05 第五节 隐函数的导数
第五节 隐函数的导数
分布图示
★ 隐函数的导数
★ 例1
★ 例2 ★ 例3 ★ 例4
★ 例5
★ 对数求导法 ★ 例6
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 由参数方程所确定的函数的导数
★ 例10 ★ 例 11
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题2-5
内容要点：
一、 隐函数的导数
假设由方程0),(=y x F 所确定的函数为)(x y y =，则把它代回方程0),(=y x F 中，得到恒等式
0))(,(≡x f x F
利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x 求导，再解出所求导数dx
dy ，这就
是隐函数求导法.
二、 对数求导法：形如)()(x v x u y =的函数称为幂指函数. 直接使用前面介绍的求导法则不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量x 求导，最后解出所求导数. 我们把这种方法称为对数求导法. 三、参数方程表示的函数的导数
设??
?==)
()(t y t x ψ?，)(t x ?=具有单调连续的反函数)(1x t -=?, 则变量y 与x 构成复合函数
关系)].([1x y -=?ψ 且
.dt
dx dt dy
dx
dy
=
例题选讲：
隐函数的导数
例1（E01）求由下列方程所确定的函数的导数: 0)cos(si n =--y x x y .
解 在题设方程两边同时对自变量x 求导，得
)1()sin(sin cos =-
?-+?
+dx dy y x dx
dy x y
整理得 x
y y x dx
dy x y x cos )sin(]
sin )[sin(+-=--
解得
.sin )sin(cos )sin(x
y x x y y x dx
dy --+-=
例2 求方程0=+-y x e e xy 所确定的隐函数y 的导数.,
=x dx
dy dx
dy
解 方程两边对x 求导,
0=+-+dx
dy e
e dx
dy x
y y
x
解得
,y
x
e
x y e dx
dy +-=
由原方程知,0,0==y x 所以
.1|0
00=+-=
===y x y x
x e
x y e dx
dy
例3（E02）求由方程1ln =+y xy 所确定的函数)(x f y =在点)1,1(M 处的切线方程. 解 在题设方程两边同时对自变量x 求导，得
'1'=+
+y y xy y
解得1
'2
+-
=xy y
y
在点)1,1(M 处，1
111
'
2
1
1+?-
===y x y 2
1-
=
于是，在点)1,1(M 处的切线方程为
)1(2
11--
=-x y ，即.032=-+y x
例4设,14
4
=+-y xy x 求y ''在点)1,0(处的值. 解 方程两边对x 求导得
,0'4'43
3
=+--y y xy y x )1(
代入1,0==y x 得;4
1'
1
0=
==y x y
将方程(1)两边再对x 求导得 ,0''4)'(12'''2123222=++--y y y y xy y x 代入,1,0==y x 4
1'
1
0=
==y x y 得 .16
11
0-
='
'==y x y
例5求由下列方程所确定的函数的二阶导数: )l n()(2y x y x x y --=-.
解 ,
'1)()l n (
)'1(2'y
x y y x y x y y ---+--=-
∴)
ln(211'y x y -++
=
'
?
??
? ??-+==)ln(21)''(''y x y y 2)]ln(2[])ln(2[y x y x -+'-+-=2)]ln(2)[(1y x y x y -+-'
--=(代入y ') .)]
ln(2)[(1
3
y x y x -+-=
对数求导法
例6（E03）设),0(sin >=x x y x 求 y '. 解 等式两边取对数得
x x y ln sin ln ?=
两边对x 求导得
,1sin ln cos '1x x x x y y
?
+?=
∴??? ???+?=x x x x y y 1sin ln cos '.sin ln cos sin ??
? ??
+?=x x x x x
x
例7（E04）设y x x y )(sin )(cos =，求 y '. 解 在题设等式两边取对数 x y y x sin ln cos ln = 等式两边对x 求导，得
.sin cos sin ln cos sin cos ln x
y y x y y y
y x
y ?
+'='?-
解得
.sin ln tan cot cos ln 'x
y x x y y y +-=
例8（E05）设x e
x x x y 2
3
)4(1)1(+-+=
, 求 y '.
