专题训练(一) 矩形中的折叠问题(选做)
专题训练(一) 矩形中的折叠问题
(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( )
A．12 B．10 C．8 D．6
2．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＝60°.现沿直线
GE将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则图中与∠BEG相等的角的个数为
( )
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那
么∠EHF的度数等于________．
4．把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3 cm，
BC＝5 cm，则重叠部分△DEF的面积是________cm2.
5．如图，折叠矩形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10 cm，AB＝8 cm，求：
(1)FC的长；
(2)EF的长．
6．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF，且AB＝10 cm，
AD＝8 cm，DE＝6 cm.
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)求BF的长；
(3)求折痕AF长．
7．将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m＞0)，点D(m，1)在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.
(1)当m＝3时，求点B的坐标和点E的坐标；(自己重新画图)
(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．
8．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10.
(1)求矩形ABCD的周长；
(2)E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．
①求DE的长；
②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．
(3)M是AD上的动点，在DC上存在点N，使△MDN沿折痕MN折叠，点D落在BC边上点T处，求线段CT长度的最大值与最小值之和．
参考答案
1.B
2.A
3.56°
4.
5.1
5.(1)由题意可得AF＝AD＝10 cm，
在Rt△ABF中，AB＝8 cm，AF＝10 cm，
∴BF＝6 cm.
∴FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm)．
（2）由题意可得EF＝DE，可设EF的长为x，
则在Rt△EFC中，(8－x)2＋42＝x2，解得x＝5，
即EF的长为5 cm.
6.(1)证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，
∴AE＝AB＝10，AE2＝102＝100.
又∵AD2＋DE2＝82＋62＝100，
∴AD2＋DE2＝AE2.
∴△ADE是直角三角形，且∠D＝90°.
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）设BF＝x，则EF＝BF＝x，EC＝CD－DE＝10－6＝4(cm)，FC＝BC－BF＝8－x，在Rt△EFC中，EC2＋FC2＝EF2，
即42＋(8－x)2＝x2.
解得x＝5.
故BF＝5 cm.
(3)在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2＋BF2＝AF2，
∵AB＝10 cm，BF＝5 cm，
∴AF＝102＋52＝55(cm)．
7．(1)如图，点B的坐标为(3，4)．
∵AB＝BD＝3，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴∠BAD＝45°.
∴∠DAE＝∠BAD＝45°.
∴E在y轴上．AE＝AB＝BD＝3，
∴四边形ABDE是正方形，OE＝1.
∴点E的坐标为(0，1)．
（2）点E能恰好落在x轴上．
理由如下：∵四边形OABC为矩形，
∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCO＝90°.
由折叠的性质可得：DE＝BD＝OA－CD＝4－1＝3，AE＝AB＝OC＝m.
假设点E恰好落在x轴上，
在Rt△CDE中，由勾股定理可得EC＝DE2－CD2＝32－12＝2 2.
则有OE＝OC－CE＝m－2 2.
在Rt△AOE中，OA2＋OE2＝AE2.
即42＋(m －22)2＝m 2
.
解得m ＝3 2.
8.(1)周长为2×(10＋8)＝36.
(2)①∵四边形ABCD 是矩形，
由折叠对称性得AF ＝AD ＝10，FE ＝DE.
在Rt △ABF 中，由勾股定理得BF ＝6，
∴FC ＝4.
在Rt △ECF 中，42＋(8－DE)2＝EF 2，
解得DE ＝5.
②分三种情形讨论：若AP ＝AF ，∵AB ⊥PF ，∴PB ＝BF ＝6；
若PF ＝AF ，则PB ＋6＝10.解得PB ＝4；
若AP ＝PF ，在Rt △APB 中，AP 2＝PB 2＋AB 2，设PB ＝x ，则(x ＋6)2－x 2＝82.
解得x ＝73
. ∴PB ＝73
. 综合得PB ＝6或4或73
. （3）当点N 与C 重合时，CT 取最大值是8，
当点M 与A 重合时，CT 取最小值为4，
所以线段CT 长度的最大值与最小值之和为12.
人教版八年级数学下册《矩形中的折叠问题》
《矩形中的折叠问题》教学设计 一、内容和内容解析 （一）内容 人教版八年级下册《矩形中的折叠问题》 (二)内容解析 在初中数学中，矩形的折叠是我们常见的一种数学问题，也是初中数学新教材中的一个重要内容，在中考中常以选择、填空的形式出现.这类问题的解决是有规可循的，由于矩形的折叠只改变图形的位置，不改变图形的形状及大小，因而在矩形的折叠变换中，保持了许多图形定量的不变性，如图形中线段的长短不变，图形中角的大小不变等.这些图形定量的不变性，在初中几何全等型问题的解决中，具有很重要的运用价值，一些要通过作辅助线进行全等证明的数量关系，由图形的折叠变换就可以直接得到. 矩形折叠问题中蕴含着重要的轴对称知识，因此，解决这类问题的关键是弄清折痕(即对称轴)及其两侧的全等图形，然后利用勾股定理的性质，还可以连接对称点，利用轴对称的性质进行推理、计算。本节课选择矩形折叠中最常见求角度、求线段长两类题型为学习内容。 (三)教学重点 熟练掌握矩形折叠问题中求角度和求线段长的方法。 二、目标和目标解析 （一）目标 新课程标准注重教学内容与现实生活的联系，注重学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程。根据学生现有的知识水平，依据课程标准的要求，我确定了以下的教学目标。 知识与技能：1.掌握折叠问题的方法；2.掌握折叠问题中求角度和求线段长的方法。 过程与方法：通过探究和推理论证，发展学生的分析问题和解决问题的能力；通过经历矩形折叠问题的探究，掌握探究问题的方法；体会利用方程思想、转化思想解决折叠问题的一般方法.
