间②任意性③有大小: 通常规定21x x < 练习:若定义在R 上的函数f(x)对任意两个不相等的实数21,x x ,总有()()()[]0-2121<-?x f x f x x ,则必有( ) A .函数f(x)是先增后减 B. 函数f(x)是先减后增 C. 函数f(x)在R 上是增函数 D. 函数f(x)在R 上是减函数 2、函数的单调性区间 如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y=f(x)的单调区间。 3、基本初等函数的单调性 (1)一次函数 (2)反比例函数 (3)二次函数 练习:(1)函数()342++=x x x f 的单调递增区间是

(2)函数()b x k y ++=12在实数集R 上是增函数,则( ) A .21->k B. 21-k D. 2 1

函数的单调性与最值练习题适合高三精修订

函数的单调性与最值练 习题适合高三 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-

函数的单调性与最值练习 题 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、选择题(每小题4分) 1.函数2()log f x x =在区间[1,2]上的最小值是( ) A .1- B .0 C .1 D .2 2.已知212 ()log (2)f x x x =-的单调递增区间是( ) A.(1,)+∞ B.(2,)+∞ C.(,0)-∞ D.(,1)-∞ 3.定义在R 上的函数()f x 对任意两个不相等实数,a b ,总有()() 0f a f b a b ->-成立, 则必有( ) A.()f x 在R 上是增函数 B.()f x 在R 上是减函数 C.函数()f x 是先增加后减少 D.函数()f x 是先减少后增加 4.若 在区间(-∞,1]上递减,则a 的取值范围为( ) A. [1,2) B. [1,2] C. [1,+∞) D. [2,+∞)

5.函数y=x 2﹣2x ﹣1在闭区间[0,3]上的最大值与最小值的和是( ) A .﹣1 B .0 C .1 D .2 6.定义在),0(+∞上的函数()f x 满足对任意的))(,0(,2121x x x x ≠+∞∈,有 2121()(()())0x x f x f x -->.则满足(21)f x -<x 取值范围是( ) A. B. C. D. 7.已知(x)=?? ?≥<+-) 1(log ) 1(4)13(x x x a x a a 是(-∞,+∞)上的减函数,那么a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,3 1) C.[7 1,3 1) D.[7 1,1) 8.函数22log (23)y x x =+-的单调递减区间为( ) A .(-∞,-3) B .(-∞,-1) C .(1,+∞) D .(-3,-1) 9.已知函数()f x 是定义在[0,)+∞的增函数 ,则满足(21)f x -<的x 取值范围是 ( ) (A )(∞- (B (C ∞+) (D 10.下列函数中,在定义域内是单调递增函数的是( ) A .2x y = B .1 y x = C .2y x = D .tan y x =

新高一数学函数的单调性与最值教案

高一数学——函数 第三讲函数的单调性与最大(小)值 【教学目标】: (1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)能够熟练应用定义判断数在某区间上的的单调性; (4)理解函数的最大(小)值及其几何意义。 【重点难点】: 1.重点:函数的单调性、最大(小)值及其几何意义, 2.难点: 利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性,利用函数的单调性求函数的最大(小)值。 【教学过程】:用具: 一、知识导向或者情景引入 1、观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律: (1)随x的增大,y的值有什么变化?

(2)能否看出函数的最大、最小值? (3)函数图象是否具有某种对称性? 2、画出下列函数的图象,观察其变化规律: (1)f(x) = x ○1从左至右图象上升还是下降 ______? ○2在区间 ____________ 上,随着x的增大,f(x)的值随着 ________ . (2)f(x) = -2x+1 ○1从左至右图象上升还是下降 ______? ○2在区间 ____________ 上,随着x的增大,f(x)的值随着 ________ . (3)f(x) = x2 ○1在区间 ____________ 上,f(x)的值随着x的增大而 ________ . ○2在区间 ____________ 上,f(x)的值随着x的增大而 ________ .

