大学线性代数期末考试的复习资料

辽宁大学2003年攻读硕士学位研究生入学考

试试题

1.（14分，每小题7分）求下列极限（

）

lim n →∞

++??

（2）()011lim ln 1x x x →??-

? ?+?

? 2.（8分）已

知

a r c t l n (1)x y t ?=??

??，求2

2d y d y d x d x

和 3. （8分）求出方程sin 0y y xe +=所确定

的隐函数

()y y x =在()0,0处的切线方

程.4.在一质点沿cos ,sin ,,(0,0)

x a t y a t z ht a b ===>>从点

(,0,0)A a 移动到点(,0,2)B a b π的

过程中，有一变力F 作用着，F

的方向始终

指向原点，而大小等于作用点到原点的距离，

求力F

对该质点所作的功.

（12

分

）

求

曲面

积

分

22222111S

I xydydz yz dzdx zx dxdy b c a

=++??

，其

中

为上半椭圆

222

2221,(0)

x y z z c a b c

++=≤≤的上侧.

6. （12分）设

(),f x y 在

闭矩形

,a x b c y d

≤≤≤≤上连续，证明：函数()(,)b

J y f x y dx =?在[],c d 连续.

7. （12分）设

()f x 在[]0,2内具有二阶连

续导数，且

(1)

0f =，

证明：2

()3

M f x dx ≤

.其

中

()02

max x M f x ≤≤''=.8. （12分）设1

k k k a x

∞

+=∑在

[]0,2上收敛，证明1

()k f k

∞

=∑

收敛. 线性代数部分9. （15分）计算n 阶行列式

11121212221

2n n n n n n

a b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------

10.（20分）求正交矩阵C 使T

C AC 为对角形

（

C 为

的转置矩阵，其中

111121111211

2A ?? ? ?= ? ???

11.（15分）判别下列二次型是否正定

222

112132233

824228x x x x x x x x x +++-+

12.（10分）A 为线性空间V 上的线性变换，

ξ∈,如果

10K A ξ-≠,但0K A ξ=，证

明：1

,,,K A A ξξξ- 线性无关.

辽宁大学2004年攻读硕士学位研究生入学考试试题（线性代数）

一、（15分）

计算Vandermonde 行列式 12

22212

31111n

n n n n n

x x x x x x x x x x x x ----

二、（20

分）设23118129846322397-??

???-??-??

A=，求非零方阵B,使AB=0

三、（20分）,A B 设都是n 阶矩阵，证明：

AB 的秩等于B 的秩的充要条件为：

线性方程组0ABX =的解是方程组0BX =的解

四

、

（

分

）

A 2

设为n 阶实对称矩阵，且A =

证明：存在存在正交矩阵

n r E

T T AT E --??

?-??

使=

五、（20分）设

i n i i i f a x b x x -+===+∑∑其中,a b 是实数。问,a b 满足何条件时，二

次型

f 正定？六、（20分）求正交矩阵T 使

1T AT

-为对角型，其中

4222242222422

4A ?? ?

?= ? ???

七、（20分）设n n

?是实数域R 上的全体n 阶

方阵构成的线性空间，B 和C 是n n

R ?中

的两个固定的矩阵，δ是n n

?的变换，

(),n n x B C x R δ?=?∈

证明：1、δ是n n

?中的线性变换

2、δ可逆的充分必要条件为

0A B ≠

八、设

A 为实对称矩阵，S 为实反对称矩阵，

AS SA =，且A S -可逆，

证明：

()()

A S A S -+-是正交矩阵

中国科学院--中国科学技术大学2000年招收攻读硕士学位研究生入学考试试卷

注: < >表示下标, 上下连续的(或{表示同一个大(或{.

一、填空(每空4分, 共48分) 设R^3中向量

(-1 ) ( 1 ) ( 1 )

α<1>＝( 1 ), α<2>＝(-1 ), α<3>＝( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) (-1 )

(-4 ) ( 4 ) ( 4 )

β<1>＝( 3 ), β<2>＝(-3 ), β<3>＝( 1 ) ( 4 ) ( 0 ) (-4 )

(1) β<1>在基{α<1>,α<2>,α<3>}和基{β<1>,β<2>,β<3>}下的坐标分别是____

__和______.

(2) 从基{α<1>,α<2>,α<3>}到基{β<1>,β<2>,β<3>}的过渡矩阵是______.

又设R^3的线性变换A使得Aα<1>＝β<1>, Aα<2>＝β<2>, Aα<3>＝β<3>, 则

(3) A在基{α<1>,α<2>,α<3>},{β<1>,β<2>,β<3>}和标准基

{( 1 ) ( 0 ) ( 0 )}

{( 0 ),( 1 ),( 0 )} 下的矩阵分别是______,______和______.

{( 0 ) ( 0 ) ( 1 )}

(4) A的特征多项式是______,最小多项式是______,特征值是______.

(5) A的不变因子是______,初等因子是______,若当标准型是______.

二、(12分)

求过三点(3,0,0),(0,2,0),(0,0,1)的平面的方程, 以及过这三点的圆的方程.

三、(12分)

设A是数域F上的n维线性空间V的线性变换.

∞∞

记V<1>=∪Ker A^i, V<2>=∩Im A^i.

i=0 i=0

证明:

(1) V<1>和V<2>是A的不变子空间;

(2) V＝V<1> ＋V<2>.

四、(14分) n _ _

设实二次型Q(x)＝∑(x-x)^2, 其中x＝(1/n)(x<1>+x<2>+...+x).

i=0

试求Q(x)的秩和正负惯性指数.

五、(14分)

设A是从m维欧几里德空间E到n维欧几里德空间E的线性映射.

试怔: 存在E和E的标准正交基, 使得A在它们下的矩阵形如

( D 0)

( 0 0), 其中D是一个对角形方阵

佛山科学技术学院

2001-2002学年第二学期考试试题（A卷）

一、单项选择题：（每小题3分，共15分.

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目

要求的，把所选项前的字母填在该题括号内.）

1.行列式

的值为

A. !n

)

- B. !n

n1+

1-)

( C.

)

(

)

( D. !n

)

)(

(

)

(

（）

2.设

A，

B,都是方阵，且BAC有意义. 则

A.C

B,都是二阶方阵

B.C

B,分别是二、三阶方阵

C.C

B,都是三阶方阵

D.C

B,分别是三、二阶方阵

（）

3.n元非齐次线性方程组b

Ax=的增

广矩阵的秩为1

n，则方程组b

Ax=

A.有唯一解

B.有无穷多个解

C.无解

D.不能确定其解的数量

（）

4.2

,λ

都是n阶矩阵A的特征值，

λ≠

，且1x与2x分别是对应于1λ与2λ

的特征向量，当满足下面条件时，

x k

k必是A的特征向量.

A. 0

k且0

B. 0

≠

k且0

≠

C. 0

D. 0

≠

k而0

（）

5.设A为n阶实对称矩阵，下面条件：

⑴0

｜

｜A，

⑵各阶顺序主子式均为正数，

⑶A的特征值都为正数，

⑷A的秩和正惯性指标都为n

中，可以作为A是正定矩阵的充要条件的有

A.一个

B.两个

三个 D.四个

（）

二、判断题：（每小题2分，共10分. 在

你认为正确的结论后面的括号内打“√”，否

则打“×”.）

1.若一个行列式等于零，则它必有一行

（列）等于零或有两行（列）成比例.

（）

2.设方阵A满足O

2，

则I

A+可逆.

（）

3.当线性方程组的方程个数少于未知量

的个数时，此方程组一定有无穷多个解.

（）

4.如果当0

k 时，

kα

α ，那么

αrα,

线性无关.

（）

5.设方阵A与方阵B合同，则

)

(

)

r=.

（）

三、填空题：（每小题3分，共15分）

1.已知四阶方阵A的行列式d

｜

｜A，

k为常数，则=

｜

｜A

k .

2.若矩阵A可逆，k为非零常数，则

)

k .

3.设向量组)

a，)

1a，

)

1a线性无关，则a .

4.如果n阶矩阵A满足I

2，则A

的特征值为 .

5.已知A为三阶正定矩阵，则A所对应

的二次型的规范形为 .

四、计算n阶行列式：

五、求a的值，使下面的三元二次型为正

定：

六、求矩阵X，使B

AX=，其中

A，

七、设有列向量组

α，

α.

1.求矩阵)

(

=α

A的秩

3 )(A r ； 2.求此向量组的一个极大无关组.

八、设?????

??001010100=A ，求一正交矩阵Q ，使AQ Q 1

-为对角矩阵.

九、设Q 是一个正交矩阵，证明：Q 的伴随矩阵*Q 也是正交矩阵.