情感态度价值观：提供探究问题的机会，让学生体验数学活动中充满着探索与创新，激发学生学习几何的兴趣，获得解决问题的成功体验。 （二）目标解析 1.通过探究使学生得到解决折叠问题的方法。 2.让学生经历折叠——观察——验证——归纳的认知过程，培养学生解决问题的能力。 3.让学生通过探究，寻找到解决折叠问题的思路，并且从中体会探究过程中所渗透的数学思想。 4.探究过程中引导学生自己去发现问题，解决问题，从而培养学生分析问题，解决问题的能力。 5.在展示环节中鼓励学生勇于展示，善于展示，让学生体验成功，激发学生的探究精神和几何学习的兴趣。 三、教学问题诊断分析 （1）认知基础：学生已经学习过全等三角形、轴对称以及矩形，对全等三角形、轴对称以及矩形的性质有一定的认识，同时在探究等腰三角形性质的过程中已经有了折纸的经验，所以对于本节课的探究学生应该拥有相应的知识和经验基础。（2）心理特征：八年级学生处于青春期，好动，好表现，求知欲望高，有较强的动手能力，获得外界评价的意识强。同时学生又缺乏将动手过程转化为几何语言的能力。从学生的认知基础和心里特征不难看出学生已经拥有了相应的知识基础和探究经验，但同时学生又普遍缺乏透过现象看本质，寻找出折叠的规律。课堂教学中要对学生进行知识、方法、能力方面的梳理，引导学生自己去发现问题，解决问题，从而形成能力。进一步提高学生综合解决数学问题的能力，掌握数学方法和技能。要尽量多地引导学生通过多种方法，合作探究，解决折叠
勾股定理与折叠问题(经典题型)复习过程
勾股定理与折叠问题(经典题型)
与直角有关的折叠问题（一） 1.如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无 缝隙无重叠的四边形EFGH， 若EH=9厘米，EF=12厘米，则边AD的长是( ) A. 12厘米 B. 15厘米 C. 20厘米 D. 21厘米 2. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则 折痕EF的长为( ) A. 6 B. 5 C. D. 3.如图1，四边形ABCD是一矩形纸片，AB=8cm，AD=10cm， E是AD上一点，且AE=8cm．操作：（1）将AB向AE折过去，使AB与AE重合，得折痕 AF，如图2；（2）将△AFB以BF为折痕向右折过去，得图3．则△GFC的面积是( ) A. B. C. D. 4. 如图，已知边长为5的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着
EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是 ( )A. B. C. D. 5.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=6cm，点E在BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在AC 上的点F处，且∠AEF=∠CEF，则AB的长是( ) A. 2cm B. C. 4cm D. 6. 如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，直角边 ，现将△BCD沿CD折叠，点B恰好落在AB的中点E处，则图中阴影部分的面积为( ) A. 2 B. C. D. 7.如图，在矩形ABCD中，，，将△BCD沿对角线BD翻折，点C 落在处，AD与BC′交于点E，连接AC′，则AC′：BD为 ( ) A. B. C. D. 8.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且，将矩形沿直线EF 折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，有下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是( ) A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①④
专题训练矩形中的折叠问题
专题训练(一) 矩形中的折叠问题 (本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做) 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为( ) A．12 B．10 C．8 D．6 2．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＝60°.现沿直线GE将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则图中与∠BEG相等的角的个数为( ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于________． 4．把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3 cm，BC＝5 cm，则重叠部分△DEF的面积是________cm2. 5．如图，折叠矩形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10 cm，AB＝8 cm，求： (1)FC的长； (2)EF的长．
AD＝8 cm，DE＝6 cm. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)求BF的长； (3)求折痕AF长． 7．将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m＞0)，点D(m，1)在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E. (1)当m＝3时，求点B的坐标和点E的坐标；(自己重新画图)
(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上若能，请求出m的值；若不能，请说明理由． 8．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10. (1)求矩形ABCD的周长； (2)E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处． ①求DE的长； ②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．
