高一下册数学期末试卷

高一数学下册期末考试试题

数学

第一部分基础检测(共100分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的． 1．若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( )

A ．

b a 11< B ． 22b a > C ． 1

2+>+c b

c a D ． ||||c b c a > 2．已知{}n a 为等比数列，若46

1=++a a a a ，则公比q 的值为（）

A ．2±

B ．2

C ．2

D ．21

3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（）

A ．63

B ．45

C ．36

D ．27 4．在ABC ?中，80=a ，100=b ，?=30A ，则B 的解的个数是（）

A ． 0个

B ． 1个

C ． 2个

D ．不确定 5．已知{}n a 为等比数列，991,a a 为方程016102

=+-x x 的两根，则8020a a ?=（）

A ．16

B ．16-

C ．10

D ．10-

6．在ABC ?中，,75,45,300===

C A AB 则BC =（）

A ．33-

B ．2

C ． 2

D ．33+ 7．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则下列结论错误．．的是（） A ．{}1+?n n b b 一定是等比数列 B ．{}

n b 一定是等比数列

C ．{}1+-n n a a 一定是等差数列

D ．{}2n

a 一定是等差数列

8．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，若B b A a cos cos =，则ABC ?的形状为（）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．等腰或直角三角形 9．利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的是（） A ．4424=?≥+

=x x x x y B ．)(4sin 4sin 2sin 4sin 为锐角x x

x x x y =?≥+= C ．410log 4lg 210log 4lg =?≥+=x x x x y D ． 43432343=?≥+=x

x x

y 10．在数列{}n a 中，1112,ln 1n n a a a n +?

==++

???

，则n a ＝（） A ．2ln n + B ．()21ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 11．不等式28≥-x 的解集为________________.

12．在ABC ?中，3:2:1::=C B A ，则=c b a ::_______________.

13．已知等差数列{}n a 的首项101-=a ，公差2=d ，则前n 项和=n S _________________，

当n =________________时，n S 的值最小.

三、解答题：本大题共4小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14．（6分）解不等式16

22≤---x x x

15．（6分）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y （千辆/小时）

与汽车的平均速度υ（千米/小时）之间的函数关系为：)0(1600

38302

>++=

υυυυ

y ．问：在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？

16．（11分）已知A 、B 、C 为ABC ?的三个内角，它们的对边分别为a 、b 、c ，且

sin sin cos cos =

-C B C B ．（1）求A ；

（2）若4,32=+=c b a ，求bc 的值，并求ABC ?的面积．

17．（12分）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-；数列{}n a 为等差数列，且105=a ，

147=a .

（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；

（2）若n n n b a c 4

=，n T 为数列{}n c 的前n 项和. 求n T .

第二部分能力检测(共50分)

四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．

18．若数列{}n a 满足651=a ，且1

12131++?

??+=n n n a a ，则通项

=n a ________________.

19．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两

个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，则塔高AB =_________________．

五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20．（12分）已知.)(),)(3

cos ,3(cos ),3cos 3,3(sin

OB OA x f x x

x OB x x OA ?=∈==R （1）求函数)(x f 的解析式，并求图象的对称中心的横坐标；（2）若??

∈3,0πx 时，不等式()0f x a +>恒成立，求实数a 的取值范围.m

21．（14分）某农场预算用5600元购买单价为50元（每吨）的钾肥和20元（每吨）的氮肥，

希望使两种肥料的总数量（吨）尽可能的多，但氮肥吨数不少于钾肥吨数，且不多于钾肥吨数的1.5倍.

（1）设买钾肥x 吨，买氮肥y 吨，按题意列出约束条件、画出可行域，并求钾肥、氮肥各

买多少才行？

（2）设点),(y x P 在（1）中的可行域内，求10

-+=

x y t 的取值范围；

（3）已知)0,10(A ，O 是原点， ),(y x P 在（1

）中的可行域内，求s =

的取值范

围.

22．（14分）设),(),,(2211y x B y x A 是函数x

x f -+=

1log 21)(2

的图象上的任意两点. M 为AB 的中点，M 的横坐标为2

（1）求M 的纵坐标.

（2）设??

? ??+++??? ??++???

??+=11211n n f n f n f S n ，其中*N n ∈，求n S . （3）对于（2）中的n S ，已知2

11???

??+=n n S a ，其中*N n ∈，设n T 为数列{}n a 的前n 项

的和，求证

94<≤n T .

