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Gamma函数和Beta函数在积分运算中的应用

Gamma函数和Beta函数在积分运算中的应用
Gamma函数和Beta函数在积分运算中的应用

Gamma函数和Beta函数在积分运算中的应用

作者：赵文菊， 夏银红

作者单位：黄淮学院,数学科学系,河南,驻马店,463000

刊名：

天中学刊

英文刊名：JOURNAL OF TIANZHONG

年，卷(期)：2010,25(2)

参考文献(2条)

1.华东师范大学数学系数学分析 1991

2.陈纪修数学分析习题全解指南 2005

本文读者也读过(10条)

1.孙德奇.孙鑫淼Gamma函数的几个性质[期刊论文]-黑龙江科技信息2008(31)

2.邢家省.Xing Jiasheng Gamma函数的倍元公式的几种证法[期刊论文]-河南科学2010,28(8)

3.窦向凯.尹枥.DOU Xiang-kai.YIN Li关于Gamma函数的几个不等式[期刊论文]-滨州学院学报2008,24(6)

4.李爱军.普丰山.LI Ai-jun.PU Feng-shan Gamma 函数的对数完全单调性[期刊论文]-信阳师范学院学报（自然科学版）2006,19(4)

5.张小明Gamma函数的几何凸性[期刊论文]-河北大学学报（自然科学版）2004,24(5)

6.邢家省.Xing Jiasheng Gamma函数的欧拉反射公式的几种证法[期刊论文]-河南科学2010,28(9)

7.夏慧异.黄翔.马志俊Gamma函数的一个新性质的证明及应用[期刊论文]-池州学院学报2008,22(5)

8.王繁.赵蕴鹏.WANG Fan.ZHAO Yunpeng有关Gamma函数的一个双不等式[期刊论文]-数学研究与评论2007,27(4)

9.李小新.查淑萍.LI Xiao-xin.ZHA Shu-ping Gamma函数方程的稳定性[期刊论文]-合肥学院学报（自然科学版）2006,16(1)

10.林龙.LIN Long包含Gamma函数的一些完全单调函数[期刊论文]-吉林师范大学学报（自然科学版）2011,32(2)本文链接：https://www.360docs.net/doc/7414953169.html,/Periodical_tzxk201002030.aspx

定积分的方法总结

定积分的方法总结 定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例析定积分计算的几种常用方法． 一、定义法 例1、求 s i n b a x d x ? ， （b a <） 解:因为函数s i n x 在],[b a 上连续，所以函数sin x 在],[b a 上可积，采用特殊的 方法作积分和．取h = n a b -，将],[b a 等分成n 个小区间, 分点坐标依次为 ?=+<<+<+

几种定积分的数值计算方法

几种定积分的数值计算方法 摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计 算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid

1. 引言 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 )(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ?-1 02 , ? 1 sin dx x x 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较． 2.几何意义上的数值算法 s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计 算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间 ,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n a b h -= 表示小区间的长度. 2.1矩形法

三角函数辅助角公式化简

精选文库 7．已知函数()4cos sin 16f x x x π?? =+- ?? ? ，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ?? -??? ?上的最大值和最小值. 8．设函数()() sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π?? +- ? ??= . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ?? ? 上的单调性. 9．已知函数()2 23sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[] 0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2 sin cos cos 4f x x x x π?? =-+ ?? ? . (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ?? = ??? ， 1a =， 3bc =，求b c +的值. 12．已知函数. （1）求函数 的单调增区间；

精选文库 （2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值. 13．设函数. （1）求的最大值，并写出使 取最大值时的集合； （2）已知中,角 的边分别为 ，若 ，求的最小值. 14．已知()( ) 1 3sin cos cos 2 f x x x x ωωω= +-，其中0ω>，若()f x 的最小正周期为4π. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）锐角三角形ABC 中， ()2cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围. 15．已知a r =（sinx ，cosx ），b r =（cos φ，sin φ）（|φ|＜）．函数 f （x ）=a r ?b r 且f （3 π －x ）=f （x ）． （Ⅰ）求f （x ）的解析式及单调递增区间； （Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移3π单位得g （x ）的图象，若g （x ）+1≤ax +cosx 在x ∈[0， 4 π ] 上恒成立，求实数a 的取值范围． 16．已知向量a v =（2cos 2 x ω， 3sin 2x ω），b v =（cos 2x ω，2cos 2 x ω），（ω＞0），设函数f （x ）=a v ?b v ，且f （x ）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的表达式； （2）求f （x ）的单调递增区间． 17．已知函数()()sin (0,0,)2 f x A x A π ω?ω?=+>><的部分图象如图所示. （1） 求函数()f x 的解析式； （2） 如何由函数2sin y x =的通过适当图象的变换得到函数()f x 的图象， 写出变换过程; （3） 若142f α??= ???，求sin 6πα?? - ??? 的值. 18．已知函数 （1）求函数在上的单调递增区间； （2）若 且 ，求 的值。

