概率论与数理统计第三章课后答案

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第三章 连续型随机变量

3.1 设随机变数ξ的分布函数为)(x F ,试以)(x F 表示下列概率: (1))(a P =ξ;(2))(a P ≤ξ;(3))(a P ≥ξ;(4))(a P >ξ 解:(1))()0()(a F a F a P -+==ξ; (2))0()(+=≤a F a P ξ; (3))(a P ≥ξ=1-)(a F ; (4))0(1)(+-=>a F a P ξ。 3.2 函数2

11

)(x x F +=

是否可以作为某一随机变量的分布函数,如果

(1)∞<<∞-x π

(2)0∞<

解:(1))(x F 在(-∞∞,)内不单调,因而不可能是随机变量的分布函数; (2))(x F 在(0,∞)内单调下降,因而也不可能是随机变量的分布函数; (3))(x F 在(-)0,∞内单调上升、连续且)0,(-∞F ,若定义

??

?≥<<∞-=01

0)()(~

x x x F x F

则)(~

x F 可以是某一随机变量的分布函数。

3.3 函数x sin 是不是某个随机变数ξ的分布密度?如果ξ的取值范围为 (1)]2,

0[π

;(2)],0[π;(3)]2

3

,0[π。 解:(1)当]2

,0[π

∈x 时,0sin ≥x 且?20

sin π

xdx =1,所以x sin 可以是某个随机变量的分

布密度; (2)因为

?x

xdx 0

sin =21≠,所以x sin 不是随机变量的分布密度;

(3)当]2

3

,[ππ∈x 时,0sin ≤x ,所以x sin 不是随机变量的分布密度。 3.4 设随机变数ξ具有对称的分布密度函数)(x p ,即),()(x p x p -=证明:对任意的

,0>a 有(1)-

=-=-2

1

)(1)(a F a F ?

a

dx x p 0

)(;

(2)P (1)(2)-=ξ。 证:(1)?

?-∞

-∞

--==

-a

a

dx x p dx x p a F )(1)()(

=??

--∞

-=-+

a

a

dx x p dx x p )(1)(1

=?

--=-0

)(1)(1dx x p a F

??

-=-

a a

dx x p dx x p 0

)(21

)(;

(2)?

?-==

a

a

dx x p dx x p a P 0

)(2)((ξ,由(1)知

1-?-=

a dx x p a F 0

)(21

)( 故上式右端=21)(-a F ;

(3))](1[2]1)(2[1)(1)(a F a F a P a P -=--=<-=>ξξ。

3.5 设)(1x F 与(2x F 都是分布函数,又0,0>>b a 是两个常数,且1=+b a 。证明

)()()(21x bF x aF x F +=

也是一个分布函数,并由此讨论,分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型? 证:因为)(1x F 与

(2x F 都是分布函数,当21x x <时,)()(2111x F x F ≤,

)()(2212x F x F ≤,于是

)()()()()()(2222112111x F x bF x aF x bF x aF x F =+≤+=

0)]()([lim )(lim 21=+=-∞→-∞

→x bF x aF x F x x

1)]()([lim )(lim 21=+=+=∞

→∞

→b a x bF x aF x F x x

)()()()0()0()0(2121x F x bF x aF x bF x aF x F =+=-+-=-

所以,)(x F 也是分布函数。

取2

1

=

=b a ,又令

??

?

??>≤<≤=??

?>≤=111000)(0

10

0)(21x x x x x F x x x F

这时

????

?>≤<+≤=1

1

102100

)(x x x x x F 显然,与)(x F 对应的随机变量不是取有限个或可列个值,故)(x F 不是离散型的,而

)(x F 不是连续函数,所以它也不是连续型的。

3.6 设随机变数ξ的分布函数为

??

?<≥+-=-00

)1(1)(x x e x x F x 求相应的密度函数,并求)1(≤ξP 。 解:

x x xe e x dx

d

--=+-])1(1[,所以相应的密度函数为 ??

?<≥=-0

)(x x xe x p x

e

F P 21)1()1(-

==≤ξ。 3.7 设随机变数ξ的分布函数为

??

?

??≥<≤<=1

11000)(2

x x Ax x x F 求常数A 及密度函数。

解:因为)1()01(F F =-,所以1=A ,密度函数为

??

?<≤=其它0

1

02)(x x x p 3.8 随机变数ξ的分布函数为Barctgx A x F +=)(,求常数A 与B 及相应的密度函数。

解:因为0)2

()(lim =-

+=-∞

→π

B A x F x

12

)(lim =+=+∞

→π

B

A x F x

所以

π

1,21==

B A 因而

)

1(1

)()(,121)(2

x x F x p arctgx x F +='=+=

ππ。 3.9 已知随机变数ξ的分布函数为

??

???≤<-≤<=其它

021210)(x x

x x

x p (1) 求相应的分布函数)(x F ;

(2) 求)2.12.0(),3.1(),5.0(<<><ξξξP P P 。

解:?????????>≤<--=-+≤<=≤=???21

2

11212)2(102100

)(10

12

02

x x x x dy y ydy x x ydy x x F x x 66.0)2.0()2.1()2.12.0(245.0)3.1(1)3.1(1)3.1(8

1

)5.0()5.0(=-=<<=-=≤-=>=

=

Ae

x p -=)(;

(2)?????

≤-=其它0

22cos )(ππx x A x p

(3)

??

???<<≤≤=其它

03221)(2x Ax

x Ax x p 解:(1)

2

1

1220

=

===?

?∞

-∞--A A dx e A dx Ae

x x

所以;

(2)

??-===2220

12cos 2cos πππ

A xdx A xdx A ,所以A=2

1; (3)

162921

8

2

2==

+??A Axdx dx Ax ,所以29

6=A 。 3.12 在半径为R,球心为O 的球内任取一点P,求oP =ξ的分布函数。 解:当0R x ≤≤时

333

)(3

434)()(R x R x

x P x F ==<ππξ

所以

?????>≤≤<=R

x R x R x x x F 1

0)(00)(3

3.13 某城市每天用电量不超过一百万度,以ξ表示每天的耗电率(即用电量除以一万度),它具有分布密度为

?

?

?<<-=其它01

0)1(12)(2x x x x p 若该城市每天的供电量仅有80万度,求供电量不够需要的概率是多少?如每天供电量90

万度又是怎样呢?

解: ?