佛山科学技术学院

2001-2002学年第二学期考试试题（B 卷）一、单项选择题：（每小题3分，共15分. 在

每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在该题括号内.） 1.设

n n n

a a a a a a a a a D 21222

112111=，

n n n nn n n a a a a a a a a a D 112

111-2

1-1

1-212= ,,,，

则2D 与1D 的关系是

A.12=D D

B.12-=D D

C.121-21-=D D n n )()(

D.11-21-=D D n n )

()( ( ) 2.设C B A ,,均为n 阶矩阵，且

I ABC =. 下面式子： ⑴ I BCA =, ⑵ I BAC =, ⑶ I CAB =, ⑷ I CBA =

中，一定成立的是

A.⑴⑶

B.⑵⑶

C.⑴⑷

D.⑵⑷ ( ) 3.已知线性方程组

???????=+++=+++=+++2211222221211

1212111n

n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 的系数行列式0=D . 把D 的第一列换成常数项得到的0≠1D ，则此方程组（） A.一定有唯一

解

B.一定有无穷多解

C.一定无

解

D.不能确定是否有解 4.设A 为n 阶矩阵，

0=｜｜A ，则A 的特征值

A.全为零

B.全不为零

C.至少有一个为零

D.不能确定是否有零 ( ) 5.设A 为n 阶实对称矩阵，下面条件： ⑴ 各阶顺序主子式均为正数， ⑵ 存在n 阶矩阵C ，使C C A T

=， ⑶ A 的特征值都为正数， ⑷

A 与n 阶单位矩阵n I 合同

中，可以作为

A 是正定矩阵的充要条件的有

（） A.一个 B.两个 C.三个 D.四个

二、判断题：（每小题2分，共10分. 在你认为正确的结论后面的括号内打“√”，否则打“×”.）

1.把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即

33332222211

1333222111------=c a b b a c a b b a c a b b a c b a c b a c b a . ( )

2.若矩阵A 的秩为r ，则A 的1-r 阶子

式不能都等于零.

( ) 3.设齐次线性方程组o Ax =是线性方程组b Ax =的导出组，则当o Ax =有非零解时，b Ax =有无穷多个解. ( )4.若向量α与任意同维向量都正交，则

α是零向量. ( )5.设A 是对称矩阵，A 与矩阵B 合

同，则B 也是对称矩阵. ( )

三、填空题：（每小题3分，共15分）

1.已知44513231a a a a a k i 是五阶行列式

中的一项且带正号，则i = ，k = .

2.可逆矩阵A 满足O I A A =2--2，

则=1-A . 3.一个线性方程组的增广矩阵的秩比系

数矩阵的秩最多大 . 4.如果n 阶矩阵A 满足A A =2

，则A

的特征值为 .

5.已知三元实二次型的矩阵A 的三个特征值分别为 -321,,，则此实二次型的规范形

为

四、计算行列式:

D 2222223222

222222221= .

五、求矩阵X ，使B XA =，其中

????

? ??343122321=A ，

? ??345123=B .

（10分）

六、设有列向量组?????? ??3211=1α，????

??111-1=2α，?????? ??5331=3α，?????? ??652-4=4α，????

??7-5-1-3-=5α

1.求此向量组的一个极大无关组.

2.把不属于极大无关组的列向量用极大

无关组线性表示. （10分）

七、设?????

??2-02020201=A ，求一正交矩阵Q ，使AQ Q 1-为对角矩阵.

（14分）

八、t 满足什么条件时，下面的三元二次型为正定： 3231212

322214+2-2+5++x x x x x tx x x x . 九、证明：若321ααα,,线性相关，

432ααα,,线性无关，则 1.1α可由3

2αα,线性表示.2.4α不能由321ααα,,线性表

示.

佛山科学技术学院

2001-2002学年第二学期考试试题课

程：线性代数( A 卷)

一、单项选择题：（每小题3分，共15分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在该题括号内.）

1.行列式

n D 0000001-0020

0100

的值为（）

A. !n n

)(1- B. !n n 1

+1-)

( C. !

n n n 21-1-)

()( D. !n n n 22-1-1-)

)(()

(

2.设

? ??=23

21131211

a a a a a a

A ， C

B ,都是方阵，且BA

C 有意义. 则（）

A.C B ,都是二阶方阵

B.C B ,分别是二、三阶方阵

C.C

B ,都是三阶方阵

D.C

B ,分别是三、二阶方阵

3.n 元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵的秩为1+n ，则方程组b Ax = （） A.有唯一解 B.有无穷多个解 C.无解 D.不能确定其解的数量

4. .设

A 为n 阶矩阵，

0=｜｜A ，则A 的特征值（） A.全为零 B.全不为零 C.

至少有一个为零 D.不能确定是否有零 5.设

A 为n 阶实对称矩阵，下面条件：

⑴

0>｜｜A ， ⑵ 各阶顺序主子式均为正数，

⑶ A 的特征值都为正数，

⑷ A 的秩和正惯性指标都为n

中，可以作为A 是正定矩阵的充要条件的有

（）

A.一个

B.两个

C.三个

D.四个二、判断题：（每小题2分，共10分. 在你认为正确的结论后面的括号内打“√”，否则打“×”.）

1.若一个行列式等于零，则它必有一行（列）等于零或有两行（列）成比例. （）

2.设方阵A 满足O I A A =4-2-2

，则I A +可逆. （） 3.当线性方程组的方程个数少于未知量的个数时，此方程组一定有无穷多个解. （） 4.如果当0====21r k k k 时，o =+++2211r r k k k ααα ，那么

,,21ααr

α, 线性无关.

（）

5.设方阵

A 与方阵

B 合同，则

)

()(B r A r =. （）

三、填空题：（每小题3分，共15分） 1.已知四阶方阵

A 的行列式

d =｜｜A ，k 为常数，则

=｜｜A k . 2.若矩阵A 可逆，k 为非零常数，则

(A k .

可

逆

矩

阵

满足

O I A A =2--2

，则=1

-A .

4.如果n 阶矩阵A 满足I A =2

，则A

的特征值为 .

5.已知三元实二次型的矩阵

A 的三个特

征值分别为 -321,,，

则此实二次型的规范形为 .

四、计算

3111131111311113

=D 五、问λ，μ取何值时，齐次线性方程组（9分） ???

??=++=++=++0

200

321

321321x x x x x x x x x μμλ 有非零解？

六、求矩阵X ，使B AX =，其中

????? ??343122321=A ，????

??341352=B . 七、设有列向量组????

??23-11=1α，?????? ??14-2-3=2α，?????? ??37-1-4=3α，?????

??4322=4α. 1.求矩阵),,,(4

=ααααA 的秩)(A r ；

2.求此向量组的一个极大无关组.

求齐次线性方程组 ???

??=++-=++-=--+0

377023520

4321

43214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系

与通解。

九、设Q 是一个正交矩阵，证明：Q 的

伴随矩阵*Q 也是正交矩阵. （8分）

佛山科学技术学院

2002—2003学年第一学期期终考试试题课程：线性代数

A 卷

一．单项选择题（每小题 4 分，共 32 分）

1.若行列式

22315

1=-x

，则

（）

（A ）2；（B ）-2；（C ）3；（D ）

-3 2.行

列

式

n n n n a

a a a a a a

210

00000

000- =

（）

（A ）0；（B ）

1121n n a a a a - ;

（C ）-1121n n a a a a - ; （D ）

)1(+-n 1121n n a a a a - 3.设A,B,C 均为n 阶方阵，下列各式中，（）不成立

（A ）A （BC ）=（AC ）B ；（B ）（A+B ）+C = A+（B+C ）；

（C ）（A+B ）C = AC + BC ；（D ）A （BC ）=（AB ）C 4.设A ，B 为n 阶方阵，且AB =0，A ≠0，则

（）

（A ）B = 0；（B ）B =0或 A =0；

（C ）BA = 0；（D ）（A-B ）

=A 2+B 2

5.向量组)1,0,0(1=e ，)1,1,0(2=e ，

)1,1,1(3=e ，)0,0,1(4=e 的秩是（）

（A ）1；（B ）2；（C ）3；（D ）4

6. 设A 为n 阶方阵，则下列方阵中（）为对称矩阵

（A ）T

A -

；（B ）T

CAC ，

C 为任意n 阶方阵；

（C ）T

AA ；（D ）B AA

)(，

B 为n 阶方阵.

7．以下说法不正确的是（）

（A ）正交向量组必定线性无关；

（B ）正交向量组不含零向量；

（C ）线性无关向量组必定正交；（D ）线性无关向量组不含零向量 8．当矩阵A 满足A A

时，则A 的特征

值为（）

（A ）0或1；（B ）1±；（C ）都是0； (D)都是1.

二．填空题（每小题4分，共20分） 1．若l k a a a a a 54234213是五阶行列式中带负号的一项，则k= ,l=

2．设n 阶方阵A ，B 满足关系式)(21I B A +=，且A A =2，则=2

B 3．=??

??51011 . 4．若n 元齐次线性方程组0=AX 有n 个

线性无关的解向量，则A =

5．设

A 可逆，)0(≠λ是A 的特征值，则

1-A 的特征值是

三．（10

分）设??

???=4321A ，且有关系式

A AX 2+=，求矩阵X

四．（10分）已知向量),2,1(μβ-=可由

)

2,1,1(1-=α，

)

1,1,0(2-=α，

),3,2(3λα-=唯一地线性表示，试

证：5≠λ

五．（13分）a 为何值时，方程组

???

??=++=++=++1

1321

321321ax x x x x ax a

x x x 有解？并求出解。六

．（

分

）

设

二

次

型

322

322214332x x x x x f +++=，

求一个正交变换化二次型为标准型。

线性代数习题三

1.运用矩阵消元法求解下列线性方程组,指出方程组有唯一解、有无穷多解还是无解?读出系数矩阵和增广矩阵的秩,并指出在原方程组中,(如果有的话)哪一个方程是多余的?

(1)???

??=+--=+-=+-5

744539

323

21321321x x x x x x x x x ;

(2)???

