高中数学必修1优秀教1.示范教案(1.1 指数与指数幂的运算 第2课时)

第2课时 指数与指数幂的运算(2)

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思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平.而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂.

思路 2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂. 推进新课 新知探究 提出问题

(1)整数指数幂的运算性质是什么？ (2)观察以下式子,并总结出规律：a ＞0, ①5

10

a

=352)(a =a 2

=a

5

10;

②8a =2

4)(a =a 4

=a 2

8; ③412a =44

3)(a =a 3=a 412; ④2

10

a

=225)(a =a 5

=a

2

10.

(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？

4

35,357,57a ,n m x (x>0,m,n ∈N *,且n>1).

(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗？ (5)你能推广到一般的情形吗？

活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示.

讨论结果：(1)整数指数幂的运算性质：a n =a·a·a·…·a,a 0=1(a≠0);00无意义; a -n =

n a

1

(a≠0);a m ·a n =a m+n ;(a m )n =a mn ;(a n )m =a mn ;(ab)n =a n b n . (2)①a 2是a 10的5次方根；②a 4是a 8的2次方根；③a 3是a 12的4次方根；④a 5是a 10的2次方根.实质上①510

a

=a

5

10,②8

a =a 2

8,③412

a

=a

4

12,④210

a

=a

2

10结果的a 的指数是2,4,3,5

分别写成了

510,28,412,5

10,形式上变了,本质没变. 根据4个式子的最后结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）. (3)利用(2)的规律,43

5=54

3,35

7=735,5

7

a =a 5

7,

n

m

x =x n

m .

(4)53

的四次方根是54

3,75

的三次方根是73

5,a 7的五次方根是a 5

7,x m

的n 次方根是x n

m . 结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.

(5)如果a>0,那么a m

的n 次方根可表示为n

a m

=a n

m ,即a n

m =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1).

综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书: 规定:正数的正分数指数幂的意义是a m

n =n a m (a>0,m,n ∈N *,n>1).

提出问题

①负整数指数幂的意义是怎样规定的? ②你能得出负分数指数幂的意义吗?

③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义? ④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?

⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a ＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果?

⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?

活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a ＞0的必要性,教师及时作出评价. 讨论结果：①负整数指数幂的意义是:a -n =

n a

1

(a≠0),n ∈N *. ②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.

规定:正数的负分数指数幂的意义是a

m

n -=

m

n a

1=

n

m

a 1

(a>0,m,n ∈N *,n>1).

③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义. ④教师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是:

正数的正分数指数幂的意义是a m

n =n m a (a>0,m,n ∈N *,n>1),正数的负分数指数幂的意义是a

m

n -=

m

n a

1=

n

m

a 1

(a>0,m,n ∈N *,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.

⑤若没有a ＞0这个条件会怎样呢?

如(-1)3

1=3-1=-1,(-1)6

2=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,

如无a ＞0的条件,比如式子3a 2

=|a|3

2,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.

⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数. 有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质: （1）a r ·a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q ), （2）(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈Q ), （3）(a·b)r =a r b r (a>0,b>0,r ∈Q ).

我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题. 应用示例

思路1 例1求值:①83

2;②25

2

1-③(21)-5;④(81

16)43

-.

活动：教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目要求,把底数写成幂的形式,8写成23,25写成52,

21写成2-1,81

16

写成(32)4,利用有理数幂的运算性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来. 解：①83

2=(23)32=23

23?=22=4; ②25

2

1

-=(52

)

2

1-

=5

)

2

1(2-?=5-1=

5

1; ③(

2

1)-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32; ④(81

16)43

-=(32))43

(4-?=(32)-3=827.

点评：本例主要考查幂值运算,要按规定来解.在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如83

2

=328=364=4. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式.

a 3·a ;a 2·3

2a ;3a a (a>0).

活动：学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结. 解：a 3·a =a 3

·a 2

1

=a

2

13+

=a 2

7;

a 2·32a =a 2·

a 3

2=a 2

32+

=a 3

8;

3

a a =(a·a 31

)2

1=(a 3

4)2

1=a 3

2.