解 等式两边取对数得
,)4ln(2)1ln(31)1ln(ln x x x x y -+--+
+=
上式两边对x 求导得
,14
2)
1(311
1'-+-
-+
+=
x x x y y
∴.142
)1(3111)4(1)1('23??
????-+--+++-+=x x x e x x x y x
例9求函数x
x x x x x y ++=的导数. 解 ,ln ln x
x
x x x
e e x y ++=
∴)ln ()ln (1ln ln '?+'?+='x x e
x x e
y x x
x x
x x
)1(ln 1++=x x x ])'(ln ln )'[(x x x x x
x
x x
x
?+?+
)1(ln 1++=x x x
].
ln )1(ln [1
-+++x x
x
x
x x x x
x
参数方程表示的函数的导数
例10求由参数方程??
?+==)
1ln(arctan 2
t y t x 所表示的函数)(x y y =的导数.
解
.211122
2
t t
t t
dt
dx dt dy
dx
dy
=++==
例11求由摆线（图2-4-1）的参数方程???-=-=)
cos 1()sin (t a y t t a x 所表示的函数)(x y y =的二阶导
数.
解 dt
dx dt dy dx dy
=t a a t a c o s s i n -=t t c o s 1s i n -=),2(Z n n t ∈≠π
??
? ??=
dx dy dx d dx
y d 2
2
??? ??-=
t t dx d cos 1sin dt
dx t t dt d 1
cos 1sin ??? ??-= 2
)
cos 1(1)
cos 1(1cos 11t a t a t
--
=-?
--
=).,2(Z n n t ∈≠π
课堂练习
1.求由)ln(sin y x y +=所确定的函数的二阶导数22
dx
y d .
2..,)1(tan 2y x y x '+=求
隐函数的求导方法总结
河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(=οοy x F ，0),(≠οοy x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(οοx f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x
隐函数求导公式
第5节：隐函数的求导公式 教学目的：掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式，熟练计算隐函数的导函数。 教学重点：由一个方程确定的隐函数求导方法。 教学难点：隐函数的高阶导函数的计算。 教学方法：讲授为主，互动为辅 教学课时：2 教学内容： 一、一个方程的情形 在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经显化直接由方程 ),(y x f =0 (1) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式. 隐函数存在定理 1 设函数),(y x F 在点 ),(00y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数，且0),(00=y x F ，, 0),(00≠y x F y ，则方程),(y x F =0在点),(00y x 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(00x f y =，并有 y x F F dx dy -= （2） 公式（2）就是隐函数的求导公式 这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数)(x f y =代入，得恒等式 0))(,(≡x f x F , 其左端可以看作是x 的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得 ,0=??+??dx dy y F x F
由于y F 连续，且0),(00≠y x F y ，所以存在(x 0,y 0)的一个邻域，在这个邻域内0≠y F ，于是得 .y x F F dx dy -= 如果),(y x F 的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x 的复合函数而再一次求导，即得 dx dy F F y F F x dx y d y x y x ???? ??-??+???? ??-??= 22 .23 2222y x yy y x xy y xx y x y x yy y xy y x yz y xx F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F +--=???? ??-----= 例 1 验证方程012 2 =-+y x 在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =，并求这函数的一阶和二阶导数在x =0的值。 解 设=),(y x F 12 2-+y x ，则y F x F y x 2,2==,02)1,0(,0)1,0(≠==y F F .因此 由定理1可知，方程012 2 =-+y x 在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x =0时，1=y 的隐函数)(x f y =。 下面求这函数的一阶和二阶导数 y x F F dx dy -==y x -， 00 ==x dx dy ; 22dx y d =,1) (3 32222y y x y y y x x y y y x y -=+-=---='-- 10 2 2-==x dx y d 。 隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数.docx