??=-+=--=--0

5231322

321

321321x x x x x x x x x ;

(3)?????

??-=-+--=++++=-+-+=+-+-=+-+137542130

791531529721012

3138521147255432154321

54321543214

321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ;

(4)?????

?-=-++-=+-=---=++-7823212333227

53443213

2143214321x x x x x x x x x x x x x x x ;(5)

?????

?=+++=+++=+++=+++1227737389222543324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;(6)?????

?=-+-=--=-+-=-+-183565273238234432142

143214321x x x x x x x x x x x x x x x .

2.求下列齐次线性方程组的基础解系以及系数矩阵的秩,并用基础解系表示方程组的通解:

(1)

12312312335204750

x x x x x x x x x ì++=????++=í???+-=??;

(2)???

??=++-=++-=++-0

111784024630

35424

32143214321x x x x x x x x x x x x

(3)?????

?=-++=+-+=-++=-++0192483032540465303424321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;

(4)?????

?=-+-=+-+=-++=+-+0742063407230

5324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x

3. 求解下列非齐次线性方程组,用向量形式表示它的通解,并求增广矩阵的秩:

(1)

?????

?-=+-=-+-=+-=++6

94132835424323

21321321321x x x x x x x x x x x x ;

(2)???

??-=+-+=-+-=+-+2

53443231

32143214321x x x x x x x x x x x x ;

(3)?????

?=+++=+-+=-++=+++12

541851895325353724321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;

(4)?????

?=-++=-++=+-+=+-+37932323643891281

324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x .

4.讨论q p ,为何值时,下列线性方程组有

解、无解?有解时求其通解:

???

?=-+++=+++=-+++=++++q x x x x x x x x x p x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231

5. 已知线性方程组=Ax b 有三个解向

量:()T

5,2,1,31=β,

()T 1,1,1,02-=β,

()T 4,3,2,13=β,并且系数矩阵A 的秩

为2,求方程组的通解.

6.求解下列矩阵方程:

(1)?

????

??--=????? ?

?--521234311111012112X ;

(2)?

??? ??-=???? ?

?12643152X . 7. 选择题

(1) 对线性方程组的增广矩阵施行初等行变换,如果能将某一行的全部元素变为0,则该方程组 ( )

(A ) 有唯一解 (B ) 无解 (C ) 有无穷解 (D ) 有多余方程

(2) 设线性方程组=Ax b 的增广矩阵经

初等行变换化为()→A b 202301000a a a ?? ? ? ?

?,则此方程组 ( )

(A ) 有唯一解或有无穷多解 (B ) 一定有无穷多解 (C ) 可能无解 (D ) 一定无解

(3)

若

方

程

组

12323

2321

32(3)712x x x x x x λλλλλ?-+=-?

-+=-??-=-+?有无穷多解,则

λ=

( ) (A ) 1 (B ) 2 (C ) 3 (D ) 4 (4) 设A 是108?矩阵,秩(A )r =,则齐次线性方程=0Ax 有非零解的充分必要条件是 ( ) (A ) 8r < (B ) 810r ≤≤ (C )

10r < (D ) 0=A

(5) 设n 元线性方程组=Ax b 的增广矩阵为(

)A b ,秩(A )1r =,秩()A b 2r =,问:在下列何种情况下,方程组必定有解

( )

(A ) 1r n = (B ) 2r n = (C ) 12r r = (D ) 12,r n r n << (6) 已知A 是96?矩阵,齐次线性方程组=0Ax 有4个自由变量,则秩(A )= ( ) (A ) 2 (B ) 3

(C ) 4 (D ) 5 (7) 方程组1231233202640x x x x x x -+=??

-+-=?的基础解系由几个解向量组成? ( )

(A ) 0个 (B ) 1个

(C ) 2个 (D ) 3个 (8) 设123,,ααα都是非齐次线性方程组=Ax b 的则

k =

( ) (A ) 3 (B ) 2 (C ) 1 (D ) 0

(9) 设12,αα是齐次线性方程组=0

Ax 的两个解向量,12,ββ是非齐次线性方程组=Ax b 的两个解向量,则 ( ) (A ) 12+αα是=Ax b 的解 (B ) 11+αβ是=0Ax 的解 (C ) 12-ββ是=0Ax 的解 (D ) 11-αβ是=Ax b 的解 (10) 对于同一矩阵A ,关于非齐次线性方程组=Ax b (≠0b )和齐次线性方程组=0Ax , 下列说法中正确的是

( ) (A ) =0Ax 无非零解时,=Ax b 无

解 (B ) =0Ax 有无穷多解时,=Ax b 有无穷多解

(C ) =Ax b 无解时,=0Ax 无非零解 (D ) =Ax b 有唯一解时,=0Ax 只

有零解线性代数习题四

1.判断下列向量组是否线性相关:

(1)

()3,2,1,()9,6,3; (2)

()0,0,0,1,()0,0,1,0,()1,0,0,0; (3)()1,3,2-,()5,1,3-,()3,4,1-;(4)

()0,0,1,()0,1,0,()1,0,0,()3,2,1;

(5)()6,2,5,4-,()3,1,2,2-,()9,3,3,6-,()6,5,1,4-

2.已知向量组321,,ααα线性无关,试证

向量组

2132αα+,324αα+,315αα+也线

性无关.

3.证明:两个向量21,α

α线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例. 4.试问下列向量组中,向量β

能否由其余向量线性表示?若能,则写出线性表示式:

(1)

()()()1,1,1,2,3,421-===ααβ;

(2)()

7,2,15β=-,

()12,3,5α=,()23,78α=, ()31,6,1α=-;

(3)()1,2,5β=,()13,2,6α=,

()27,39α=,()35,1,3α=;

(4)

()

2,3,5,1β=,

()0,0,0,11=α,()0,0,1,02=α,()0,1,0,03=α,()1,0,0,04=α

(5)()2,3,1,4--=β,()0,0,0,11=α,()0,0,1,12=α,()0,1,1,13=α,()1,1,1,14=α

5.求下列向量组的秩和一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示:

(1)()12,1,2α=-,()22,1,1α=--,()34,2,1α=-,

()44,1,2α=-;

(2)()1,3,1,11=α,()3,1,1,12--=α,()9,8,2,53--=α,()7,1,3,14-=α; (3)()3,1,2,11=α,()6,5,1,42-=α,()7,4,3,13-=α,()0,1,1,24-=α; 6. 选择题

(1) 向量

()12,a a =α,()12,b b =β线性相关的充分必要条件是

( )

(A ) 11220a b a b += (B )

11220a b a b -= (C ) 12210a b a b += (D ) 12210a b a b -= (2) 向量组12,,,n ααα(2n ≥)线性相关的充分必要条件是该向量组中 ( ) (A ) 有一个零向量 (B ) 每一个向量都可由其余的向量线性表示 (C ) 有一个向量可由其余的向量线性表示 (D ) 有两个向量的对应分量成

比例

(3) 向量组12,,,n ααα(2n ≥)线性无关的充分必要条件是该向量组中

( )

(

) 所有向量非

零 (B ) 任意两个向量的对应分量不成比例 (C ) 有一个部分组线性无关 (D ) 任意一个向量不能由其余向量线性表示 (4) 设123,,ααα都是齐次线性方程组

=0Ax 的解向量,123,,βββ是=0Ax 的一组基础解系, 则

下

列

说

法

中

错

误

的

是

( )

(A ) 这些向量都是=0Ax 的解

(B ) 123,,ααα 都可由向量组123,,βββ线性表示

(C ) 向量组123,,ααα,123,,βββ线性相关 (D ) 123,,ααα也是=0Ax 的一组基础解系

(5) 列向量组12,,,s ααα拼成矩阵()12,,,= αααS A ,则该向量组线性

相关的充分必要条件是齐

次

线

性

方

程

组

=0Ax

( )

(A ) 有解 (B ) 无解

(C ) 无非零解 (D ) 有非零解

(6) 设A 是m n ?矩阵,则m 维列向量β

不能由A 的列向量组线性表示的充分必要条

件是

非齐次线性方程组=βAx ( ) (A ) 有解 (B ) 无解 (C ) 有唯一解 (D ) 有无穷多解 (7) 向量组

()()()()

12341,0,00,1,01,1,11,1,0====αααα的一个极大线性无关组是 ( ) (A ) 12,αα (B ) 123,,ααα (C ) 124,,ααα (D ) 1234,,,αααα

(8) 设向量组121,,,

ααα中,

123,,ααα线性无关,则该向量组的秩r 满足

( )

(A ) 310r ≤≤ (B ) 37r ≤≤ (C ) 7r = (D ) 3r =(9) 设某向量组的秩为r ,则下列对该向量组所下的结论中错误的是 ( )

(A ) 有一个线性无关的部分组含有个

r 向量 (B ) 所有含1r +个向量的部

分组都线性相关 (C ) 所有含r 个向量的部分组都线性

无关 (D ) 所有线性无关的部分组含有的向量个数不超过r

(10)设A 是79?矩阵,齐次线性方程组

=0Ax 的基础解系含有4个解向量,则矩阵

A 的行向量组的秩等于 ( )

(A ) 2 (B ) 3 (C ) 4

(D ) 5

上海大学线性代数 2005

适用专业：计算数学，基础数学，系统分析与

集成应用数学，运筹学与控制论。一：基本题（以下每题10分9题共90分） 1：设2)(1-+=+n n x x x f （1≥n ）

，求)(x f 在有理数域上的不可约因式并说明理

由。

2：设?