=-=

>1

8.020272.0)1(12)8.0(dx x x P ξ 0037.0)1(12)9.0(1

9

.02=-=

>?

dx x x P ξ

因此,若该城市每天的供电量为80万度,供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度,则供电量不够需要的概率为0.0037。 3.14

设随机变数ξ服从(0,5)上的均匀分布,求方程

02442=+++ξξx x

有实根的概率。 解:当且仅当

0)2(16)4(2

≥+-ξξ (1)

成立时,方程02442

=+++ξξx x 有实根。不等式(1)的解为:2≥ξ或1-≤ξ。

因此,该方程有实根的概率

5

351)2()1()2(5

2

==≥=-≤+≥=?

dx P P P p ξξξ。 3.17 某种电池的寿命ξ服从正态),(2σa N 分布,其中300=a (小时),35=σ(小时) (1) 求电池寿命在250小时以上的概率;

(2)求x ,使寿命在x a -与x a +之间的概率不小于0.9。

解:(1))43.135

300

()250(->-=>ξξP P

=9236.0)43.1()43.135

300

(

≈Φ=<-ξP ;

(2)35

3530035()(x

x P x a x a P <-<-=+<<-ξξ =9.01)35

(2)35()35(≥-Φ=-Φ-Φx

x x 即

95.0)35

(

≥Φx

所以

65.135

≥x

75.57≥x

3.18 设)(x Φ为)1,0(N 分布的分布函数,证明当0>x 时,有

)11(21)(11.2132

2

2

2x

x e x x e

x x ->Φ->-

-

ππ

证: dy e

dy e x x

y x y ??∞

-

--

=

-

=Φ-2

2

2221

21

1)(1π

π

=

dy e y

x e

y x

x 2

22

221

211.21-∞

-

?

π

=dy e y

x x e y x

x 2

432

22321)11(21

-∞

?

+

π

所以

)1

1(21)(11.2132

2

2

2x

x e x x e

x x ->Φ->-

-

π

π

。 3.21 证明:二元函数

??

?≤+>+=0

00

1),(y x y x y x F

对每个变元单调非降,左连续,且0),(),(=-∞=-∞x F y F ,0),(=+∞-∞F ,但是 ),(y x F 并不是一个分布函数。 证:(1)设0>?x ,

若0>+y x ,由于0>+?+y x x ,所以1),(),(=?+=y x x F y x F , 若0≤+y x ,则0),(=y x F 。当0≤+?+y x x 时,0),(=?+y x x F ;

当0>+?+y x x 时,1),(=?+y x x F 。所以 ),(),(y x x F y x F ?+≤。 可见,),(y x F 对x 非降。同理,),(y x F 对y 非降。 (2)0≤+y x 时

0),(lim ),(lim 0

=?-=?-↓?↓?y y x F y x x F y x =),(y x F ,

0>+y x 时,

1),(lim ),(lim 0

=?-=?-↓?↓?y y x F y x x F y x =),(y x F ,

所以),(y x F 对x 、y 左连续。

(3)0),(),(=-∞=-∞x F y F ,0),(=+∞+∞F 。

(4)1)0,0()2,0()0,2()2,2()20,20(-=+--=<≤<≤F F F F P ηξ, 所以),(y x F 不是一个分布函数。 3.23 设二维随机变数),(ηξ的密度

?????≤

≤≤≤+=其它

20,2

0)

sin(2

1

),(π

π

y x y x y x p

求)(ηξ,的分布函数。

解:当2

≤x ,2

≤y 时,

),(),(y x P y x F <<=ηξ =

dsdt s t x y

)sin(2

1

+??

=?+-x

dt y t 0)]cos([cot 21 =)],sin(sin [sin 2

1

y x y x +-+所以 ?????

??????>

>≤≤>-+>

≤≤-+≤

≤≤≤+-+

1)0()0(0

),(ππππππππy x y x y y y x x x y x y x y x y x y x F

3.24 设二维随机变数),(ηξ的联合密度为

??

?>>=--其它

,0),(43y x ke y x p y

x

(1) 求常数k ;

(2) 求相应的分布函数; (3) 求)20,10(<<<<ηξP 。 解:(1)

12

4030

43k

dx e k dxdy ke x y x ==

???

∞-∞∞

--, 所以12=k ;

(2)0,0>>y x 时, ))((1212),(0

480

30

48

3ds e dt e dtds e

y x F y

x

t

x y

y

t ????

----==

=)1)(1(43y x

e e

----,所以

??

?>>--=--其它

,0)

1)(1(),(43y x e e y x F y x

(3))20,10(<<<<ηξP

=)0,0()0,1()2,0()2,1(F F F F +-- =1183

1---+--e e e

3.25 设二维随机变数),(ηξ有密度函数

)

25)(16(),(222y x A

y x p ++=

π

求常数A 及),(ηξ的密度函数。

解: 12025164)25)(16(),(02022222==++=++=

??????

∞∞∞

∞-∞

∞-∞∞-∞

-A y

dy x dx A dxdy y x A

dxdy

y x p ππ 所以,20=A ;

)

25)(24(1)25)(16(20)

25)(16(20

),(),(2222222πππ

ππ++=++=++==??????

∞-∞-∞-∞-∞-∞

-y arctg x arctg s ds

t dt s t dtds

dtds

s t p y x F y x x

y

x

y

3.26 设二维随机变数),(ηξ的密度函数为

??

?<<<<=其它0

1

0,104),(y x xy y x p 求(1))()4();()3();()2();14

1

,210(ηξηξηξηξ≤<=<<<

2

1

)()4(;

21

)(244)()3(;

04)()2(;

6415

44)141,210()1(1

02101

21

014121

014

1=

≤=-===<==

====<<<

x

3.28 设),(ηξ的密度函数为

?????≤≤≤≤=其它0

2

0,1021),(y x y x p

求ξ与η中至少有一个小于

2

1

的概率。

解:

852

11),(1)

2

1,21(1)]21()21[(2121121121=

-=-=≥≥-=

3.30 一个电子器件包含两个主要组件,分别以ξ和η表示这两个组件的寿命(以小时计),设),(ηξ的分布函数为

??

?≥≥+--=+---其它

,01),()

(01.001.001.0y x e e e y x F y x y x 求两个组件的寿命都超过120的概率。 解:

09

.0)21()1()1(1)0120,0120()0120,(),0120(1)

120,120()120()120(1)]120()120[(1)120,120(4.24.22.12.12.1≈=+-+----=++++∞-∞+-=≤≤+≤-≤-=≤?≤-=>>-----e e e e e F F F P P P P P ηξηξηξηξ 3.31 设)(),(21x p x p 都是一维分布的密度函数,为使

),()()(),(21y x h y p x p y x p +=

成为一个二维分布的密度函数,问其中的),(y x h 必需且只需满足什么条件? 解:若),(y x p 为二维分布的密度函数,则

?

?

∞-∞

∞-=≥1),(,0),(dxdy y x p y x p

所以条件??