七大积分总结

七大积分总结 一． 定积分 1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点： a=x 0

? ??==b a b a b a du u f dt t f dx x f )()()(。 （2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。 （3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ →0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限： 例：∑?=∞→=n i n n i f dx x f 1 1 0n 1 )()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理 定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理二 若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。 3. 定积分的几何意义 对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x) 小于0时，围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分?b a dx x f )(在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x 轴，曲线y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。 4．定积分的性质 线性性质（性质一、性质二）

定积分总结

定积分讲义总结 内容一 定积分概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分 ()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和： 1()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? 例1．弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力()F x kx =（k 为常数，x 是伸长量），求弹簧从平衡位置拉长b 所作的功． 分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解． 解： 将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所作的功为W F x =?． 1．分割 在区间[]0,b 上等间隔地插入1n -个点，将区间[]0,1等分成n 个小区间： 0,b n ??????，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 记第i 个区间为()1,(1,2,,)i b i b i n n n -???=? ? ??L ，其长度为()1i b i b b x n n n -??=-= 把在分段0, b n ? ???? ?，2,b b n n ?? ????，…，()1,n b b n -?????? 上所作的功分别记作：1W ?，2W ?，…，n W ? （2）近似代替 有条件知：()()11i i b i b b W F x k n n n --???=??=?? ? ?? (1,2,,)i n =L （3）求和 ()1 1 1n n n i i i i b b W W k n n ==-=?=??∑∑ =()()22222 110121122n n kb kb kb n n n n -?? ++++-==-?? ?? ??? L

8第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法

泰山学院信息科学技术学院教案

第八讲 不定积分与定积分的各种计算方法 一、不定积分 1不定积分的概念 原函数：若在区间 上)()(x f x F ='，则称)(x F 是的一个原函数. 原函数的个数: 若 是 在区间 上的一个原函数, 则对 ， 都是在区间 上的原函数；若 也是 在区间 上的原函数，则必有 . 可见，若 ，则 的全体原函数所成集合为{│ Ｒ}. 原函数的存在性: 连续函数必有原函数. 不定积分：的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。记作 ?dx x f )( 一个重要的原函数：若)(x f 在区间上连续，I a ∈，则 ? x a dt t f )(是的一个 原函数。 2不定积分的计算 (1)裂项积分法 例1：dx x x dx x x dx x x )1 21(1211122 242 4???++-=++-=++ C x x x ++-=arctan 23 3 。 例2：???+=+=dx x x dx x x x x x x dx )sec (csc sin cos sin cos sin cos 222 22222 例3：22 22 22(1)(1)(1)dx x x dx x x x x +-==++??221arctan 1dx dx x C x x x -=--++?? (2)第一换元积分法 有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分cos 2xdx ? ，如果凑上一个常数因子2，使成为 ()11cos 2cos 2cos 2222xdx x xdx xd x = ?=???C x +=2sin 2 1

三角函数辅助角公式化简 ()

三角函数辅助角公式化简 一、解答题 1．已知函数()22sin cos 3f x x x π?? =-+ ???， x R ∈ （1）求()f x 的对称中心； （2）讨论()f x 在区间,34ππ? ? -????上的单调性. 2．已知函数( )4sin cos 3f x x x π?? =++ ???（1）将()f x 化简为()()sin f x A x ωφ=+的形式，并求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间,46π π?? -????上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 3．已知函数( )4tan sin cos 23f x x x x ππ???? =--- ? ????? （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,44ππ?? -????上的单调递增区间及最大值与最小值． 4．设函数( )2sin cos f x x x x =+. （1）求函数()f x 的最小正周期T 及最大值； （2）求函数()f x 的单调递增区间. 5．已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ??????=-+-+ ? ? ??????? （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,122??-????上的值域. 6．已知函数( )21cos cos 2f x x x x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心； (Ⅱ)求()f x 在[]0,π上的单调区间.