???

??=111011001A ，???

??=A A A

B 0

，C 为6阶方阵,而且E

C BC +=2（E

为单位

矩阵） ,求C 和*

C （C 的伴随矩阵）。

3：设β是非齐次线性方程组b Ax =的一个

解，r n -αα

, ,1 是其导出组的一个基础解系．求证

1）βαα , , ,1r n - 线性无关； 2）βαβαβαβ , , , , r -n 21+++ 线性无关．

4：设

???

? ??=??????? ??=??????? ??=??????? ??=??????? ??=0123,0001,233,0011,011154321αααααa ，求此向量组的最大无关组，并将其他向量用

最大无关组表示出来。 5：设

为

阶矩阵，如果

0322=--E A A ，求证A 与对角矩阵相

似。

6：设A 为实三阶对称矩阵，已知A 的三个特

征值为1，1，λ，而且

2=A ，

如果????

???????????????110,011为

A 的特征向量，求A 。

7：设A 为

阶实对称矩阵，求证

)0(>+k kE AA T 为正定矩阵（T

A 表示

A 的转置）。 8：若W 是反对称变换A 的不变子空间，求

证：⊥W （W 的正交补）也是A 的不变子空间。

9：设F 为数域，

A 为数域F 上n 阶方阵，

且

{}

|1=∈=Ax F x V n ，

{}0

)(|2=-∈=x E A F x V n ．求证

212

V V F A A n

⊕=?= 二：非基本题（以下每题12分，5题共60分） 10

：

设

βγ

α4=，

????

?????????=αβγαβγαβγα A 为n 阶方阵，B 为n 阶正交方阵，求证： n n

n A B A

B 4)1(222

α+=

11：设 )]()()()()[1(|1123221n n n n n n n x f x x f x x xf x f x x --++++-- （

≥n ），求证：

)(|1x f x i -

)1,2,1(-=n i 。

12：设

A 为n 阶实可逆矩阵，则A 为正定矩

阵充分必要条件为存在n 阶上三角实可逆矩阵L 使T LL A =。

13：设

A 是秩为r 的n 矩阵，证明A A =2

的

充要条件是存在秩为r 的n r ?阶矩阵B 和秩为

的

n ?矩阵C ，使

A =且

E BC = 14：设V 为数域F

上n 维线性空间，设A 为

上线性变换，

)(V A 为A

的值域，

)(10A -为A 的核。

（1）：求证：2))()(1

V ≥

+-0A

A 维（；（2）：求证：

))()(1n

V =+-0A A 维（充分必要条件为：)()(1

0A A -=V 。并举出这

样的线性变换A 。

注：)W 维（表示空间W 的维数。佛山科学技术学院2000——2001 年第一

学期期终考试试题

一、计算行列式（10分）

（

）

111

c b a

（2）

x x y x y y x y x

+++

二、用克拉默法则解下列方程组(10分)

??????

?=-++-=+++=-++-=+++16

888444222

432143214

3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 五、设A=???? ??3121， B=???

??2101，问：(10

分) （1） BA AB =吗？

（2）

()2

222B AB A B A ++=+吗？

（3）

2))((B

A B A B A -=-+吗？

六、设A ，B ，AB 都是n 阶对称矩阵，证明 AB=BA （10分）

七、解下列矩阵方程；(10分)

???

??-=???? ??-???? ??-101311022141X 八、(10分)

设A=???

? ??101λ，求 K

A A ,,,32

九、求解下列非齐次线性方程组；（10分）

???

??=+=+-=-+8

311102322421

321321x x x x x x x x 十、下列非齐次线性方程组当λ取何值时有解？并求出它的解。（10分）

??=-+=+--=++-2321321321222

2λλx x x x x x x x x 佛山科学技术学院2000 ——2001 年第二学

期期终考试试题

二、计算行列式（10分）

（1）

111

3111

1311

113

（2）

2222

b b a a b ab a + 二、用克拉默法则解下列方程组

(10分)

???

??=++-=++-=++2

942322321321321x x x x x x x x x 三、问

λ取何值时，下面齐次线性方程组有非零解(10分)

???

??=++=++=++0

200321321321x x x x x x x x x μμλ 四、设A=????

? ??--11111111

1，B=????

? ??--150421321，求3AB －２A 及

B A T (10分) 五、设A=???? ??3121， B=???

? ??2101，问：(10

分) （4）

AB =吗

？（2

）

()

AB A B A ++=+吗？（3）

2))((B A B A B A -=-+吗？

六、设A ，B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，

证明AB B T

也是对称矩阵。（10分）

七、解下列矩阵方程；(10

分)????

?-=????

??--234311*********X

八、(10

分)设

???

??101λ，求

A A A ,,,32

九、求解下列非齐次线性方程组；（10分）

???

??=--+=+--=--+0

8954433134321

43214321x x x x x x x x x x x x 十、λ取何值时，非齐次线性方程组（10分） ?????=++=++=++2

3213213211λ

λλλλx x x x x x x x x （1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？

佛山科学技术学院

2000—2001学年第二学期期终考试试题课程：

线性代数(A 卷)

一、填空 (共25分)

1、（3分）指出下列排列的逆序数，并

确定是为奇排列还是偶排列。（1）、12345的逆序数是，是排列。

（2）、54321的逆序数

是，是

排列。

（3）、23451的逆序数是，是

排列。

2、（3分）五阶行列式中含因子

453412a a a 的项为

。

3、（3分）已知四阶方阵A 的行列式

A =，k 为常数，则

=kA 。

4、（2

分）矩阵???

??-2011的伴随矩阵

是。

5、（5分）设AX=b 是n 元非齐次线性方程组，其系数矩阵A 的秩为R （A ），增广矩阵)(b A B

= 的秩为R （B ），写出下列

情况下R （A ）与R （B ）或n 之间的关系。

（1）AX=b 无解；（2）AX=b 有解；（3）AX=b 有唯一解；（4）AX=b 有无穷多解；又AX=b 对应的齐次方程组有非零解的充要条件是。

6、（2分）如果向量组r ααα,,,21 线性

相

关

，

则

向

量

组

r r ααααα,,,,,,121 +也线性

______________.

7、（2分）等价向量组有

_______________的秩.

、

分

)

).0(,__________)(1≠=-k kA

9、(3分) 若 AX=B ，且A 可逆，则 X= ____________.

二、单项选择题（每小题后的备选答案中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填

入每小题的括号内，共10分) 1、（2分）行列式ij

ij ij ij A M a a 与其代数余子式的余子式中元素有关系（）。 A 、ij j i ij M A +-=)1(； B 、ij i

ij M A )1(-=； C 、ij j

ij M A )1(-=； D 、

ij ij M A =。

2、（2分）设A 为矩阵n s ?，B 为l

n ?矩阵（l s ≠），则下列矩阵运算有意义的是

（）。 A 、BA ； B 、T T

A B

； C 、

A+B ； D 、A+T

3、（2分）设A 、B 为n 阶方阵，满足AB=A ，且A 可逆。则有（）

A 、A=B=E ；

B 、A=E ；

C 、

B=E ； D 、A ，B 互为逆矩阵

4、（2

分）已知向量组

321321,,.00,10,1αααααα???

??=???? ??=???? ??=o 的线性相关性（）

A ．线性相关，

B 。线性无关.

C. 线性组合,

D. 线性表示.

5、(2分) 设A,B 是n 阶方阵,且AB=O,那么( ).

A. A=0或B=0;

B. A+B=0;

0=A 或;0=B D. .0=+B A

三、16分）计算行列式

(1)

a a a x a a

a x D =, (2)

0000

004

332211

a b a b b a b a D =

四、（13分）设矩阵?

????

??=431610331A

?????

??----=51332417117

86B

1、如

果C=AB ，且

2214,),(C C C C C ij 和中元素并算出是几行几列矩阵那么.

2、求矩阵A 的逆矩阵，并由此利用逆

阵法解线性方程组。

????

??=????? ?? ??=++=+=++121(143261333213

2132321x x x A x x x x x x x x 即五、(12

分)设有向量组

??????

??=??????? ??--=??????? ??--=??????

??-=4322,3714,1423,23114

1a a a a

求 1、矩阵A ),,,(4321a a a a =的秩

R （A ）；

2、该向量组是否线性相关；

3、求该向量组的一个最大无关组。六、（14分）设线性方程组

??=+++=+---=+--=+++8

432637434

224

2434321

32143214321x x x x x x x x x x x x x x x x

1、求该方程组对应的齐次线性方程组的一个基础解系；

2、求该方程组的通解。

七、(10分) 证明: 假设在向量组

m ααα,,,21 中,,01≠α且每个),,2,1(m i i =α都不能由121,,,-i ααα 线性表出,试证这向量组线

性无关.

2000—2001学年第二学期期终考试试题课程：

线性代数(B 卷) 一、填空题（共25分）

1、（3分）指出下列排列的逆序数，并确定是为奇排列还是偶排列。

（1）、1234的逆序数是，是排列。（2）、4321的逆序数是，是排列。（3）、2143逆序数是，是

排列。

2、（3分）四阶行列式中含因子3412a a 的

项为

。 3、（3分）已知五阶方阵A 的行列式

A =，k 为常数，则

=kA 。

4、（2

分）矩阵???