∞-∞

-=≤0),()

2();()(),()1(21dxdy y x h y p x p y x h 得到满足。

反之,若条件(1),(2)满足,则

?

?

∞-∞

-=≥1),(,0),(dxdy y x p y x p

),(y x p 为二维分布的密度函数。

因此,为使),(y x p 成为二维分布的密度函数,),(y x h 必需且只需满足条件(1)和(2)。 3.32 设二维随机变数),(ηξ具有下列密度函数,求边际分布。

(1)???

??>>=+-其它

1,12),(3

1y x x e y x p y

(2)?????>≤≤>=+-其它或0

0,00,01),()(21

22y x y x e

y x p y x π

(3)???

??

<<-ΓΓ=---其它

0)()

()(1),(112121y x e x y x k k y x p y k k

解:(1))1(,0)()1(,2

2)(31

31≤=>==

?

+-x x p x x dy x e x p y ξξ

)1(,0)()1(,2)(11

31

≤=>==+-∞

+-?

y x p y e dx x

e x p y y ξξ

(2)0>x 时, 2

)(2

1

222211

)(x y x e

dy e

x p -

+-∞

-=

=

π

ξ

0≤x 时,

2

)(2

1

222211

)(x y x e

dy e

x p -

+-∞

=

=

?

π

π

ξ

所以,2

221

)(x e

x p -

=

π

ξ。同理,2

221)(y e

y p -

=

π

ξ。

(3))0(,)

(1)()()()(111211221>Γ=-ΓΓ=-∞----?x e x k dy e x y k k x x p x

x k y k k ξ )0(,0)(≤=x x p ξ

)

0(,0)()0(,)(1)()()()(1

21011212121≤=>+Γ=-ΓΓ=-+---?y y p y y k k dx x y x k k e y p k k y k k y ηη

3.34 证明:若随机变数ξ只取一个值a ,则ξ与任意的随机变数η独立。 证:ξ的分布函数为

??

?>≤=a

x a

x x F 10)(ξ

设η的分布函数、),(ηξ的联合分布函数分别为),(),(y x F y F η。

当a x ≤时,)()(0),(),(y F x F y x P y x F ηξηξ==<<=。当a x >时,

)()()(),(),(y F x F y P y x P y x F ηξηηξ=<=<<=。所以,对任意实数y x ,,都有

)()(),(y F x F y x F ηξ=,故ξ与η相互独立。

3.35 证明:若随机变数ξ与自己独立,则必有常数c ,使1)(==c P ξ。

证:由于)()(),()(x P x P x x P x P <<=<<=<ξξξξξ,所以2)]([)(x F x F =,

10)(或=x F 。由于1)(,0)(=+∞=-∞F F ,)(x F 非降、左连续,所以必有常数c ,使得

??

?>≤=c

x c

x x F 00)( 故1)(==c P ξ。

3.36设二维随机变量),(ηξ的密度函数为

???

??≤+=其它

1

1),(22y x y x p π

问ξ与η是否独立?是否不相关?

解:)1|(|,0)();1|(|,12)(2

112

2

>=≤-=

=

?

---x x p x x dy

x p x x ξξπ

π

同理,)1|(|,0)();1|(|,12)(2

>=≤-=

y y p y y y p ηηπ

由于)()(),(y p x p y x p ηξ≠,所以ξ与η不相互独立。

又因)(),(),,(y p x p y x p ηξ关于x 或关于y 都是偶函数,因而0)(===ξηηξE E E ,

故0),cov(

=ηξ, ξ与η不相关。 3.41 设某类电子管的寿命(以小时计)具有如下分布密度:

?????≤>=1000

100100)(2x x x x p

一台电子管收音机在开初使用的150小时中,三个这类管子没有一个要替换的概率是多少?三个这类管子全部要替换的概率又是多少?(假设这三个管子的寿命分布是相互独立的) 解:设这类电子管的寿命为ξ,则

3

2

100)150(1502==>?

dx x P ξ 所以三个这类管子没有一个要替换的概率为27

8

)32(3

=;三个这类管子全部要替换的概

率是27

1

)321(3

=-。

3.44 对球的直径作近似测量,设其值均匀分布在区间],[b a 内,求球体积的密度函数。 解:设球的直径为ξ,则其体积为361πξη=

。36

1

x y π=的反函数dy y dx y x 3

23362

,6ππ==。由ξ的密度函数)(1)(a b x p -=ξ,b x a ≤≤,得η的

密度函数为

??

?

??

≤?-=其它。

0,

6

6

36)(2)(3332

b y a y a b y p π

π

πη

3.45 设随机变数ξ服从)1,0(N 分布,求ξ的分布密度。 解:在0≥x 时,

dt e

x x P x P x

x

t ?

--

=<<-=<2

221)()(π

ξξ。

所以ξ的分布密度

)0(,0)();0(,/2)(2

/2<=≥?=-x x p x e x p x

ξξπ。

3.46 设随机变数ξ服从),(2

σa N 分布,求ξ

e 的分布密度。 解:

x e y =的反函数dy y dx y x ?==/1,ln 。由ξ服从),(2σa N 分布,推得ξηe =的分

布密度为

?????≤>??????--?=.00

,0)(ln 2121)(22y y a y oxp y y p σσπη 3.47 随机变数ξ在任一有限区间[]b a ,上的概率均大于0(例如正态分布等),其分布函数为)(x F ξ,又η服从[]1,0上的均匀分布。证明)(1

ηζξ-=F 的分布函数与ξ的分布函数相同。

解:因为ξ在任一有限区间[]b a ,上的概率均大于0,所以)(x F ξ是严格上升函数。由于[]1,0上

布,所以

ζ

的分布函数

)()(())(()()(1

x F x F P x F P x P x F ξξξξηηξ=<=<=<=-,对任意的x 都成立。所以ζ

与ξ的分布函数相同。

3.48 设随机变量ξ与η独立,求ηξ+的分布密度。若(1)ξ与η分布服从),(b a 及),(βα上的均匀分布,且βα<<

0>a 。

解(1),0)(;),/(1)(=<<-=x p b x a a b x p ξξ其它。 0)(;),/(1)(=<<-=y p x x p ηηβααβ,其它。

dy y p y x p x p )()()(ηξηξ?-=?∞

-+

=dy a b a x b x man ?----)

,min(),())((1

βααβ

=[][]0)(;,))((/),max(),min(=+<<+-----+x p b x a a b b x a x ηξβααβαβ,其它。

(2)0)(;0,/1)(=<<-=x p x a a x p ξξ,其它, 0)(;0,/1)(=<<=x p a x a x p ηη,其它。

dy a dy y p y x p x p a x x ?

