安徽省枞阳县钱桥初级中学八年级数学下册 18.2 勾股定理的作图、计算、证明教案 (新版)沪科版

安徽省枞阳县钱桥初级中学八年级数学下册 18.2 勾股定理的作图、计算、证明教案 (新版)沪科版
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18.2 勾股定理的作图、计算、证明

教学目标

1.了解勾股定理的证明,掌握勾股定理的内容,初步会用它进行有关的作图、计算、证明.

2.通过勾股定理的应用,培养方程的思想和逻辑推理能力.

3.对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究,对学生进行爱国主义教育.教学重点与难点

重点是勾股定理的应用;难点是勾股定理的证明及应用.

教学过程设计

一、激发兴趣引入课题

通过介绍我国数学家华罗庚的建议——向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系,并说明勾股定理是我国古代数学家于2000年前就发现了的,激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感,引入课题.

二、勾股定理的探索,证明过程及命名

1.猜想结论.

勾股定理叙述的内容是什么呢?请同学们也体验一下数学家发现新知识的乐趣.

教师用计算机演示:

(1)在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对边分别为a,b和 c,∠ACB= 90°,使△ABC运动起来,但始终保持∠ACB=90°,如拖动 A点或B点改变a ,b的长度来拖动AB边绕任一点旋转△ACB等.

(2)在以上过程中,始终测算a2,b2,c2,各取以上典型运动的某一两个状态的测算值(约7~8个)列成表格,让学生观察三个数之间有何数量关系,得出猜想.(3)对比显示锐角三角形、钝角三角形的三边的平方不存在这种关系,因此它是直角三角形所特有的性质.让学生用语言来叙述他的猜想,画图及写出已知、求证.

2.证明猜想.

目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有几百种,连美国第20届总统加菲尔德于1881年也提供了一面积证法(见课本第109页图(4)),而我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很多种证明方法,下面咱们采纳其中一种(教师制作教具演示,见如图3-151)来进行证明.

3.勾股定理的命名.

我国称这个结论为“勾股定理”,西方称它为“毕达哥拉斯定理”,为什么呢?

(1)介绍《周髀算经》中对勾股定理的记载;

(2)介绍西方毕达哥拉斯于公元前582~493时期发现了勾股定理;

(3)对比以上事实对学生进行爱国主义教育,激励他们奋发向上.

三、勾股定理的应用

1.已知直角三角形任两边求第三边.

例 1在 Rt△ABC中,∠C= 90°,∠A,∠B,∠C所对边分别为a,b,c.

(1)a= 6,b=8求c及斜边上的高;(2)a=40,c=41,求 b;(3)b=15 ,=25求 a;(4)a:b=3:4,c=15,求b.

说明:对于(1),让学生总结基本图形(图3-153)中利用面积求斜边上高的基本方法;对于(4),引导学生利用方程的思想来解决问题.

教师板书(1),(4)的规范过程,让学生练习(2),(3).

例2求图3-152所示(单位mm)矩形零件上两孔中心A和B的距离(精确到0.lmm).

教师就如何根据图纸上尺寸寻找直角三角形ABC中的已知条件,出示投影.

练习 1投影显示:(1)在等腰 Rt△ABC中,∠C=90°, AC:BC:AB=__________;

(2)如图 3- 153 ∠ACB =90°,∠A= 30°,则BC:AC:AB=__________;

若AB=8,则AC=_____________;又若CD⊥AB,则CD=______________.

(3)等边出△ABC的边长为 a,则高AD=__________,

S △ABC=______________

说明:(1)学会利用方程的思想来解决问题.

(2)通过此题让学生总结并熟悉几个基本图形中的常用论:①等腰直角三角形三边比为1:1:;

②含30°角的直角三角形三边之比为1::2;

③边长为a的等边三角形的高为a,面积为

板书)例 3 如图 3-154, AB=AC=20, BC=32,△DAC= 90°.求 BD的长.分析:(1)分解基本图形,图中有等腰△A BC和

Rt△ADC;

(2)添辅助线——等腰△ABC底边上的高

AE,同时它也是Rt△ADC斜边上的高;

(3)设BD为X.利用图3-153中的基本关系,

通过列方程来解决.教师板书详细过程.

解作AE⊥BC于E.设BD为x,则DE=16-x,AE2=AC2-EC2.又AD2=DE2+AE2=DC2-AC2,将上式代入,得DE2+AC2-EC2=DC2-AC2,即2AC2=DC2+EC2-DE2.

∴2×202=(32-x)2+162-(16-x)2,解得x=7.

