椭圆标准方程推导方法的探究_
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椭圆标准方程推导方法的探究
作者:陈明辉
来源:《中学生数理化·学研版》2015年第03期
椭圆是中学数学中的一个重点内容,在教学上,它的逻辑是从一个公式说起的,那就是到两个不同点的距离和为定值的点的集合.当我们用数学的方法将这个曲线画出来,我们发现了
神奇的椭圆.推导椭圆标准方程,不止一种方法,这些方法的背后体现的数学思想和方法也不
尽相同.笔者发现在椭圆的推导过程中,每一个计算方法,都有着非常丰富的研究意义,并且
在推导过程中所获得的知识远远高于推导的结果.下面笔者结合多年从事数学教育的经验总结
出三种推导方法,以供参考.
一、确立一个核心:采用直接推导法
这种方法是根据椭圆的数学定义出发,根据定义直接列出方程,然后通过对方程进行变形求解出椭圆的标准方程的方法.这种标准的确立是将椭圆的标准方程认为的划分成两种.即:建立一个坐标系,画两个椭圆,且中心都在坐标原点上,但不同的就是一个椭圆的焦点在x轴上,另一个椭圆在y轴上.这样一来,椭圆就直观的展现在学生的面前,可以利用直接推导法
展开最开始的椭圆教学,简单易懂并且还可以加深对椭圆的理解,从某种意义上来讲,这种非常简单直观的推导方法实际上却是最行之有效的方法,因为这种方式推导出来更接近椭圆的本质,推导起来通常不会出错.其大概的推导过程如下:
将已知的两点连线,以中心为零点,以连线方向为x轴,中点为原点,那么可以假设第一点的坐标为(-c,0),则第二点的坐标为(c,0),假设定义中所说的到两点的距离之和为
2a,那么(x,y)点到达两点的距离之和就是点(x,y)分别到达点(-c,0)与点(c,0)
的距离之和.根据两点之间的距离公式,可以得出:
(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a.
这就是椭圆的方程,通过数学变形,将方程左边的根号去掉,并且将方程右边变成1的形式,这种方程就成为了椭圆的标准方程.
为了去掉根号,方程两边可直接平方,得到(x+c)2+y2(x-c)2+y2=2a2-(x2+y2+c2).
也就是(x2+y2+c2)+(2cx)(x2+y2+c2)-(2cx)=2a2-(x2+y2+c2),即
(x2+y2+c2)2-(2cx)2=2a2-(x2+y2+c2),这时将方程两边进行平方,整理可得到椭圆的
标准方程,即x2a2+y2b2=1,这里的b2=a2-c2.
上面的推导是从椭圆的基本定义出发,结合图例的展示完全运用平方、移项和开方的方法对原方程进行变形和整理,得到一个简洁的方程,符合数学简洁之美的大道.在数学中,常常
存在这样一种现象,那就是当一个知识点尤其是对一些基本方程的推导,往往从基本的定义为