三角函数公式与方法汇总

一、三角函数的基本概念和同角三角函数关系

(一)知识内容

1. 角的概念的推广

⑴角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.其中顶点，始边，

终边称为角的三要素.角可以是任意大小的.

⑵角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角.

①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角； ②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；

③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角. ⑶在直角坐标系中讨论角：

①角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第

几象限角.

②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角.

2.终边相同的角的集合：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为{}360,Z S k k ββα==+??∈.集合S 的每一个元素都与α的终边相同，当0k =时，对应元素为α.

3.弧度制和弧度制与角度制的换算

⑴角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度

叫做角度制.

<教师备案>一些特殊角的度数与弧度数的对应表：

板块一：任意角的概念与弧度制

⑵1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.任一已知角α的弧度数的绝对值l

r

α=，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制.

⑶弧度与角度的换算：180πrad = ，1801rad 57.305718π???

'=≈?=? ???

板块二：任意角的三角函数

(一）知识内容

1.三角函数定义

在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，

它与原点的距离为(0)r r =>，那么 ⑴比值

y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y

r α=； ⑵比值

x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x r

α=； ⑶比值

y x

叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；

⑷比值

x y

叫做α的余切，记作cot α，即cot x

y α=；

⑷比值

r x 叫做α的正割，记作sec α，即sec r

x

α=； ⑸比值

r y

叫做α的余割，记作csc α，即csc r y α=.

2.三角函数的定义域、值域

3.由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知： ⑴正弦值

y

r

对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）；

⑵余弦值

x

r

对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）；

⑶正切值

y

x

对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）. 可以用下图表示：

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值.

4.同角三角函数的基本关系式：

平方关系：22sin cos 1x x +=，22sec tan 1x x -=，22csc cot 1x x -= 商数关系：

sin tan cos x x x =，cos cot sin x

x x

= 倒数关系：111

sec ,csc ,tan cos cos cot x x x x x x

=

==

6.诱导公式：

⑴角α与2π()k k α+?∈Z 的三角函数间的关系；

sin(2π)sin k αα+=,cos(2π)cos k αα+=,tan(2π)=tan k αα+;

⑵角α与α-的三角函数间的关系；

sin()sin αα-=-,cos()cos αα-=,tan()tan αα-=-;

⑶角α与(21)π()k k α++∈Z 的三角函数间的关系；

[]sin (21)πsin k αα++=-,[]cos (21)πcos k αα++=-,[]tan (21)πtan k αα++=;

⑷角α与2

π

α+

的三角函数间的关系.

πsin cos 2αα??+= ???,πcos sin αα??+=- ???,πtan cot αα?

?+=- ??

?.

4.三角函数式的化简与三角恒等式的证明是个难点，需要学生熟悉并灵活运用所学的公式与知识，一般情况下，化简的基本思路是：减少角的种数，减少三角函数的种数，适当配凑和拆分，统一切割化弦等等.

二、三角函数的图象与性质

（一）知识内容

⑴单位圆：

半径等于单位长的圆叫做单位圆.设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x 轴交点分别为(1,0)A ，(1,0)A '-，而与y 轴的交点分别为(0,1)B ，(0,1)B '-.由三角函数的定义可知，点P 的坐标为(cos ,sin )αα，即(cos ,sin )P αα.其中cos OM α=，sin ON α=

.

α)

这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和

纵坐标.过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T （或T '），则tan AT α=(或AT '). ⑵有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.具有方向的线段叫做有向线段.

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负. ⑶三角函数线的定义：

板块一：任意角的概念与弧度制

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点

P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的

终边或其反向延长线交与点T .我们就分别称有向线段MP ，OM

，AT 为正弦线、

余弦线、正切线.

(一) 知识内容

1.