?+∞∞

-+=?-=)

,min()0,max(2/1)()()(αηξηξ

=[]2

/)0,max(),min(a x a a x -+

=

0)(;,2

=<<--+x p a x a a

x a ηξ,其它

3.49 设随机变量ξ与η独立,服从相同的拉普拉斯分布,其密度函数为

)0(,21)(/>?=

-a e a

x p a

x 求ξ+η的密度函数。

解: a

x e a

x p x p /21)()(-?=

=ηξ, dy y p y x p x p )()()(ηξηξ?-=?∞

-+,

当0≥x 时,

a x x

a

y

x y x a

y

y x a

y

y x e a

x a dy e

dy e

dy e a dy a y y x a x p -∞+--

+--∞

----∞∞-++=++=?

?????+--=????

)1(41][41||||exp 41)(0022ηξ

当0

a x

a

y x y x

a

y x y x a

y y x e a

x a dy e

dy e

dy e

a x p )1(41][41

)(0

02-=

++=???∞+--

---

----+ηξ 所以

a x e x a a

x p |

|2|)|(41)(-++=ηξ

3.50 设随机变量ξ与η独立,服从相同的柯西分布,其密度函数为

)

1(1

)(2x x p +=

π

证明:)(2

1

ηξ?+=也服从同一分布。 证:

)4(2|)]()1)ln(()1[ln()

4(1]1

)()(212[)4(1)(11

111

)(2222222222

22+=

-++--+++=+----+++=-++=∞

∞-∞∞-∞

∞-+??

y y x yarctg y x yarctgx x y y dx y x y

y x x y x y y dx

x y x y p ππππηξ

所以

)

1(1

2]4)2[(2)(2

2)

(2

1

z z z p +=+=

+ππηξ 即)(2

1

ηξ?+=

也服从相同的柯西分布。 3.51 设随机变量ξ与η独立,分别具有密度函数

??

?≤>=-000

)(x x e x p x

λξλ ??

?≤>=-0

)(x x e x p x

μημ (其中0,0>>μλ),求ξ+η的分布密度。 解:0>x 时,

????

?=≠-===---------+??μλλμλμλμλμλλμλλμμλμλμηξ,

],[)()(20

)(0

)(x x x x

y x x

y y x xe e e dy

e e dy

e e x p

0≤x 时,

0)(=+x p ηξ

3.53 设随机变量ξ与η独立,都服从)1,0(上的均匀分布,求||ηξ-的分布。 解:η-服从)0,1(-上的均匀分布,据3.48(2)知,

??

?<<-≤<-+=-+=-1010

11)]0,max()1,1[min()(x x

x x x x x p ηξ 在10<

??--=-++=<-<-=<-=0

2

2)1()1()()|(|)(x

x

x

x dt t dt t x x P x P x F ηξηξ

所以||ηξ-的分布密度为

??

?<≤-=-其它0

10)1(2)(||x x x p ηξ 3.54 设随机变量ξ与η独立,分别服从参数为λ与μ的指数分布,求ηξ-的分布密度。

解:由0,)(>=-x e

x p x

μημ得0,)(<=-x e x p x μημ,所以

dy y x p y p x p )()()(-=-∞

∞--?ηξηξ

在0≤x 时,

)()(0

)

(μλλμμλμμληξ+=

=?∞

---x y x y

e dy e

e

x p

在0>x 时,

)()()

(μλλμμλλμλμ

ηξ+=

=-∞

---?x x

y x e dy e

e

x p

所以

??

???>+≤+=--0

)(0)

()(x e x e x p x

x

μλλμμλλμλμηξ 3.56 设随机变量ξ与η独立,且分别具有密度函数为

???

??

≥<-=1

||0

1||11)(2

x x x x p πξ

????

?≤>=-

0)(2

2

x x xe y p x η 证明ξη服从)1,0(N 分布。 证:由0,)(2

2

>=-x xe

x p x

η得0,)(2

21

3

1>=--x e

x x p x η

。故

dx x p yx p x y p

y p )()(||)()(1

ηξη

ξ

ξη?∞

-==

令2

21

2

2

y u x +

=,则

2

2

1

2

2

2

2121)(y

u y

e

du e u e y p -∞

--

-=

=

?

π

π

ξη

所以ξη服从)1,0(N 分布。

3.58 设随机变量ξ与η独立,都服从),0(a 上的均匀分布,求η

ξ

的密度函数。

解:??

-=

=

)(1||)()()(dz xz zp a dz z z p xz p x p ξηξη

ξ 当10≤

2

11)(0

2

=

=

?

a

zdz a x p η

ξ 当1>x 时

2

2

21

1

)(x

zdz a x p x

a

=

=?

η

ξ 所以η

ξ

的密度函数为

????

???>≤<≤=121

102100)(2

x x x x x p η

ξ

3.59 设随机变量ξ与η独立,都服从参数为λ的指数分布,求η

ξ的密度函数。

解:在0≥x 时,

?

?∞

--∞

-+=

==0

2

2)1(1

||)()()(x ydy e e dy

y y p xy p x p y xy λληξη

ξλ

在0

ξ。

3.60 设二维随机变量),(ηξ的联合分布密度为

?????<<+=其它0

1

||,1||41),(y x xy y x p

证明:ξ与η不独立,但2

ξ与2

η独立。

证:由于)()(),(y p x p y x p ηξ≠,所以ξ与η不独立。由于

?

????≤≤<=+>=

10)41(11

)(112

x x x dt dy ty x x P x x ξ

?

????≤≤<=+>=

10)41(11

)(112y y y dt dx tx

y y P y y η

?????

????≤<≤<>>≤<>=<<其它0

1,010,11,101,1

),(22y x xy y x y y x x y x y x P ηξ

所以对一切的y x ,,都有)()(),(2222y P x P y x P <<=<<ηξηξ,故2ξ与2η相互独立。 3.61 设随机变量ξ具有密度函数

?????≤≤-=其它0

22cos 2

)(2πππx x x p

求ξξD E ,。

解:0cos 2

222

==

?-

xdx x

E π

π

π

ξ

2

1

12

cos 2

2

2

22

2

2-

=

==?-ππ

ξξπ

πxdx x

E D 3.62 设随机变量ξ具有密度函数

??

?

??<<-≤<=其它

021210)(x x

x x x p

求ξE 及ξD 。 解 ?

?=-+=

1

2

1

21)2(dx x x dx x E ξ,

6/7)2(2

1

210

32

=-+=

??dx x x dx x E ξ,

6/1)(2

2=-=ξξξE E D 。 3.63 设随机变量ξ的分布函数为

??

?

