二项式定理4
新课标人教A版选修2—3
二项式定理
（第一课时）
课前调查：1.教学进度
2.+2
a b展开式？
()
3.3
+=？有何规律？2
()
a b
3a b如何得到？①a降b升；②次数和3；③系数对称
4.不必预习，讲法与课本略有不同。上课时请同学们先合上课本，需要时再打开！
课前准备：在正式上课之前请同学们欣赏一段音乐,放松一下心情，做好课前准备…
教学过程与操作设计：
生：…
不知道？那就算一算，请将计算过程写在卡片纸上。
看这位同学的算法，他。。。，合并同类项后，将式子化为最简形式，一共有这五项。再看另一位同学的算法，他。。。，他们的算法不同，但结果相同，都是对的。
我们将以上等式的右边叫做左边的展开式。
如果你是牛顿，接下来会思考一个什么问题呢？
不错，牛顿当年也是这么想的，请坐下。单击
牛顿思考的是，一般情形下，当n N*
∈时，+
(a b
a；第二类：。。。得到a b
他说的很好。再请一位同学说明第②点。单击
请你以第二项为例，（单击）具体分析3a b有哪几种情形
可以得到？它的系数4又是如何确定的？这位…生：你回答得很好，请坐下。
这位同学分析，3a b是这四个括号中一个括号取b
相乘得到的，共有四种取法，所以系数为我们一起来看一看这四种具体的情形：
取自于第一个括号。点击按钮1；第二种
哪些同学是用这种方法的？请举手。…嗯，请放下！
同学们在解题中要经常想一想有没有简便的方法。
继续看这道题，观察展开式的第三项，解题过程中出现了两个系数。一个是刚才我们讲过的2
C，还有一个是
6
两个系数相等吗？240是怎么算出来的？
为了区别这两个系数，我们将组合数2
C称作第三项的
6
240称作第三项的系数，显然二项式系数和系数是两个不同的概念，二项式系数就是一个组合数，与
、b有关。
的展开式中含xy2z3项的系数.（备用题）同学们，今天我们沿着大数学家牛顿的足迹，重温了他探究、发现二项式定理的过程。其实，牛顿并没有满足于这个结论，后来牛顿将它推广到了更一般的情况，牛顿这种不断求索的精神是值得我们学习的！
在这短暂的时光里，我们因探索而体验快乐；因发现而感到兴奋；因收获而倍感充实！
今天我们收获了什么呢？请同学们谈一谈自己的收获和有哪些数学思想方法值得总结？生：
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二项式定理(通项公式)
六、二项式定理 一、指数函数运算 知识点：1．整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a a n n ∈??= 个 )0(10≠=a a ,0(1 N n a a a n n ∈≠=- 2．运算性质： ),(Z n m a a a n m n m ∈=?+ ，),()(Z n m a a mn n m ∈=，)()(Z n b a ab n n n ∈?= 3．注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -? ∴n m a a ÷=n m a a -?=m a -② n b a )(可看作n n b a -? ∴n b a )(=n n b a -?n n b 4、n m n m a a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1) 例题： 例1求值：43 32 13 2)81 16(,)41(,100,8---. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式： 1） a a a a a a ,,32 32?? (式中a ＞0) 2)43a a ? 3）a a a 例3计算下列各式（式中字母都是正数）);3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a -÷- .))(2(88 341n m 例4计算下列各式： );0() 1(3 2 2>a a a a 435)12525)(2(÷- 例5化简：)()(4 14 12 12 1y x y x -÷- 例6 已知x+x -1 =3,求下列各式的值：.)2(,)1(2 32 32 12 1- - ++x x x x 二、二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ , 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++- ，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++ 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②
排列组合与二项式定理知识点
排列组合与二项式定理知识点
第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．． 排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式： ) ,,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--=Λ 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 1 1 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C
2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排 列个数等于! !...!!2 1 k n n n n n =. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3 ! 2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列 个数1!3!3==n . 三、组合. 1. ⑴组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合. ⑵组合数公式： )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -= +--==Λ ⑶两个公式：①;m n n m n C C -= ②m n m n m n C C C 11+-=+ ①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合. （或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一
二项式定理赋值法求各项系数的和复习过程
二项式定理赋值法求各项系数的和 例2．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，求： （1）127a a a +++L ； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++L . 解：（1）当1x =时，77(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为 0127a a a a ++++L ∴0127a a a a ++++L 1=-， 当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-L ， （2）令1x =， 0 127a a a a ++++L 1=- ① 令1x =-，7012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ② ①-② 得：713572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7 132+-. （3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正， ∴由（2）中①+② 得：702462()13a a a a +++=-+， ∴ 7 0246132 a a a a -++++=， ∴017||||||a a a +++=L 01234567a a a a a a a a -+-+-+- 702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++= 例6． 设()()()()231111n x x x x ++++++++=L 2012n n a a x a x a x ++++L ，
当012254n a a a a ++++=L 时，求n 的值 解：令1x =得： 230122222n n a a a a ++++=++++L L 2(21)25421n -==-， ∴2128,7n n ==， 点评：对于 101()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-++L ，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和012n a a a a ++++L 的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系 例8．在10)32(y x -的展开式中,求: ①二项式系数的和; ②各项系数的和; ③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和. 分析:因为二项式系数特指组合数r n C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数无关. 解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=-Λ(*), 各项系数和即为1010a a a +++Λ,奇数项系数和为0210a a a +++L ,偶数项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的奇次项系数和为9531a a a a ++++Λ,x 的偶次项系数和10420a a a a ++++Λ. 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. ①二项式系数和为1010101100102=+++C C C Λ.