勾股定理与弦图练习题

勾股定理与弦图练习题 选择题(12×3′=36′) 1.已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是() A、25 B、14 C、7 D、7或25 2.下列各组数中,以a,b,c为边的三角形不是Rt△的是() A、a=1.5,b=2,c=3 B、a=7,b=24,c=25 C、a=6,b=8,c=10 D、a=3,b=4,c=5 3.若线段a,b,c组成Rt△,则它们的比为() A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7 4.Rt△一直角边的长为11,另两边为自然数,则Rt△的周长为() A、121 B、120 C、132 D、不能确定 5.如果Rt△两直角边的比为5∶12,则斜边上的高与斜边的比为() A、60∶13 B、5∶12 C、12∶13 D、60∶169 6.如果Rt△的两直角边长分别为n2-1,2n(n>1),那么它的斜边长是() A、2n B、n+1 C、n2-1 D、n2+1 7.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是() A、24cm2 B、36cm2 C、48cm2 D、60cm2 8.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为() A、56 B、48 C、40 D、32 9.三角形的三边长为(a+b)2=c2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.

10.某市在旧城改造中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要() A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元 1.已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则△ABE的面积为() A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、2cm2 2.已知,如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船相距( ) A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,①若a=5,b=12,则c=___________;②若a=15,c=25,则b=___________;③若c=61,b=60,则a=__________;④若a∶b=3∶4,c=10则SRt△A BC=________。 2.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为__________。 3.在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,问这里水深是________m。

八年级数学下册利用勾股定理作图或计算练习题及解析

第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 第3课时 利用勾股定理作图或计算 学习目标:1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题; 2.灵活运用勾股定理进行计算,并会运用勾股定理解决相应的折叠问题. 重点:会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格问题. 难点:灵活运用勾股定理进行计算,并会运用勾股定理解决相应的折叠问题. 一、知识回顾 1.我们知道数轴上的点与实数一一对应,有的表示有理数,有的表示无理数.你能在数轴上分别画出表示3,- 2.5的点吗? 2.求下列三角形的各边长. 一、要点探究 探究点1:勾股定理与数轴 想一想 1.你能在数轴上表示出2的点吗?2 呢?(提示:可以构造直角三角形作出边长为无理数的边,就能在数轴上画出表示该无理数的点.) 2.长为13的线段能是这样的直角三角形的斜边吗,即是直角边的长都为正整数? 3.以下是在数轴上表示出 13的点的作图过程,请你把它补充完整. (1)在数轴上找到点A,使OA=______; (2)作直线l ____OA,在l 上取一点B ,使AB=_____; (3)以原点O 为圆心,以______为半径作弧,弧与数轴交 于C 点,则点C 即为表示______的点. 课堂探究 自主学习 教学备注 学生在课前完成自主学习部分 配套PPT 讲授 1.情景引入 (见幻灯片3-4) 2.探究点1新知讲授 (见幻灯片5-12)

要点归纳:利用勾股定理表示无理数的方法: (1)利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三 角形的斜边.(2)以原点为圆心,以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在 交点,在原点左边的点表示是负无理数,在原点右边的点表示是正无理数. 类似地,利用勾股定理可以作出长2,3,5L为线段,形成如图 所示的数学海螺. 典例精析 例1如图,数轴上点A所表示的数为a,求a的值. 易错点拨:求点表示的数时注意画弧的起点不从原点起,因而所表示的数不是斜边长. 针对训练 1.如图,点A表示的实数是() A. 3 B. 5 C. 3 D.5 -- 2.如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=1,AB在数轴上,若以点A为圆心,对角线AC的长为 半径作弧交数轴于点M,则点M表示的数为() A.2 B.5 1 C.10 1 D.5 -- 3.你能在数轴上画出表示17的点吗? 探究点2:勾股定理与网格综合求线段长 典例精析 例2 在如图所示的6×8的网格中,每个小正方形的边长都为1,写出格点△ABC各顶点的坐 标,并求出此三角形的周长. 方法总结:勾股定理与网格的综合求线段长时,通常是把线段放在与网格构成的直角三角形中, 利用勾股定理求其长度. 例3 如图,在2×2的方格中,小正方形的边长是1,点A、B、C都在格点上,求AB边上的 高. 教学备注 配套PPT讲授 3.探究点2新 知讲授 (见幻灯片 13-17)第1题图第2题图

初二数学勾股定理测试题及答案

勾股定理测试题 体验勾股定理的探索过程,会运用勾股定理解决简单问题;会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。 一、选择题 | 1.下列各数组中,不能作为直角三角形三边长的是( ) A. 9,12,15 B. 7,24,25 C. 6,8,10 D. 3,5,7 2.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后,得到的三角形( ) A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形 C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形 ! 3.在测量旗杆的方案中,若旗杆高为21m,目测点到杆的距离为15m,则目测点到杆顶的距离为(设目高为1m) ( ) 4.一等腰三角形底边长为10cm,腰长为13cm,则腰上的高为( ) A. 12cm B. C. D. ~ 二、填空题 5.如图,64、400分别为所在正方形的面积,则图中字母A所代表的正方形面积是_________ . 6.直角三角形两条直角边的长分别为5、12,则斜边上的高为. < 7.已知甲往东走了4km,乙往南走了3km,这时甲、乙两人相距. 8.一个长方形的长为12cm,对角线长为13cm,则该长方形的周长为. 9.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K,若SP=4,SQ=9,则Sk= . 三、解答题 @ 10.假期中,小明和同学们到某海岛上去探宝旅游,按照探宝图,他们登陆后先往东走8千米,又往北走2千米,遇到障碍后又往西走了3千米,再折向北走了6千米处往东一拐,仅走了1千米就找到宝藏,问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米