广东实验中学2008—2009学年高一级模块五考试

数学答案

命题：伍毅东审定：翁之英校对：伍毅东

本试卷分基础检测与能力检测两部分，共4页．满分为150分。考试用时120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷和答题卡上，并用2B 铅笔在答题卡上填涂学号．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并交回．

第一部分基础检测(共100分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．

1、若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是( C ) A.

b a 11<. B. 22b a >. C. 1

2+>+c b

c a . D. ||||c b c a >. 2、已知{}n a 为等比数列，若46

1=++a a a a ，则公比q 的值为（ B ）

A ．2±

B ．2

C ．2

D ．21

3、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ B ）

A ．63

B ．45

C ．36

D ．27 4、在ABC ?中，80=a ，100=b ，?=30A ，则B 的解的个数是（C ）

A. 0个

B. 1个

C. 2个

D. 不确定 5、已知{}n a 为等比数列，991,a a 为方程016102

=+-x x 的两根，则8020a a ?=（ A ）

A ．16

B ．16-

C ．10

D ．10- 6、在ABC ?中，,75,45,300===

C A AB 则BC =（ A ）

A.33-

B.2

C. 2

D.33+ 7、已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则下列结论错误．．的是（ D ） A ．{}1+?n n b b 一定是等比数列 B ．{}

n b 一定是等比数列

C ．{}1

+-n n a a 一定是等差数列 D ．{}2n

a 一定是等差数列

8、已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，若B b A a cos cos =，则ABC ?的形状为（D ）

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．等腰或直角三角形 9、利用基本不等式求最值，下列各式运用正确的是（D ） A.4424=?≥+

=x x x x y B.)(4sin 4sin 2sin 4sin 为锐角x x

x x x y =?≥+= C.410log 4lg 210log 4lg =?≥+=x x x x y D. 43

432343=?≥+

=x x

x x

y 10、在数列{}n a 中，1112,ln 1n n a a a n +??

==++

???

，则n a ＝（ A ） A ．2ln n + B ．()21ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．

11、不等式28≥-x 的解集为________________.{}106|≥≤x x x 或

12、在ABC ?中，3:2:1::=C B A ，则=c b a ::_______________.2:3:1

13、已知等差数列{}n a 的首项101-=a ，公差2=d ，则前n 项和=n S _________________，当n =________________时，n S 的值最小. n n 112

-，5或6

三、解答题：本大题共4小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14、（6分）解不等式16

≤---x x x 解：

0168

22≤----x x x ， ……1分

062322≤---+-∴x x x x ，062322≥--+-∴x x x x ……2分

2)(3()1)(2(≥+---∴x x x x ， ……3分 ?

??≠+-≥+---∴0)2)(3(0)2)(3)(1(2(x x x x x x ……4分

由标根法得：原不等式的解集为{}

3212|>≤≤-

38302

>++=

υυυυ

y ．问：在该时段内，当汽车的平均速度υ为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？

解： )

1600

(3830

v v y ++=

……1分

,10838301600

23830==+≤ ……4分

,,40,1600

上式等号成立时即当且仅当==v v

v ……5分

所以当汽车平均速度为40（千米/小时）时，车流量最大为10（千辆/小时）.……6分 16、（11分）已知A 、B 、C 为ABC ?的三个内角，它们的对边分别为a 、b 、c ，且

sin sin cos cos =

-C B C B ．（1）求A ；

（2）若4,32=+=c b a ，求bc 的值，并求ABC ?的面积．解：（Ⅰ）2

sin sin cos cos =

-C B C B . 2

)cos(=

+∴C B . ……2分又π<+

+∴C B . ……4分（没有说明范围，扣1分）

π=++C B A ，3

2π

∴A . ……5分（Ⅱ）由余弦定理A bc c b a cos 22

22?-+=,

得 3

2cos 22)()32(22π

?--+=bc bc c b , ……7分

即：)2

(221612-?--=bc bc ，4=∴bc . ……9分

421sin 21=??=?=∴?A bc S ABC . ……11分

17、（12分）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-；数列{}n a 为等差数列，且105=a ，

147=a .

（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）若n n n b a c 4

，n T 为数列{}n c 的前n 项和. 求n T . 解：（1）数列{}n a 为等差数列，公差22

7=-=a a d ， ……1分

可得n d n a a n 2)5(5=-+= ……2分

由22n n b S =－，令1n =，则1122b S =-，又11S b =，所以12

b =. ……3分

当2≥n 时，由22n n b S =－，可得n n n n n b S S b b 2)(211-=--=---.

即11

n n b b －＝. ……5分所以{}n b 是以123b =为首项，31

为公比的等比数列，于是n n b 3

12?=. ……6分

（2）n n n n n n

n b a c 33224141=??== ……7分

∴n n n T 3

3133123132?++?+?+=

1323131)1(31231131+?+?-++?+?=n n n n n T ……8分 ∴]3

3131313132132+?-++++=n n n n T . ……10分 n

n n n n 31

632213311211+-=-??? ??-=+，

从而n n n T 3143243?+-=

.（写成n

n n n

T 3

2314343?-?-=也可） ……12分第二部分能力检测(共50分)

四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．

18、若数列{}n a 满足

651=a ，且1

12131++?

??+=n n n a a ，则通项

=n a ________________.n n n a 3

23-=

19、如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，则塔高AB =_________________．

)

sin(sin tan βαβ

θ+s

五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20、（12分）已知.)(),)(3

cos ,3(cos ),3cos 3,3(sin

OB OA x f x x

x OB x x OA ?=∈==R （1）求函数)(x f 的解析式，并求图象的对称中心的横坐标；

（2）若??