第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 教学目的：掌握隐函数和参数方程确定的函数的求导方法，会求其一二阶导数 教学重点：隐函数求导 教学难点：隐函数和参数方程确定的函数的二阶导数的求法，幕指函数的求导法 教学内容： 一、隐函数的导数 函数y二/（兀）表示两个变量y与兀之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达。前面我们遇到的函数，例如y = sinx, y = lnx +J1-兀？等,这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数。有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程兀+b_l = O表示一个函数，因为当变量％在（-oo, + oo）内取值时，变量y有确定的值与之对应。例如，当兀=0时，y = l；当x = -l时，y =迈，等等。这样的函数称为隐函数。 一般地，如果在方程F（x, y） = 0中，当兀取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么就说方程F（x, y） = 0在该区间内确定了一个隐函数。 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如从方程x+/-l = 0解出歹=旳二匚，就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来°下面通过具体例子来说明这种方法。 例1：求由方程e y+xy^-e = 0所确定的隐函数y的导数牛。 解：我们把方程两边分别对x求导数，注意y是x的函数。方程左边对x求导得 dx V dx dx 方程右边对求导得（0）' = 0。 由于等式两边对x的导数相等，所以 4+y + Q = 0, dx dx 从而—= ------ - （X + ￡ ' 工0）。 dx兀 + 0、
隐函数的求导方法总结
百度文库- 让每个人平等地提升自我 河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (3) 一．隐函数的概念 (3) 二．隐函数求偏导 (3) 1.隐函数存在定理1 (3) 2.隐函数存在定理2 (4) 3.隐函数存在定理3 (4) 三. 隐函数求偏导的方法 (5) 1.公式法 (5) 2.直接法 (6) 3.全微分法 (6) 参考文献 (8)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(= y x F ，0),(≠ y x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)( x f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数dx dy 在x=1处的值。 解 令),(y x F =2x -2 y ,则 x F =2x ，y F =-2y ，)1,1(F =0，)1,1(y F =-2≠0 由定理1可知，方程2x -2y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个连续可导的隐函数，当x=1时，y=1的隐函数为y=x ，且有 dx dy =y x F F -=y x 22=y x
隐函数的导数
1． 函数求导、参数方程求导 函数()x f y =表示两个变量y 与x 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式
表达。前面我们遇到的函数，例如x y sin =，21ln x x y -+=等，这种函数表达方式的特点是：等号左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。用这种方式表达的函数叫做显函数。有些函数的表达方式却不是这样，例如，方程013=-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-，内取值时，变量y 有确定的值与之对应。例如，当0=x 时，1=y ；当1-=x 时，32=y ，等等。这样的函数称为隐函数。 一般地，如果在方程()0=y x F ，中，当x 取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0=y x F ，在该区间内确定了一个隐函数。 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如从方程013=-+y x 解出 31x y -=，就把隐函数化成了显函数。隐函数的显化有时是有困难的，甚至是不可能的。 但在实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们希望有一种方法，不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。下面通过具体例子来说明这种方法。 例1 求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数y 的导数 dx dy 。 解：我们把方程两边分别对x 求导数，注意y 是x 的函数。方程左边对x 求导得 () dx dy x y dx dy e e xy e dx d y y ++=-+， 方程右边对求导得 ()00=' 。 由于等式两边对x 的导数相等，所以 0=++dx dy x y dx dy e y ， 从而 () 0≠++-=y y e x e x y dx dy 。 在这个结果中，分式中的y 是由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数。 隐函数求导方法小结： （1）方程两端同时对x 求导数，注意把y 当作复合函数求导的中间变量来看待，例如 ()y y y x '='1ln 。 （2）从求导后的方程中解出y '来。 （3）隐函数求导允许其结果中含有y 。但求一点的导数时不但要把x 值代进去，还要把对应的y 值代进去。 例2 e e xy y =+，确定了y 是x 的函数，求()0y '。