二、新课教学 (一)函数单调性定义 1.增函数 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I, 如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x 1,x 2 ,当x 1

(九年级数学教案)函数的单调性与极值教案

函数的单调性与极值教案 九年级数学教案 目的要求 1.理解并掌握函数最大值与最小值的意义及其求法. 2.弄清函数极值与最值的区别与联系. 3.养成“整体思维”的习惯,提高应用知识解决实际问题的能力. 内容分析 1.教科书结合函数图象,直观地指出函数最大值、最小值的概念,从中得出利用导数求函数最大值和最小值的方法. 2.要着重引导学生弄清函数最值与极值的区别与联系.函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的,而函数的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的,是局部的. 3.我们所讨论的函数y=f(x)在[a,b]上有定义,在开区间(a,b)内有导数.在文科的数学教学中回避了函数连续的概念.规定y=f(x)在[a,b]上有定义,是为了保证函数在[a,b]内有最大值和最小值;在(a,b)内可导,是为了能用求导的方法求解.

4.求函数最大值和最小值,先确定函数的极大值和极小值,然后,再比较函数在区间两端的函数值,因此,用导数判断函数极大值与极小值是解决函数最值问题的关键. 5.有关函数最值的实际应用问题的教学,是本节内容的难点.教学时,必须引导学生确定正确的数学建模思想,分析实际问题中各变量之间的关系,给出自变量与因变量的函数关系式,同时确定函数自变量的实际意义,找出取值范围,确保解题的正确性.从此,在函数最值的求法中多了一种非常优美而简捷的方法——求导法.依教学大纲规定,有关此类函数最值的实际应用问题一般指单峰函数,而文科所涉及的函数必须是在所学导数公式之内能求导的函数. 教学过程 1.复习函数极值的一般求法 ①学生复述求函数极值的三个步骤. ②教师强调理解求函数极值时应注意的几个问题. 2.提出问题(用字幕打出) ①在教科书中的(图2-11)中,哪些点是极大值点?哪些点是极小值点? ②x=a、x=b是不是极值点? ③在区间[a,b]上函数y=f(x)的最大值是什么?最小值是什么?

高一数学《函数的单调性与最值》第二课时教案

1 函数的单调性与最值 第二课时 教学目标: 1. 使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的,它是函数单调性的应用。 2. 启发学生学会分析问题,认识问题和创造性的解决问题。 3. 通过渗透数形结合的数学思想,对学生进行辩证唯物主义的教育。 新知探究 。 x,f(x)与f(x)≤2成立,但f(x)的最大值不是2,因为找不到一个自变量x.,使得f(x)=2成立 思考4:怎样定义函数f(x)的最大值?用什么符号表示? 一般地,设函数f(x)的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1) 对于任意的x ∈I ,都有f(x)≤M ; (2) 存在x 0 I,使得f(x 0)=M. 那么,我们称M 是函数y=f(x)的最大值(maximum value ) 思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元素吗?如果函数f(x)的值域是(a,b ),则函数f(x)存在最大值吗? 最大值是函数值域中的一个元素,函数图像上有最高点时,这个函数才存在最大值,最高点必须是函数图像上的点,因此若f(x)的值域是(a,b ),则f(x)没有最大值。

2 (4) 存在x 0 I,使得f(x 0)=M. 那么,我们称M 是函数y=f(x)的最小值(minimum value ) 理论迁移 例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度h 米与时间t 秒之间的关系为h(t )=-4.9t 2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1米)? 例2 已知函数f(x)=1 x 2-(x ∈[2,6]),求函数的最大值和最小值。 归纳基本初等函数的单调性及最值 1. 正比例函数:f(x)=kx(k ≠0),当k 0时,f(x)在定义域R 上为增函数;当k 0时,f(x)在 定义域R 上为减函数,在定义域R 上不存在最值,在闭区间[a,b ]上存在最值,当k 0时函数f(x)的最大值为f(b)=kb,最小值为f(a)=ka, 当k 0时, ,最大值为f(a)=ka ,函数f(x)的最小值为f(b)=kb 。 2. 反比例函数:f(x)= x k (k ≠0),在定义域(-∞,0) (0,+∞)上无单调性,也不存在

