10.3二项式定理
§10.3 二项式定理
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题7分，共42分)
1．若二项式?
???x 2－2x n 的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为( ) A ．－240 B ．－160 C ．160 D ．240
2.????x 2＋2x 8的展开式中x 4的系数是( )
A ．16
B ．70
C ．560
D ．1 120
3．在? ??
??x 2－1
3x n 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(
) A ．－7 B ．7 C ．－28 D ．28
4．如果? ????3x －1
3x 2n 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中
1
x 3的系数是( )
A ．7
B ．－7
C ．21
D ．－21 5．(2010·全国Ⅰ)(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( )
A ．－4
B ．－2
C ．2
D ．4
6．C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2k 2n ＋…＋C 2n 2n 的值为( )
A ．2n
B ．22n －1
C ．2n －1
D ．22n －1－1
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．(2010·湖北)在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．
8．(x －y )10的展开式中，x 7y 3的系数与x 3y 7的系数之和等于________．
9．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中x 2的系数为________．
三、解答题(共40分)
10．(13分)已知在? ??
???3
x －123x n 的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n ；
(2)求含x 2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
11．(14分)设(3x －1)8＝a 8x 8＋a 7x 7＋…＋a 1x ＋a 0，求：
(1)a 8＋a 7＋…＋a 1；
(2)a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0.
12．(14分) (1)求?
???x 2－12x 9的展开式中的常数项； (2)已知???
?a x － x 29的展开式中x 3的系数为94，求常数a 的值； (3)求(x 2＋3x ＋2)5的展开式中含x 的项．
答案
1.D
2.D
3.B
4.C
5.C
6.D
7.6 8.－240 9.35
10. 解 (1)通项公式为T r ＋1＝C r n x n －r 3????－12r 23x - ＝C r n ????－12r 23n r x -，∵第6项为常数项，
∴r ＝5时，有n －2r 3
＝0，即n ＝10. (2)令n －2r 3＝2，得r ＝12
(n －6)＝2， ∴所求的系数为C 210????－122＝454.
(3)根据通项公式，由题意得????? 10－2r 3∈Z ，
0≤r ≤10，r ∈N ，
令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32
k . ∵r ∈N ，∴k 应为偶数．
∴k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8.
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为
C 210????－122x 2，C 510????－125，C 810????－128x －2.
11. 解 令x ＝0得a 0＝1.
(1)令x ＝1得(3－1)8＝a 8＋a 7＋…＋a 1＋a 0，①
∴a 8＋a 7＋…＋a 2＋a 1＝28－a 0＝256－1＝255.
(2)令x ＝－1得(－3－1)8＝a 8－a 7＋a 6－…－a 1＋a 0.②
由①＋②得28＋48＝2(a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0)，
∴a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋a 0＝12
(28＋48)＝32 896. 12. 解 (1)设第r ＋1项为常数项，则
T r ＋1＝C r 9(x 2)9－r ·????－12x r ＝???
?－12r C r 9x 18－3r . 令18－3r ＝0，得r ＝6，即第7项为常数项．
T 7＝????－126C 69＝2116
. ∴常数项为2116
. (2)设第r ＋1项是含x 3的项，则有
C r 9????a x 9－r ????－x 2r ＝94x 3，得x r －92k
x ＝x 3， 故32
r －9＝3，即r ＝8. ∴C 89a ????－ 128＝94
，∴a ＝4. (3)∵(x 2＋3x ＋2)5＝(x ＋1)5(x ＋2)5，
(x 2＋3x ＋2)5的展开式中含x 的项是(x ＋1)5展开式中的一次项与(x ＋2)5展开式中的常数项之积，和(x ＋1)5展开式中的常数项与(x ＋2)5展开式中的一次项之积的代数和．
∴含x 的项为C 45·x ·C 55·25＋C 55·1·C 45·
x ·24＝240x .