7．已知函数()4cos sin 16f x x x π?? =+- ???，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ ?? -????上的最大值和最小值. 8．设函数( )()sin ?cos 2tan x x x f x x π??- ? ?? =. （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ???上的单调性. 9．已知函数( )2cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[]0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2sin cos cos 4f x x x x π??=-+ ???. (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ??= ???， 1a =， bc =b c +的值. 12．已知函数. （1）求函数的单调增区间；

神奇的Gamma函数 (上)

神奇的Gamma函数 (上) rickjin 关键词：特殊函数, 欧拉 G a m m a函数诞生记 学高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数 Γ(x)=∫∞0t x?1e?t dt 通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质 Γ(x+1)=xΓ(x) 于是很容易证明，Γ(x)函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质 Γ(n)=(n?1)! 学习了Gamma 函数之后，多年以来我一直有两个疑问： ? 1.这个长得这么怪异的一个函数，数学家是如何找到的； ? 2.为何定义Γ函数的时候，不使得这个函数的定义满足Γ(n)=n!而是Γ(n)=(n?1)! 最近翻了一些资料，发现有不少文献资料介绍Gamma 函数发现的历史，要说清楚它需要一定的数学推导，这儿只是简要的说一些主线。

1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16,?可以用通项公式n2自然的表达，即便n为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x2通过所有的整数点(n,n2)，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,?,我们可以计算2!,3!, 是否可以计算 2.5!呢？我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。 但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题，由此导致了Γ函数的诞生，当时欧拉只有22岁。 事实上首先解决n!的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利，他发现，

分段函数的原函数与导函数论文

数学与统计学学院 中期报告 学院: 数学与统计学学院 专业: 统计学年级:2009 题目: 分段函数的原函数与导函数学生姓名: 马颖峰学号:09063207 指导教师姓名:俞诗秋职称:副教授 2011年6月1日

目录 摘要 ........................................................................ 1 关键词 ...................................................................... 1 引言 ........................................................................ 2 1. 分段函数 ............................................................... 2 2. 分段函数的原函数 ....................................................... 2 2.1 分段函数()f x 在区间[,]a b 上连续的情形下的原函数问题 ................ 2 2.2 分段函数()f x 在区间[,]a b 上x c =点处具有第一类间断点的情形 ......... 3 2.3 分段函数()f x 在[,]a b , 上x c =处具有第二类间断点的情形[3] (4) 3. 关于分段函数求导问题的探究 ............................................. 5 3.1 函数在分界点处不连续的情况 ......................................... 5 3.2 函数在分界点处连续的情况 (5) 结论 ........................................................................ 9 参考文献 (9)

定积分计算的总结论文

定积分计算的总结论文公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

定积分计算的总结 闫佳丽 摘 要：本文主要考虑定积分的计算,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结.在定积分的计算中,常用的计算方法有四种：（1）定义法、（2）牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法. 关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元. 1前言 17世纪后期，出现了一个崭新的数学分支—数学分析.它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算.而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心.并奠定了全部分析学的基础.而定积分是微积分学中的一个重要组成部分. 2正文 那么，究竟什么是定积分呢我们给定积分下一个定义：设函数()f x 在[],a b 有定义，任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和 1 (,)()n k k k T f x σξξ==?∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限， 设()0()0 1 lim (,)lim ()n k k l T l T k T f x I σξξ→→==?=∑，且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[]1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ?>?>?

计算不定积分应该注意的几个问题

arccos求导目录 摘要 1 关键词 1 Abstract 1 Keywords 1 引言 1 1 基本概念、定理及公式 2 2 直接积分法易犯错误举例剖析 3 2.1 运算中漏掉“”、“” 3 2.2 自创运算法则致误 3 2.3 对公式的错误运用 4 2.4 对公式的错误运用 4 3 第一换元积分法应注意问题 5 3.1 牢记凑微分公式 5 3.2 注意解的不同表示方法 6 4 第二换元积分法中易犯错误剖析 6 5 分部积分法应注意事项 8 6 计算某类特殊积分注意事项 9 6.1 有理函数的不定积分 9 6.2 分段函数的不定积分 10 参考文献 12 致谢 13