中考数学专题复习16矩形折叠问题(最新整理)
中考数学专题复习16——矩形折叠问 来源：家学网【相信自己,掌握未来,家学网值得信赖!】2012年05月18日
思路分析：找到由折叠产生的所有等量关系，其中也需要用到方程思想（设未知数，并表示出 其他线段长度） 例2．在长方形ABCD 中，AB=4，BC=8，将图形沿着AC 对折，如 图所示：（1）请说明△ABF △CFF（2）求 思路分析： 在多问设置的证明题中，前几问往往是为后面的问题服务的；所以得到全等之后，也就是得 到了多组等量关系，此时我们再来设未知数，自然可以表示出其他线段了. 例3. 在长方形 ABCD 中，AB=3，BC=5，将图形沿着 EF 对折，使得 B 点与 D 点重合。 （1）说明 DE=DF
（2）求 （3）求EF 的长度 思路分析：（1）要说明 DE=DF，有两种思路： ①可说明全等； ② 可说明△DEF 是等腰三角形，DE、DF 是两腰 所以这个题目既要有能力说明全等也要有能力说明等腰 例4 如图①，将边长为4cm 的正方形纸片 ABCD 沿EF 折叠(点 E、F 分别在边 AB、CD 上)， 使点B 落在AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处，MN 与CD 交于点 P，连接 EP． (1)如图②，若M 为AD 边的中点，①,△AEM的周长= cm；②求证：EP=AE+DP； (2)随着落点 M 在AD 边上取遍所有的位置(点M 不与A、D 重合)，△PDM的周长是否发生变化? 请说明理由． 思路分析：（1）①设 AE=x，由折叠的性质可知 EM=BE=12-x，在Rt△AEM 中，运用勾股定理求AE；②过点 F 作FG⊥AB，垂足为 G，连接 BM，根据折叠的性质得点 B 和点M 关于EF 对称， 即BM⊥EF，又AB=FG，∠A=∠EGF=90°，可证△ABM≌△GFE，把求 EF 的问题转化为求 BM；（2）设AE=x，AM=y，则 BE=EM=12-x，MD=12-y，在Rt△AEM中，由勾股定理得出 x、y 的关 系式，可证Rt△AEM∽Rt△DMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP的周长． 三.能力训练 1.如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后 得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（）.
专题训练(一) 矩形中的折叠问题
专题训练(一) 矩形中得折叠问题 (本专题部分习题有难度,请根据实际情况选做) 1.如图,在矩形ABCD中,AB＝8,BC＝4,将矩形沿AC折叠,则重叠部分△AFC得面积为( ) A.12 B.10 C.8 D.6 2.如图,已知矩形纸片ABCD,点E就是AB得中点,点G就是BC上得一点,∠BEG＝60°、现沿直线GE将纸片折叠,使点B落在纸片上得点H处,连接AH,则图中与∠BEG相等得角得个数为( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 3.如图,将矩形ABCD沿直线EF对折,点D恰好与BC边上得点H重合,∠GFP＝62°,那么∠EHF得度数等于________. 4.把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠,使顶点B与点D重合,折痕为EF、若AB＝3 cm,BC＝5 cm,则重叠部分△DEF得面积就是________cm2、 5.如图,折叠矩形一边AD,点D落在BC边得点F处,BC＝10 cm,AB＝8 cm,求: (1)FC得长; (2)EF得长. 6.如图,四边形ABCD为平行四边形纸片.把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边上,折痕为AF,且AB＝10 cm,AD＝8 cm,DE＝6 cm、 (1)求证:四边形ABCD就是矩形; (2)求BF得长; (3)求折痕AF长. 7.将矩形OABC置于平面直角坐标系中,点A得坐标为(0,4),点C得坐标为(m,0)(m＞0),点D(m,1)在BC上,将矩形OABC沿AD折叠压平,使点B落在坐标平面内,设点B得对应点为点E、
(1)当m＝3时,求点B得坐标与点E得坐标;(自己重新画图) (2)随着m得变化,试探索:点E能否恰好落在x轴上？若能,请求出m得值;若不能,请说明理由. 8.如图,矩形ABCD中,AB＝8,AD＝10、 (1)求矩形ABCD得周长; (2)E就是CD上得点,将△ADE沿折痕AE折叠,使点D落在BC边上点F处. ①求DE得长; ②点P就是线段CB延长线上得点,连接PA,若△PAF就是等腰三角形,求PB得长. (3)M就是AD上得动点,在DC上存在点N,使△MDN沿折痕MN折叠,点D落在BC边上点T处,求线段CT长度得最大值与最小值之与. 参考答案 1、B 2、A 3、56° 4.5.1 5、(1)由题意可得AF＝AD＝10 cm, 在Rt△ABF中,AB＝8 cm,AF＝10 cm, ∴BF＝6 cm、 ∴FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm). (2)由题意可得EF＝DE,可设EF得长为x, 则在R t△EFC中,(8－x)2＋42＝x2,解得x＝5, 即EF得长为5 cm、 6、(1)证明:∵把纸片ABCD折叠,使点B恰好落在CD边上, ∴AE＝AB＝10,AE2＝102＝100、 又∵AD2＋DE2＝82＋62＝100, ∴AD2＋DE2＝AE2、 ∴△ADE就是直角三角形,且∠D＝90°、 又∵四边形ABCD为平行四边形, ∴四边形ABCD就是矩形. (2)设BF＝x,则EF＝BF＝x,EC＝CD－DE＝10－6＝4(cm),FC＝BC－BF＝8－x, 在Rt△EFC中,EC2＋FC2＝EF2, 即42＋(8－x)2＝x2、 解得x＝5、 故BF＝5 cm、 (3)在Rt△ABF中,由勾股定理得AB2＋BF2＝AF2, ∵AB＝10 cm,BF＝5 cm, ∴AF＝102＋52＝55(cm). 7.(1)如图,点B得坐标为(3,4).