?∈3,0πx 时，不等式()0f x a +>恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）3cos 33cos 3sin )(2x x x x f +=?= ……2分 2

32cos

1332sin 21x x ++= ……4分 23)332sin(++=πx ……5分

令)(332Z k k x ∈=+ππ ……6分

)(213Z k k x ∈-=π得，对称中心的横坐标为)(213Z k k ∈-π ……7分（欠Z

k ∈扣1分）（2）由3

0π

≤

953323π

ππ

≤

∴

x ……8分则1)3

32sin(23≤+<π

x ……9分所以函数].2

31,3()(+的值域为x f ……10分由()0f x a +>恒成立，得[]m ax )(x f a ->，3-≥∴a ……12分（没有等号扣1分） 21、（14分）某农场预算用5600元购买单价为50元（每吨）的钾肥和20元（每吨）的氮肥，希望使两种肥料的总数量（吨）尽可能的多，但氮肥数不少于钾肥数，且不多于钾肥数的1.5倍。

（4）设买钾肥x 吨，买氮肥y 吨，按题意列出约束条件、画出可行域，并求钾肥、氮肥各

买多少才行？

（5）设点),(y x P 在（1）中的可行域内，求10

-+=

x y t 的取值范围；

（6）已知)0,10(A ，O 是原点， ),(y x P 在（1

）中的可行域内，求s =的取值范

围.

解：（1）设肥料总数为y x z z +=,， ……1分由题意得约束条件

???

????≥≥≤+≤≤0

560020505.1y x y x x

y y

x ，即?????

??????≥≥≤+≤≤005602523y x y x x y y x ， ……3分

画出可行域（如图） ……4分

目标函数：y x z +=，即z x y +-=，表示斜率为1-，y 轴上截距为z 的平行直线系.

当直线过点N 时，z 最大.

联立方程???

??=+=560

2523y x x y ，解得)105,70(N ……5分此时17510570m ax =+=+=y x z . ……6分

∴购买钾肥70吨，氮肥105吨时，两种肥料的总数量最大为175吨.……（没有结论倒扣1

分）

（2）1020

-+=x y t 表示（1）中可行域内动点),(y x P 与定点)20,10(-B 连线的斜率. ……7分

联立方程???=+=56025y x x

y ，解得)80,80(M

2010020-=---=BO k ，7

101080)20(80=---=NO k ， ……9分（两个斜率各

1分）

(]??

???+∞-∞-∈∴,7102, t ……10分

（3

）θcos ?==

10=，θ为OP OA ,的夹角

θcos 10=∴s . 有图可知： ……11分

当点P 在线段OM 时，θcos 最大为22

，此时s 最大值为25； ……12分

当点P 在线段ON 时，θcos 最小为13132，此时s 最小值为13

20. ……13分

x y +-=x

y =x y 2

560

25=+y x

????∈∴25,131320s ……14分

另解

：2

211010??

??+=

x y y x x s ，??

???∈=

23,1x y k OP ，代入可得??

????∈25,131320s

22、（14分）设),(),,(2211y x B y x A 是函数x

x f -+=

1log 21)(2

的图象上的任意两点. M 为AB 的中点，M 的横坐标为2

（4）求M 的纵坐标.

（5）设??

??+++??? ??++??? ??+=11211n n f n f n f S n ，其中*N n ∈，求n S .

（6）对于（2）中的n S ，已知2

11???

??+=n n S a ，其中*N n ∈，设n T 为数列{}n a 的前n 项

的和，求证3

94<≤n T .

解：（1）M 为AB 的中点，M 的横坐标为2

， 121=+∴x x ， ……1分

22112211log 21

1log 21)()(x x x x x f x f -++-+=+

11log 1log 1)1)(1(log 121

221221212=+=+=--+=x x x

x x x x x ……2分

M ∴的纵坐标为2

……3分

（2）由（1）知，当121=+x x 时，1)()(21=+x f x f ……4分

??? ??+++??? ??++??? ??+=11211n n f n f n f S n ……①

? ??+++??? ??+-+??? ??+=11111n f n n f n n f S n ……② ……5分

两式子相加得

n n f n n f n n f n f S n n =+++=???

?????? ??++??? ??+++????????? ??++??? ??+= 个

1111111112……6分 2n

S n =∴ ……7分

（3）22

)2(42211+=??? ??+=???

? ??+=n n S a n n ， ……8分 )3)(1(3444)2(222++=++>++=+∴n n n n n n n ， ……9分

? ??+-+=++<+=

∴3111

2)3)(1(4)2(42

n n n n n a n ， ……10分 ??? ??+-+++-+-<+++=∴31115

314121221n n a a a T n n

??? ??+-+-+=312131

212n n ……11分

31212=??? ??+< ……12分又0)2(42

>+=n a n ，941=≥∴T T n ，故35

94<≤n T . ……14分

另外的放缩方法：

)1)(2()2(2++>+n n n ，

? ??+-+=++<+=∴2111

4)2)(1(4)2(42

n n n n n a n ， ??? ??+-+++-++<

+++=∴211151

414419421n n a a a T n n （从第3项开始放缩） 3536603661243661214144194=<<+-=??

? ??+-++=n n