答案：3.大学生数学竞赛模拟题三2015.9.4
答案：大学生数学竞赛模拟题三
一、填空题(共有5小题，每小题6分，共30分) 1.
20()0sin ()lim 2(0)'(0).x f x x x f x f f x x
→=??+= ???已知函数在的某个邻域内有连续导数，且，求及
2.
222()(1)(3)()y x x x x y y x =--=设，讨论曲线有几个拐点并说明理由.
3.
20(),()()(),()2e ()(0)0,(0)2,
()()d .1(1)x f x g x f x g x g x f x f g g x f x x x x π''==-==??-??++?
??设函数满足且求
2220000()()()()2e ().()()2e (0)0(0)2()sin cos e .()()()(1)()()(1)()d d d 1(1)(1)(1)()()d 11x x x f x g x f x g x f x f x f x f f f x x x g x f x g x x f x f x x f x x x x x x x x f x f x x x π
πππ''''=
==-''?+=?
=??'=?
=-+'??
+-+--==??++++??==++???
?解：由得于是有解之得又
0()1e (0).11f f πππππ+=-=++
4. 2221112121
.22
n n n n n n n x ∞
∞
--==--∑∑求幂级数的和函数，并求级数的和
5.
4440
ln sin()d ln cos d ln(1tan )d .4
x x x x x x π
πππ
+
=+???说明，并计算
二、(本题满分12分)
()[0,](0,)()0.444(0,)2()sin 2'()0
4
f x f f f πππ
π
ξξξξ=∈+=设在上连续，在内可导，且证明：存在一点，使
2()()tan ()[0,]4(0,)()0()tan ()sec 04
2()sin 2'()0.
F x f x x F x F f f f f π
π
ξξξξξξξξξ=''∈=+=+=证构造函数则在上满足罗尔定理条件，
至少存在一点，使，即化简得
三、(本题满分14分)
()()1
(),()e e ,'(0)e,'()()e a b x f x a b f a b f b f a f f x f x ++=+==+设函数对所有的实数满足：且证明：10000e )(1)()0(e 1
e lim
)()0()(lim e )
()(e )(e lim
)()(lim )(0
)0(0+?→?→??→?→?+=?+'=?-+?-?=?-+?=?-?+='===x x x
x x x x x x x x f x f f x x f x f x f x
x f x f x f x x f x x f x f f b a 得，解：令
四、(本题满分14分)
22()d ()d cos (,)(,)L x y x x y y
x y
L y x A B πππππ+--+=---?
计算，其中是沿由到的曲线段.
.2
3
2d cos )sin cos ()sin )(sin cos (d )(d )(,2d 12d d )(d )(.
.
0.,),(,),()1(202
sin cos 2
2022222
22
222πππ
π
ππππ
ππ
π
π
-=∴-=---++--+=+=+-+--++
=
=+
+
??=??+--=++=
?=????=?
?
?
?
?
?
?
??==--=I t R
t
R t R t R t R t R t R y x y
y x x y x x x x x x y x y y x x y x x
Q
y P y
x y x y x Q y x y x y x P t R y t
R x c
AB
y c AB
L
c BA
L
逆
顺
所以
故由格林公式则
解
五、(本题满分15分)
222222222()0(0).()()d ()'().
F x t z x y x y z t t F t f x y z V F t F t Ω
>Ω=+++=>=++???设为连续函数，，区域是由抛物线和球面所围起来的部分定义三重积分，求的导数
六、(本题满分15分)
2222221(0)(,)(,)2()(e )d d (e )d d [(,)2e ]d d (,).
x x x x y z z f x y f x y x y x z y z y z z x zf x y x y f x y ∑
∑++=≥=-+++++-??设为的外侧，连续函数满足：
，
求