??≥<≤-+-<=1

111arcsin 10)(x x x

b a x x F

试确定常数),(b a ,并求ξE 与ξD 。 解:由分布函数的左连续性,

?

?

?=?+=?+,00arcsin ,

11arcsin b a b a 故π/1,2/1==b a 。

)arcsin 1

21(1

1x d x E π

ξ+?=?-

=

011

1

2

=-?

-dx x

x

π,

2/1sin 2

12

12

/0

21

2

21

1

2

==

-=

-==?

?

?

-tdt x dx x dx x x

E D ππππξξ。

3.64

随机变量ξ具有密度函数

??

?≤

00

,)(/x x e x A x p x φα 其中,0,1>>βα求常数ξE A ,及ξD 。 解:dy e y A dx e

x A y x -∞

+-?

??=??=

1/1β

ααβ

αβ

=)1(1++αβαT A , 故

)

1(1

1

+?=

+αβαT A 。

)

3(,

)1()2(3

/0

2

2/0

1+??=??=+=+??=??=+-∞

++-∞

+??αβ

ξβααβξαβ

ααβαT A dx e

x

A E T A dx e x A E x x

=2

)2)(1(βαα++

2

2

2

)1()(βαξξξ+=-=E E D 3.66 设随机变量ξ服从)2

1

,21(-

上的均匀分布,求πξηsin =的数学期望与方差。 解:?

-==

212

1,0sin xdx E πη

?-===212

122

2/1sin xdx E D πηη。

3.67 地下铁道列车的运行间隔时间为五分钟,一个旅客在任意时刻进入月台,求候车时间的数学期望与方差。

解:设旅客候车时间为ξ(秒),则ξ服从[]300,0上的均匀分布,则

概率论与数理统计期末复习资料(学生)

概率论与数理统计期末复习资料 一 填空 1.设A ,B 为两个随机事件,若A 发生必然导致B 发生,且P (A )=0.6,则P (AB ) =______. 2.设随机事件A 与B 相互独立,且P (A )=0.7,P (A -B )=0.3,则P (B ) = ______. 3.己知10件产品中有2件次品,从该产品中任意取3件,则恰好取到一件次品的概率等于______. 4.已知某地区的人群吸烟的概率是0.2,不吸烟的概率是0.8,若吸烟使人患某种疾病的概率为0.008,不吸烟使人患该种疾病的概率是0.001,则该人群患这种疾病的概率等于______. 5.设连续型随机变量X 的概率密度为? ??≤≤=,,0; 10,1)(其他x x f 则当10≤≤x 时,X 的分布函数F (x )= ______. 6.设随机变量X ~N (1,32 ),则P{-2≤ X ≤4}=______.(附:)1(Φ=0.8413) 7.设二维随机变量(X ,Y )的分布律为 则P {X <1,Y 2≤}=______. 8.设随机变量X 的期望E (X )=2,方差D (X )=4,随机变量Y 的期望E (Y )=4,方差D (Y )=9,又E (XY )=10,则X ,Y 的相关系数ρ= ______. 9.设随机变量X 服从二项分布)3 1,3(B ,则E (X 2 )= ______. 10.中心极限定理证明了在很一般条件下,无论随机变量Xi 服从什么分布,当n →∞时,∑=n i i X 1 的极限分布是 _________________ 11.设总体X ~N (1,4),x 1,x 2,…,x 10为来自该总体的样本,∑== 10 110 1 i i x x ,则)(x D = ______.· 12.设总体X ~N (0,1),x 1,x 2,…,x 5为来自该总体的样本,则 ∑=5 1 2i i x 服从自由度为______ 的2χ分布. 15.对假设检验问题H 0:μ=μ0,H 1:μ≠μ0,若给定显著水平0.05,则该检验犯第一类错误的概率为______. 16.设A ,B 为两个随机事件,且A 与B 相互独立,P (A )=0.3,P (B )=0.4,则P (A B )=__________. 17.盒中有4个棋子,其中2个白子,2个黑子,今有1人随机地从盒中取出2个棋子,则这2个棋子颜色相同的 概率为_________. 18.设随机变量X 的概率密度?? ???≤≤=,,0; 10 ,A )(2其他x x x f 则常数A=_________.

全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计(二) 课程代码:02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为( A ) A .C B A B .C B A C .C B A D .C B A 2.设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A .253 B .2517 C .5 4 D .2523 3.设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A .0.352 B .0.432 C .0.784 D .0.936 解:P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4.已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2<X ≤4}= ( C ) A .0.2 B .0.35 C .0.55 D .0.8 解:P {-2<X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55,故选C. 5.设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A .2,3- B .-3, 2 C .2,3 D .3, 2 与已知比较可知:E(X)=-3,D(X)=2,故选B. 6.设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A .4 1 B .2 1 C .2 D .4 解:设D 为平面上的有界区域,其面积为S 且S>0,如果二维随机变量 (X ,Y )的概率密度为 则称 (X ,Y )服从区域D 上的均匀分布,

自动控制原理第三章课后习题-答案(最新)

3-1 设系统的微分方程式如下: (1) )(2)(2.0t r t c =& (2) )()()(24.0)(04.0t r t c t c t c =++&&& 试求系统闭环传递函数Φ(s),以及系统的单位脉冲响应g(t)和单位阶跃响应c(t)。已知全部初始条件为零。 解: (1) 因为)(2)(2.0s R s sC = 闭环传递函数s s R s C s 10)()()(==Φ 单位脉冲响应:s s C /10)(= 010 )(≥=t t g 单位阶跃响应c(t) 2/10)(s s C = 010)(≥=t t t c (2))()()124.004.0(2s R s C s s =++ 124.004.0)()(2++= s s s R s C 闭环传递函数1 24.004.01)()()(2++==s s s R s C s φ 单位脉冲响应:124.004.01)(2++=s s s C t e t g t 4sin 3 25)(3-= 单位阶跃响应h(t) 16)3(61]16)3[(25)(22+++-=++= s s s s s s C t e t e t c t t 4sin 4 34cos 1)(33----= 3-2 温度计的传递函数为1 1+Ts ,用其测量容器内的水温,1min 才能显示出该温度的98%的数值。若加热容器使水温按10oC/min 的速度匀速上升,问温度计的稳态指示误差有多大? 解法一 依题意,温度计闭环传递函数 1 1)(+=ΦTs s 由一阶系统阶跃响应特性可知:o o T c 98)4(=,因此有 min 14=T ,得出 min 25.0=T 。 视温度计为单位反馈系统,则开环传递函数为 Ts s s s G 1)(1)()(=Φ-Φ= ? ??==11v T K 用静态误差系数法,当t t r ?=10)( 时,C T K e ss ?=== 5.21010。