(完整word版)高考数学二项式定理专题复习专题训练)
二项式定理 1.二项式定理：)*()(011111100N n b a C b a C b a C b a C b a n n n n n n n n n n n ∈++???++=+---. 2.二项式定理的说明： （1）()n a b +的二项展开式是严格按照a 的降次幂（指数从n 逐项减到0）、 b 的升次幂（数从0逐项减到n ）排列的，其顺序不能更改，且各项关于a 、b 的指数之和等于n 。所以()n a b +与()n b a +的二项展开式是不同的。 （3）二项式项数共有(1)n +项，是关于a 与b 的齐次多项式。 （4）二项式系数：展开式中各项的系数为1-r n C ，1,...,3,2,1+=n r . （5）二项式通项：展开式中的第r 项记作r T ， ）（1,...,3,2,11 11+==--+-n r b a C T r r n r n r ，共有(1)n +项。 （6）正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数依次是 012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ?????? 项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 如：n n r r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ）（）（）（）（）（----n r 2221110+???++???+++=---的 第2项的二次项系数为1n C ，而第2项的系数为1 n C -. （7）常见二项式： 令1,,a b x ==)*()1(111100N n x C x C x C x C x n n n n n n n n n ∈++???++=+--； 令1,,a b x ==-)*()1()1(221100N n x C x C x C x C x n n n n n n n n ∈-+???++-=-. 3.二项式系数的性质： （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等： 即k n n k n n n n n n n C C C C C C --=???==,,,110 .
高中数学《二项式定理》公开课优秀教学设计二
二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理． （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用． （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养． 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利
(完整版)二项式定理典型例题
1. 在二项式n x x ??? ? ? +4 21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=?? ? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8 141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类 似地，100 3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 系数和为n 3． 2.（1）求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21 (++ x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5 510C x ；用 3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；
高中数学完整讲义——二项式定理6.二项式定理的应用3近似计算或估计
高中数学讲义 1 思维的发掘 能力的飞跃 1．二项式定理 ⑴二项式定理 () ()011222...n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项 011222...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫 做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式()n a b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ． ②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意 ①通项1r n r r r n T C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()n b a +的展开式的第1r +项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时， 其中的a 和b 是不能随便交换的． ③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系 数有时可为负． ④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项公式是 ()11r r n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1r r n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系 知识内容 近似计算或者估计
专题26二项式定理(原卷版)
专题26 二项式定理(原卷版) 易错点1：混淆通项公式1r n r r r n T C a b -+=与展开式中的第r 项 易错点2：混淆二项式展开式中a,b 排列顺序设置陷阱 易错点3：混淆二项式系数和项的系数 易错点4：混淆二项式最大项与展开式系数最大项 考点1 求二项展开式中特定项或指定项的系数 题组一 1.10)21(x +的展开式的第4项是 . 题组二 2．(2016年全国I)5(2x +的展开式中,x 3的系数是 ．(用数字填写答案) 3．(2018全国卷Ⅲ)252()x x +的展开式中4 x 的系数为( ) A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 4.6(42)x x --(x ∈R)展开式中的常数项是______. 题组三 5.(2019全国III 理4)24(12)(1)x x ++的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 6．(2017新课标Ⅲ)621 (1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 7.64(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是_____.(用数字作答). 题组四 8.25()x x y ++的展开式中, 52x y 的系数为_______.(用数字作答). 9．(2017新课标Ⅲ)5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为
A ．-80 B ．-40 C ．40 D ．80 10．(2014新课标1)8 ()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 ．(用数字填写答案) 考点2 已知二项展开式某项的系数求参数 题组五 11．(2014新课标2)()10x a +的展开式中,7x 的系数为15,则a =___．(用数字填写答案) 12.()()511ax x ++的展开式中的系数为5, ______. 13．(2015新课标2)4()(1)a x x ++ 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32, 则a =______． 题组六 14.若n x x )2(-二项展开式的第5项是常数项,则自然数n 的值为______. 15.二项式1(n x -的展开式中含有x 4的项,则n 的一个可能值是( ). A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 16.(13)(6)n x n N n +∈其中且≥的展开式中5x 与6x 的系数相等,则n =_____. 17.若)(13N n x x n ∈??? ? ?-的展开式中第3项为常数项,则展开式中二项式系数最大的是第____项. 18.若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中 2 1x 的系数为___. 考点3 二项式各项系数的和与二项式系数的区别 题组七 19.5 12a x x x x ????+- ???? ???的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为____
二项式定理专题复习教学内容