??d c b a 的伴随矩阵

是。

5、（5分）设AX=b 是n 元非齐次线性方程组，其系数矩阵A 的秩为R （A ），增广矩阵

)(b A B = 的秩为

R （B ），写

出下列情况下，R （A ）与R （B ）或n 之间的关系。

（1）AX=b 无解；（2）AX=b 有解；（3）AX=b 有唯一解；（4）AX=b 有无穷多解；又AX=b 对应的齐次方程组有非零解的充要条件是。

6、（2

分）如果向量组

m r r ααααα,,,,,,121 +线性无关，则

向

量

组

ααα,,,21 也线性

______________.

7、（2分）等价矩阵有_______________的秩. 8、(2分)

,__________)(1=-AB

9、(3分) 若 XB=C ，且B 可逆，则 X= ____________.二、单项选择题（每小题后的备选答案中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入每小题的括号内，共10分）

1、（2分）行列式

012

156

83的元素

2121A a 的代数余子式的值为（）。

A 、33；

B 、33-；

C 、56；

D 、56-。

2、（2分）设A 为矩阵n s ?，B 为l n ?矩阵，则（）中的矩阵运算是有意义的。

A 、T

A B

； B 、BA ； C 、A+B ；

D 、A+T

3、（2分）若21,x x 是线性方程组AX=b 的解，而21,ηη是方程组AX=0的解，则（）是AX=b 的解。 A 、213231x x +； B 、213

231ηη+；

C 、21

x x -； D 、21x x +

4、（2

分）已知向量组

21321,,.11,10,1αααααα???

??=???? ??=???? ??=o 的线性相关性（）

A ．线性相关，

B 。线性无关. C. 线性组合, D. 线性表示.

5、(2分) 设A,B 是n 阶方阵,且AB=O,那么( ).

A. A=0或B=0;

B. A+B=0;

=A 或

;

0=B D.

.0=+B A

三、计算行列式（16分）

、

20410033

1021

261-----=

D 2

、

---=

x y

x x D n

四、（13

分）设矩阵

????? ??=431610331A ????

??=121111B

1、求

1-A ； 2、求

解矩阵方程AX=B.

五、（12分）设非齐次线性方程组AX=b

的增广矩阵

)(b A B =经初等行变换化为矩阵

????

?- ?

?--312

31010011001

那么，1、λ为何值时，方程组AX=b 有解？有

解时求其通解; 2、求对应的齐次线性方程组AX=0的一个基础解系.

六、（14分）设矩阵

??????

??-----=4312374321212431

A 1、求A 的秩 R （A ）;

2、 A 的列向量组是线性相关还是线性

无关，并求出该向量组的一个最大无关组。

七、(10分) 证明: 设n

ααα,,,21 是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是任一n 维向量可由它们线性表示.

佛山科学技术学院

2001—2002学年第一学期期终考试试题课程：

线性代数(A 卷)

一、填空 (共20分)

2、（4分）指出下列排列的逆序数，并

确定是为奇排列还是偶排列。

（1）、54321的逆序数

是，是

排列。

（2）、23451

的逆序数是，是排列。

2、（4分）五阶行列式中含因子

453412a a a 的项为

________________________________________________。

3、（2分）已知四阶方阵A 的行列式

A =，k 为常数，则

=kA 。

4、（2

分）矩阵???

??-2011的伴随矩阵

是。

5、（2分）如果向量组r ααα,,,21 线性

相

关

，

则

向

量

组

r r ααααα,,,,,,121 +也线性

______________.

6、（2分）等价向量组有

_______________的秩.

、

分

)

).0(,__________)(1

≠=-k kA

8、(2分) 若 AX=B ，且A 可逆，则 X= ____________.

二、单项选择题（每小题后的备选答案中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填

入每小题的括号内，共10分)

1、（2分）行列式

ij ij ij A M a a 与其代数余子式的余子式中元素有关系（）。 A 、

j i ij M A +-=)1(； B 、

ij i ij M A )1(-=； C 、ij j ij M A )1(-=； D 、

ij ij M A =。

2、（2分）设A 为矩阵n s ?，B 为l

n ?矩阵（l s ≠），则下列矩阵运算有意义的是

（）。 A 、BA ； B 、T T

A B

； C 、

A+B ； D 、A+T

3、（2分）设A 、B 为n 阶方阵，满足AB=A ，且A 可逆。则有（）

A 、A=B=E ；

B 、A=E ；

C 、

B=E ； D 、A ，B 互为逆矩阵 4、（2

分）已知向量组

321321,,.00,10,1αααααα则???

??=???? ??=???? ??=o 的线性相关性是（）

A 线性相关，

B 。线性无关. C. 线

性相关且线性无关, D. 以上都不是.

5、(2分) 设A,B 是n 阶方阵,且AB=O,那么( ).

A. A=0或B=0;

B. A+B=0;

0=A 或;0=B D. .0=+B A

三、（14分）计算行列式

(1)

a a a x a a

a x D =,

(2)

0000004

332211

a b a b b a b a D =

四、（8分）解矩阵方程：

.021102341010100001100001010????

??---=????? ??????? ??X

五

、

(15

分

)

设

有

向

量

组

1311,0312,1021,12014321??????

??--=??????? ??=??????? ??=??????? ??=a a a a

求 1、矩阵

A ),,,(4321a a a a

=的秩

R （A ）；

2、该向量组是否线性相关；

3、求该向量组的一个最大无关组。

六、（16分）设线性方程组

???

-=+++-=-++=-+-.6242,1635,11325432143214321x x x x x x x x x x x x

1、求该方程组对应的齐次线性方程组

的一个基础解系；

2、求该方程组的通解。

七、（17分）证明题:

1. 设 n a a a

,,,21 是一组n 维向

量,已知n 维单位坐标向量

n e e e

,,,21

能由它们线性表示,证明 n a a a

,,,21 线性无关. (8分)

2. 证明与基础解系等价的线性无关

向量组是基础解系。（9分）佛山科学技术学院

2001—2002学年第一学期期终考试试题课

程：线性代数(B 卷)

一、填空 (共20分)

3、（4分）指出下列排列的逆序数，并

确定是为奇排列还是偶排列。（1）、32451的逆序数

是，是

排列。

（2）、43521的逆序数是，是

排列。

2、（4分）五阶行列式中含因子422113a a a 的项为 ___________________________________

_____________。

3、（2分）已知三阶方阵A 的行列式

M A =，k 为常数，则

=kA 。

4、（2分）矩阵???

?-1102的伴随矩阵是。 5、（2

分）如果向量组

m r r ααααα,,,,,,121 +线性无关，则

向量组

,,,21r ααα 也线性

______________.

6、（2分）等价矩阵有_______________的秩.

7、(2分) .__________

)(1

=-AB 8、(2分) 若 XB=C ，且B 可逆，则 X= ____________.二、单项选择题（每小题后的备选答案中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入每小题的括号内，共10分)

1、（2分）行列式ij

ij ij ij A M a a 与其代数余子式的余子式中元素有关系（）。 A 、

j i ij M A +-=)1(； B 、

ij i ij M A )1(-=； C 、ij j ij M A )1(-=； D 、

ij ij M A =。

2、（2分）设A 为矩阵n s ?，B 为l

n ?矩阵（l s ≠），则下列矩阵运算有意义的是

（）。

A 、A+

B ； B 、T T

A B

； C 、

AB ； D 、A+T

3、（2分）设A 、B 为n 阶方阵，满足AB=A ，且A 可逆。则有（）

A 、A=B=E ；

B 、B=E ；

C 、

A=E ； D 、A ，B 互为逆矩阵

4、（2

分）已知向量组

321321,,.11,10,1αααααα则???

??=???? ??=???? ??=o 的线性相关性是（）

A 线性相关，

B 。线性无关. C. 线

性相关且线性无关, D. 以上都不是.

5、(2分) 设A,B 是n 阶方阵,且AB=O,那么( ).

A. A=0或B=0;

B. A+B=0;

0=A 或;0=B D. .0=+B A

三、（14分）计算行列式

(1) ,01

a a

, (2) .7

025102

021

214=

D 四、（8分）解矩阵方程：

???

? ??-=????

??--23

431111

012112

X 五

、

(15

分

)

设

有

向

量

组

4813413243,20545317,32949431,257575254321?????

??=??????? ??=??????? ??=??????? ??=a a a a

求 1、矩阵A ),,,(4321a a a a

=的秩

R （A ）；

2、该向量组是否线性相关；

3、求该向量组的一个最大无关组。

六、（16

分）设线性方程组

?????=

=+++=+3

223512254

432121

x x x x x x x x x x 1、求该方程组对应的齐次线性方程组

的一个基础解系；

2、求该方程组的通解。七、（17分）证明题:

1.设 n a a a

,,,21 是一组n 维向量,已知

维单位坐标向量

n e e e ,,,21

能由它们线性表示,证明 n a a a

,,,21 线性无关. (8分)

3. 设 n a a a

,,,21 是一组n 维向

量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一ｎ维向量都可由

它们线性表示,（9分）

佛山科技学院2001——2002学年第1学期试

题解答和评分标课程工程数学班级 2000计算机夜大

———————任课老师黄挚敏

（A 卷）一、填空

1、（1）10，偶。(2分) （2）4，偶。（2分）

2、-.,51453423125345342112a a a a a a a a a a （4

分）

、

k 4

。（2分

）

4、??

