概率论与数理统计习题答案.
第一章
1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。
解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）}
{=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）}
2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数
之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。
解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω；
{})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ；
{})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ；
Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ；
{})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A
3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下
事件：
（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。
解：（1）C B A ； （2）C AB ；
（3）C B A C B A C B A ++；
（4）BC A C B A C AB ++;
（5）C B A ++；
（6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ；
（9）C B A ++
4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A ,
313221A A A A A A ++.
解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。
5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：
C B A ++，C AB +，AC B -.
解：如图：
BC
A C
B
C AB A B BC
A C
B A
C AB AC B C C AB C AB C B A C B A BC A ABC C AB C B A C B A C B A +=+=++=-+=+++++++=++;
;
6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+，试问B A =是否成立？举例说明。
解：不一定成立。例如：{}5,4,3=A ，{}3=B ，{}5,4=C ，
那么，C B C A +=+，但B A ≠。
7. 对于事件C B A ,,，试问C B A C B A +-=--)()(是否成立？举例说明。
解：不一定成立。 例如：{}5,4,3=A ，{}6,5,4=B ，{}7,6=C ， 那么{}3)(=--C B A ，但是{}7,6,3)(=+-C B A 。
8. 设3
1)(=
A P ，21)(=
B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ：
（1）Φ=AB ， （2）B A ?， （3）8
1)(=AB P .
解：
（1）2
1)()()()(=-=-=AB P B P AB B P A B P ； （2）6
1)()()()(=
-=-=A P B P A B P A B P ； （3）8
3
8121)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 。
9. 已知41)()()(===C P B P A P ，16
1)()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件
C B A ,,全不发生的概率。
C
B A C
B A C
B A ABC
BC
A C
AB C
B A Ω
A
B
C
C
B A
解：()
)(1)(C B A P C B A P C B A P ++-=++=
=[]
)()()()()()()(1ABC P BC P AC P AB P C P B P A P +---++-8
3
016116104141411=??????+---++-=
10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：=A “三个都是红灯”=“全红”； =B “全
绿”；
=C “全黄”； =D “无红”； =E “无绿”； =F “三次颜色相同”；
=G “颜色全不相同”； =H “颜色不全相同”。
解：
271333111)()()(=????=
==C P B P A P ；27
8
333222)()(=
????==E P D P ； 91271271271)(=++=F P ；9
2
333!3)(=??=G P ；
98
911)(1)(=-=-=F P H P .
11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：
（1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。
解：
一次拿3件：
（1）0588.0310012298==C C C P ； （2）0594.03
100
198
2229812=+=C C C C C P ； 每次拿一件，取后放回，拿3次：
（1）0576.0310098232=??=
P ； （2）0588.01009813
3
=-=P ； 每次拿一件，取后不放回，拿3次：
（1）0588.0398
9910097
982=?????=
P ；
（2）0594.098
9910096
97981=????-
=P 12. 从9,,2,1,0 中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：
{}501与三个数字中不含=A ，{}502或三个数字中不含=A 。
解：
15
7
)(310381==C C A P ；
15142)(31038392=-=C C C A P 或15
14
1)(310182=-=C C A P 13. 从9,,2,1,0 中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。
解：9041
454
10
2839=-=P P P P 14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率： （1）6人中至少有1人生日在10月份； （2）6人中恰有4人生日在10月份； （3）6人中恰有4人生日在同一月份；
解：
（1）41.01211166
=-= P ； （2）00061.012116
246=?= C P ； （3）0073.012
11
6246112== C C P
15. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
解：
602.03521392131431314=+= C C C C C C P 或602.013
52
11311311334=-= C C C C C P
第二章
1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。
解：
令=i A “取到的是i 等品”，3,2,1=i
3
2
9.06.0)()()()()(3133131====
A P A P A P A A P A A P 。
2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不
合格品，求另一件也是不合格品的概率。
解：
令=A “两件中至少有一件不合格”，=B “两件都不合格”
5
11)
(1)
()()()|(210
2
621024
=
-
=
-==C C C C A P B P A P AB P A B P 3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I 和II 。两种报警系统单独使用时，系统I 和II 有效的概率分别0.92和0.93，在系统I 失灵的条件下，系统II 仍有效的概率为0.85，求
（1） 两种报警系统I 和II 都有效的概率； （2） 系统II 失灵而系统I 有效的概率； （3） 在系统II 失灵的条件下，系统I 仍有效的概率。
解：令=A “系统（Ⅰ）有效” ，=B “系统（Ⅱ）有效” 则85.0)|(,93.0)(,92.0)(===A B P B P A P （1）)()()()(B A P B P B A B P AB P -=-=
862.085.0)92.01(93.0)|()()(=?--=-=A B P A P B P
（2）058.0862.092.0)()()()(=-=-=-=AB P A P AB A P A B P （3）8286.093
.01058
.0)()()|(=-==
B P B A P B A P
4. 设1)(0< )|()|(A B P A B P = 证： ?：A 与B 独立，A ∴与B 也独立。 )()|(),()|(B P A B P B P A B P ==∴ )|()|(A B P A B P =∴ ?： 1)(01)(0<<∴< 又) () ()|(,)()()|(A P B A P A B P A P AB P A B P ==