2.函数()

()sin 0,0,y A x A x ω?ω=+>>∈R 的图象的作法――五点法

①确定函数的最小正周期2π

T ω

=；

②令x ω?+＝0、π

2

、π、

3π2、2π，

得x ?ω=-、1π()2?ω-、1(π)?ω-、13π()2

?ω-、1(2π)?ω-，于是得到五个关键点(,0)?ω-、1π((),1)2?ω-、1

((π),0)?ω-、13π((),1)2?ω--、1

((2π),0)?ω

-； ③描点作图，先作出函数在一个周期内的图象，然后根据函数的周期性，把函数在一个

板块一：三角函数的图象

周期内的图象向左、右扩展，得到函数()()sin 0,0,y A x A x ω?ω=+>>∈R 的图

象．

3.()()sin 0,0,y A x A x ω?ω=+>>∈R 的图象

函数()

()sin 0,0,y A x A x R ω?ω=+>>∈的图象可以用下面的方法得到：先把

sin y x = 的图象上所有点向左(0)?>或向右(0)?<平行移动||?个单位；再把所

得各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长(01)ω<<到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变）；再把所

得的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变），从而得到sin()y A x ω?=+的图象．当函数sin()y A x ω?=+表示一个振动量时：A 叫做振幅；T 叫做周期；

1

T

叫做频率；x ω?+叫做相位，?叫做初相．

上面是一种函数的平移缩放的过程，可以用这种方法来把一种三角函数转换成另外一种三角函数．下面把这个过程分解一下： (1)相位变换

要得到函数sin()(0)y x ??=+≠的图象，可以令x x ?=+，也就是原来的x 变成了现在的x ?+，相当于x 减小了(0)??<，即可以看做是把sin y x =的图象上的各点向左(0)?>或向右(0)?<平行移动||?个单位而得到的．这种由

sin y x =的图象变换为sin()y x ?=+的图象的变换，使相位由x 变为x ?+，我

们称它为相位变换．它实质上是一种左右平移变换． (2)周期变换

要得到函数sin (0,1)y x ωωω=>≠的图象，令x x ω=，即现在的x 缩小到了原来的ω倍，就可以看做是把sin y x =的图象上的各点的横坐标缩短(1)ω>或伸长

(01)ω<<到原来的

1

ω

倍（纵坐标不变）得到，由sin y x =的图象变换为sin y x

ω=的图象，其周期由2π变为2π

ω

，这种变换叫周期变换．周期变换是一种横向的伸缩．

(3)振幅变换

要得到sin (0,1)y A x A A =>≠且的图象，令y

y A

=

，即相当于y 变为原来的A 倍，也就是把sin y x =的图象上的各点的纵坐标伸长(1)A >或缩短(01)A <<到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的．这种变换叫做振幅变换．振幅变换是一种纵向的伸缩．

(一）知识内容

<教师备案>1．函数图象平移基本结论小结如下：

(0)

()()a a y f x y f x a >=??????→=+左移个单位

(0)

()()a a y f x y f x a >=??????→=-右移个单位

(0)

()()a a y f x y a f x >=??????→-=上移个单位

(0)

()()a a y f x y a f x >=??????→+=下移个单位

1

()()y f x y f x ω

ω=????????→=各点横坐标变成原来的倍

()()y f x Ay f x =→=1

各点纵坐标变成原来的倍

A

()()x y f x y f x =????→-=绕轴翻折

这些新的解析式可以由图象上任意一点变换后的对应关系得出，以左移

a 个单位的解析式变化为例：

设00(,)P x y 为()y f x =左移a 个单位后所得图象上的任意一点，则将Ｐ右移a 个单位得到的00'(,)P x a y +必在()y f x =的图象上，故00()y f x a =+，又00(,)P x y 点任意，故()y f x =的图象左移a 个单位得到的新的函数的解析式为：()y f x a =+．

板块二：三角函数图象变换

()()

y f x y f x =????→=-绕y 轴翻折

函数变换可以用下图表示：

板块三：三角函数的性质

1.三角函数的性质

2.sin

=的性质

y x

=与sin

y x