计算不定积分应该注意的几个问题 关键词不定积分直接积分法换元积分法分部积分法特殊积分法 Indefinite Integral Calculation Should Be Noted That Several Issues Abstract Indefinite integral is a concept which is basic and important,we shoud use various techniques flexibily and the type of product function and features to calculate the indefinite integral, Integration becomes into an area of mathematics teaching which is rich in paper collates and analyzes the error-prone issues which we use various methods to calculate the indefinite integral, these issues are analyzed and as: direct integration method, integration by first substitution, integration by second substitution,division integral method,and special integral method. Key words Indefinite integral Direct integral method Integration by substitution 引言不定积分是求导的逆运算，对不定积分的理解和掌握不仅涉及到微积分本身的学习，而且影响到学习线积分、面积分及重积分等后继内容学习，我们在初学这些内容时容易出现一些普遍的错误，下面我们将对这些错误进行剖析，以便更好的掌握这部分知识. 定义1 设函数与在区间上有定义.若 则称为在区间上的一个原函数. 定义2 函数在区间上的全体原函数称为在上的不定积分,记作 其中称为积分号,为被积函数,为被积表达式,为积分变量. 注意函数不定积分是一个函数族,求函数的不定积分或原函数时,注意被积函数的定义域是很重要的因素,要引起足够的重视. 定理2 设是在区间上的一个原函数，则 也是在上的原函数，其中为任意常量函数； 在上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数. 定理3 若函数与在区间上都存在原函数，、为两个任意常数，则 上也存在原函数，且

定积分应用方法总结(经典题型归纳).docx

精品文档 定积分复习重点 定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使 用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物 理问题等． 1. 定积分的运算性质 (1) b b kf (x)dx k f (x)dx(k 为常数 ). a a (2) b b f 1 ( x)dx b 2 ( x)dx. [ f 1 ( x) f 2 ( x)]dx f a a a b c b 其中 a

三角函数辅助角公式化简

三角函数辅助角公式化简 一、解答题 1．已知函数()22sin cos 3f x x x π?? =-+ ?? ? ， x R ∈ （1）求()f x 的对称中心； （2）讨论()f x 在区间,34ππ?? -??? ?上的单调性. 2．已知函数( )4sin cos 3f x x x π?? =+ ?? ? （1）将()f x 化简为()()sin f x A x ωφ=+的形式，并求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间,46ππ?? -????上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 3．已知函数( )4tan sin cos 23f x x x x ππ??? ?=-- ? ???? ? （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,44ππ?? -???? 上的单调递增区间及最大值与最小值． 4．设函数( )2 sin cos 2 f x x x x =+- . （1）求函数()f x 的最小正周期T 及最大值； （2）求函数()f x 的单调递增区间. 5．已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ??????=- +-+ ? ? ?? ?? ??? （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,122?? -??? ?上的值域. 6．已知函数( )21 cos cos 2 f x x x x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心； (Ⅱ)求()f x 在[] 0,π上的单调区间.

7．已知函数()4cos sin 16f x x x π? ?=+- ?? ?，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ?? -???? 上的最大值和最小值. 8．设函数()() sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π?? +- ? ??= . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ?? ? 上的单调性. 9．已知函数()2 23sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[] 0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2 sin cos cos 4f x x x x π?? =-+ ?? ? . (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ?? = ??? ， 1a =， 3bc =，求b c +的值. 12．已知函数 .

2018考研数学中求分段函数的不定积分问题

2018考研数学中求分段函数的不定积分问题 来源：文都教育 2017考研初试已经落下帷幕，17的考生此时在为复试做准备，18的考生们，是时候开启自己的复习道路啦！文都考研数学老师认为，17年真题所考查的知识点，值得2018考研考生重点学习和记忆。今天文都考研数学老师针对2018考研数学中求分段函数的不定积分问题，为大家进行详细的解答，帮助2018年的考研学子把握复习备考的命题方向！ 一、解题思路分析 求分段函数的原函数（不定积分） 先考虑函数在分段点处的连续性，如果连续，可按下述步骤求之： （1）分别求出函数的各分段函数在相应区间内的原函数（不定积分）。 （2）因函数在分段点处连续，故在包含该分段点的区间内原函数存在。这时应根据原函数的连续性（或可导性）确定各区间上任意常数的关系，将各分段区间的原函数在分段点处连续地连接起来，将各段上的任意常数i C 统一成一个任意常数。先用分段积分法求出分段函数()x f 的一个原函数()()dt t f x F x a ?=，然后写出()x f 的原函数()()C x F dx x f +=?，其中C 为任意常数。 如果分段函数在分段点不连续，且分段点为函数的第一类间断点，则在包含 该点的区间内不存在原函数。这时函数的不定积分只能在不包含该点的各个分段区间内得到。 二、例题解析 例1 已知()?? ???>≤<+<=,1,2,10,1,0,132x x x x x x f 则求()dx x f ?. 解析：由题意得： 因()x f 在点0=x 处无定义，而()00+f 及()00-f 均存在，故0=x 为()x f 的第一类间断点，所以在()+∞∞-,内()x f 不存在原函数，而在点1=x 处()x f 连续，故()x f 的不定积分只能分别在区间()0,∞-()+∞,0内得到。 综上所述，()?????>+≤<++<+=?,1, ,10,3,0,34231x C x x C x x x C x dx x f 因()x f 在点1=x 处连续，故()x f 的原函数在点1=x 处也连续。于是有 ()()()() ,2lim lim 3lim lim 34112311C x x F C x x x F x x x x +==++=++--→→→→ 即223652134C C C +=-+=。 综上所述，()?????>++≤<++<+=?, 1,65,10,3,0,24231x C x x C x x x C x dx x f 其中1C 与2C 是两个独立的常数。