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现的点数. A =‘出现奇数点’; (2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’,B =‘第一次的点数,比第二次的点数大2’; (3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A =‘球的最小号码为1’; (4)将,a b 两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,A =‘甲盒中至少有一球’; (5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量,A =‘通过汽车不足5台’,B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L , 135{,,}A e e e =。 (2){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; {(4,6),(5,5),(6,4)}A =; {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 ( 3 ) {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = ( 4 ) {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒; {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 (5){0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2.设,,A B C 是随机试验E 的三个事件,试用,,A B C 表示下列事件:

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案:0.3 解: 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2. 设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则==)3(X P ______. 答案: 161-e 解答: λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ,故 16 1)3(-= =e X P 3. 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案: 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 (1)排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1.1:方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A . 4 B . 3 C . 2 D . 1 例1.2:有5个队伍参加了甲A 联赛,两两之间进行循环赛两场,试问总共的场次是多少? (2)加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m 种方法完成,第二种方法可由n 种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m ×n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m 种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1.3:从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会,要求与会成员中既有男同学又有女同学,有几种不同的选法? 例1.4:6张同排连号的电影票,分给3名男生和3名女生,如欲男女相间而坐,则不同的分法数为多少? 例1.5:用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里,每一区域涂上一种颜

色,且相邻区域的颜色必须不同,则共有不同的涂法 A.120种B.140种 C.160种D.180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1.6:晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目,问:分别按以下要求各可排出几种不同的节目单? ①3个舞蹈节目排在一起; ②3个舞蹈节目彼此隔开; ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1.7:4幅大小不同的画,要求两幅最大的排在一起,问有多少种排法? 例1.8:5辆车排成1排,1辆黄色,1辆蓝色,3辆红色,且3辆红车不可分辨,问有多少种排法? ①重复排列和非重复排列(有序) 例1.9:5封不同的信,有6个信箱可供投递,共有多少种投信的方法? ②对立事件 例1.10:七人并坐,甲不坐首位,乙不坐末位,有几种不同的坐法? 例1.11:15人中取5人,有3个不能都取,有多少种取法? 例1.12:有4对人,组成一个3人小组,不能从任意一对中取2个,问有多少种可能性?

计算机网络课后习题答案(第三章)

计算机网络课后习题答案(第三章) (2009-12-14 18:16:22) 转载▼ 标签: 课程-计算机 教育 第三章数据链路层 3-01 数据链路(即逻辑链路)与链路(即物理链路)有何区别? “电路接通了”与”数据链路接通了”的区别何在? 答:数据链路与链路的区别在于数据链路出链路外,还必须有一些必要的规程来控制数据的传输,因此,数据链路比链路多了实现通信规程所需要的硬件和软件。 “电路接通了”表示链路两端的结点交换机已经开机,物理连接已经能够传送比特流了,但是,数据传输并不可靠,在物理连接基础上,再建立数据链路连接,才是“数据链路接通了”,此后,由于数据链路连接具有检测、确认和重传功能,才使不太可靠的物理链路变成可靠的数据链路,进行可靠的数据传输当数据链路断开连接时,物理电路连接不一定跟着断开连接。 3-02 数据链路层中的链路控制包括哪些功能?试讨论数据链路层做成可靠的 链路层有哪些优点和缺点. 答:链路管理 帧定界 流量控制 差错控制 将数据和控制信息区分开 透明传输 寻址 可靠的链路层的优点和缺点取决于所应用的环境:对于干扰严重的信道,可靠的链路层可以将重传范围约束在局部链路,防止全网络的传输效率受损;对于优质信道,采用可靠的链路层会增大资源开销,影响传输效率。 3-03 网络适配器的作用是什么?网络适配器工作在哪一层? 答:适配器(即网卡)来实现数据链路层和物理层这两层的协议的硬件和软件 网络适配器工作在TCP/IP协议中的网络接口层(OSI中的数据链里层和物理层) 3-04 数据链路层的三个基本问题(帧定界、透明传输和差错检测)为什么都必须加以解决? 答:帧定界是分组交换的必然要求

概率论与数理统计期末总结

第1章 概率论的基本概念 1.1 随机试验 称满足以下三个条件的试验为随机试验: (1)在相同条件下可以重复进行; (2)每次试验的结果不止一个,并且能事先明确所有的可能结果; (3)进行试验之前,不能确定哪个结果出现。 1.2 样本点 样本空间 随机事件 随机试验的每一个可能结果称为一个样本点,也称为基本事件。 样本点的全体所构成的集合称为样本空间,也称为必然事件。必然事件在每次试验中必然发生。 随机试验的样本空间不一定唯一。在同一试验中,试验的目的不同时,样本 空间往往是不同的。所以应从试验的目的出发确定样本空间。 样本空间的子集称为随机事件,简称事件。 在每次试验中必不发生的事件为不可能事件。 1.3 事件的关系及运算 (1)包含关系 B A ?,即事件A 发生,导致事件B 发生; (2)相等关系 B A =,即B A ?且A B ?; (3)和事件(也叫并事件) B A C ?=,即事件A 与事件B 至少有一个发生; (4)积事件(也叫交事件) B A AB C ?==,即事件A 与事件B 同时发生; (5)差事件 AB A B A C -=-=,即事件A 发生,同时,事件B 不发生; (6)互斥事件(也叫互不相容事件) A 、 B 满足φ=AB ,即事件A 与事件B 不同时发生; (7)对立事件(也叫逆事件) A A -Ω=,即φ=Ω=?A A A A ,。

1.4 事件的运算律 (1)交换律 BA AB A B B A =?=?,; (2)结合律 ()()()()C AB BC A C B A C B A =??=??,; (3)分配律 ()()()()()()C A B A BC A AC AB C B A ??=??=?,; (4)幂等律 A AA A A A ==?, ; (5)差化积 B A AB A B A =-=-; (6)反演律(也叫德·摩根律)B A AB B A B A B A B A ?==?=?=?,。 1.5 概率的公理化定义 设E 是随机试验,Ω为样本空间,对于Ω中的每一个事件A ,赋予一个实数P (A ),称之为A 的概率,P (A )满足: (1)1)(0≤≤A P ; (2)1)(=ΩP ; (3)若事件 ,,, ,n A A A 21两两互不相容,则有 () ++++=????)()()(2121n n A P A P A P A A A P 。 1.6 概率的性质 (1)0)(=φP ; (2)若事件n A A A ,, , 21两两不互相容,则())()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=??? ; (3))(1)(A P A P -=; (4))()()(AB P B P A B P -=-。 特别地,若B A ?,则)()(),()()(B P A P A P B P A B P ≤-=-; (5))()()()(AB P B P A P B A P -+=?。

