蝴蝶定理的推广极其猜想(数学毕业论文)
本科毕业论文
题目:蝴蝶定理的推广及其猜想
院系：数学与信息科学学院
专业：数学与应用数学
姓名：程琼
学号：
指导教师：赵远英
教师职称：讲师
填写日期： 2015年 9月 20 日
摘要
数学的一门分支是混沌论。混沌论中有一个非常著名的定理——蝴蝶定理。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。
关键词：蝴蝶定理；研究；衍变；
Abstract
One of branches of Mathematics is Choas Theory.And there is a theorem which called Butterfly Theorem is famous.There are all kinds of methods to prove it and it is still researched by people who loves maths so much. Different forms appear in the exam. The Butterfly Theorem contains beautiful imagination and profound turth, and we have gained many achievements about it since tow hundred years ago.And they are all attractive. By now, more than 60 methods
are used to prove the Butterfly Theorem, the primary methods includes Synthsis method、Area method、Triangle method 、Analysis and so on. As the Butterfly theorem changes and popularizes, we can get more than we think.
Key Word: Butterfly theorem, Discuss, Evolve
目录
摘要........................................................................................................................................ I Abstract................................................................................................................................. II 第一章前言. (1)
第二章蝴蝶定理概述 (2)
第一节蝴蝶定理的发展 (2)
一、蝴蝶定理的产生 (2)
二、蝴蝶定理的内容 (2)
三、蝴蝶定理的发展 (3)
第三章蝴蝶定理的证明 (4)
第一节运用简单几何知识的巧妙证明 (4)
一、带有辅助线的常见蝴蝶定理证明 (4)
二、不使用辅助线的证明方法 (6)
第二节运用解析几何的知识证明 (8)
一、函数图像法 (8)
二、函数解析法 (9)
第四章蝴蝶定理的推广与猜想 (9)
第一节蝴蝶定理的推广 (9)
一、椭圆定理 (11)
二、曲线推广 (13)
第二节蝴蝶定理的猜想 (14)
一、猜想一 (14)
二、猜想二 (14)
三、猜想三 (15)
四、结论 (16)
第五章结束语 (17)
致谢 (18)
参考文献 (19)
第一章前言
蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。
这个命题最早作为一个征解问题出现在公元1815年英国的一本杂志《男士日记》（Gentleman's Diary）39-40页上。登出的当年,英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳（他发明了多项式方程近似根的霍纳法）给出了第一个证明，完全是初等的；另一个证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出。另外一种早期的证明由M.布兰德（Miles Bland）在《几何问题》（1827年）一书中给出。最为简洁的证法是射影几何的证法，由英国的J·开世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"（中译：近世几何学初编，李俨译，上海商务印书馆 1956 ）给出，只有一句话，用的是线束的交比。1981年，Crux 杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用解析几何的一种比较简单的方法（利用直线束，二次曲线束）。关于蝴蝶定理的证明，出现过许多优美奇特的解法，并且知道现在还有很大的研究价值。其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它使用的是面积证法。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录老师以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M点不再是中点，能得到坎迪定理、若M、N点是AB的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。
第二章蝴蝶定理概述
数学的一门分支是混沌论。混沌论中有一个非常著名的定理——蝴蝶定理。它是说，一些最轻微的因素，能够在复杂的环境中，引起滔天的巨浪，就好比地球南半球一只蝴蝶轻轻地扇动美丽的翅膀，那微小的气流，已足已引起北半球的飓风和海啸。他的产生和发展对数学界来说，美丽而又洵美。
第一节：蝴蝶定理的发展
对美的向往，是人类的共同追求，对美的热爱，总能够激起人类的内心需求，蝴蝶定理，把平面的图形中最完美的图形——圆和大自然生命中的精灵——蝴蝶和谐地统一在一起，使大家恍惚置身于美丽的田园、清澈的山水之间，身心得到预约的享受。
一、蝴蝶定理的产生
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名。