为正方形ABCD内一点,将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置,若BP=a.求:以PE 为边长的正方形的面积. / 12.已知:如图13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17. 求BC边上的高. 13.拼图填空:剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a、b、c,· 如图①.(1)拼图一:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图②③的形状,观察图②③可发现,图②中两个小正方形的面积之和__________ (填“大于”、“小于”或“等于”)图③中小正方形 《 的面积,用关系式表示为________ .(2)拼图二:用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状,观察图形可以发现,图中共有__________个正方形,它们的面积之间的关系是________ ,用 关系式表示为_____ .(3)拼图三:用8个直角三角形纸片拼成如图⑤的形状,图中3个正方>

人教版第17章《勾股定理》单元测试(含答案)

第十七章 勾股定理单元测试 (题数: 20 道 测试时间: 45 分钟 总分: 100 分) 班级: _______ 姓名: ________ 得分: ________ 、单选题(每小题 3分,共 24 分) 1.在△ ABC 中, AB= 2 ,BC= 5,AC= 3,则( ) A. ∠ A=90 B. ∠ B=90 C. ∠ C=90 D. ∠ A=∠B 5.如图,所有的四边形是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形边长为 13cm ,则图中所有的正方形的面积之和为( ) A. 169 cm 2 B. 196 cm 2 C. 338cm 2 D. 507 cm 2 6.如图,一只蚂蚁从棱长为 1 的正方体纸箱的 A 点沿纸箱表面爬到 B 点,那么它所爬行的 最短路线的长是( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 2 7 .在直角三角形中,有两边分别为 3 和 4 ,则第三边是( ) A. 1 B. 5 C. 7 D. 5 或 7 8.如图,正方形 ABCD 的边长为 2,其面积标记为 S 1,以 CD 为斜边作等腰直角三角形,以 该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形,其面积标记为 S 2, ? ,按照此规律继续 下去,则 S 9 的值为( ) 2.如图,在 Rt △ABC 中,∠ B = 90°, BC =15, AC =17,以 AB 为直径作半圆,则此半圆的 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4.已知 VABC 中, A 1 B 1 C ,则它的三条边之比为( 23 A. 1:1: 2 C. 1: 2: 3 D. 1:4:1

勾股定理及弦图题库

勾股定理及弦图题库Last revision on 21 December 2020

勾股定理及弦图题库 这就是一个“弦图”。“弦”图是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的,中间空出一个小正方形。 三国时期的吴国数学家赵爽,就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。我们也可以根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系,得到一些面积问题的解题思路。 【例】.2002年在北京召开了国际数学家大会,大会会标如下图所示,它由四个相同的直角三角形拼成的(直角边的长度分别为2和3),问大正方形的面积是多少 【例】在边长为10的正方形ABCD中,内接着6个大小相同的正方形,P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点,如图所示,则这6个小正方形的总面积是。 【例】.如图,如果长方形ABCD的面积是56cm2,那么四边形MNPQ的面积是多少cm2 【例】点P是正方形ABCD外一点,PB=12cm,APB的面积是90cm2,CPB的面积是48cm2。请你回答:正方形 ABCD的面积是多少cm2 【例】如图,将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形,E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上,且是某个小正方形的顶点,若四边形EFGH的面积为1,则矩形ABCD的面积为

【例】如下图,正方形ABCD的面积是S,A、B、C、D分别是线段EB、FA、GD、HC的三等分点,试用S表示四边形EFGH的面积S1; 【例】(2009安顺)下图是我国古代着名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到如图所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是—— 【例】( 2010年广西河池)如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形的面积为49,小正方形的面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边( x>y),下列四个说法:① x2+y2=49,②x-y=2,③2xy+4=49,④x+y=9.其中说法正确的是().A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【例】( 2011年浙江温州)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图” ,后人称其为“赵爽弦图” .图7由“弦图” 变化得到的,它是用八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=10,则S2的值是______【例】小明遇到这样一个问题:如图13,在边长为a ( a>2)的正方形 ABCD 各边上分别截取 AE =BF =CG =DH =1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形MNPQ的面积.小明发现:分别延长QE,MF,NG,PH,交FA,GB,HC,ED的延长线于点R,S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE是四个全等的等腰直角三角形.请回答: ( 1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙,不重叠),求这个新的正方形的边长; ( 2)求正方形MNPQ的面积.