与矩形有关的折叠问题
与矩形相关的折叠问题 在矩形的性质及判定的应用过程中，折叠类的题目是比较多见的，同时也是矩形和角平分线、勾股定理等知识的结合与拓展。折叠是轴对称的另一种描述，因此，在折叠问题中找到折痕即对称轴就是解决此类问题的一个突破口。下面从几个不同的层面展示一下。 例1、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )． (A )60° (B )75° (C )90° (D )95° 分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件的，那么折痕BC 和折痕BD 就充当了角平分线的角色，即∠ABC =∠A /BC ,∠EBD =∠E /BD 。 例2、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O 。 （1）由折叠可得△BCD ≌△BED ，除此之外，图中还存在其他的全等三角形，请你找出来 。 （2）图中有等腰三角形吗？请你找出来 。 （3）若AB =6,BC =8,则O 点到BD 的距离是 。 分析：在这一折叠的过程中，因为是与全等有关的，所以除了像例1一样提供了角的等量关系之外，边的相等是更重要的。问题（1）好解决，进而由全等三角形的对应边相等可以说明（2）的结论是等腰△OBD 。另外，还可以从另一个角度分析。由折痕BD 可以找到 ∠OBD =∠CBD ，由于在矩形中，AD ∥BC ，∠ODB =∠CBD ，经过等量代换∠OBD ＝∠ODB ，然后等角对等边OB =OD 。这是在矩形折叠中比较常见的“角平分线和平行线同时并存”的条件，结论就会出现“等角对等边”的等腰三角形。问题（3）跟计算线段长度有关，这也是勾股定理在折叠中发挥作用的一类题目。因为AD ＝BC ，BC ＝BE ，因此在△ABO 中可以设AO ＝x ，则BO ＝OD ＝8－x ，因为AB ＝6，即可以根据勾股定理列等式：AB 2＋AO 2＝BO 2进行计算了。下面的这个题目就是用这个思路解决的。大家可以尝试一下。 例3、已知：如图，矩形AOBC ，以O 为坐标原点，OB ，OA 分别在x 轴、y 轴上，点A 坐标为（0,3），∠OAB ＝60°,以AB 为轴对折后，使C 点落在D 点处，求D 点的坐标. O A C B E D
与矩形相关的折叠问题解答方法
与矩形相关的折叠问题 金山初级中学 庄士忠 201508 将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，而这些问题中往往融入了丰富的对称思想，综合了三角形、四边形的诸多知识，千变万化，趣味性强，同时也是矩形和角平分线、勾股定理等知识的结合与拓展。折叠是轴对称的另一种描述，因此，在折叠问题中找到折痕即对称轴就是解决此类问题一个突破口。下面从几个不同的层面展示一下。 一、求角度 例1、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．已知58EFG ∠=°，那么BEG ∠= °． 解析：根据矩形的性质AD ∥BC ，有∠EFG=∠FEC=58°， 再由折叠可知，∠FEC=∠C ′EF=58°，由此得∠BEG=64° 例2、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．(A)60° (B)75° (C)90° (D)95° 分析：在这个问题中是利用折叠矩形的两个角给大家提供条件 的，那么折痕BC 和折痕BD 就充当了角平分线的角色，即∠ABC=∠A /BC,∠EBD=∠E /BD 。 二、求线段长度 例3、如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ） （A ）34（B ）33（C ）24 （D ）８ 解析：由折叠可知，AE=AB=DC=6，在Rt △ADE 中AD=6， DE=3由勾股定理，得AD=33，设EF=x ，则FC=x -33， 在Rt △EFC 中由勾股定理求得x=32,则EF=32，在Rt △AEF 中，由勾股定理得AF=34。故选A 。 A B C D E F A B E C D F G C ' D '
矩形中的折叠问题
矩形折叠中的计算问题 折叠矩形中这类计算，形式多样，新颖独特，有利于考查同学们的空间想象能力和动手操作能力。 解决这类问题应把握两点：①折叠前后折痕(即对称轴)两侧的图形是全等图形；②折叠前后对应点的连线被折痕((即对称轴)垂直平分。 解决这类问题的基本方法是利用勾股定理构建方程。下面将有关的计算进行归纳整理， 供同学们参考。 一、角度的计算 例1、如图1，把矩形ABCD沿EF对折，若∠1=500，求∠AEF的度数。 二、边长的计算 例2、如图2，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上一点F处。若AB=8，且⊿ABF的面积为24，求EC的长。 例3、如图3，是一矩形的纸片，其中AD=2.5，AB=1.5。按下列步骤折叠：将其对折，使AB落在AD上，折痕为AE，再将⊿ABE以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则CF的长是( ) A.0.5 B.0.75 C.1 D.1.25 三、折痕的计算 例4、有一矩形纸片，其中宽AB=6cm，长BC=8cm。现按如图4所示 的方法作折纸游戏，将它折叠使B点与D点重合，求折痕EF的长。 四、面积的计算 例5、如图5，将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在点'C处， ' BC交AD于E。已知AD=8，AB=4，求⊿BDE的面积。
实战练习： 1、如图1，是一矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，现作折纸游戏，使点B与点D 重合，折痕为EF，求DE的长。 2、在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD沿CE折叠，使点D恰好落在对角线AC 上的点F处。 ①求EF的长; ②求梯形ABCE的面积. 矩形的折叠与阴影部分的面积 矩形的折叠问题，一般是关于面积等方面的计算问题，其在考查同学们的逻辑思维能力和空间想象能力．解决与矩形折叠有关的面积问题，关键是将轴对称特征、勾股定理以及矩形的有关性质结合起来．请看几例． 例1、如图1，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处．已知 CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分的面积为_________． 图1 例2、把图2的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处如图），已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_________．