二项式定理知识点、题型与方法归纳 一．知识梳理 1．二项式定理：)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+++++=+--ΛΛ．其中) ,,2,1,0(n r C r n Λ=叫二项式系数．式中的r r n r n b a C -叫二项展开式的通项，用1+r T 表示，即通项r r n r n r b a C T -+=1. 2．二项展开式形式上的特点: (1)项数为n ＋1； (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n . (3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n . (4)二项式的系数从C 0n ，C 1 n ，一直到C n － 1n ，C n n . 3．二项式系数的性质： (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即r n r n n C C -= (2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋1 2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1122n n n n C C -+=取得最大值． (3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5 n ＋…＝2 n － 1. 一个防范 运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n a n －r b r ，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负． 两种应用 (1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等． (2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质 (1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和； 二．题型示例 【题型一】求()n x y +展开特定项 例1：(1＋3x )n (其中n ∈N *且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( ) B A.6 B.7 C.8 D.9
二项式展开式专题
二项式展开式专题 一、基础知识： 1、二项式()()n a b n N *+∈展开式 () 011222n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++，从恒等式中我们 可以发现这样几个特点 （1）()n a b +完全展开后的项数为()1n + （2）展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，,a b 的指数呈此消彼长的特点。指数和为n （3）在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a ，右边的项为b ，比如：()1n x +与()1n x +虽然恒等，但是展开式却不同，前者按x 的指数降幂排列，后者按1的指数降幂排列。如果是()n a b -，则视为()n a b +-????进行展开 （4）二项展开式的通项公式1r n r r r n T C a b -+= （注意是第1r +项） 2、二项式系数：项前面的01,,,n n n n C C C 称为二项式系数，二项式系数的 和为2n 二项式系数的来源：多项式乘法的理论基础是乘法的运算律（分配律，交换律，结合律），所以在展开时有这样一个特征：每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为了展开时中的某项。对于()n a b +可看作是n 个()a b +相乘，对于n r r a b - 意味着在这n 个()a b +中，有()n r -个式子出a ，剩下r 个式子出b ，那么这种出法一共有r n C 种。所以二项式展开式的每一项都可看做是一个组合问题。而二项式系数便是这个组合问题的结果。
二项式定理练习题
10.3二项式定理 【考纲要求】 1、能用计数原理证明二项式定理. 2、会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 【基础知识】 1、二项式定理：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( 二项式的展开式有1n +项，而不是n 项。 2、二项式通项公式：r r n r n r b a C T -+=1 （0,1,2,,r n =???） （1）它表示的是二项式的展开式的第1r +项，而不是第r 项 （2）其中r n C 叫二项式展开式第1r +项的二项式系数，而二项式展开式第1r +项的 系数是字母幂前的常数。 （3）注意0,1,2,,r n =??? 3、二项式展开式的二项式系数的性质 （1）对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等。即 m n C =m n n C - （2）增减性和最大值：在二项式的展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值， 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等且最大。 （3）所有二项式系数的和等于2n ，即n n n n n n n n n n C C C C C C 212210=++++++--ΛΛ 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，即 15314202-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ΛΛΛΛ 4.二项展开式的系数0123,,,,n a a a a a ???的性质： 对于2012()n n f x a a x a x a x =++++g g g 0123(1)n a a a a a f ++++???+=， 0123(1)(1)n n a a a a a f -+-+???+-=- 5、证明组合恒等式常用赋值法。 【例题精讲】 例1 若,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=-求（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +） 解：对于式子：,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=- 令x=0，便得到：0a =1
(完整版)二项式定理学生讲义
二项式定理 【2013年高考会这样考】 1.二项式定理是高考重点考查内容之一．分值一般为5～9分．考查比较稳定，试题难度起伏不大；题目一般为选择、填空题. 2.高考主要考查二项展开式和通项的应用，具体会涉及到求特定的项或系数，以及二项式系数等问题，是高考的必考点之一。 【复习指导】 二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用． 基础梳理 1．二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0 n a n ＋C 1 n a n －1 b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N * )这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的 ．其中的系数C r n (r ＝0,1，…，n )叫 系数． 式中的C r n a n －r b r 叫二项展开式的 ，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n a n －r b r . 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为 . (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为 _______ (3)字母a 按 排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n . (4)二项式的系数从C 0 n ，C 1 n ，一直到C n －1n ，C n n . 3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ．即C r n ＝C n －r n . (2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜ n ＋1 2 时，二项式系数逐渐 ．由对称性知它的后 半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项T 12 +n 二项式系数取得最大值；当n 是奇数时， 中间两项1 2 1 2 1n ,+++n T T 的二项式系数相等且最大。 (3)各二项式系数和：C 0 n ＋C 1 n ＋C 2 n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝_____； C 0 n ＋C 2 n ＋C 4 n ＋…＝C 1 n ＋C 3 n ＋C 5 n ＋…＝________.
