分式单元复习教案_教师版

考点一：分式的基本概念及分式的运算

（1）分式的概念：整式A 除以整式B ，可以表示成 A

B 的形式，如果除式

B 中含有字母，那么称 A

B

为分式．

（2）分式有意义的条件：若B ≠0，则 A B 有意义；若B=0，则 A

B

无意义；

（3）分式值为0的条件：若A=0且B ≠0，则 A

B

=0

（4）分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等

于零的整式，分式的值不变．

（5）约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分． （6）【主要公式】

1.同分母加减法则:()0b c b c

a a a a

±±=≠

2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da

a c a c ac ac ac

±±=±=≠≠;

3.分式的乘法与除法:b d bd a c ac ?=,b c b d bd

a d a c ac

÷=?=

4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项

5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n

6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m

= a m

b n

,()

n

m mn

a

a

=

7.负指数幂: a -p =1

p a

a 0=1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式

(a+b)(a-b)= a 2- b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：M

B M

A M

B M A B A ÷÷=

??= 9.分式的变号法则：b

a

b a b a b a =--=+--=-- （三）分式的运算

1．确定最简公分母的方法：

①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂. 2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；

②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.

（一）、分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义

【例1】下列代数式中：y

x y

x y x y x b a b a y x x -++-+--1

,

,,21,22π，是分式的有： .

题型二：考查分式有意义的条件

【例2】当x 有何值时，下列分式有意义

（1）

44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x

（5）x

x 11-

题型三：考查分式的值为0的条件

【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3

1

+-x x

（2）

4

2

||2--x x （3）

6

53222----x x x x

题型四：考查分式的值为正、负的条件

【例4】（1）当x 为何值时，分式

x

-84

为正； （2）当x 为何值时，分式)1(35-+-x x

为负；

（3）当x 为何值时，分式

3

2

+-x x 为非负数. 练习：

1．当x 取何值时，下列分式有意义：

（1）

3

||61

-x

（2）

1

)1(32++-x x （3）

x

111+

2．当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4

|1|5+--x x

（2）

5

62522+--x x x

3．解下列不等式

（1）

012

||≤+-x x （2）

03

252

>+++x x x

（二）分式的基本性质及有关题型

题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

（1）y x y

x 4

1313221+- （2）

b

a b

a +-04.003.02.0

题型二：分数的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）y x y

x --+- （2）b a a --- （3）b a ---

题型三：化简求值题

【例3】已知：511=+y x ，求y

xy x y

xy x +++-2232的值.

提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y

x 11+.

【例4】已知：21=-x x ，求221

x

x +的值.

【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求

y

x 241

-的值.

练习：

1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.

（1）

y

x y

x 5.008.02.003.0+-

（2）b a b

a 10

141534.0-+

2．已知：31

=+x x ，求1

2

42++x x x 的值.

3．已知：311=-b a ，求a

ab b b

ab a ---+232的值.

4．若0106222=+-++b b a a ，求b

a b

a 532+-的值.

5．如果21<

x x --2|2|x

x x x |

||1|1+

---.

（三）分式的运算

题型一：通分

【例1】将下列各式分别通分. （1）c

b a

c a b ab c 225,

3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）2

2,

21,

1

2

2

2

--+--x x x

x x

x x ； （4）a

a -+21

,

2

题型二：约分

【例2】约分： （1）3

2

2016xy

y x -；（3）

n m m

n --2

2

；（3）6

222

---+x x x x .

题型三：分式的混合运算

【例3】计算：

（1）4

2232)()()(a

bc ab c c b a ÷-?-；

（2）2

2233)()()3(

x

y x y y x y x a +-÷-?+； （3）m

n m

n m n m n n m ---+-+22； （4）

11

2

---a a a

；

（5）8

7

4321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；

（6）)

5)(3(1

)3)(1(1)1)(1(1+++

++++-x x x x x x ；

（7）)12()2

1444

(22

2+-?--+--x x

x x x x x

题型四：化简求值题

【例4】先化简后求值

（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(4

8

122

x x x x -÷-+--的值；

（2）已知：432z

y x ==，求2

2232z y x xz yz xy ++-+的值；

（3）已知：0132

=+-a a ，试求)1

)(1

(22

a a a

a --的值.