??1012 （2分） 5、相关。（2

分）

6、相同。（2分）

7、

.11

-A k

（2分）

8、

.1B A - （2分）

二、单项选择题

1、A 、

2、B 、

3、C 、

4、A 、

5、C 。三、计算行列式

（1）解：原式=[x+（n-1）

a a a x a 1

11 （3

分）

x+（n-1）

x a x -- 00001

（3分） =[x+（n-1）a]（x-a ）

-n

（1分） 2

）

解

：

原

式

004

33221433221

b a b b a b a a b b a a -

32141324

3214321b b b b b b a a a b b a a a a a +-- 四、

解：

010100001021102341100001010--??

???????????????---??????????=X （2分）

????

????????????????---??????????010100001021102341100001010 （2分）

???

?????---201431012 （4分）五

、

解

：1、

???

????

???-→?????????

???--=000

1100

11201211

101

330211201211

A （4分）

故R

（

）

=3 （1分）

2、因为R （A ）=3 4，故该向量组线性相关。

（5分）

3、因为

021202

11≠，故321,,a a a

是该

向量组的一个最大无关组。（5分）六、解：方程组的增广矩阵为

???

? ??----→????? ??-----=000004172

201132516124211635113251B （4分）

该方程组对应的齐次线性方程组与方程组

??=+-=-+-07220

3254324321x x x x x x x

同解。故1、它的一个基础解系为第3页

???

??-=??????? ??-=2011,071921ξξ （5分）

原方程组与方程组 ??

??-=+-=-+-472211

3254324321x x x x x x x

同解。它的一个特解为

???

???? ??-=0021η

（4分）

故方程组的通解为

???

??-+??????? ??-+??????? ??-=00

212011071921c c x 21,c c 是任意实数。（3分）

七、1、证明：因为

e e e ,,,21能由

n a a a

,,,21线性表示，故

R （

n e e e

,,,21）≤R

（n a a a

,,,21）（3分）又因为n e e e

,,,21 为n 维单位坐标向量，故 R （n e e e

,,,21）=n ，从而

R （n a a a

,,,21） ≥ n

（2分）

但 R （n

a a a ,,,21）

≤ n

（2分）

故 R （n a a a ,,,21）= n

第4页

所以 n a a a ,,,21 线性无关。

（1分）

2、证明：设 ,,,,21s ξξξ

是方程组的一个

基础解系，t a a a

,,,21是与

,,,,21s ξξξ

等价的向量组，由t

a a a ,,,21线性无关，得

s=t ，

（3分）

因为t

a a a

,,,21可用,,,,21s ξξξ

线性

表示，,,,,21s ξξξ

的线性组合仍是方程组的解向量，故t a a a

,,,21也是方程组的解向量。（3分）因为方程组的任一解向量

可用,,,,21s ξξξ 线性表示，而,,,,21s ξξξ 能用t a a a ,,,21线性表示，故x

也可用t a a a

,,,21线性表示，综上所

述t a a a

,,,21也是方程组的一个基础解系。（3分）

佛山科技学院2001——2002学年第1学期试

题解答和评分标准

课程工程数学

班级 2000计算机夜大 ——————————————

———————————— 任课老师

黄挚敏

共4页第 1页

————————————

（B 卷）一、填空

1、（1）5，奇。(2分) （2）8，偶。（2分）

2、

-.,54423521135542342113a a a a a a a a a a （4分）

3、M

k 3

。

（

分

）

4、??

????2101 （2分） 5、无关。（2

分）

6、相同。（2分）

7、.

11--A B （2分）

8、.1

-CB

（2分）

二、单项选择题

1、A 、

2、B 、

3、B 、

4、A 、

5、C 。三、计算行列式

（1）解：原式=

000

010--a a a a

（4分）

)(11---a a a n

（2分）

2--n n a a （1分）（2

）

解

：

原

式

1120

2154

277

11020

215100

0014

274-----=---- （4分）

第

2页

2121

（3分） =0

（1分）四

、

解

：

111012112234311-?

???

?????--??????-=X

（2分） =

????

?????---??????-0113213231031

234311

=???

????---32538

221 五、

解

：

、

?????

???????→????????????=00

2100321043173125

4820

13454947513253947543173125A （4分）故R

（

）

（1分）

2、因为R （A ）=3 4，故该向量组线性相关。

（5分）

3、因为

054

947553947517

3125≠，故321,,a a a

是

该向量组的一个最大无关组。（5分）六、解：方程组的增广矩阵为

????

? ??--→????? ??=2100013011080101322351211250011B （4分）

该方程组对应的齐次线性方程组与方程组

第3页

?=+=-=+00043231

x x x x x 同解。故1、它的一个基础解系为

???

??-=0111ξ

（5分）

原方程组与方程组

???==--=+2

1384

231

x x x x x 同解。它的一个特解为

???

??-=20138η

（4分）

故2、方程组的通解为

??????

? ??-+??????? ??-+??????

??????=2013801114321c

x x x x x c 是任意实数。（3分）

七、1、证明：因为

e e e ,,,21能由

n a a a

,,,21线性表示，故

R （

n e e e

,,,21）≤R

（n a a a

,,,21）（3分）又因为n e e e

,,,21 为n 维单位坐标向量，故 R （n e e e

,,,21）=n ，从而

R （n a a a

,,,21） ≥ n

（2分）第4页

但 R （n

a a a

,,,21）

≤ n

（2分）

故 R （n a a a

,,,21）= n

所以

a a a ,,,21 线性无关。

（1分） 2、证明：（必要性）设n a a a

,,,21线性无关，任一n 维向量为a

。则

n+1个n 维向量组：n a a a ,,,21，a

线性相关，由定理，a

可由

n a a a

,,,21 线性表示。

（充分性）设任一n 维向量可由n a a a

,,,21 线性表示。特别地，

n e e e ,,,21可由n a a a

,,,21 线性表示，

由习题结果，n a a a ,,,21

线性无关。

（5分）

线性代数典型例题

线性代数第一章行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式二、按行（列）展开公式求代数余子式已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?

3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+

线性代数期末试题及答案

工程学院2011年度（线性代数）期末考试试卷样卷一、填空题（每小题2分，共20分） 1.如果行列式233 32 31 232221 131211 =a a a a a a a a a ，则=---------33 32 31 232221 13 1211222222222a a a a a a a a a 。 2.设2 3 2 6219321862 131-= D ，则=+++42322212A A A A 。 3.设1 ,,4321,0121-=??? ? ??=???? ??=A E ABC C B 则且有= 。 4.设齐次线性方程组??? ?? ??=????? ??????? ??000111111321x x x a a a 的基础解系含有2个解向量，则 =a 。、B 均为5阶矩阵，2,2 1 == B A ，则=--1A B T 。 6.设T )1,2,1(-=α,设T A αα=，则=6A 。 7.设A 为n 阶可逆矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若λ是矩阵A 的一个特征值，则*A 的一个特征值可表示为。 8.若31212322 212232x x x tx x x x f -+++=为正定二次型，则t 的范围是。

9.设向量T T )1,2,2,1(,)2,3,1,2(-=β=α，则α与β的夹角=θ 。 10. 若3阶矩阵A 的特征值分别为1，2，3，则=+E A 。

二、单项选择（每小题2分，共10分） 1.若齐次线性方程组??? ??=λ++=+λ+=++λ0 00321 321321x x x x x x x x x 有非零解,则=λ（） A .1或2 B . －1或－2 C .1或－2 D .－1或2. 2.已知4阶矩阵A 的第三列的元素依次为2,2,3,1-，它们的余子式的值分别为 1,1,2,3-，则=A （） A .5 B .-5 C .-3 D .3 3.设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（） A .0=+ B A B .））B r A r ((= C .O A =或O B = D .0=A 或0=B 4. 设21β,β是非齐次线性方程组b X A =的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是（） A ．21+ββ B ． ()21235 1 ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ- 5. 若二次型3231212 3222166255x x x x x x kx x x f -+-++=的秩为2，则=k （） A . 1 B .2 C . 3 D . 4 三、计算题 (每题9分，共63分) 1.计算n 阶行列式a b b b a b b b a D n Λ ΛΛΛΛΛΛ=

线性代数期末考试试卷+答案合集

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数典型例题

线性代数第一章行列式典型例题一、利用行列式性质计算行列式二、按行(列)展开公式求代数余子式已知行列式41 234334461 5671122 D ==-,试求4142A A +与4344A A +、三、利用多项式分解因式计算行列式 1.计算2211 23122313 1513 19x D x -=-、 2.设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x =,则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1、设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==,其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量,且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2、设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,且1||2 A =,试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-???? 3、设A 就是n 阶(2)n ≥非零实矩阵,元素ij a 与其代数余子式ij A 相等,求行列式

||.A 4、设矩阵210120001A ????=?????? ,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5、设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =,那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算六、利用特征值计算行列式 1、若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为1111,,,2345 ,则行列式1||________.B E --= 2、设A 为四阶矩阵,且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-,试计算行列式*|23|.A E + 第二章矩阵典型例题一、求逆矩阵 1、设,,A B A B +都就是可逆矩阵,求:111().A B ---+ 2、设0002100053123004 580034600A ????????=???????? ,求1.A -

行列式经典例题

大学-----行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

= 行列式即为y 2前的系数. 于是 = 所以的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解：方法1 递推法按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍，，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++