初中数学勾股定理拔高综合训练含答案

初中数学勾股定理拔高综合训练 一.选择题(共15小题) 1.如图,在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC,要求点C也在格点上,这样的Rt△ABC能作出() A.2个 B.3个 C.4个 D.6个 2.如图,以直角三角形a、b、c为边,向外作等边三角形,半圆,等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有() A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图是由5个正方形和5个等腰直角三角形组成的图形,已知③号正方形的面积是1,那么①号正方形的面积是() A.4 B.8 C.16 D.32 4.分别以下列四组数为一个三角形的边长①6,8,10②5,12,13 ③8,15,16④4,5,6,其中能构成直角三角形的有() A.①④B.②③C.①②D.②④

5.如图,是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,如果正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两条边是分别是a,b,则a+b和的平方的值() A.13 B.19 C.25 D.169 6.如图,一架25米的梯子AB靠在一座建筑物AO上,梯子的底部B距离建筑物AO的底部O有7米(即BO=7米),如果梯子顶部A下滑4米至A1,则梯子底部B滑开的距离BB1是() A.4米 B.大于4米C.小于4米D.无法计算 7.工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架,则截取下来的钢条长应为()A.80cm B. C.80cm或D.60cm 8.如图,A、B是4×5网格中的格点,网格中的每个小正方形的边长都是1,图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图所示:数轴上点A所表示的数为a,则a的值是()

第十七章勾股定理(20201109192829)

第十七章勾股定理 17.1勾股定理 第1课时勾股定理 二驹学旦匣 【知识与技能】 了解勾股定理的文化背景,体验勾股定理的探索过程 【过程与方法】 在探索勾股定理的过程中,发展合情推理能力,体会数形结合思想,学会与人合作并能与他 人交流思维的过程和探究结果,体验数学思维的严谨性 【情感态度】 1. 通过对勾股定理历史的了解,感受数学的文化,激发学习热情 2. 在探究活动中,体验解决问题的多样性,培养学生合作交流意识和探索精神 【教学重点】 探索和证明勾股定理? 【教学难点】 用拼图的方法证明勾股定理? '教学里程 一、情境导入,初步认识 2002年在北京召开了第24届国际数学家大会,它是最高水平的全球性数学科学学术会议, 被誉为数学界的“奥运会”?这就是本届大会会徽的图案(教师出示图片或照片) (1)你见过这个图案吗? (2)你听说过“勾股定理”吗? 【教学说明】学生欣赏图片时,教师应对图片中的图案进行补充说明:这个图案是我国汉代 数学家赵爽在证明勾股定理时用到的,被誉为“赵爽弦图”?通过对图片的观察,为学生积 极主动投入到探索活动中创设情境,为探索勾股定理提供背景材料 二、思考探究,获取新知 毕达哥拉斯是古希腊著名数学家?相传在2500年前,他在朋友家做客时,发现朋友家用砖铺 成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系?请你也观察一下类似的图案(教材P22 图形),你有什么发现? 【教学说明】教师与学生一道分析教材P22图17.1-2,右边的三个正方形及直角三角形是从左边的等腰三角形的图案中截取出来的,将大正方形沿对角线分成四个小直角三角形,再把

两个小正方形沿竖直对角线分成两个小直角三角形,从而可发现其中特征. 【归纳结论】等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和?问题等腰直角三角形三边 的关系特征是否也适用于其它的直角三角形呢?请同学们继续观察P23图17.1-3 ,运用割补法分别计算正方形A、B C和正方形A'、B'、C'的面积,看看它们之间有什么关系? 【教学说明】让学生自主探究或相互交流探寻出正方形C和C'的面积,教师巡视,针对学 生的认知方法引导学生选用不同的方法得出它们各自的面积?一方面,正方形C的面积为: 52-4X Z X 2 X 3=25-12=13;另一方面也有正方形C的面积为:4X ? X 2X 3+1=13,而这两 种方法都可以从图中直接获得,同样可得到正方形C'的面积为34. 通过观察上述问题的探讨,若将直角三角形的两直角边记为a,b,斜边为c,则应有a2+b2=c2, 即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方?上述结论我们都是通过特例而获得的, 是否对所有的直角三角形都能成立呢?有没有办法来证明呢? 做一做 将一张白纸对折,再对折,然后随意画一个直角三角形,用剪刀沿画线裁出四个全等的直角 三角形,在较大直角边处标记b,较短直角边处标记a,斜边标记c,然后按图示方式拼图. (1)中间小正方形边长是多少?它的面积呢? (2)你能由大正方形的面积的两种不同计算方法探讨出三角形三边a、b、c的数量关系吗? 不妨试试看. 【教学说明】通过动手操作,可激发学生学习兴趣,并在解决问题过程中体验探究的乐趣和成功的快乐,在快乐中学习,增长知识 最后师生共同探讨: 1 S大正方形=c2=4X 2 X a X b+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2. 即a2+b2=c2. 有:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 教师简要阐述:现有记载的证明勾股定理的方法多达数百种,前面我们利用的面积法证明勾 股定理的方法实际上是我国古人赵爽的证法,所拼成的图案称为“赵爽弦图” 三、运用新知,深化理解