排列组合二项式定理知识点
排列组合项定理考试内容：分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质．二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以．有．重．复．元．素．的排列. 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以 从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m- m?…m = m n..例
3! 1 . 3! 如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ (解: m n 种) 二、排列. 1.(1)对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取 m (贰n )个元素，按照一定顺序 排成一列， 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺 序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (mcn)个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个排列.从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用 符号表 示. ⑷排列数公式： 注意：n n! (n 1)! n!规定 0! = 1 m m m m 1 m m 1 m m 1 On, A n 1 A n A m C n A n mA n A n nA n 1 /规^定 C n C n 1 2.含有可重元素的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集 S 有k 个不同元素a 1, a 2,……a n 其中限重复数为n 1、n ..... n k ,且n = n 计尊+ .. n k ,则S 的排列 例如：已知数字3、2、2,求其排列个数n 喈3又例如：数字5、5、5、 求其排列个数？其排列个数 个数等于n n! n !n 2!...n k
(最新经营)排列组合二项式定理与概率及统计
主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙 一、复习策略 排列与组合是高中数学中从内容到方法均比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题均有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误，且且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内于联系和区别，科学周全的思考、分析问题． 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点． 概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律． 纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点均于两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也于高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年均有一道解答题，占12分左右． 排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)
以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.（4）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；（5）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”； 于求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答． 二、典例剖析 题型一：排列组合应用题 解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件． 例1、（08安徽理12）12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．B．C．D．
排列组合二项式定理与概率统计
排列组合二项式定理与概率统计 重点知识回顾 1. 排列与组合 ⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关, 分类计数原理与分类有关 ⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合, ⑶排列与组合的主要公式 _ r — r+1 项是 T r+1 =C n a n r b r . ⑵二项展开式的通项公式 二项展开式的第r+1项T r+1=c n a n —r b r （r=0,1,…叫）做二项展开式的通项公式。 ⑶二项式系数的性质 ① 在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即 c n = c n r （r=0,1,2，…,n ）. 项和第n 3项）的二项式系数相等，并且最大，其值为 2 A n = n! =n(n — 1)(n — 2) ....... 2 ? 1. ②组合数公式： c m n! n(n 1) (n m 1) (m < n) m!( n m)! m (m 1) 2 1 ③组合数性质： ①c m ㈡ m (m < n) ② c 0 c ； c n 2 c ； 2n ③ Cn Cn c 4 C n c 1 c 3 C n C n 2n 1 2.二项式定理 ⑴二项式定理 (a +b)n =C 0a n +c n a n — 1 r b+ …+C n a n r b r +… + c n b n ,其中各项系数就是组合数c n ，展开式共有n+1项，第 问题?区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关, 与顺序有关的属于排列问题, 与顺序无关的属于组合问题 求共有多少种方法的 ①排列数公式: A m n! (n m)! n(n 1) (n m 1) (m 第一讲 排列组合概念及简单应用 排列和排列数公式 A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！ (n －m )！(m ，n ∈N *，并且m ≤n ) A n n ＝n ！＝n ×(n －1)×(n －2)×…×3×2×1. 规定：0！＝1. 组合与组合数公式 1．组合数公式 C m n ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！＝n ！m ！(n －m )！(m ，n ∈N *，并且 m ≤n ) 2．组合数的性质 (1)C m n ＝C n －m n (2)C m n ＋1＝C m n ＋C m － 1n 常规题型 一、投信问题 1、个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同. （1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？ （2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？ 2、五位旅客到一个城市出差，这个城市有6家旅馆，有多少种住宿方法？ 3、12名旅客在一辆火车上，共有六个车站，有多少种下车方案？ 4、3个同学在一座只有两个楼梯的楼上下楼，有几种下楼方案？ 二、染色问题 1、如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数. 2. 如图所示，用五种不同的颜色分别给A ，B ，C ，D 四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________种． 3.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边)的小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种． 二项式定理 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式； 另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了 二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素 排列组合与二项式定理知识点 １．计数原理知识点 ①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) ②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类) ２．排列（有序）与组合（无序） Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)! Ann =n! Cnm = n!/(n-m)!m! Cnm= Cnn－m Cnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!－k! ３．排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排 排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. 捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑） 插空法（解决相间问题）间接法和去杂法等等 在求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答. 