隐函数求导的简单方法
·1· 数学中不等式的证明方法 王贵保 一、利用拉格朗日中值定理 1．拉格朗日中值定理：设)(x f 满足：（1）在闭区间[a , b ]上连续；（2）在开区间（a , b ）内可导，则有一点∈ξ（a , b ），使得 )()()(ξf a b a f b f '=-- 2．从上式可以看出，如果能确定了)(ξf '介于某两个数m 与M 之间，则有如下形式的不等式： m ≤a b a f b f --)()(≤M 因此，欲证形如a b a f b f --)()(或构造成为a b a f b f --)()(形式的不等式，可用该方法。 例1：证明，当x ＞0时，有1-x e ＞x . 证明：由原不等式，因为x ＞0，可改写为x e x 1-＞1的形式，或改写为00--x e e x ＞1的形式，这里t e t f =)(，区间为[0, x ]，于是可用拉格朗日中值定理证明。 令t e t f =)(，∈t [0, x ]，则)(t f 满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在∈ξ[0, x ]有 0--x e e x ＝ξe ＞1 所以，有不等式1-x e ＞x . 例2：证明不等式x +11＜x x ln )1ln(-+＜x 1 （x ＞0） 证明：x x ln )1ln(-+＝x x x x -+-+)1(ln )1ln(这里x b +=1，x a =，于是可对t t f ln )(=在［x , 1+x ］上应用拉格朗日中值定理. 令t t f ln )(= ]1,[x x t +∈ （x ＞0），则)(t f 在［x , 1+x ］上满足中值定理的条件，于是有]1,[x x +∈ξ，即x ＜ξ＜x +1，使得
隐函数的求导方法汇总
隐函数的求导方法汇总
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
河北地质大学 课程设计（论文）题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 (6) 一．隐函数的概念 (6) 二．隐函数求偏导 (6) 1.隐函数存在定理1 (6) 2.隐函数存在定理2 (7) 3.隐函数存在定理3 (8) 三. 隐函数求偏导的方法 (9) 1.公式法 (9) 2.直接法 (10) 3.全微分法 (10) 参考文献 (12)
摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数 偏导数 方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一 值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确 定了一个隐函数。例如，方程013 =-+y x 表示一个函数，因为当变量x 在()∞+∞-， 内取值时，变量y 有确定的值与其对应。如等时时321,10=-===y x y x 。 二．隐函数求偏导 1.隐函数存在定理1 设函数0),(=y x F 在P （x 。，y 。）在某一领域内具有连续偏导数， 且0),(=οοy x F ，0),(≠οοy x F y ，则方程0),(=y x F 在点（x 。，y 。）的某一领域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数)(x f y =，它满足条件)(οοx f y =，并有 y x y F F d d x - =。 例1:验证方程2x -2 y =0在点（1,1）的某一邻域内能唯一确定一个具有连续导数，且当x=1时y=1的隐函数y=)(x f ，并求该函数的导数 dx dy 在x=1处的值。
隐函数的求导方法总结
河北地质大学课程设计（论文） 题目：隐函数求偏导的方法 学院：信息工程学院 专业名称：电子信息类 小组成员：史秀丽 角子威 季小琪 2016年05月27日
摘要 .......................................................................... 错误!未指定书签。 一．隐函数的概念 .................................................. 错误!未指定书签。 二．隐函数求偏导 .................................................. 错误!未指定书签。 1.隐函数存在定理1 ................................................ 错误!未指定书签。 2.隐函数存在定理2 ................................................ 错误!未指定书签。 3.隐函数存在定理3 ................................................ 错误!未指定书签。 三.隐函数求偏导的方法 .......................................... 错误!未指定书签。 1.公式法 ................................................................... 错误!未指定书签。 2.直接法 ................................................................... 错误!未指定书签。 3.全微分法 ............................................................... 错误!未指定书签。 参考文献 .................................................................. 错误!未指定书签。 摘要 本文讨论了一元隐函数，多元隐函数的存在条件及相关结论，总结出隐函数求偏导的方法和全微分法等方法和相应实例，目的是更好的计算隐函数的求导 关键字：隐函数偏导数方法 一．隐函数的概念 一般地，如果变量y x 和满足方程()0,=y x F ，在一定条件下，当x 取某区间的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在，那么就说方程()0,=y x F 在该区间内确定了一