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思想方法专题：矩形中的折叠问题 ——体会折叠中的方程思想及数形结合思想 ◆类型一 折叠中求角度 1．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF .若∠EFC ′＝125°，那么∠ABE 的度数为( ) A ．15° B ．20° C ．25° D ．30° 第1题图 第2题图 2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD ，使AD 和BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN .观察探究可以得到∠ABM 的度数是( ) A ．25° B ．30° C ．36° D ．45° ◆类型二 折叠中求线段长 3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD 中，AD ＝4cm ，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在 E 处，AE 交DC 于点O ，若AO ＝5cm ，则AB 的长为( ) A ．6cm B ．7cm C ．8cm D ．9cm 第3题图 第4题图 4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△ABE 沿BE 折叠，使点A 恰好落在对角线BD 上的F 处，则DE 的长是( ) A ．3 B.245 C ．5 D.89 16 5．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，点E 为BC 的中点，将 △ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内的点F 处，连接CF ，则CF 的长为________．
◆类型三折叠中求面积 6．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E. (1)求证：△AFE≌△CDE； (2)若AB＝4，BC＝8，求图中阴影部分的面积． 7．★(2016·福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM. (1)当AN平分∠MAB时，求DM的长； (2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．
矩形中的折叠问题教案
课题：矩形中的折叠问题 114中学 张爱 教学目标： 知识与技能：灵活运用矩形的性质、轴对称性质、全等三角形等知识解决矩形中 的折叠问题. 过程与方法：在分析三类基本折叠问题的过程中，体会利用方程思想、转化思想 解决折叠问题的一般方法. 情感态度价值观：通过综合应用数学知识解决折叠问题，体会知识间的联系，感 受数学学习的乐趣. 教学重点：解决矩形中的折叠问题. 教学难点：综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系. 教学方法：引导探究式教学 教学过程 （一）课堂引入 师：将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，今天我们就来研究矩形的折叠问题. （二）讲授新课 例1：如图，已知矩形ABCD ，将BCD △沿对角线BD 折叠， 点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F . 师：根据图像，你能发现图中有哪些相等的线段和角吗？ 生：AB=DC=ED ，BF=DF ，AF=EF ，BC=BE=AD ； ∠E =∠A=90°，∠ABF =∠EDF ，∠FBD =∠FDB =∠DBC ，∠BDC =∠BDE ； 师：由此，我们可以归纳出图中的三角形具有哪些特殊的性质？ 生：△EBD ?△CBD ?△ADB 且都是直角三角形，△ABF ?△EDF ；△FBD 是等腰 三角形；并且△EBD 与△CBD 关于直线BD 对称，若连接EC ，则BD 垂直平分EC （对称轴垂直平分对应点之间的连线）. 师：我们将矩形纸片沿对角线进行折叠，折叠后的图形中含有全等三角形、等腰 三角形，以及轴对称图形，下面我们就来看看几个具体的问题： （1） 若∠ADE =20°，求∠EBD 的度数． （2） 若4=AB ，8BC =，求AF ． B C D E F A
初中数学中的折叠问题
. . 初中数学中的折叠问题 对于折叠问题，我们要明白： 1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换． 2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系． 4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形 5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解． 一、矩形中的折叠 1．将一长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度． BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD 则∠CBD = 90° 折叠前后的对应角相等 2．如图所示，一矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是． 沿BC折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA’，即AF = 1 2 AA’，又DE∥BC，得到△ABC ∽△ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积 = 24 对称轴垂直平分对应点的连线 3．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，求AG的长． 由勾股定理可得BD = 5，由对称的性质得△ADG ≌△ A’DG，由A’D = AD = 3，AG’ = AG，则A’B = 5 – 3 A' C D
专题训练(一)矩形中的折叠问题
专题训练（一）矩形中的折叠问题 （本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做 ） 在矩形 ABCD 中, AB= 8, BC = 4,将矩形沿 AC 折叠，则重叠部分△ AFC 的面积为（ ） B . 10 C . 8 D . 6 (1) FC 的长; (2) EF 的长. 6. 如图，四边形 ABCD 为平行四边形纸片.把纸片 ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边上，折痕为 AF ，且AB = 10 cm, 1如图, A . 12 2.如图， 点B 落在纸片上的点 H 处，连接AH, A . 5个 B . 4个 则图中与/ C / BEG= 60 ° .现沿直线GE 将纸片折叠，使 BEG 相等的角的个数为（ ） .2个 3.如图，将矩形ABCD 沿直线EF 对折, 点D 恰好与 H 重合，/ GFP= 62 ，那么/ EHF 的度数等于 4._________________________ 把一张矩形纸片（矩形 ABCD 按如图方式折叠，使顶点 叠部分△ DEF 的面积是 B 和点D 重合，折痕为 EF.若 AB= 3 cm ，BC= 5 cm ，则重 5.如图，折叠矩形一边 已知矩形纸片 BC 边上的点 求: AD,点D 落在BC 边的点