[全]高等数学之不定积分的计算方法总结[下载全]

高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:

樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分

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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx

神奇的Gamma函数

神奇的Gamma函数 (上) 关键词：特殊函数, 欧拉 G a m m a函数诞生记 学高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数 通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质 于是很容易证明，函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质 学习了Gamma 函数之后，多年以来我一直有两个疑问： 1.这个长得这么怪异的一个函数，数学家是如何找到的；

2.为何定义函数的时候，不使得这个函数的定义满足而 是 最近翻了一些资料，发现有不少文献资料介绍Gamma 函数发现的历史，要说清楚它需要一定的数学推导，这儿只是简要的说一些主线。 1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式 定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列可 以用通项公式自然的表达，即便为实数的时候，这个通项 公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线 通过所有的整数点，从而可以把定义在整数集上的公式延拓 到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列 ,我们可以计算, 是否可以计算 呢？我们把最初的一些的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。

但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题， 由此导致了函数的诞生，当时欧拉只有22岁。 事实上首先解决的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利，他发现， 如果都是正整数，如果，有 于是用这个无穷乘积的方式可以把的定义延拓到实数集合。例如， 取, 足够大，基于上式就可以近似计算出 。 欧拉也偶然的发现可以用如下的一个无穷乘积表达

大学微积分1方法总结

第一章 函数、极限、连续 注 “★”表示方法常用重要. 一、求函数极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2.等价量替换；★3.变量代换；★4.洛比达法则；★5.重要极限；★6.初等函数的连续性；7.导数的定义；8. 利用带有佩亚诺余项的麦克劳林公式；9.夹逼定理；10利用带有拉格朗日余项的泰勒公式；11.拉格朗日定理；★12. 无穷小量乘以有界量仍是无穷小量等. ★二、已知函数极限且函数表达式中含有字母常数，确定字母常数数值的方法 运用无穷小量阶的比较、洛必达法则或带有佩亚诺余项的麦克劳林公式去分析问题，解决问题。 三、无穷小量阶的比较的方法 利用等价无穷小量替换或利用洛必达法则，无穷小量的等价代换或利用带有皮亚诺余项的佩亚诺余项公式展开 四、函数的连续与间断点的讨论的方法 如果是)(x f 初等函数，若)(x f 在0x x =处没有定义，但在0x 一侧或两侧有定义，则0x x =是间断点，再根据在0x x =处左右极限来确定是第几类间断点。如果)(x f 是分段函数，分界点是间断点的怀疑点和所给范围表达式没有定义的点是间断点。

五、求数列极限的方法 ★1.极限的四则运算；★2. 夹逼定理；★3. 单调有界定理； 4. )()(lim )()(lim ∞=?∞=∞ →+∞→A n f A x f n x ；5. 数列的重要极限；6.用定积分的定义求数列极限；7. 利用若∑∞ =1n n a 收敛，则0lim =∞→n n a ；8. 无穷小量乘以有界量 仍是无穷小量；9.等价量替换等. 【评注】1. 数列的项有多项相加或相乘式或∞→n 时，有无穷项相加或相乘，且不能化简，不能利用极限的四则运算， 2.如果数列的项用递推关系式给出的数列的收敛性或证明数列极限存在，并求极限.用单调有界定理 3.对数列极限的未定式不能用洛比达法则。因为数列作为函数不连续，更不可导，故对数列极限不能用洛比达法则. 4.由数列{}n a 中的通项是n 的表达式，即).(n f a n =而)(lim )(lim x f n f x n ∞ →∞→与是特殊与一般的关系，由归结原则知 ★5. 有lim 1011()()n n i i f f x dx n n →∞ ==?∑或1lim 1001()()n n i i f f x dx n n -→∞==?∑ 第二章 一元函数微分学 ★一、求一点导数或给处在一点可导推导某个结论的方法： 利用导数定义，经常用第三种形式 二、研究导函数的连续性的方法：

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