第三章课后习题答案

习题3 一、填空题 1.若二维随机变量(X,Y)在区域}),({222R y x y x ≤+上服从均匀分布,则(X,Y)的概率密度为 。 ??? ??≤+=其他 1 ),(2 222 R y x R y x f π 则},max{Y X 的分布律为 。 3.设二维随机变量(X,Y)的概率分布见下表,则(1)关于X 的边缘分布律为 ;(2)关于 4.设随机变量X 与Y 相互独立,X 在区间(0,2)上服从均匀分布,Y 服从参数为的指数分布,则概率=>+}1{Y X P 。 12 11--e 5.设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为? ??≤≤≤=其他01 0),(y x bx y x f ,则}1{≤+Y X P = 。 4 1 6. 设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间(0,3)上对的均匀分布,则}1},{max{≤Y X P = 。 9 1 7.设随机变量

i=1,2,且满足1}0{21==X X P ,则==}{21X X P 。 0 8.如图3.14所示,平面区域D 由曲线x y 1 = 及直线2,1,0e x x y ===所围成,二维随机变量(X,Y)关于X 的边缘概率密度在2=x 处的值为 。 4 1 9.设X,Y 为两个随机变量,且73}0,0{= ≥≥Y X P ,7 4 }0{}0{=≥=≥Y P X P ,则 }0},{max{≥Y X P = 。 7 5 10.设随机变量X 与Y 相互独立,),3(~),,2(~p B Y p B X ,且9 5 }1{= ≥X P ,则 ==+}1{Y X P 。 243 80 二、选择题 1.设两个随机变量X 与Y 相互独立且同分布,}1{}1{}1{==-==-=X P Y P X P = ,2 1 }1{==Y P 则下列各式中成立的是( ) A (A)2 1 }{==Y X P , (B) 1}{==Y X P (C) 41}0{==+Y X P (D) 4 1 }1{==XY P 2.设随机变量X 与Y 独立,且0}1{}1{>====p Y P X P , 01}0{}0{>-====p Y P X P ,令 ?? ?++=为奇数 为偶数Y X Y X Z 0 1 要使X 与Z 独立,则p 的值为( ) C (A) 31 (B) 41 (C) 21 (D) 3 2 3. 设随机变量X 与Y 相互独立,且)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ,则( ) B

概率论与数理统计课后习题答案

习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次,事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解:{=Ω(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)} {=A (正,正),(正,反)};{=B (正,正),(反,反)} {=C (正,正),(正,反),(反,正)} 2. 在掷两颗骰子的试验中,事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”,“点数之和小于5”,“点数相等”,“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解:{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω; {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ; {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ; Φ=C A ;{})2,2(),1,1(=BC ; {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件: (1)只订阅日报; (2)只订日报和晚报; (3)只订一种报; (4)正好订两种报; (5)至少订阅一种报; (6)不订阅任何报; (7)至多订阅一种报; (8)三种报纸都订阅; (9)三种报纸不全订阅。 解:(1)C B A ; (2)C AB ; (3)C B A C B A C B A ++; (4)BC A C B A C AB ++; (5)C B A ++; (6)C B A ; (7)C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ (8)ABC ; (9)C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次,事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果:2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解:甲未击中;乙和丙至少一人击中;甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中;甲和乙都未击中;甲和乙击中而丙未击中;甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ,试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和:C B A ++,C AB +,AC B -. 解:如图:

(完整word版)概率论与数理统计期末试卷及答案

一、选 择 题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分) (1)设A 、B 互不相容,且P(A)>0,P(B)>0,则必有( ) (A)0)(>A B P (B))()(A P B A P = (C)0)(=B A P (D))()()(B P A P AB P = (2)将3粒黄豆随机地放入4个杯子,则杯子中盛黄豆最多为一粒的概率为( ) 3311() () () ()32 8 168 A B C D (3)),4,(~2 μN X ),5,(~2 μN Y }5{},4{21+≥=-≤=μμY P p X P p ,则( ) (A)对任意实数21,p p =μ (B )对任意实数21,p p <μ (C)只对μ的个别值,才有21p p = (D )对任意实数μ,都有21p p > (4)设随机变量X 的密度函数为)(x f ,且),()(x f x f =-)(x F 是X 的分布函数,则对任意 实数a 成立的是( ) (A )? - =-a dx x f a F 0 )(1)( (B )?-= -a dx x f a F 0 )(21)( (C ))()(a F a F =- (D )1)(2)(-=-a F a F (5)已知1250,,,X X X L 为来自总体()2,4X N :的样本,记50 11,50i i X X ==∑ 则 50 21 1()4i i X X =-∑服从分布为( ) (A )4(2, )50N (B) 2 (,4)50 N (C )()250χ (D) ()249χ 二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分) (1) 4.0)(=A P ,3.0)(=B P ,4.0)(=?B A P ,则___________)(=B A P (2) 设随机变量X 有密度? ??<<=其它01 0,4)(3x x x f , 则使)()(a X P a X P <=> 的常数a = (3) 设随机变量),2(~2 σN X ,若3.0}40{=<

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1

第三章课后题答案

《微观经济学》(高鸿业第四版)第三章练习题参考答案 1、已知一件衬衫的价格为 80元,一份肯德鸡快餐的价格为 20 元,在某 消费者关于这两种商品的效用最大化的均衡点上, 一份肯德 鸡快餐对衬衫的边际替代率 MRS 是多少? 解:按照两商品的边际替代率 MRS 的定义公式,可以将一份肯德 鸡快餐对衬衫的边际替代率写成:MRS XY 其中:X 表示肯德鸡快餐的份数;Y 表示衬衫的件数;MRS 表示 在该消费者实现关于这两件商品的效用最大化时,在均衡点上 有 MRS xy =P x /P y 即有 MRS =20/80=0.25 它表明:在效用最大化的均衡点上,消费者关于一份肯德鸡快 餐对衬衫的边际替代率 MRS 为0.25。 2假设某消费者的均衡如图 1-9所示。其中,横轴OX 1和纵轴 0X 2,分别表示商品1和商品2的数量,线段AB 为消费者的预算线, 曲线U 为消费者的无差异曲线,E 点为效用最大化的均衡点。已知商 品1的价格R=2元。 在维持效用水平不变的前提下 要放弃的衬衫消费数量。 消费者增加一份肯德鸡快餐时所需