AD= 8 cm , DEE= 6 cm. (1)求证：四边形ABCD是矩形; ⑵求BF的长; ⑶求折痕AF长. 7. 将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0, 4)，点C的坐标为(m, 0)(m > 0)，点D(m, 1)在BC上, 将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E. (1)当m= 3时，求点B的坐标和点E的坐标；(自己重新画图)
细说矩形折叠题
细说矩形折叠题 为了考查同学们的数行结合思想的运用和空间想象能力，近年来中考中出现众多的折叠问题。解决这类问题的关键是要根据轴对称图形的性质，弄清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠前后图形之间的关系以及哪些条件可以用。下面分类说明矩形中折叠问题的求解策略。 一、折叠后求长度 例1、将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．3 解析：由对称的性质，易得BC=CO ，则四边形AECF 为菱形，则AC=2CO ，所以AC=2BC ，又四边形ABCD 是矩形，所以∠B=90°，则在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC 2－BC 2=AB 2，所以3BC 2=9，则BC=3。所以边BC 的长是3厘米。 评注：本题在应用矩形和菱形的性质的同时，充分运用了对称的性质和勾股定理等知识，既考查了同学们的空间想象能力，同时考查同学们综合运用知识的能力。 二、折叠后求角度 例2、将矩形纸片ABCD （图3 －1）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折 痕折叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图3－2）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在BC 边上，折痕EF 交AD 边于点F （如图3－3）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE 的度数为（ ） A E A B 图 图
图3－1 图3－2 图3－3 （A）60°（B）67.5°（C）72°（D）75° 解析：解决本题的关键是要能想象出折叠的整个过程，或动手操作展示折叠过程，然后利用轴对称的性质进行求解。如图3－2的虚线就是折叠的过程，在第一次折叠时，可得∠BAE=∠EAF=45°， 再由第二次折叠，可得∠EA1F=∠EAF=45°，∠AFE=∠EFA1= 2 1 ∠AFA1，又因为在矩形ABCD中，因为AD∥BC，∠EA1F+∠AFA1=180°，所以∠AFA1=135°，所以∠AFE=67.5°。故选B。 评注：本题对动手操作能力和空间想象能力要求较高，因为是连续折叠，所以想象有点困难，解决问题的最好办法就是动手操作后，再画出折痕，明确折叠前后的图形，找出它们之间的关系（如角之间的关系），然后充分利用这些关系求解。 三、折叠后判形状 例3、如图4，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O为顶点把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是 A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形 解析：最简单的方法就是取一张纸动手操作一下，即拿一张纸片，按照已知的步骤折叠，然后剪出图形，展开后，就会发现图形是正六边形。其实也不难想象，首先对折一次，然后又分成三份折叠，显然是六份，所以选D。 评注：“折纸判形状”一直是考试的热点，主要考查同学们的动手操作能力，和活跃考 图4
矩形的折叠问题
矩形的折叠问题 通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题，从中抽象出基本的规律，找到解决这类问题的常规方法 一、知识点： 1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等 2、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形 3、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x ，然后根据轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解． 题型一：求角度 1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD= 度． 2. 如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（ ） 3. 把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ） 题型二、判断三角形的形状 1.将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状 三角形． 2.如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC= 8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积． 归纳：重合部分是以折痕为底边的等腰三角形 题型三： 1. 如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．
2.如图．矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点 F 处，折痕为AE，且EF=3．则AB的长为 3.矩形ABCD中，BC=8，DC=6，将该矩形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，求EF的长( ) 归纳：根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解 练习： 1.如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为多少？ 2.如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（） 3.如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=3，BC=4，现将直角边AC沿直线AD折 叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？（） 4.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD 沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A′、D′处，则整个阴影部分图形的周长为