(完整版)高中数学必修1函数单调性和最值专题

函数专题:单调性与最值 一、增函数 1、观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律: y 的值有什么变化? ○ 2 能否看出函数的最大、最小值? ○ 3 函数图象是否具有某种对称性? 2、从上面的观察分析,能得出什么结论? 不同的函数,其图象的变化趋势不同,同一函数在不同区间上变化趋势也不同,函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。 3.增函数的概念 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1

【针对性练习】 下图是借助计算机作出函数y =-x 2 +2 | x | + 3的图象,请指出它的的单调区间. 2.利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤: ① 任取x 1,x 2∈D ,且x 1

函数的单调性与极值

函数的单调性与极值 2. 函数f (x )=(x -3)e x 的单调递增区间是 ( ) A .(-∞,2) B .(0,3) C .(1,4) D .(2,+∞) 3. 函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,其中a ,b ,c 为实数,当a 2-3b <0时,f (x )( ) A .增函数 B .减函数 C .常数 D .既不是增函数也不是减函数 4. 下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是 ( ) A .y =sin x B .y =x e 2 C .y =x 3-x D .y =ln x -x 5. 函数y =f (x )在其定义域??? ?-32,3内可导,其图像如图所示,记y =f (x )的导函数为y =f ′(x ),则不等式f ′(x )≤0的解集为________. 6. 函数y =x -2sin x 在(0,2π)内的单调递增区间为______. 8. 如果函数f (x )的图像如图,那么导函数y =f ′(x )的图像可能是 ( ) 9. 设f (x ),g (x )在[a ,b ]上可导,且f ′(x )>g ′(x ),则当a g (x ) B .f (x )g (x )+f (a ) D .f (x )+g (b )>g (x )+f (b ) 10.函数y =ax 3-x 在R 上是减函数,则a 的取值范围为________. 12.已知函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d 的图像经过点P (0,2),且在点M (-1,f (-1))处的切线方 程为6x -y +7=0. (1)求函数y =f (x )的解析式;(2)求函数y =f (x )的单调区间. 1. 函数y =f (x )的定义域为(a ,b ),y =f ′(x )的图像如图,则函数y =f (x )在开 区间(a ,b )内取得极小值的点有 ( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 2. 下列关于函数的极值的说法正确的是 ( ) A .导数值为0的点一定是函数的极值点 B .函数的极小值一定小于它的极大值 C .函数在定义域内有一个极大值和一个极小值

教案:函数的单调性与极值

函数的单调性与极值 教学目标:正确理解利用导数判断函数的单调性的原理; 掌握利用导数判断函数单调性的方法; 教学重点:利用导数判断函数单调性; 教学难点:利用导数判断函数单调性 教学过程: 一引入: 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x10时,函数y=f(x) 在区间(2,∞ +)内为增函数;在区间(∞ -,2)内,切 线的斜率为负,函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即 / y<0时,函数y=f(x) 在区间(∞ -, 2)内为减函数. 定义:一般地,设函数y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内 / y>0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的增函数;,如果在这个区间内 / y<0,那么函数y=f(x) 在为这个区间内的减 函数。 例1 确定函数 4 2 2+ - =x x y在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数。 例2 确定函数 7 6 22 3+ - =x x y的单调区间。

2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出,函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大,我们说f(0)是函数的一个极大值;函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小,我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地,设函数y=f(x)在 0x x 及其附近有定义,如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大,我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值;如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小,我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中,取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值。请注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念。由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 (ⅱ)函数的极值不是唯一的。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 (ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示,1x

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