1.3.1二项式定理(教案)
1． 3．1二项式定理 教学目标： 知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题 情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。 教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时 一、复习引入： ⑴22202122 222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++； ⑵3322303122233333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++ ⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4 a ，3 a b ，22 a b ，3 ab ，4 b ， 展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4 a 的系数是0 4C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3 a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有2 4C 种，22 a b 的系 数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4 b 的系数是4 4C ， ∴4 4 13 2 22 33 44 44444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++． 二、讲解新课： 二项式定理：01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++ +++∈ ⑴()n a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项： n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ， ⑵展开式各项的系数： 每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0 n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……，
高中数学二项式定理全章复习
第十一讲 二项式定理 课程类型：□复习 □预习 □习题 针对学员基础：□基础 □中等 □优秀 1.二项式定理的定义； 2.二项式定理的通项公式； 3.二项式定理的应用. 1.能用计数原理证明二项式定理(重点)； 2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式(重点)； 3.能解决与二项式定理有关的简单问题(重点、难点). 【知识与方法】 一．二项式定理的定义 在44443 444421个 n n b a b a b a b a )())(()(+???++=+中，每个括号都能拿出a 或b ，所以每个括号有2种选择，n 个括号 就是n 2种情况.22-n b a 这一项，表达的意思是_________________________；所以，22-n b a 共有________个.
(a ＋b )n 的二项展开式本来共有_______项，合并之后共有_______项，其中各项的系数______________叫做二项式系数． 二．二项展开式的通项 (a ＋b )n 的二项展开式的通项公式为__________.. 注意：1.r n r C T 与1+的关系，例如第5项，应该是4n C ； 2.二项式的展开式是按照前项降幂排列，例如10)1(+x 与10)1(x +中的第4项是不同的； 3.a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等 于n ； 4.注意正确区分二项式系数与项的系数. 三．二项式系数的基本性质 四．展开式的二项式系数和 1.(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝_______. 2.偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0 n ＋C 2 n ＋C 4 n ＋…＝C 1 n ＋C 3 n ＋C 5 n ＋…＝_______. 五．展开式的系数和 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a n x n ，则 f (x )展开式中各项系数之和为_______，奇数项系数之和为a 0＋ a 2＋a 4＋…= 2 ) 1()1(-+f f ，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…=________________. 【例题与变式】 题型一 通项公式及其应用 类型一 二项式定理的原理应用 【例1】(2015·全国卷Ⅰ)(x 2 ＋x ＋y )5 的展开式中，x 5y 2 的系数为（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．60 【例2】（2018?滨州二模）52)32(--x x 的展开式中，x 的系数为________. 【变式1】（2018?濮阳一模）82017 )11(++ x x 的展开式中，x 3 的系数为________. 【变式2】（2018?龙岩模拟）已知二项式4)21 1(x x -+ ，则展开式的常数项为（ ） A ．-1 B ．1 C ．-47 D ．49 类型二 单括号型 【例4】（2018?内江三模）4)2 (x x -展开式中的常数项为（ ）
冲刺2020年高考满分数学(理)纠错《专题26二项式定理》(原卷版)