勾股定理及弦图题库

勾股定理及弦图题库 这就是一个“弦图”。“弦”图是由八个完全一样的直角三角形拼成四个相同的长方形围成的,中间空出一个小正方形。 三国时期的吴国数学家赵爽,就利用这“弦图”对勾股定理作出了严格而简捷的证明。 我们也可以根据“弦图”中大小正方形与长方形的关系,得到一些面积问题的解题思路。 【例】.20XX年在北京召开了国际数学家大会,大会会标如下图所示,它由四个相同的直角三角形拼成的(直角边的长度分别为2和3),问大正方形的面积是 多少? 【例】在边长为10的正方形ABCD中,内接着6个大小相同的正方形,P、Q、M、N是落在大正方形边上的小正方形的顶点,如图所示,则这6个小正方形的总面积是。 【例】.如图,如果长方形ABCD的面积是56cm2,那么四边形MNPQ 的面积是多少cm2? 【例】点P是正方形ABCD外一点,PB=12cm,?APB的面积是90cm2, ?CPB的面积是48cm2。请你回答:正方形ABCD的面积是多少 cm2?

【例】如图,将矩形ABCD分成15个大小相等的正方形,E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上,且是某个小正方形的顶 点,若四边形EFGH的面积为1,则矩形ABCD 的面积为 【例】如下图,正方形ABCD的面积是S,A、B、C、 D分别是线段EB、FA、GD、HC的三等分点,试用S ; 表示四边形EFGH的面积S 1 【例】(2009?安顺)下图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到如图所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是——

八年级数学下册第十七章勾股定理17.1勾股定理教案(新版)新人教版

勾股定理(1) 知识与技能:掌握勾股定理和他的简单的应用,理解定理的一般探究方法。 过程与方法:在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理的活动,让同学们经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程,发展数与形结合的数学思 想。 情感态度与价值观:在数学活动中发现探索意识和合作交流的良好学习习惯。 教学重点:经历探索和验证勾股定理的过程,会利用两边求直角三角形的另一边的长。 教学难点:拼图法验证勾股定理,会利用两边求直角形另一边的长。 教具准备:方格纸、4个全等的三角形,小黑板等。 教与学互动设计: 一、创设情境导入新课 引导学生观察课本第64页的地面图形,说说你发现了什么? 提问:①图中有些什么形状? ②三个正方形之间有什么关系? ③通过②的结论你能有什么猜想?说说看。 二、实验操作探求新知 1.数格子 (1)要求学生在准备好的方格纸中作一个任意的等腰直角三角形,分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。 (2)要求学生在方格纸中作一个任意的直角三角形,分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。 (3)要求学生在方格纸中作一个任意的非直角三角形,分别以三角形的边为边向三角形的外部作正方形。观察三个正方形的面积之间有什么关系。 讨论、得出结论:在一个直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.证明猜想。 要求用四个全等到的直角三角形拼成一个以斜边为边长的正方形,推理得出 a2+b2=c2

10c 20cm 3.得出结论 定理:经过证明被确认的命题叫做定理。 勾股定理:在一个直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。 三、应用迁移 例1.求下图中的字母A ,B 所代表的正方形的面积。 例2.一个文具盒的尺如 图,一根长30cm 的细 木棒能否放进这个文具 盒,为什么? 练习:填空 (1)在Rt ?ABC 中,∠C=90°,a=5,b=12,则c = (2) 在Rt ?ABC 中,∠B=90°,a=3,b=4, 则c = (3) 在等腰Rt ?ABC 中,AC=BC ,∠C=90°,AC :BC :AB= (4)在Rt ?ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BC :AC :AB= 探究2.

初二数学勾股定理教案(模板)

初二数学上册教案模板勾股定理(2课时) 一、教学目标及重点 1、教学目标 (1)经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程,通过自主学习体验获取数学知识的感受,培养学生的思维能力和语言表达能力。 (2)运用勾股定理解决实际问题。 (3)了解有关勾股定理的历史,通过有关勾股定理的历史讲解,对学生进行德育教育。 2、教学重点:勾股定理及其应用。 3、教学难点:通过有关勾股定理的历史讲解,了解数学发展史,激发学习兴趣,对学生进行德育教育。 二、探索发现:(在教师的引领下,小组合作,探索学习) 通过此案例引出:勾股定理(商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理)的渊源。 三、知识透析: 1.勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c,

那么: 即:直角三角形两直角边的 等于斜边的平方。 2.注意:(1)勾股定理的条件是:只有在直角三角形中才使用;(2)勾股定理的变形:222a =-b c ;222b =-a c 3.勾股定理验证方法:(教师引导学生通过面积计算,实现勾股定理证明) (1)赵爽证明: (2)伽菲尔德“总统证明法” 四、典例分析: 题型1:勾股定理 1.=90ABC C A B C ?∠∠∠∠V 例在中,,、、所对的边分别是a 、b 、c 。 (1)当a=3,b=4,则c= (2)若a=5,b=12,则c= 例2.一个等腰三角形的腰长为13cm ,底边长为10cm ,则底边上的高为?( )