二、蝴蝶定理的内容
定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ 于X，Y，则M为XY之中点。
如图,过圆中弦AB的中点作M引任意两弦CD和EF,连结CF和ED,分别交AB于P、Q，则PM＝QM 由于此图形似只蝴蝶飞舞，故此定理因此而得名：蝴蝶定理。此定理早在1815年在英国杂志《男士日记》上见刊，征求证明，有意思的是，迟到1972年以前，人们的证明都并非初等，且十分繁琐。然近些年来，证明者不乏其人，使得这只翩翩起舞的蝴蝶栖止不定，变化多端。
三、蝴蝶定理的发展
在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它给予出的是面积证法，其中应用了面积公式：S=1/2 BCSINA。
1969年，查克里恩从订立的定理考虑，给出蝴蝶定理的逆定理：
任何具有蝴蝶性质的凸闭曲线必定是椭圆。
1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
接着，中国科学院成都分院的杨路教授在论文中指出：将蝴蝶定理的弦AB的中点M 推广到弦AB上任一点，有蝴蝶定理的坎迪形式。
同年，我国数学教育者马明在论文中指出，将蝴蝶定理弦AB上的M点，拓广到弦AB外，蝴蝶定理仍然有成立之处。
接下来，蝴蝶定理的研究出现了一个高潮，人们发现，不仅仅是圆，任何二次曲线中蝴蝶定理都有适用的形式，例如，椭圆中的蝴蝶定理。
1990年，出现了筝形蝴蝶定理，并发现，蝴蝶定理在退化的二次曲线中仍然适用。
关于蝴蝶定理的证明，仅在初等几何的范围内，就有多达50多种证法，譬如综合法、面积法、三角法、解析法、相似法、向量法、全等三角形法等等。
第三章蝴蝶定理的证明
第一节：运用简单几何知识的巧妙证明
蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。
一、带有辅助线的常见蝴蝶定理证明
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！
证法1：如图1（证∠POM＝∠QOM）
作CF、DE的弦心距OG、OH，连OM，则OM⊥AB且OGPM四点共圆。
∴∠POM＝∠PGM…①。同理，∠QOM＝∠QHM…②
∵△MFC∽MDE，∴MF﹕FC＝MD﹕DE
∴MF﹕2FG＝MD﹕2DH，
∴MF﹕FG＝MD﹕DH
∠F＝∠D
∴△MFG∽△MDH，
∴∠MGF＝∠MHD…③
由①②③得：∠POM＝∠QOM
∴PM＝QM
证法2：如图2（作△PMD′≌△QM D ） 作C 关于直线OM 的对称点C ＇连C ＇M 交⊙O 于D ＇， 则AC 弧＝BC ＇弧，MD ＇＝MD ， ∠PMD ＇＝∠QMD ∠CPM ＝0.5AF 弧＋0.5BC ＇
C 弧＝0.5AF 弧＋0.5AC 弧＋0.5CC ＇ 弧＝0.5FCC ＇弧＝∠F
D ＇M 从而PFD’M 四点共圆。 ∴∠PD’M＝∠PFM ＝∠D
∴在△PD’M 与△QDM 中
∠PD’M＝∠D MD’＝MD ∠PMD’＝∠QMD ∴△PMD’≌△QMD ∴PM ＝
QM
证法3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。
对NEF ?及截线AMB ，NEF ?及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有
FM EA NB 1ME AN BF ??=，FM ED NC
1ME DN CF ??= 由上述两式相乘，并注意到
NA ND NC NB ?=?
得22FM AN ND BF CF BF CF
ME AE ED BN CN AE ED
?=???=? ()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -==-+--
化简上式后得ME=MF 。[2]
图 4
二、不使用辅助线的证明方法
单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。
证法4：如图3（梅氏定理证法）
延长CF 、ED 相交于G 点。
∵直线CD 截三角形GPQ 三边于C 、M 、D 三点
GC CP ×PM MQ ×QD
DG
=1(1) 直线EF 截△GPQ 三遍与PME 三点 GF FP ×PM MQ ×QE
EG
=1(2) ∴GF ?GC=GD ?GE.CP ?FP=AP ?BP.QE ?QD=BQ ?AQ(3) (3)代入（1）×（2） 得PM ?PM ?BQ ?QA MQ ?MQ ?AP ?BP
=1， 设MB=MA=a
化简得MP=MQ
图 5
D
证法 5 （如图5）
令PMD QMC QMB AMP αβ∠=∠=∠=∠=，，以点M 为视点，对MBC ?和MAD ?分别应用张角定理，有
()()sin sin sin sin sin sin MF MC MB ME MD MA
αβαββαβα
++=+=+，
上述两式相减，
得()()()1
1sin sin sin MC MD MB MA MF ME MC MD MA MB βααβ??+-=--- ?
????
设G H 、分别为CD AB 、的中点，由OM PQ ⊥，有
()()MB MA 2MH 2OM cos 902OM sin MD MC 2MG 2OM cos 902OM sin ββαα
-==?-=-==?-=
于是 ()11sin 0
MF ME αβ??+-= ???，
而180αβ+≠?，知()sin 0αβ+≠， 故ME=MF 。
第二节：运用解析几何的知识证明
在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。
一、函数图像法
图象法的优点： 能直观形象的表示出函数的变化情况。
证法 6
如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为
()2
2
2
x y a R
++=。
直线AB 的方程为1y k x =，直线CD 的方程为
2y k x =。
由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为
()()()2
22120x y a R y k x y k x μλ??++-+--=?????
?