第四节隐函数的导数
第四节 隐函数的导数 分布图示 ★ 隐函数的导数 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 对数求导法 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 由参数方程所确定的函数的导数 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 相关变化率 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 2- 4 ★ 返回 内容要点 一、隐函数的导数 假设由方程0),(=y x F 所确定的函数为)(x y y =，则把它代回方程0),(=y x F 中，得到恒等式 0))(,(≡x f x F 利用复合函数求导法则，在上式两边同时对自变量x 求导，再解出所求导数dx dy ，这就是隐函数求导法. 二、对数求导法：形如)()(x v x u y =的函数称为幂指函数. 直接使用前面介绍的求导法则不能求出幂指函数的导数，对于这类函数，可以先在函数两边取对数，然后在等式两边同时对自变量x 求导，最后解出所求导数. 我们把这种方法称为对数求导法. 三、参数方程表示的函数的导数 设???==) ()(t y t x ψ?，)(t x ?=具有单调连续的反函数)(1x t -=?, 则变量y 与x 构成复合函数关系)].([1x y -=?ψ 且 .dt dx dt dy dx dy = 四、相关变化率： 设)(t x x =及)(t y y =都是可导函数, 如果变量x 与y 之间存在某种 关系, 则它们的变化率 dt dx 与dt dy 之间也存在一定关系,这样两个相互依赖的变化率称为相关变化率. 相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系，以便从其中一个变化率求出另一个变化率. 例题选讲
高等数学--隐函数的求导法则
第五节 隐函数的求导法则 一、一个方程的情形 隐函数存在定理 1 设函数(,)F x y 在点00(,)P x y 的某一邻域内具有连续偏导数，00(,)0F x y =，00(,)0y F x y ≠，则方程(,)0F x y =在点0x 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数()y f x =， 它满足条件00()y f x =，并有 d d x y F y x F =-． 说明：1） 定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将()y f x =代入 (,)0F x y =，得恒等式 (,())0F x f x ≡， 等式两边对x 求导得 d 0d F F y x y x ??+=??， 由于0y F ≠ 于是得 d d x y F y x F =-． 2） 若(,)F x y 的二阶偏导数也都连续, 则按上述方法还可求隐函数的二阶导数: 22d d ()()d d x x y y F F y y x x F y F x ?? =-+-? ?? 2 2 ()x x y y x x x y y y y x x y y y F F F F F F F F F F F F --=- - - 22 32x x y x y x y y y x y F F F F F F F F -+=- ． 例1 验证方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个
单值可导的隐函数()y f x =，并求22 d d ,00 d d y y x x x x ==． 解 设(,)sin e 1x F x y y x y =+--， 则 1） e x x F y =-，cos y F y x =-连续； 2） (0,0)0F =； 3） (0,0)10y F =≠． 因此由定理1可知，方程sin e 10x y x y +--=在点(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个单值可导的隐函数()y f x =． d 0d y x x =0x y F x F =-= e 10,0cos x y x y y x -=-=-==-， 22d 0d y x x = d e () 0,0,1 d cos x y x y y x y x -=-'===-- 02 01 (e )(cos )(e )(sin 1) (cos )x x x y y y y x y y y y x =='=-''-----?-=- -3=-． 隐函数存在定理还可以推广到多元函数．一般地一个二元方程(,)0F x y =可以确定一个一元隐函数，而一个三元方程(,,)0F x y z =可以确定一个二元隐函数． 隐函数存在定理2 设函数(,,)F x y z 在点000(,,)P x y z 的某一邻域内具有连续的偏导数，且000(,,)0F x y z =，000(,,)0z F x y z ≠，则方程(,,)0F x y z =在点00(,)x y 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数(,)z f x y =， 它满足条件000(,)z f x y =，并有 x z F z x F ?=-?，y z F z y F ?=-?． 说明：定理证明略，现仅给出求导公式的推导：将(,)z f x y =代入 (,,)0F x y z =， 得(,,(,))0F x y f x y ≡，