(随堂练习:教材3页1、2) 题型2:勾股定理验证 例3.请您用下图验证勾股定理 例4.教材5页第三问 (随堂练习:教材6页中间) 题型3:勾股定理应用 例5.有两棵树,一棵高10米,另一棵高4m,两棵相距8米。一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则小鸟至少飞行()(2013安顺中考) A.8米 B.10米 C.12米 D.14米 注:将应用题转化构造为直角三角形 例6.教材5页例题

第十七章:勾股定理知识点归纳

第十七章:勾股定理知识点归纳 1.勾股定理 内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方; 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为口,由,斜边为C,那么 X 十变形公式C= a2b2,b= c2b2,a=.c2a2 2?勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理. 3?勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形 4?勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边。 在3C 中a = 则c= a2b2, b= c2b2, a=、c2a2,②已知直角三角形一边,另外两边之间的数量关系 利用勾股定理:a2 b2c2,列方程求解。 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 5.勾股定理的逆定理 2.2 2 如果三角形三边长a, b , c满足a b c ,那么这个三角形是直角三角形,

最长边所对的角等于90 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一

第十七章:勾股定理知识点归纳 种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状, 在运用这一定理时,可用两小边的平方和 与较长边的平方 较,若它们相等时,以 , , 为三边的三角形是直角三角形; 时,以 , , 为三边的三角形是钝角三角形;若 ,时,以 为三边的三角形是锐角三角形; 作比 若,

人教版八年级数学下册课时作业:17.1 第3课时 勾股定理作图与计算

第3课时勾股定理作图与计算 知识点 1 勾股定理与实数 1.小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后,又进一步进行练习:如图,首先画出数轴,设原点为点O,在数轴上距原点2个单位长度的位置确定一点A,然后过点A作AB⊥OA,且AB=3.以点O为圆心,OB长为半径作弧,与数轴右侧的交点记为点P,则点P表示的实数在() A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 2.如图所示,在正方形ODBC中,OC=2,OA=OB,则数轴上点A表示的数是. 知识点 2 勾股定理与网格 3.如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,每个小正方形的边长均为1,则网格上的△ABC的三边中,长度为无理数的边有() A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 4.如图,网格中每个小正方形的边长都为1,则△ABC的周长为() A.16 B.12+4√2 C.7+7√2 D.5+11√2 5.如图,在6×6的正方形网格(每个小正方形的边长均为1 cm)中,网格线的交点称为格点,△ABC的顶点都在格点

处,则AC边上的高为cm. 6.如图,正方形网格中每个小正方形的边长都是1,任意连接这些小正方形的顶点,可得到一些线段.请在图中画出线段AB=√2,CD=√5,EF=√13. 知识点 3 勾股定理与图形折叠 7.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,AC=5,点E在BC上,将△ABC沿AE折叠,使点B落在AC边上的点B'处,则BE的长为. 8.如图,折叠长方形ABCD的一边AD,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8 cm,BC=10 cm,求CE的长. 9.为了比较√5+1与√10的大小,可以构造如图所示的图形进行推算,其中∠C=90°,BC=3,点D在BC上,且BD=AC=1,通过计算可得√5+1√10.(填“>”“<”或“=”)

初中数学勾股定理

聚智堂学科教师辅导讲义 年级:课时数:学科教师: 学员姓名:辅导科目:数学辅导时间: 课题勾股定理 教学目的 1、勾股定理:直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。(即:a2+b2=c2) 2、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长:a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是 直角三角形。 3、满足2 2 2c b a= +的三个正整数,称为勾股数。 教学内容 一、日校回顾 二、知识回顾 1. 勾股定理 如图所示,在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形,通过观察、探索、发现正方形面积之间存在这样的关系:即C的面积=B的面积+A的面积,现将面积问题转化为直角三角形边的问题,于是得到直角三角形三边之间的重要关系,即勾股定理。 勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么 2 2 2c b a= + 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 说明: (1)勾股定理只有在直角三角形中才适用,如果不是直角三角形,那么三条边之间就没有这种关系了。

(2)我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦。在没有特殊说明的情况下, 直角三角形中,a ,b 是直角边,c 是斜边,但有时也要考虑特殊情况。 (3)除了利用a ,b ,c 表示三边的关系外,还应会利用AB ,BC ,CA 表示三边的关系,在△ABC 中,∠B =90°,利 用勾股定理有2 2 2 AC BC AB =+。 2. 利用勾股定理的变式进行计算 由2 2 2 c b a =+,可推出如下变形公式: (1)2 2 2 b c a -=; (2)2 2 2 a c b -= (3)22b c a -= (4)22a c b -= (5)22b a c += (平方根将在下一章学到) 说明:上述几个公式用哪一个,取决于已知条件给了哪些边,求哪条边,要判断准确。 三、知识梳理 1、勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用有: (1)已知直角三角形的两边求第三边 (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系。求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2、如何判定一个三角形是直角三角形 (1) 先确定最大边(如c ) (2) 验证2 c 与2 2 b a +是否具有相等关系 (3) 若2 c =2 2 b a +,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形;若2 c ≠2 2 b a + 则△ABC 不是直角三角形。