专题26 二项式定理（原卷版） 易错点1：混淆通项公式1r n r r r n T C a b -+=与展开式中的第r 项 易错点2：混淆二项式展开式中a,b 排列顺序设置陷阱 易错点3：混淆二项式系数和项的系数 易错点4：混淆二项式最大项与展开式系数最大项 考点1 求二项展开式中特定项或指定项的系数 题组一 1.10)21(x +的展开式的第4项是 . 题组二 2．(2016年全国I)5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 ．（用数字填写答案） 3．(2018全国卷Ⅲ)252()x x +的展开式中4x 的系数为（ ） A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 4.6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是______. 题组三 5.（2019全国III 理4）24(12)(1)x x ++的展开式中x 3的系数为（ ） A ．12 B ．16 C ．20 D ．24 6．（2017新课标Ⅰ）621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为（ ） A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 7.64(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是_____.(用数字作答). 题组四 8.25 ()x x y ++的展开式中， 52x y 的系数为_______.(用数字作答). 9．（2017新课标Ⅲ）5 ()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为 A ．-80 B ．-40 C ．40 D ．80 10．（2014新课标1）8 ()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 ．(用数字填写答案) 考点2 已知二项展开式某项的系数求参数
二项式定理教学设计(何磊)
课题：§1.3.1二项式定理（人教A版高中课标教材数学选修2-3） 教学设计 河北正定中学何磊
《二项式定理》教学设计 一、教学内容解析 《二项式定理》是人教A 版选修2-3第一章第三节的知识内容，它是初中学习的多项式乘法的继续．在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它作为计数原理的一个应用，另一方面也是解决整除、近似计算、不等式证明的有力工具，同时也是后面的数学期望等内容的基础知识，二项式定理起着承上启下的作用．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可进一步深化对组合数的认识．总之，二项式定理是综合性较强的、具有联系不同内容作用的知识． 二、教学目标设置 新课标指出教学目标应体现学生学会知识与技能的过程也同时成为学生学会学习，形成正确价值观的过程．新课标要求：用计数原理分析2()a b +，3()+a b ，4()+a b 的展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明．掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的方法．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标： 1.学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的 特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题． 2.学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力． 3.通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美．结合数学史，激发学生爱国热情和民族自豪感． 三、学情分析 １．有利因素 授课对象是高二的学生，具有一般的归纳推理能力，思维较活跃，初步具备了用联系的观点分析问题的能力．学生刚刚学习了计数原理和排列组合的知识，对本节()+n a b 展开式中各项系数的研究会有很大帮助． ２．不利因素 本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理等能力有较高要求，学生学习起来有一定难度．在数学学习过程中，大部分学生习惯于重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程． 四、教法策略分析 遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则，采用“启发式教学法”，学生主要采用“探究式学习法”， 并利用多媒体辅助教学． 本课以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，完成二项式定理的探究，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程． 五、教学过程
第三节 二项式定理-高考状元之路
第三节 二项式定理 预习设计 基础备考 知识梳理 1．二项式定理 =+n b a )( 这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式，其中的系数 ),,2,1,0(n r c r n =叫做 式中的r r n r n b a c -叫做二项展开式的 用1+r T 表示，即展开式的第 项；= +1r T 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为.1+n (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为 (3)字母a 按 排列，从第一项开始，次数由n 逐渐减1直到零；字母b 按 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． (4)二项式的系数从 ,,1 n C 一直到,1-n n C 3．二项式系数的性质 (1)对称性；与首末两端 的两个二项式系数相等，即.m n n m n c C -= (2)增减性与最大值：二项式系数,k n C 当 时，二项式系数是递增的；当 时，二项式 系数是递减的，当n 是偶数时，中间的一项 取得最大值，当n 是奇数时，中间两项 和 相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和： n b a )(+的展开式的各个二项式系数的和等于.2n ，即 .2n = 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 =+++=+++ 42531 n n n n n C C C C c α 典题热身 1．在62)1(x x -的展开式中，3x 的系数是( ) 20.A 15.B 20.-c 15.-D 答案：C 2．已知n ax )1(+的展开式中，二项式系数和为32．各项系数和为243，则a 等于( ) 2.-A 2.B 3.-c 3.D 答案：B