经常运用的数学思想是： ①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想. ４．二项式定理知识点： ①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+-…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn 特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn ②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m 最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项） 所有二项式系数的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和 Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn９+…=2n -1 ③通项为第r+1项：Tr+1= Cnran－rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。 5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。 6.注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。 排列组合二项定理考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． 排列组合二项定理知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有 ．．重复 ．．的排列. ．．元素 从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = m n.. 例 如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解： n m 种） 二、排列. 1. ⑴对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑵相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ⑶排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ⑷排列数公式： 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于! !...!! 21k n n n n n = . 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3! 2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1! 3!3==n . 二项式定理 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。各项的次数和 等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * +=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： 00112220120120011222021210 01230123()()1, (1)1,(1)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a x C a x C a x C a x C a x a a x a x a x x a C a x C ax C a x C a x a x a x a x a x a a a a a a x a a a a a a ----+=++++=+++++=++++=++++=++++=+---------=--+-++=-----L L L L L L 令则①令则024135(1)(1),() 2 (1)(1),() 2 n n n n n n a a a a a a a a a a a a ----++-++++=+---+++=L L ②①②得奇数项的系数和①②得偶数项的系数和 ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值。 如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数12n n C -,12n n C +同时取得最 大值。 ⑥系数的最大项：求()n a bx +展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别 为121,,,n A A A +???，设第1r +项系数最大，应有112 r r r r A A A A +++≥??≥?，从而解出r 来。 高中数学第十章-排列组合二项定理 考试内容： 分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式． 组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求： （1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题． （3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题． （4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题． §10. 排列组合二项定理 知识要点 一、两个原理. 1. 乘法原理、加法原理. 2. 可．以有．．重复．．元素．． 的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：n m 种） 二、排列. 1. ?对排列定义的理解. 定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ?相同排列. 如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同. ?排列数. 从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的 一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示. ?排列数公式： ),,()! (! )1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-= +--= 注意：!)!1(!n n n n -+=? 规定0! = 1 111--++=?+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11 --=m n m n nA A 规定10 ==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．． 的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数 n n +1n n n 排列组合、二项式定理总结复习 1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情） 分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的 方法 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中，任取 m （m ≤n ）个元素的所有组合个数 m n m = n ! n m !(n - m )! 性质 C m = C n -m C m = C m + C m -1 排列组合题型总结 一． 直接法 1 .特殊元素法 例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个 C C （1）数字 1 不排在个位和千位 （2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。 分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ，其余 2 位有四个可供选择A2 ，由乘法原理： 5 4 A2 A2 =240 5 4 2．特殊位置法 （2）当 1 在千位时余下三位有A3 =60，1 不在千位时，千位有A1 种选法，个位有A1 种，余下 5 4 4 的有A2 ，共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=252 4 4 4 4 二间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。如上例中（2）可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =252 6 5 4 Eg 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？ 分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ? 23 ?A3 个，其中 0 在 5 3 百位的有C 2 ? 22 ?A2 个，这是不合题意的。故共可组成不同的三位数 4 2 C 3 ? 23 ?A3 - C 2 ? 22 ?A2 =432 5 3 4 2 Eg 三个女生和五个男生排成一排 （1）女生必须全排在一起有多少种排法（捆绑法） （2）女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻） （3）两端不能排女生 （4）两端不能全排女生 （5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法 排列组合二项式定理知识点 2、排列、组合 3、二项式定理 内容典型题 定义①二项式定理: (a＋b)n＝C 0n a n＋C 1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n ＝∑ = n r r n C a n－r b r（n∈N＋） ②二项式展开式第r＋1项通项公式: T r－1 ＝C r n a n－r b r 其中C r n（r＝0，1，2，…，n）叫做二项式系数. 