人教初中数学第十七章勾股定理知识点

人教版初中数学第十七章勾股定理知识点

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第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 1、勾股定理:如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ,斜边长为c ,那么222a b c += 勾股定理的证明: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,221 4()2 ab b a c ?+-=,化简可证. 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ ∴222a b c += 方法三:1()()2S a b a b =+?+梯形,211 2S 222 ADE ABE S S ab c ??=+=?+梯形,化简得证 17.2 勾股定理的逆定理 2、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a 、b 、c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形. 3、互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题. 4、勾股数:能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称 a , b , c 为一组勾股数 常见的勾股数有:3、4、5;6、8、10;5、12、13;7、24、25等 b a c b a c c a b c a b c b a H G F E D C B A a b c c b a E D C B A

勾股定理与弦图练习(含答案)

勾股定理与弦图练习(含答案) 判断题 ⑴在一个三角形中,如果一边上的中线等于这条边的一半,那么这条边所对的角是直角. ⑵命题:“在一个三角形中,有一个角是30°,那么它所对的边是另一边的一半.”的逆命题是真命题. ⑶勾股定理的逆定理是:如果两条直角边的平方和等于斜边的平方,那么这个三角形是直角三角形. ⑷△ABC的三边之比是1:1:,则△ABC是直角三角形. 答案:对,错,错,对; △ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,下列命题中的假命题是() A.如果∠C-∠B=∠A,则△ABC是直角三角形. B.如果c2=b2—a2,则△ABC是直角三角形,且∠C=90°. C.如果(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形. D.如果∠A:∠B:∠C=5:2:3,则△ABC是直角三角形. 答案:D 1、下列四条线段不能组成直角三角形的是() A.a=8,b=15,c=17 B.a=9,b=12,c=15 C.a= ,b= ,c= D.a:b:c= 2:3:4 答案:D 2、已知:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,分别为下列长度,判断该三角形是否是直角三角形?并指出那一个角是直角?

⑴a= ,b= ,c= ;⑵a=5,b=7,c=9; ⑶a=2,b= ,c= ;⑷a=5,b= ,c=1. 答案:⑴是,∠B;⑵不是;⑶是,∠C;⑷是,∠A. 叙述下列命题的逆命题,并判断逆命题是否正确. ⑴如果a3>0,那么a2>0; ⑵如果三角形有一个角小于90°,那么这个三角形是锐角三角形; ⑶如果两个三角形全等,那么它们的对应角相等; ⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等. 答案:⑴如果a2>0,那么a3>0;假命题. ⑵如果三角形是锐角三角形,那么有一个角是锐角;真命题. ⑶如果两个三角形的对应角相等,那么这两个三角形全等;假命题. ⑷两条相等的线段一定关于某条直线对称;假命题. 1、填空题. ⑴任何一个命题都有,但任何一个定理未必都有. ⑵“两直线平行,内错角相等.”的逆定理是. ⑶在△ABC中,若a2=b2-c2,则△ABC是三角形,是直角;若a2<b2-c2,则∠B是. ⑷若在△ABC中,a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2,则△ABC是三角形. 答案:⑴逆命题,逆定理;⑵内错角相等,两直线平行;⑶直角,∠B,钝角;⑷直角.

初中数学《勾股定理》典型练习题

《勾股定理》典型例题分析 一、知识要点: 1、勾股定理 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说:如果直角三角形的两直角边为a、b,斜边为c ,那么 a2 + b2= c2。公式的变形:a2 = c2- b2, b2= c2-a2 。 2、勾股定理的逆定理 如果三角形ABC的三边长分别是a,b,c,且满足a2 + b2= c2,那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时,同学们要注意处理好如下几个要点: ①已知的条件:某三角形的三条边的长度. ②满足的条件:最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件,就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数 满足a2 + b2= c2的三个正整数,称为勾股数。注意:①勾股数必须是正整数,不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后,仍是勾股数。常见勾股数有: (3,4,5 )(5,12,13 ) ( 6,8,10 ) ( 7,24,25 ) ( 8,15,17 )(9,12,15 ) 4、最短距离问题:主要运用的依据是两点之间线段最短。 二、考点剖析 考点一:利用勾股定理求面积 1、求阴影部分面积:(1)阴影部分是正方形;(2)阴影部分是长方形;(3)阴影部分是半圆. 2. 如图,以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆,试探索三个半 圆的面积之间的关系.