二项式定理专题(教师版)
二项式定理专题 一、基础知识 1．二项式定理： 011 ()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。 各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是0 1 2 ,,,,,,. r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈ 令1,,a b x ==- 0122 (1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+- ++ +-∈ 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 0n n n C C =，···1k k n n C C -= ②二项式系数和：令 1a b ==,则二项式系数的和为 012 2r n n n n n n n C C C C C +++ +++=， 变形式12 21r n n n n n n C C C C ++ ++ +=-。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123 (1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-+ +-=-=， 从而得到：024213 21 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++ ++???=?=
第九章 第三节 二项式定理(优秀经典课时作业练习及答案详解)
课时作业 A 组——基础对点练 1.二项式(x ＋1)n (n ∈N ＋)的展开式中x 2的系数为15，则n ＝( ) A.7 B ．6 C ．5 D ．4 解析：因为(x ＋1)n 的展开式中x 2的系数为C n －2n ，所以C n －2n ＝15，即C 2n ＝15，亦 即n 2－n ＝30，解得n ＝6(n ＝－5舍)． 答案：B 2.二项式(x 2－2 x )10的展开式中，x 项的系数是( ) A.152 B ．－15 2 C ．15 D ．－15 解析：(x 2－2x )10 的二项展开式的通项公式为 T r ＋1＝C r 10(x 2)10－r (－2x )r ＝(－1)r 22r －10C r 10x 5－3r 2， 令5－3r 2＝1 2，得r ＝3， 所以x 项的系数是(－1)3·2－4·C 310 ＝－15 2.故选B. 答案：B 3.(2018·惠州市调研)(1 2x －2y )5的展开式中x 2y 3的系数是( ) A.－20 B ．－5 C ．5 D ．20 解析：(12x －2y )5展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5(12x )5－r ·(－2y )r ＝C r 5·(12 )5－r ·(－2)r ·x 5－r ·y r ，令 r ＝3，得x 2y 3的系数为C 35(12 )2·(－2)3 ＝－20. 答案：A 4.若(a 2＋1 a 2＋2)n 展开式中的常数项是252，则n ＝( ) A.4 B ．5 C ．6 D ．7 解析：(a 2＋1a 2＋2)n ＝(a ＋1a )2n ，(a ＋1a )2n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 2n a 2n －r (1a )r ＝C r 2n
高三C专题(二项式定理3星)
专题： 二项式定理 ★★★ 教学目标 1. 掌握二项式定理. 2. 掌握组合数的性质，具有一定的观察、分析、归纳能力. 【包括求二项展开式的指定项、二项式系数与展开式系数，研究二项展开式系数的性质，利用二项式定理比较多项式与指数式的大小，证明整除性问题等.】 知识梳理 5 min. 1. 二项式展开： 1 1 2 2 2()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++L L 通项公式：1C 0,1,2,,k n k k k n T a b k n -+=??=， L 2. 二项展开式的结构与特征 （1）项数：共1n +项 （2）系数：()0,1,2,,r n C r n =L 为第1r +项的二项式系数. （3）指数：a 的次数从n 起逐项减1直到0；b 的次数从0起逐项加1直到n .a 与b 的次数之和等于n . 3. 二项式系数的性质 （1）等距性：与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等即：r n r n n C C -=. （2）所有二项式系数之和等于2n ，即：0 1 2 2n n n n n n C C C C ++++=L . （3）奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于1 2 n -. 即：0241351 C C C C C C 2.n n n n n n n -+++=+++=L L 4. 二项式定理的应用 赋值法：()()n F x ax b =+展开式的各项系数和为()1f ； 典例精讲 33 min. 例1. （★★）若7 2 3 4 5 6 7 01234567(12)x a a x a x a x a x a x a x a x +=+++++++，求 （1） 展开式中各项系数和； （2） 求0246a a a a +++的值.