(1)求消费者的收入; (2)求商品的价格P2; ⑶写出预算线的方程; (4) 求预算线的斜率; X1 (5) 求E点的MRS12的值 解:(1)图中的横截距表示消费者的收入全部购买商品1的数量 为30单位,且已知P1=2元,所以,消费者的收入M=2元X 30=60。 (2)图中的纵截距表示消费者的收入全部购买商品2的数量为20单位,且由(1)已知收入M=60元,所以,商品2的价格P2斜率二—P1/P2二— 2/3,得F2=M/20=3 元 (3)由于预算线的一般形式为: P1X+PX2二M 所以,由(1)、(2)可将预算线方程具体写为2X+3X=60。 (4)将(3)中的预算线方程进一步整理为X2=-2/3 X 1+20。很清楚, 预算线的斜率为—2/3。 (5)在消费者效用最大化的均衡点E上,有MRS二=MRS二P1/P2, 即无差异曲线的斜率的绝对值即MR勞于预算线的斜率绝对值P1/P2。因此, 在MRS二P/P2 = 2/3。 3请画出以下各位消费者对两种商品(咖啡和热茶)的无差异曲 线,同时请对(2)和(3)分别写出消费者B和消费者C的效用函数。

概率论与数理统计课后习题答案

习 题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现的点数. A =‘出 现奇数点’; (2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数. A = ‘两次点数之和为10’,B =‘第一次的点数,比第二次的点数大2’; (3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A =‘球的最小号码为1’; (4)将,a b 两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,A =‘甲盒中至少有一球’; (5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量, A =‘通过汽车不足5台’, B =‘通过的汽车不 少于3台’。 解 (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =L , 135{,,}A e e e =。 (2) {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; {(4,6),(5,5),(6,4)}A =; {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 (3) {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (4) {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒; {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 (5) {0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,} S A B ===L L 。 2.设,,A B C 是随机试验E 的三个事件,试用 ,,A B C 表示下列事件: (1)仅A 发生; (2),,A B C 中至少有两个发生; (3),,A B C 中不多于两个发生; (4),,A B C 中恰有两个发生; (5),,A B C 中至多有一个发生。 解 (1)ABC (2)AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ; (3)A B C U U 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC U U U U U U ; (4)ABC ABC ABC U U ; (5)AB AC BC U U 或 ABC ABC ABC ABC U U U ; 3.一个工人生产了三件产品,以(1,2,3)i A i =表示第i 件产品是正品,试用i A 表示下列事件:(1)没有一件产品是次品;(2)至少有一件产品是次品;(3)恰有一件产品是次品;(4)至少有两件产品不是次品。 解 (1)123A A A ;(2)123A A A U U ;(3) 123123123A A A A A A A A A U U ;(4)121323A A A A A A U U 。 4.在电话号码中任取一个电话号码,求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A =‘任取一电话号码后四个数字全不相同’,则 5.一批晶体管共40只,其中3只是坏的,今从中任取5只,求 (1)5只全是好的的概率; (2)5只中有两只坏的的概率。 解 (1)设A =‘5只全是好的’,则 537540 ()0.662C P A C =B ;

概率论与数理统计期末考试卷答案

《概率论与数理统计》 试卷A (考试时间:90分钟; 考试形式:闭卷) (注意:请将答案填写在答题专用纸上,并注明题号。答案填写在试卷和草稿纸上无效) 一、单项选择题(本大题共20小题,每小题2分,共40分) 1、A ,B 为二事件,则A B = U () A 、A B B 、A B C 、A B D 、A B U 2、设A ,B ,C 表示三个事件,则A B C 表示( ) A 、A , B , C 中有一个发生 B 、A ,B ,C 中恰有两个发生 C 、A ,B ,C 中不多于一个发生 D 、A ,B ,C 都不发生 3、A 、B 为两事件,若()0.8P A B =U ,()0.2P A =,()0.4P B =, 则( )成立 A 、()0.32P A B = B 、()0.2P A B = C 、()0.4P B A -= D 、()0.48P B A = 4、设A ,B 为任二事件,则( ) A 、()()()P A B P A P B -=- B 、()()()P A B P A P B =+U C 、()()()P AB P A P B = D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立,则下列说法错误的是() A 、A 与 B 独立 B 、A 与B 独立 C 、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为 其分布函数为()F x ,则(3)F =() A 、0 B 、0.3 C 、0.8 D 、1 7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1] ()0, cx x f x ?∈=??其它 ,则常数c = () A 、 15 B 、1 4 C 、4 D 、5

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量

probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律

概率论与数理统计基本知识

概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1.概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ,如果它满足如下三个条件: (1)非负性 A A P ?≥,0)( (2)正规性 1)(=ΩP (3)可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2.几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ,每一基本事件与S 内的点一一对应,则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。(若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比,而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。)==(每点等可能性)则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3.条件概率与乘法公式: 设A,B 是试验E 的两个随机事件,且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下,事件A 发生的条件概率。(其中)(AB P 是AB 同时发生的概率) 乘法公式:)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4.全概率公式与贝叶斯公式: (全概率公式)定理:设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分,n i A P i ,...,2,1,0)(=>,B 是任一事件,则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 (贝叶斯公式)定理:设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分,n i A P i ,...,2,1,0)(=>,B 是任一事件,则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5.事件的独立性: 两事件的独立性:(定义)设A 、B 是任意二事件,若P(AB)= P(A)P(B),则称事件A 、B 是相互独立的。(直观解释)A 、B 为试验E 的二事件,若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数:

水力学第三章课后习题答案

2.23 已知速度场x u =2t +2x +2y ,y u =t -y +z ,z u =t +x -z 。试求点(2,2,1)在t =3 时的加速度。 解:x x x x x x y z u u u u a u u u t x y z ????= +++???? ()()2222220t x y t y z =+++?+-+?+ 26422t x y z =++++ ()2321t x y z =++++ y y y y y x y z u u u u a u u u t x y z ????=+++???? ()()101t y z t x z =+--+++-? 12x y z =++- z z z z z x y z u u u u a u u u t x y z ????= +++???? ()()12220t x y t x z =++++-+- 12t x y z =++++ ()()3,2,2,12332221134x a =??+?+++=(m/s 2 ) ()3,2,2,112223y a =++-=(m/s 2 ) ()3,2,2,11324111z a =++++=(m/s 2 ) 35.86a = = =(m/s 2 ) 答:点(2,2,1)在t =3时的加速度35.86a =m/s 2。 3.8已知速度场x u =2 xy ,y u =– 3 3 1y ,z u =xy 。试求:(1)点(1,2,3)的加速度;(2) 是几维流动;(3)是恒定流还是非恒定流;(4)是均匀流还是非均匀流。 解:(1)4 4 4 2103 3 x x x x x x y z u u u u a u u u x y x y x y t x y z ????= +++=- += ????

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