8.二项式8)1 (- x的展开式中的第5项是( ) A. 70x4 B. 70x2 C. 56x3 D. －562 3 x 9.二项式(x－2)12展开式中第3项的系数是( ) A.264 B.－264 C.66 D.－1760 10.(x－2)8 的展开式中, x6的系数是( ) A. 56 B. －56 C. 28 D. 224 11.(x2＋)5展开式中的10x是( ) A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 12.二项式x－1 x 6 的展开式中常数项是( ) A. 1 B. 6 C. 15 D. 20 13.设(3－x)n＝n n x a x a x a a+???+ + +2 2 1 ,已知 n a a a a+???+ + + 2 1 ＝64,则n＝. 14.设二项式(3x＋5)10＝ 1 8 8 9 9 10 10 a x a x a x a x a+ +???+ + +,则 1 8 9 10 a a a a a+ -???- + -＝. 15.二项式2x－1 x 6 的展开式中二项式系数最大的项是. 性质①在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. ②如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项的二项式系数相等并且最大. ③二项式系数的和为n2，即 n C＋1 n C＋…＋r n C＋…＋n n C＝n2 ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 n C＋2 n C＋…＝1 n C＋3 n C＋…＝1 2-n 1. 在二项式n x x ??? ? ? +4 21的展开式中， 前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4 324 121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=?? ? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8 141C ,2121C ,1231 21-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1 C +-+==r r r r r T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有系数和为n 3． 2.（1）求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21 (++ x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）103)1()1(x x +-展开式中的5 x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5 x 项，可以得到5 510C x ；用3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-； 高中数学之排列组合二项式定理 一、分类计数原理和分步计数原理： 分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种 方法都能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。 分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤 中的任何一种方法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各 步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。 区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类 与类之间是相互独立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。 二、排列与组合： （1）排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题； 区别：前者有顺序，后者无顺序。 （2）排列数、组合数： 排列数的公式：)()! (!)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m n ≤-= +---= 注意：①全排列：!n A n n =； ②记住下列几个阶乘数，1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720； 排列数的性质： ①11--=m n m n nA A （将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两步完成： 第一步从n 个元素中选出1个排在指定的一个位置上； 第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置 上） ②m n m n m n A mA A 111---+=（将从n 个不同的元素中取出)(n m m ≤个元素，分两类完成： 第一类：m 个元素中含有a ，分两步完成： 第一步将a 排在某一位置上，有m 不同的方法。 第二步从余下1-n 个元素中选出1-m 个排在余下的1-m 个位置 上） 即有11--m n mA 种不同的方法。 第二类：m 个元素中不含有a ，从1-n 个元素中取出m 个元素排在m 个 位置上，有m n A 1-种方法。 组合数的公式：)()!(!!!)1()2)(1(n m m n m n m m n n n n A A C m m n m n ≤-=+---== 组合数的性质： ①m n n m n C C -=（从n 个不同的元素中取出m 个元素后，剩下m n -个元素，也就是说， 二项式定理中展开式系数的六类题型 求展开式中的系数是高考常考题型之一,本文以高考题为例，对二项式定理试题中求展开式系数的问题加以归类与解析，供读者参考。 一 、)()(*∈+N n b a n 型 例1．10()x 的展开式中64x y 项的系数是（ ） （A ）840 （B ）－840 （C ）210 （D ）－210 解析：在通项公式1r T +=1010()r r r C x -中令r =4，即得10()x 的展 开式中64x y 项的系数为4410(C =840,故选A 。 例2．8)1 (x x -展开式中5x 的系数为 。 解析：通项公式r r r r r r r x C x x C T 2388881)1()1 (--+-=-= ，由题意得52 38=-r ，则2=r ，故所求5x 的系数为28)1(282=-C 。 评注：常用二项展开式的通项公式求二项展开式中某特定项的系数，由待定系数法确定r 的值。 二 、),()()(*∈+±+N m n d c b a m n 型 例3．843)1()2(x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 解析；342()x x -的通项公式为341241442()()(2)r r r r r r r T C x C x x --+=-=-,令0412=-r ，则3=r ,这时得342()x x -的展开式中的常数项为3342C -=－32, 81()x x +的通项公式为8821881()k k k k k k T C x C x x --+==,令028=-k ，则4=k ,这时得81()x x +的展开式中的常数项为48C =70，故843)1()2(x x x x ++-的展开式中常数项等于387032=+-。 例4．在65)1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是（ ） 第3讲二项式定理 基础梳理 1．二项式定理 (a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式． 其中的C r n(r＝0,1，…，n)叫二项式系数．数） （注意区别于该项的系 式中的C r n a n－r b r叫二项展开式的通项，用T r＋1表示，即通项T r＋1＝C r n a n－r b r. 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1 n ，C n n. 3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n＝C n－r n . (2)增减性与最大值： 二项式系数C k n，当k＜n＋1 2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的； 当n是偶数时，中间一项C n 2n取得最大值； 当n是奇数时，中间两项C n－1 2n，C n＋1 2n取得最大值． (3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n； C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1. 双基自测 1．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()． A．80 B．40 C．20 D．10 2．若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝()．A．45 B．55 C．70 D．80 3.若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为()．排列组合与二项式定理及概率应用综合
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