题型五：求待定字母的值

【例5】若1

11312-+

+=--x N

x M x x

，试求N M ,的值.

考点二、分式方程 【主要方法】

1.分式方程主要是看分母是否有外未知数;

2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程;方程两边同乘以最简公分母.

3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系,恰当地设末知数. 题型一：用常规方法解分式方程

【例1】解下列分式方程 （1）

x x 311=-；（2）0132=--x x ；（3）11

4

112=---+x x x ；

（4）x x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根.

题型二：特殊方法解分式方程

【例2】解下列方程 （1）

4441=+++x x x x ； （2）5

6

9108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1；（2）裂项法，6

1

167++=++x x x .

题型三：求待定字母的值

【例4】若关于x 的分式方程

3

132--=-x m

x 有增根，求m 的值. 【例5】若分式方程12

2-=-+x a

x 的解是正数，求a 的取值范围. 提示：03

2>-=

a

x 且2≠x ，2<∴a 且4-≠a .

题型四：解含有字母系数的方程

【例6】解关于x 的方程)0(≠+=--d c d

c

x b a x

提示：（1）d c b a ,,,是已知数；（2）0≠+d c .

题型五：列分式方程解应用题

练习：1．解下列方程： （1）021211=-++-x

x x x ；

（2）3

4

23-=

--x x x ；

（3）22

3

22=--+x x x ；

（4）

1

7137222

2--+

=--

+x x x x x

x

（5）

2

1

23524245--+=--x x x x

（6）4

1215111+++=+++x x x x

（7）6

8

11792--+-+=--+-x x x x x x x x

2．解关于x 的方程：

（1）b x a 211+=)2(a b ≠； （2）)(11b a x

b b x a a ≠+=+.

3．如果解关于x 的方程2

22-=

+-x x

x k 会产生增根，求k 的值.

4．当k 为何值时，关于x 的方程1)

2)(1(23++-=++x x k

x x 的解为非负数.

5．已知关于x 的分式方程

a x a =++1

1

2无解，试求a 的值.

考点三：分式方程的解法

（1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

（2）解法：解分式方程的关键是去分母（方程两边都乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程）；解整式方程；验跟。

（3）增根问题：①增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根——增根；

②验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．

（4）分式方程的特殊解法：换元法、拆项法等。

例1：解分式方程：

22

3

22=--+x x x 解：)4(2)2(3)2(22

-=+--x x x x ，8263422

2

-=---x x x x ，

27-=-x

72=x ，经检验：72=x 是原方程的解，∴原方程的解为7

2=x

例2：

若分式方程

=

无解，求m 的值。

例3：若关于x 的方程

– 1 = 0有增根，则a 的值为 。

例4：用换元法解分式方程： （1

）

+

= （2）（

x - ）2 - 2（

x - ）- 3 = 0

考点四：分式方程的应用

列分式方程解应用题时，应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析和解决问题，注意检验、解释结果的合理性． 例1：(2010湖北荆门) 观察下列计算：

111122

=-? 1112323=-? 1113434=-?

1114545

=-? … …

从计算结果中找规律，利用规律性计算

1111112233445

20092010

++++

?????＝____

__

． 答案：20092010

例2：已知

= + +

（A,B,C 是常数），求A,B,C

的值。

A= - 3/2, B= 5/3 ,C= - 1/6

例3： (2010重庆潼南)某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完

成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天完成此项工程． （1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？

（2）若甲工程队独做a 天后，再由甲、乙两工程队合作 天（用含a 的代数式表示）可完成此项工程；

（3）如果甲工程队施工每天需付施工费1万元，乙工程队施工每天需付施工费2.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？

解：(1)设乙独做x 天完成此项工程，则甲独做（x+30）天完成此项工程．

由题意得：20（

3011++x x ）=1 整理得：x 2

－10x －600=0

（ 解得：x 1=30 x 2=－20

经检验：x 1=30 x 2=－20都是分式方程的解， 但x 2=－20不符合题意舍去- x ＋30=60

答：甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要60天、30天． （2）设甲独做a 天后，甲、乙再合做（20-

3

a

）天，可以完成此项工程． （3）由题意得：1×64)3

20)(5.21(≤-++a a 解得：a ≥36- 答：甲工程队至少要独做36天后，再由甲、乙两队合作完成剩下的此项工程，才能使施工费不超过64万元．