令0y =，
知点E 和点F 的横坐标满足二次方程
()()22
2
120k k x a
R
μλμ++-=，
由于x 的系数为0， 则两根1x 和2x 之和为0， 即12x x =-， 故ME=MF 。[5]
二、函数解析法
解析法的优点： 1.函数关系清楚;
2.容易从自变量的值求出其对应的函数值；
3.便于研究函数的性质。
证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为
()
2
22x a y r -+=
直线AB 、CD 的方程可写为1y k x =,2y k x =。 又设A B C D 、、、的坐标为(),,1,2,3,4
i i x y i =，则14x x 、分别是二次方程
()
()2
2
22222
212,x a k x r x a k x r -+=-+=的一根。
AD 在y 轴上的截距为
()()241111214
41
1111214141
k x k x x k k x x y y y x k x x x x x x x ----
?=-=---
同理，BC 在y 轴上的截距为
()122
3
32
k k x x x x --。
注意到12x x 、是方程
()2
2
221
120k x
ax a r +-+-=的两根，34x x 、是方程()2
2222120k x ax a r +-+-=的两根，所以
34122212342x x x x a x x a r x x ++==-，从而易得 34121234
0x x x x x x x x +=--，
即ME MF =。[4]
证法 8 如图8，以M 为极点，MO 为极轴建立极坐标系。 因C F B 、、三点共线，令BMx CMx αβ∠=∠=，，
则()C F F B C B sin sin sin 22ππρρβρραρρβα????
-+-=- ? ?????
()
C B F B C sin cos cos ρρβαρραρβ
-=
- ○1
()
A D E A D sin cos cos ρρβαρραρβ
-=
- ○2
作OU CD ⊥于U ，作OV AB ⊥于V 。注意到A B C D ρρρρ= ○3 由Rt OUM ?与Rt OVM ?可得
D C
B A cos cos ρρρραβ
--=- ○4 将○3○4代入○1○2可得E F ρρ=， 即ME=MF 。
图 8
第四章 蝴蝶定理的推广和猜想
第一节：蝴蝶定理的推广
一、椭圆定理
如图，已知椭圆的长轴21A A 与x 轴平行，短轴21B B 在y 轴上，中心),0(r M （0>>r b （Ⅰ）写出椭圆方程并求出焦点坐标和离心率；
（Ⅱ）设直线x k y 1=与椭圆交于),(11y x C ，),(22y x D （02>y ），直线x k y 2=与椭圆次于),(33y x G ，),(44y x H （04>y ）．求证：
4
3431212
11x x x x k x x x x k +=+；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的在H G D C ,,,，设CH 交x 轴于P 点，GD 交x 轴于Q 点，求证：
||||OQ OP =（证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形）[6]
18．本小主要考查直线、椭圆和双曲线等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.
（Ⅰ）解：椭圆方程为1)(2
2
22=-+b
r y a x 焦点坐标为),(221r b a F --，),(222r b a F - 离心率a
b a e 2
2-=
（Ⅱ）证明：证明：将直线CD 的方程x k y 1=代入椭圆方程1)(2
2
22=-+
b r y a x ，得 2221222)(b a r x k a x b =-+
整理得： 0)(2)(22222122
122=-+-+b a r a rx a k x k a b 根据韦达定理，得： 2
1
2
2
21212k a b r a k x x +=
+，2
1
2
2
222221k a b b a r a x x +-=
，
所以 r
k b r x x x x 12
221212-=
+ ① 将直线GH 的方程x k y 2=代入椭圆方程1)(2
2
22=-+
b r y a x ，同理可得 r
k b r x x x x 22
243432-=
+ ② 由 ①、②得 r b r x x x x k 22
221211-=
+ = 43432x x x x k + 所以结论成立
（Ⅲ）证明：设点P )0,(p ，点Q )0,(q 由C 、P 、H 共线，得
4
21
141x k x k p x p x =
-- 解得 4
2114
121)(x k x k x x k k p --=
由D 、Q 、G 共线， 同理可得
322
132x k x k p x p x =
-- 3
2213221)(x k x k x x k k q --= 由
212
11x x x x k + = 43432x x x x k + 变形得 42114121)(x k x k x x k k ---=3
2213221)(x k x k x x k k --
所以 q p = 即 OQ OP = [2]
二、曲线推广
通过射影几何，我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线，甚至退化到两条相交直线的情况）。
圆锥曲线C上弦PQ的中点为M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
而通过投影变换可以非常容易证明这个定理。
射影几何里面关于投影变换有一个重要结论，对于平面上任意两个圆锥曲线C1,C2.任意指定C1内部一个点A1和C1上面一个点B1,另外任意指定C2内部一个点A2和C2上面一个点B2,存在一个唯一投影变换将曲线C1变换到C2而且A1变换到A2,B1变换到B2.