3、如图所示,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,其面积分别是S 1、S 2、S 3,则它们之间的关系是( ) A. S 1- S 2= S 3 B. S 1+ S 2= S 3 C. S 2+S 3< S 1 D. S 2- S 3=S 1 4、四边形ABCD 中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD 的面积。 5、在直线上依次摆放着七个正方形(如图4所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是 、 =_____________。 考点二:在直角三角形中,已知两边求第三边 1.在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ,2cm ,则斜边长为 . 2.(易错题、注意分类的思想)已知直角三角形的两边长为3、2,则另一条边长的平方是 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12, 求斜边上的高. 4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍,则斜边扩大到原来的( ) A . 2倍 B . 4倍 C . 6倍 D . 8倍 5、在Rt △ABC 中,∠C=90° S 3 S 2 S 1

第十七章勾股定理

第十七章勾股定理 一、选择题(共18小题;共90分) 1. 若直角三角形的三边长分别为,,,则的可能值有 ( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 三角形的三边长,,满足,则此三角形是 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3. 已知的三边长分别为,,,则的面积为 ( ) A. B. C. D. 不能确定 4. 设,是直角三角形的两条直角边,若该三角形的周长为,斜边长为,则的值是 ( ) A. B. C. D. 5. 下列各组数中是勾股数的是 ( ) A. ,, B. ,, C. ,, D. ,, 6. 如果将长为,宽为的长方形纸片折叠一次,那么这条折痕的长不可能是 ( ) A. B. C. D. 7. 中,,,高,则的长为 ( ) A. B. C. 或 D. 以上都不对 8. 三角形的三边长分别为(是自然数),这样的三角形是 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 锐角三角形或直角三角形 9. 下列各组正数为边长,能组成直角三角形的是 ( ) A. ,, B. ,, C. ,, D. ,, 10. 如图所示,有一块直角三角形纸片,,,,将斜边翻折,使点 落在直角边的延长线上的点处,折痕为,则的长为 A. B. C. D. 11. 已知,,是的三边长,且满足,则的形状 是 ( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形

12. 如图,以数轴的单位长线段为边作一个正方形,以数轴的原点为旋转中心,将过原点的对角线 顺时针旋转,使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点处,则点表示的数是 A. B. C. D. 13. 如图,在矩形中,,,对角线的垂直平分线分别交,于点,, 连接,则的长为 A. B. C. D. 14. 如图是一个的正方形网格,每个小正方形的顶点都是格点,的顶点都是图中的格 点,其中点、点的位置如图所示,则点可能的位置共有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 15. 2002 年8 月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》, 它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示),如果大正方形的面积是,小正方形的面积是,直角三角形的短直角边为,较长直角边为,那么的值为 A. B. C. D. 16. 小丽和小芳二人同时从公园去图书馆,都是每分钟走米,小丽走直线用了分钟,小芳先 去家拿了钱去图书馆,小芳到家用了分钟,从家到图书馆用了分钟,则以公园、图书馆和小芳家这三个地方为顶点所组成三角形为 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 17. 已知的三边为、、,且,,,则是 ( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形

初二数学勾股定理试题及参考答案

一.选择题(共18小题) 1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为() A.B.C.D. 2.如图,在△ABD中,∠D=90°,CD=6,AD=8,∠ACD=2∠B,则BD的长是() A.12 B.14 C.16 D.18 3.如图,直线l1∥l2,等腰Rt△ABC的直角顶点C在l1上,顶点A在l2上,若∠β=14°,则∠α=() A.31°B.45°C.30°D.59° 4.如图所示,AB=BC=CD=DE=1,AB⊥BC,AC⊥CD,AD⊥DE,则AE=() A.1 B.C.D.2 5.如图,两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母A所代表的正方形的面积为()

A.4 B.8 C.16 D.64 6.2的算术平方根是() A.B.C.D.2 7.9的平方根为() A.3 B.﹣3 C.±3 D. 8.81的平方根是() A.﹣9 B.9 C.±9 D.±3 9.若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的平方根,则m的值是() A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.﹣3或1 10.下列说法正确的是() A.任何非负数都有两个平方根 B.一个正数的平方根仍然是正数 C.只有正数才有平方根 D.负数没有平方根 11.5的平方根是() A.±2.5 B.﹣C.D.± 12.在平面直角坐标系中,点P(﹣2,x2+1)所在的象限是() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 13.在平面直角坐标系中,点P(m﹣3,4﹣2m)不可能在() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 14.在平面直角坐标系中.点P(1,﹣2)关于x轴对称的点的坐标是()A.(1,2) B.(﹣1,﹣2)C.(﹣1,2)D.(﹣2,1) 15.点P(1,﹣2)关于y轴对称的点的坐标是() A.(1,2) B.(﹣1,2)C.(﹣1,﹣2)D.(﹣2,1) 16.点A(﹣3,2)关于y轴对称的点的坐标为() A.(3,﹣2)B.(3,2) C.(﹣3,﹣2)D.(2,﹣3)

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