东南大学线性代数期末考试试卷B

8A Uni--20--20学年第一学期工作计划9864 b 1 东南大学考试卷（B 卷）课程名称线性代数考试学期 07-08-3 得分适用专业非电类工科专业考试形式闭卷考试时间长度 120分钟

8A Uni--20--20学年第一学期工作计划9864 b 2 一．填空题（E 表示单位矩阵） 1．设12102,21111A B ?? ??== ? ?-???? ，则AB = ； 2．若矩阵435x A ??= ??? 不可逆，则x 满足条件； 3．若矩阵A 满足232A A E O -+=，则1A -= ； 4．若33?矩阵A 的特征值是1,2,1-，则矩阵123A A E -++的行列式 123A A E -++= ； 5．若矩阵12321045A x ?? ?= ? ??? 的秩为2，则参数x 满足条件； 6．假设A 是n s ?矩阵，齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含t 个解，则齐次线性方程组0T A y =的基础解系中向量的个数为； 7．若1a α??= ???是矩阵 120b A -??= ???的相应于特征值１的特征向量，则a b ??= ???? ? ??? ； 8．若二次型22 121212(,)2f x x x x tx x =++是正定的，则参数t 满足条件； 9．如果每个三维行向量都可以由()()()1,2,1,0,1,2,2,3,x -线性表示，则参数x 满足条件； 10．若矩阵122a ?? ???与矩阵0 053?? ??? 相似，则参数a = 。

8A Uni--20--20学年第一学期工作计划9864 b 3 青山埋白骨，绿水吊忠魂。 8%）计算行列式123 4 111 111 111111x x D x x =，其中1234,,,x x x x 均不等于1。 8%）假设1101000,1,210,11101T P A P P αβαβ-???? ?? ? ? ?==== ? ? ? ? ? ??????? ，求2008A 。四．（16%）已知矩阵3221 423A k k -?? ? =-- ? ?-?? 。 1. 求A 的特征值多项式。 2. 如果A 相似于对角阵，求参数k 的值； 3. 若A 相似于对角阵，求可逆矩阵P 及对角阵Λ，使得1P AP -=Λ； 4. 是否存在正交阵Q 使得T Q AQ 是对角阵？为什么？ 14%）假设,a b 是实数，二次型 2 22 1231231323(,,)22f x x x x x x ax x bx x =++++ 1．求二次型123(,,)f x x x 的矩阵A ； 2．求一可逆线性变换x Cy =将123(,,)f x x x 化成标准形； 3．问：当参数,a b 满足什么条件时，f 是正定的。 16%）设向量组1231111,3,114a ββ β?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????，12100,1b c αα??? ? ? ? == ? ? ? ????? 。 1. 如果向量组123,,βββ可以由12,αα线性表示，求参数a 的值，求向量组123 ,,βββ的秩及其一个极大线性无关组； 2. 如果12 3,,βββ与12,αα等价，求参数,,a b c 的值，并将123,,βββ中的每个向量表示成12,αα的线性组合。 8%）证明题（本题所涉及的数均是实数，所有矩阵均是实矩阵）： 1．设,A B 分别是n s ?、s n ?矩阵。若n s >，证明：齐次线性方程组0ABx =必有非零解。 2．假设n 维列向量α的长度1α<，证明：矩阵T A E αα=-是正定的。

线性代数期末考试试题含答案

线性代数期末考试试题含答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.

江西理工大学《线性代数》考题一、填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（）

(完整版)线性代数重要知识点及典型例题答案

线性代数知识点总结第一章行列式二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零；推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。克莱姆法则：非齐次线性方程组：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、齐次线性方程组：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:

线性代数期末考试试题(含答案)

江西理工大学《线性代数》考题一、填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（）（A ）任意r 个列向量线性无关

东南大学线性代数期末考试试卷B

共页第页东南大学考试卷（B 卷）课程名称线性代数考试学期 07-08-3 得分适用专业非电类工科专业考试形式闭卷考试时间长度 120分钟一．填空题（E 表示单位矩阵） 1．设12102,21111A B ???? == ? ?-???? ，则AB = ； 2．若矩阵435x A ?? = ??? 不可逆，则x 满足条件； 3．若矩阵A 满足2 32A A E O -+=，则1 A -= ； 4．若33?矩阵A 的特征值是1,2,1-，则矩阵1 23A A E -++的行列式 123A A E -++= ； 5．若矩阵12321045A x ?? ? = ? ??? 的秩为2，则参数x 满足条件； 6．假设A 是n s ?矩阵，齐次线性方程组0Ax =的基础解系中含t 个解，则齐次线性方程组0T A y =的基础解系中向量的个数为； 7．若1a α??= ???是矩阵120b A -??= ???的相应于特征值１的特征向量，则a b ??= ????? ??? ； 8．若二次型22 121212(,)2f x x x x tx x =++是正定的，则参数t 满足条件； 9．如果每个三维行向量都可以由()()()1,2,1,0,1,2,2,3,x -线性表示，则参数x 满足条件； 10．若矩阵122a ?? ???与矩阵0053?? ??? 相似，则参数a = 。

共页第页 8%）计算行列式1 2 34 111 111 1111 1 1 x x D x x = ，其中1234,,,x x x x 均不等于1。 8%）假设1101000,1,210,11101T P A P P αβαβ-?????? ? ? ?==== ? ? ? ? ? ??????? ，求2008A 。四．（16%）已知矩阵3 2 2 1423A k k -?? ? =-- ? ?-? ?。 1. 求A 的特征值多项式。 2. 如果A 相似于对角阵，求参数k 的值； 3. 若A 相似于对角阵，求可逆矩阵P 及对角阵Λ，使得1P AP -=Λ； 4. 是否存在正交阵Q 使得T Q AQ 是对角阵？为什么？ 14%）假设,a b 是实数，二次型 222 1231231323(,,)22f x x x x x x ax x bx x =++++ 1．求二次型123(,,)f x x x 的矩阵A ； 2．求一可逆线性变换x Cy =将123(,,)f x x x 化成标准形； 3．问：当参数,a b 满足什么条件时，f 是正定的。 16%）设向量组1231111,3,114a βββ?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???????，12100,1b c αα???? ? ?== ? ? ? ????? 。 1. 如果向量组123,,βββ可以由12,αα线性表示，求参数a 的值，求向量组123 ,,βββ的秩及其一个极大线性无关组； 2. 如果123 ,,βββ与12,αα等价，求参数,,a b c 的值，并将123,,βββ中的每个向量表示成2,αα的线性组合。 8%）证明题（本题所涉及的数均是实数，所有矩阵均是实矩阵）： 1．设,A B 分别是n s ?、s n ?矩阵。若n s >，证明：齐次线性方程组0ABx =必有非零解。 2．假设n 维列向量α的长度 1α<，证明：矩阵T A E αα=-是正定的。

线性代数总结材料汇总情况+经典例题

线性代数知识点总结 1 行列式（一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置），行列式的值不变（2）两行（列）互换，行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。（6）两行成比例，行列式的值为0。（二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则

7、n阶（n≥2）德蒙德行列式数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：（三）按行（列）展开 9、按行展开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式：

（1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则（7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则：（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵（一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一致；（2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律）

《经济数学》线性代数学习辅导与典型例题解析

《经济数学》线性代数学习辅导及典型例题解析第1-2章行列式和矩阵 ⒈了解矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算。矩阵的运算满足以下性质 ⒉了解矩阵行列式的递归定义，掌握计算行列式（三、四阶）的方法；掌握方阵乘积行列式定理。是同阶方阵，则有：若是阶行列式，为常数，则有： ⒊了解零矩阵，单位矩阵，数量矩阵，对角矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，初等矩阵的定义及性质。

⒋理解可逆矩阵和逆矩阵的概念及性质，掌握矩阵可逆的充分必要条件。若为阶方阵，则下列结论等价可逆满秩存在阶方阵使得 ⒌熟练掌握求逆矩阵的初等行变换法，会用伴随矩阵法求逆矩阵，会解简单的矩阵方程。用初等行变换法求逆矩阵：用伴随矩阵法求逆矩阵：（其中是的伴随矩阵）可逆矩阵具有以下性质： ⒍了解矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。将矩阵用初等行变换化为阶梯形后，所含有的非零行的个数称为矩阵的秩。典型例题解析例1 设均为3阶矩阵，且，则。解：答案：72 因为，且

所以例2设为矩阵，为矩阵，则矩阵运算（）有意义。解：答案：A 因为，所以A可进行。关于B，因为矩阵的列数不等于矩阵的行数，所以错误。关于C，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。关于D，因为矩阵与矩阵不是同形矩阵，所以错误。例3 已知求。分析：利用矩阵相乘和矩阵相等求解。解：因为得。

例4 设矩阵求。解：方法一：伴随矩阵法可逆。且由得伴随矩阵则=

方法二：初等行变换法注意：矩阵的逆矩阵是唯一的，若两种结果不相同，则必有一个结果是错误的或两个都是错误的。例4 设矩阵求的秩。分析：利用矩阵初等行变换求矩阵的秩。解：。

线性代数行列式经典例题

线性代数行列式经典例题例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列．方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式:

历年自考线性代数试题真题及答案分析解答

全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．已知2阶行列式m b b a a =2 1 21， n c c b b =2 1 21，则 =++2 21 121c a c a b b （ B ） A ．n m - B ．m n - C ．n m + D ．)(n m +- m n n m c c b b a a b b c a c a b b -=+-=+ = ++2 1 212 1 212 21 121． 2．设A , B , C 均为n 阶方阵，BA AB =，CA AC =，则=ABC （ D ） A ．ACB B ．CAB C ．CBA D ．BCA BCA CA B AC B C BA C AB ABC =====)()()()(． 3．设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且1||=A ，2||-=B ，则行列式||||A B 之值为（ A ） A ．8- B ．2- C ．2 D ．8 8||)2(|2|||||3-=-=-=A A A B ． 4．????? ??=3332 312322 21131211a a a a a a a a a A ，????? ??=3332 312322 211312 11333a a a a a a a a a B ，????? ??=100030001P ，??? ? ? ??=100013001Q ，则=B （ B ） A ．PA B ．AP C ．QA D ．AQ ????? ??=3332312322 211312 11a a a a a a a a a AP ????? ??100030001B a a a a a a a a a =??? ? ? ??=3332312322 211312 11333． 5．已知A 是一个43?矩阵，下列命题中正确的是（ C ） A ．若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩(A )=2 B ．若A 中存在2阶子式不为0，则秩(A )=2 C ．若秩(A )=2，则A 中所有3阶子式都为0 D ．若秩(A )=2，则A 中所有2阶子式都不为0 6．下列命题中错误．．的是（ C ） A ．只含有1个零向量的向量组线性相关 B ．由3个2维向量组成的向量组线性相关

东南大学线性代数几何代数历年试题

- 8 - 04-05学年第二学期几何与代数期终考试试卷一、 (24%)填空题 1．以(1,1,2)A ，(2,1,1)B --，(1,1,1)C --为顶点的三角形的面积为； 2．设3阶矩阵12(,,)A ααα =，23131(,2,)B ααααα=+-。若A 的行列式3A =，则B 的行列式B = ； 3．若向量(1,0,1)α=，(2,1,1)β=-，(1,1,)k γ=-共面，则参数k = ； 4．若A 为n 阶方阵，则方阵2I O B A I ??= ??? 的逆矩阵1B -= ；

- 9 - 5．已知向量111η?? ?= ? ??? 是矩阵11201122a A ?? ?= ? ?-??的特征向量，则参数a = ，相应的特征值等于； 6．假设矩阵1000A ??= ??? ，则在实矩阵11001110,,,,11021101B C D E ????????==== ? ? ? ?--???????? 1300F ??= ??? 中，与A 相抵的有；与A 相似的有；与A 相合的有．二、（8%）计算行列式121 111 x x x x x x x x x x ．三、（10%）假设 200110102A ?? ?= ? ??? ，121210B -??= ?-??，求矩阵方程3X B XA =+的解．

- 10 - 四、（14%）假设矩阵 1101011A λλλ?? ?=- ? ???，000θ?? ?= ? ???，11a b ?? ?= ? ??? ． 1．已知齐次线性方程组Ax θ=的基础解系中有两个线性无关的解向量．试确定这时参数λ的值，并求这时Ax θ=的一个基础解系． 2．若在非齐次线性方程组Ax b =的解集中，存在两个线性无关的解向量，但不存在更多的线性无关的解向量，试确定这时参数λ及a 的值，并求Ax b =的通解．五、（10%）已知直线l 过点(1,1,1)P ，与平面 :1 x y z π+-=平行，且与直线1121 x y z λ- ==：相交。求直线l 的方向向量，并写出直线l 的方程．六、（10%）假设二次曲面1π的方程为： 2242x y z +=；平面2π的方程为：1x z =-．

四川大学2014级线性代数期末测验题(A卷)

四川大学2014级线性代数期末测验题(A 卷) 姓名:__________,学号:___________________，学院:___________,教师:杨荣奎分）分填空题一1553(.=×._______3A 2500230052A 3.123=?? ?????????A ，则相似于矩阵阶矩阵若.______003,14042531.2==≠? ?????????=a AB B a A ，则，满足阶矩阵若存在设. ____83344),,(.32322212332223121321=?+=?+?+?=a y y y QY X x x ax x x x x x x x x f ，则化为标准形变换可经过正交设实二次型._________32,211-101.421212的过渡矩阵为到基，的基从?? ????=??????=??????=??????=ββααR . ___,2),,(,),1,1,2(,)2,0,1,1(,01-21.532132T 1=====a rank a T T 则若），，，（设αααααα分分选择题二1553(.=×). ().(;)().(); ().(;).(. 0][)0(,,,2)(,4.132132122113221132211321βββββββββββββββββ?++?+++?+=≠==×k D k k k k C k k B k k A AX AX A rank m A 的通解为向量，则的三个线性无关解为矩阵是设.,,,).(;,,,).(; ,,,).(;,,,).(][ ,,,.2144332211443322114433221144332214321αααααααααααααααααααααααααααααααααααα??++?+++????++++D C B A 线性无关。线性无关，则向量组已知向量组. )().(;)2()5(n ).(;)2-(5-().(;25).(]. [,0103:A .32n A rank D n E A rank E A k ra C n E A rank E A rank B E A E A A E A A n ==++?=?++?===??）或则下列结论不正确的是满足阶矩阵设.3).(; 2).(;1).(;0).(]. [)2(,)(3,23.421D C B A A E rank A A A =?==则相似于对角阵，若一重（二重）的特征值为阶矩阵，为设λλ; ).().A ].[ .5合同矩阵等价合同矩阵的秩相同；（下列命题中不正确的是B

线性代数第三章习题与答案(东大绝版)

第三章习题与答案习题 A 1.求向量123(4,1,3,2),(1,2,3,2),(16,9,1 ,3)T T T =--=-=-ααα的线性组合12335.+-ααα 解 12341161293535331223?????? ? ? ? ? ? ?+-=+- ? ? ?-- ? ? ?-??????ααα1251613109491512561037???????? ? ? ? ? ? ? ? ?=+-= ? ? ? ?--- ? ? ? ?--???????? . 2.从以下方程中求向量α 1233()2()5()-++=+αααααα，其中123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1 ,1,1).T T T ===-ααα 解由方程得1233322550-++--=αααααα， 1232104651112 632532515118310124???????? ? ? ? ? ? ? ? ?=+-=+-= ? ? ? ?- ? ? ? ?????????αααα 故12 34?? ? ?= ? ??? α,即(1,2,3,4)T =α. 3.求证:向量组12i s α,α,,α,α 中的任一向量i α可以由这个向量组线性表出. 证 120010(1,2,,)i i s i s =+++++= ααααα 4.证明: 包含零向量的向量组线性相关. 证设向量组为1211α,α,,α,0,α,,αi i s -+ ,则有 12110α0αα00α0α0,0i i s k k -++++++++=≠ 而0,0,,0,,0,,0k 不全为0,故向量组线性相关. 5.设有m 个向量12α,α,,αm ,证明: 若αα()i j i j =≠,则向量组12α,α,,αm 线性相关. 证显然有1210α0αα0α()α0α0,0i i j m k k k +++++++-++=≠ , 而0,,0,,0,,0,,0,,0k k - 不全为0.故向量组线性相关. 6.判断下列向量组的线性相关性

四川大学数一二线性代数期末考试试卷A

第页共6页 1 四川大学期末考试试卷(A ) 科目：《大学数学》（线性代数）一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 2 32 32 3 a a a b b b c c c = __abc()_____. 2．向量组1(2,5,5)α=,2(2,0,1)α=,3(2,3,1)α=,4(7,8,11)α=-线性___ ____. 3．设A =378012002?? ??-????-?? , A *是A 的伴随矩阵, 则 |1 5-A*| = _________. 4．当t 满足______的条件时, 2 2 2 12311223(,,)222f x x x x tx x x x =+++为正定二次5．设A, B 都是3阶矩阵, 秩(A )=3, 秩(B )=1, C =AB 的特征值为1, 0, 0, 则C =AB __相似对角化.

第页共6页 2 二、选择题（每小题3分，共15分） 1．设矩阵,23?A ,32?B 33?C , 则下列式子中, ( )的运算可行. (A) AC; (B) C AB -; (C) CB ; (D) BC CA -. 2．设D=123 012247 -, ij A 表示D 中元素ij a 的代数余子式, 则3132333 A A A ++= ( ) .(A) 0； (B) 1; (C) 1-; (D) 2 . 3．设A 为4m ?矩阵, 秩(A)=2, 123,,X X X 是非齐次线性方程组AX =β的三个线性无关解向量, 则( )为AX =0的通解. (A) 11223;k X k X X +- (B) 123();X k X X +- (C) 1122123(1);k X k X k k X ++-- (D) 1122123().k X k X k k X +-+ 4．设A,B,C 都为n 阶矩阵, 且|AC|≠0, 则矩阵方程AXC=B 的解为( ). (A) 1 1 --=BC A X ; (B) 1 1 --=C BA X ; (C) 1 1 --=A BC X ; (D) 1 1 --=BA C X . 5．设A 为n 阶方阵,A 可以相似对角化的( )是A 有n 个不同的特征值. (A) 充分必要条件 (B) 必要而非充分的条件 (C) 充分而非必要的条件 (D) 既不充分也非必要的条件三、计算下列各题(每小题10分，共30分) 1．计算行列式 1112 0132.1223 1 420 ------

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