矩形中的折叠问题教案
课题：矩形中的折叠问题 114中学 张爱 教学目标： 知识与技能：灵活运用矩形的性质、轴对称性质、全等三角形等知识解决矩形中的折叠问题. 过程与方法：在分析三类基本折叠问题的过程中，体会利用方程思想、转化思想解决折叠问题的一般方法. 情感态度价值观：通过综合应用数学知识解决折叠问题，体会知识间的联系，感受数学学习的乐趣. 教学重点：解决矩形中的折叠问题. 教学难点：综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系. 教学方法：引导探究式教学 教学过程 （一）课堂引入 师：将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，今天我们就来研究矩形的折叠问题. （二）讲授新课 例1：如图，已知矩形ABCD ，将BCD △沿对角线BD 折 叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F . 师：根据图像，你能发现图中有哪些相等的线段和角吗 生：AB=DC=ED ，BF=DF ，AF=EF ，BC=BE=AD ； ∠E =∠A=90°，∠ABF =∠EDF ，∠FBD =∠FDB =∠DBC ，∠BDC =∠BDE ； 师：由此，我们可以归纳出图中的三角形具有哪些特殊的性质 生：△EBD ?△CBD ?△ADB 且都是直角三角形，△ABF ?△EDF ；△FBD 是等腰三角形；并且△EBD 与△CBD 关于直线BD 对称，若连接EC ，则BD 垂直平分EC （对称轴垂直平分对应点之间的连线）. 师：我们将矩形纸片沿对角线进行折叠，折叠后的图形中含有全等三角形、等腰三角形，以及轴对称图形，下面我们就来看看几个具体的问题： （1） 若∠ADE =20°，求∠EBD 的度数． （2） 若4=AB ，8BC =，求AF ． B C D E F A
最新湘教版八年级下数学解题技巧专题：矩形中的折叠问题
解题技巧专题：矩形中的折叠问题 ——找准方法，快准解题 ◆类型一 折叠中求角度 1．如图所示，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ′处，折痕为EF .若∠EFC ′＝125°，那么∠ABE 的度数为( ) A ．15° B ．20° C ．25° D ．30° 第1题图 第2题图 2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形ABCD ，使AD 和BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，同时得到线段BN .观察探究可以得到∠ABM 的度数是( ) A ．25° B ．30° C ．36° D ．45° ◆类型二 折叠中求线段长【方法9】 3．如图，矩形ABCD 中，对角线AC ＝23，E 为BC 边上一点，BC ＝3BE ，将矩形ABCD 沿AE 所在的直线折叠，使B 点恰好落在对角线AC 上的B ′处，则AB ＝________． 第3题图 第4题图 4．(郴州桂阳县期末)如图，一块矩形纸片的宽CD 为2cm ，点E 在AB 上，如果沿图中的EC 对折，B 点刚好落在AD 上的B ′处，此时∠BCE ＝15°，则BC 的长为________． 5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，折叠纸片使A 点恰好落在对角线BD 上的点A ′处，折痕为DG ，则AG 的长为( ) A ．1 B.43 C.32 D ．2 第5题图 第6题图 ◆类型三 折叠中求面积 6．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝8，CD ＝6，将△BCD 沿对角线BD 翻折，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则△BDE 的面积为( ) A.754 B.214 C ．21 D ．24 7．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB
矩形中的折叠问题教案
课题：矩形中的折叠问题 114中学 张爱 教学目标： 知识与技能：灵活运用矩形的性质、轴对称性质、全等三角形等知识解决矩形中 的折叠问题. 过程与方法：在分析三类基本折叠问题的过程中，体会利用方程思想、转化思想 解决折叠问题的一般方法. 情感态度价值观：通过综合应用数学知识解决折叠问题，体会知识间的联系，感 受数学学习的乐趣. 教学重点：解决矩形中的折叠问题. 教学难点：综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系. 教学方法：引导探究式教学 教学过程 $ （一）课堂引入 师：将矩形按不同要求进行折叠，就会产生丰富多彩的几何问题，今天我们就来研究矩形的折叠问题. : （二）讲授新课 例1：如图，已知矩形ABCD ，将BCD △沿对角线BD 折叠，点C 落在点E 处，BE 交AD 于点F . 师：根据图像，你能发现图中有哪些相等的线段和角吗 生：AB=DC=ED ，BF=DF ，AF=EF ，BC=BE=AD ； ∠E =∠A=90°，∠ABF =∠EDF ，∠FBD =∠FDB =∠DBC ，∠BDC =∠BDE ； 师：由此，我们可以归纳出图中的三角形具有哪些特殊的性质 生：△EBD ?△CBD ?△ADB 且都是直角三角形，△ABF ?△EDF ；△FBD 是等腰三 角形；并且△EBD 与△CBD 关于直线BD 对称，若连接EC ，则BD 垂直平分EC （对称轴垂直平分对应点之间的连线）. ` 师：我们将矩形纸片沿对角线进行折叠，折叠后的图形中含有全等三角形、等腰 三角形，以及轴对称图形，下面我们就来看看几个具体的问题： （1） 若∠ADE =20°，求∠EBD 的度数． B C D E F A
初中数学专题_折叠问题