二项式定理
课题：二项式定理 讲课人：小邵 正阳县育才外国语学校 2018年 3月6日
课题：《二项式定理》 课型：一轮复习课 课时：1课时 讲课人：小邵 教学目标：知识与技能：掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与 二项展开式有关的简单问题。 过程与方法：培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力。 情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以 猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性 问题的解决方法。 教学重点：二项式定理和二项展开式的通项公式. 教学难点：培养归纳猜想，抽象概括，演绎证明等理性思维能力. 理科数学考纲要求：1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 考情分析：二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活但比较基础，高考对二项式定理的考查，多为选择题、填空题，注意二项式在近似值计算中的应用，本节内容中高考热点是通项公式的应用，利用通项公式求特定项或特定的项的系数，或已知某项，求指数n 等． 教学过程： 知识回顾 ⒈二项展开式(a+b) n = 。 ⒉二项展开式的通项：T r+1= . T r+1表示第r+1项 ⒊二项式系数为0n C ，1n C ，2n C ，…，r n C ，…，n n C .其性质有： ⑴m n n m n C C -=；⑵r n r n C r r n C 1 1+-=+；⑶0n C +1n C +2n C +……+n n C =2 n ； （4） +++=+++531420n n n n n n C C C C C C = 。 （5）当n 是偶数时， 的二项式系数最大；当n 是奇数时， 的二 项式系数相等且最大。 ⒋在运用二项式定理解题时，要注意下列问题： ⑴展开式的通项是第r+1项，不是第r 项； ⑵要区分展开式中某一项．与项的系数．．，区分某一项的系数．．．．．．与二项式系数．．．．． ；
第十章 第三节 二项式定理及应用
第十章 第三节 二项式定理及应用 1.(2009·重庆高考)(x 2＋2 x )8的展开式中x 4的系数是 ( ) A ．16 B ．70 C ．560 D ．1 120 解析：由二项展开式通项公式得 T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r (2x )r ＝2r C r 8x 16－3r . 由16－3r ＝4，r ＝4，则x 4的系数为24C 48＝1 120. 答案：D 2．(x )12的展开式中的常数项为 ( ) A ．－132 0 B ．1 320 C ．－220 D ．220 解析：展开式的通项是T r ＋1＝C r 12x 12－ r ( )r ＝C r 12 (－1)r x 12－4r 3，令12－4r 3＝0， 得r ＝9，故展开式的常数项是T 10＝C 912(－1)9 ＝－220. 答案：C 3．(2009·湖南高考)在(1＋x )3＋(1＋x )3＋(1＋3x )3的展开式中，x 的系数为 ________(用数字作答)． 解析：C 13＋C 23＋C 33＝23－1＝7. 答案：7 4．若????x 2＋1ax 6的二项展开式中x 3的系数为5 2，则a ＝__________(用数字作答)． 解析：通项T r ＋1＝C r 6· a － r x 12－3r ， 当12－3r ＝3时，r ＝3， 所以系数为C 36·a － 3＝52，得a ＝2. 答案：2
5.在? ? 1x ＋51x 3?? ? n 的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数 是 ( ) A ．330 B ．462 C ．682 D ．792 解析：∵二项式的展开式的所有项的二项式系数和为2n ，而所有偶数项的二项式系 数和与所有奇数项的二项式系数和相等．由题意得，2n － 1＝1 024，∴n ＝11，∴展 开式共有12项，中间项为第六项、第七项，系数为C 511＝C 6 11＝462. 答案：B 6．(2009·江西高考)(1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为 ( ) A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5 B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6 C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6 D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5 解析：不含x 的项的系数的绝对值为(1＋|b |)n ＝243＝35，不含y 的项的系数的绝对值 为(1＋|a |)n ＝32＝25， ∴n ＝5，????? 1＋|b |＝3，1＋|a |＝2. 答案：D 7．若(x －2)5＝a 5x 5＋a 4x 4＋a 3x 3＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝________. (用数字作答) 解析：由题设令x ＝0得a 0＝(－2)5＝－32， 令x ＝1得a 5＋a 4＋a 3＋a 2＋a 1＋a 0＝(1－2)5＝－1， 故a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝－1－(－32)＝31. 答案：31 8.在2 n x ? ?的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为 ( ) A ．－7 B ．7 C ．－28 D ．28 解析： 依题意，n 2＋1＝5，∴n ＝8.二项式为2x ?- ?8 ，易得常数项为C 68????x 22