由此对于本题，我们可以通过投影变换将C1变换成一个圆M，而将弦PQ的中点M变换成这个圆的圆心。
在此变换以后，弦AB和CD都是圆M的直径而且四边形ACBD是圆M内接矩形，PQ也是一条直径，有对称性显然得出投影变换后M为X,Y的中点。又因为变换前后M都是线段PQ的中点，我们可以得出在直线PQ上这个变换是仿射变换，所以变换前M也是XY的中点。
[3]
第二节：蝴蝶定理的猜想
一、猜想1
在蝴蝶定理中, 显然 OM是 AB的垂线 (O是圆心) , 那么, 我们可以猜想,如果在保持 OM ⊥AB的前提下将圆 O的弦 AB移至圆外, 仍可能会有 PM =QM .
推论1已知直线 AB与⊙O相离. OM ⊥AB, M 为垂足. 过 M作⊙O任意两条割线 MC, M E分别交⊙O于 C, D和 E, F. 连结DE,FC并延长分别交 AB 于 P, Q. 求证: PM = QM.
证明：过 F作 FK∥AB, 交直线 OM于 N,交⊙O于 K .
连结 M K交⊙O于 G. 连结 GQ, GC. 由于 ON ⊥FK,故有 FN = KN,从而M F =M K(因为M在 FK的垂直平分线上) .
又由割线定理知M E·M F = MG·M K .因此 M E = MG. ③
又由∠FMN = ∠KMN, OM ⊥AB,知∠EM P = ∠GMQ. ④
从∠CQM = ∠CFK = ∠CGK知∠CGM +∠CQM= 180° , 从而 G,M, Q, C四点共圆. 所以∠MGQ =∠MCQ.
又由于∠M EP = ∠DEF = ∠DCF = ∠MCQ, 知∠M EP = ∠MGQ. ⑤
由③、④、⑤知△PM E ≌△QMG.所以 PM = QM. [3]
二、猜想2
猜想：既然蝴蝶定理对于双曲线是成立的, 而双曲线是两条不相交的曲线, 那么, 我们可以猜想,如果把两条不相交的曲线换成两条不相交的直线 (也即是两条平行线) , 仍可能会有 PM = QM .
推论 2设点 A、 B分别在两条平行线 l 1、 l 2上,过AB的中点M任意作两条直线 CD和 EF分别交 l 1、 l 2于C、 D和 E、 F, 连结 ED、 CF交 AB于 P、 Q. 求证: PM =QM.
证明：由于 l 1 ∥ l 2 ,M 平分AB, 从而利用△MAC≌△MBD知M平分 CD, 利用△MAE≌△MBF知 M平分 EF.
在四边形 CEDF中, 由对角线相互平分知 CEDF是平行四边形,从而 DE ∥CF. 又由于 M平分 EF,故利用△M EP ≌△M FQ知 PM = QM。[3]
三、猜想3
在蝴蝶定理中, P、Q分别是ED、CF和AB的交点. 如果P、Q分别是CE、DF 和AB延长线的交点,我们猜想可能会有PM = QM
推论 1 过圆的弦 AB的中点M引任意两条弦 CD与 EF, 连结 CE、 DF并延长交 AB 的延长线于 P、 Q. 求证: PM = QM.
证明;设AM =BM = a, PM = x,QM = y ;
∠PM E = ∠QM F =α,∠PCM = ∠DFM =β ;
∠CM E = ∠DM F =γ,∠QDM = ∠CEM =δ ;
记△PM E, △QM F,△PMC, △QMD的面积分别为 S1 , S2 , S3 , S4.
则由恒等式S2·S3·S4·S1= 1
知M P·M Esin αMQ·M Fsinα · FQ·FM sin (π - β)CP·CM sin β ··MCsin (α+γ)·MD sin (α+γ)·DQ·DM sin δEP·EM sin (π - δ )=·DQ·M P2·EP·MQ2 = 1,
即 QF·QD·M P2= PC·PE·MQ2. ②
又由割线定理知PC·PE = PA·PB = ( x - a) ( x + a) = x2- a2,QF·QD = QB·QA = ( y - a) ( y + a) = y2- a2.代入②式,
得 ( y2- a2) x2= ( x2- a2) y2. 即 a2x2= a2y2.
由于 a ≠0, x, y > 0,
所以 x = y .
即 PM = QM.[5]
四、结论
从本质上说，蝴蝶定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，它具有多种形式的推广：
1. M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。
2 .圆可以改为任意二次曲线。
3. 将圆变为一个完全四角形，M为对角线交点。
4. 去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，这对2，3均成立
正是由于它证法的多样性，蝴蝶定理至今仍然被数学热爱者研究，时有出现各种变形的题目，不仅仅是在竞赛中，甚至出现在2003年的北京高考题中。但只要思想得当，证明出来也是比较自然的事。