专题八折叠问题 学习要点与方法点拨： 出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题 折叠问题中，常出现的知识时轴对称。折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等； 考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；轴对称性质-----折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。 压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。 基本图形： 在矩形ABCD中，将△ABF沿BE折叠至△FBE,可得何结论 （1）基本图形练习： 如图，将三角形纸片ABC沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB上，折痕为AD，展开纸片；再次折叠，使得A 和D点重合，折痕为EF,展开纸片后得到△AEF,则△AEF是等腰三角形，对吗 （2）折叠中角的考法与做法： 将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使得A落在BC边上的点F处，折痕为BE（图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE边上的点D’，折痕为EG（图2）,再展开纸片，求图（3）中角a的大小。 结论：（1）全等；（2）垂直。
（3）折叠中边的考法与做法： 如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处， 折痕为FH，点C落在Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是多少 ★解题步骤： 第一步：将已知条件标在图上； 第二步：设未知数，将未知数标在图上； 模块精讲 例1.（2014?扬州）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处． （1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA． ①求证：△OCP∽△PDA； ②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长； （2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数； （3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A 不重合），
2017年中考数学复习专题图形折叠问题及答案
2017年中考数学一轮复习专题 图形折叠问题综合复习 一选择题： 1.如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB=55°，则∠DAF=( ) A．40° B．35° C．20° D．15° 2.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（） A．50° B．55° C．60° D．65° 3.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（） A．12 B．24 C．12 D．16 4.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE长为（） A．3 B．4 C．5 D．6 5.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3，则BC的长为（） A．1 B．2 C. D.
6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（） A．12 B．10 C．8 D．6 7.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（） A.7 B.8 C．9 D． 10 8.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（） A．78° B．75° C．60° D．45° 9.如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN．若CE的长为7cm，则MN的长为（） A． 10 B． 13 C． 15 D． 12 10.如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是 ( ) A．12厘米 B．16厘米 C．20厘米 D．28厘米
矩形中的折叠问题教学设计教学提纲
课题：（复习课）矩形中的折叠问题 绛县县直初中袁雪 复习目标： 知识与技能：灵活运用矩形的性质、轴对称性质、全等三角形等知识解决矩形中的折叠问题. 过程与方法：在分析基本折叠问题的过程中，体会利用方程思想、转化思想解决折叠问题的一般方法. 情感态度价值观：通过综合应用数学知识解决折叠问题，体会知识间的联系，感受数学学习的乐趣. 教学重点：解决矩形中的折叠问题. 教学难点：综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系. 学习过程： 操作一：折一折 如图是一张长方形纸片ABCD,请你利用它折叠出一个菱形，并在图中画出它，且说出它是一个菱形的理由。 要求：菱形的四个顶点都在长方形的边上。 D 解题回顾：通过折叠，你有什么体会？ C （设计意图：折叠过程就是轴对称变换,折痕就是对称轴，折痕两边的图形全等。）例1： 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在边AD上，落点记为E，这时折痕与边CD或者BC（含端点）交于点F，与边AB或者边AD（含端点）交于点G，然后展开铺平，则四边形BFEG成为矩形ABCD的“折叠四边形”。 （1）如图1，当点E在图1的位置时，请做出此时的“折叠四边形”BFEC(要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹)。此时，图一中的等腰三角形有。（2）在折叠矩形的过程中，借助图2、图3探究: 当点E是AD的中点是“折痕四边形”BFEG的边EG的长是。 当AE= 时，“折痕四边形”BFEG是正方形。 当AE的取值范围是时，“折痕四边形”BFEG是非正方形的菱
形。 设计意图： （将矩形沿对角线进行折叠，我们从翻折产生的性质和背景图形的性质两方面入手，分析出了图中相等的线段和角，找到了全等三角形，等腰三角形，从而解决了问题. 图中还隐含着一个重要的基本几何图形， 即角平分线和平行线结合在了一起，这时会出现等腰三角形，这对于我们解题有很大帮助.因此我们在识图时一定要注意挖掘出图中的基本几何图形. 另外勾股定理是解决此类问题的有力工具，利用设未知数构造方程的方法，体现了数学中的方程思想.） 二、操作二： 如图，a 是长方形纸带，将纸带沿EF 折叠成图b ， 如果∠GEF=20°，那么 ∠AEG= . 如果再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是 . （ 设计意图：折叠问题中, 求角度时，往往可通过动手折叠，或将图形还原。） 例2： 如图，点E 、F 分别是矩形纸片ABCD 的边AD 、BC 上的任意两点，沿EF 折叠该纸片后，点A 、B 分别落在了点A ’、B ’处，FB ’与边AD 交于点G （在折叠过程中，始终保持FB ’与边AD 有交点）。请解答下列问题： （1）、若矩形ABCD 的周长为35，则四边形A ’B ’GE 与四边形CDGF 的周长之和是 。 （2）、设∠BFE=∠x ，则当ΔEFG 是直角三角形时，∠x 应满足什么条件？ A D C B F 图a 图c D B A