四年级奥数教程(十)列方程解应用题
课题：列方程解应用题
列方程解应用题时，由于引进了字母x，所以在分析应用题时，不必绕过未知数，而把未知数暂时看做已知数，直接参列式运算，这样的解题思路更加直截了当，减低了思维难度，适用面广，特别是用算术方法需要逆解得问题，用方程解往往比较容易.
列方程解应用题时，一般按下面的步骤进行：、
（1）弄清题意，找到未知数并有x表示
（2）找到应用题中数量间的相等关系后列方程
（3）解方程
（4）检验，写出答案
例1 班上有37名学生，分成人数相等的两队进行拔河比赛，敲好余3人当裁判，每个队多少人？
分析这个问题怎样解呢?我们可以采用两种方法：一种方法是直接列算式，另一种方法是列方程求解.前者叫算术解法，后者叫做方程解法.
解法一（算术解法）
两队的人数：37 - 3 = 34（人）
每队的人数：34÷2 = 17 （人）
或者列一个综合算式：
（37 - 7）÷2 = 34÷2 = 17（人）
解法二（方程法）
设每队有x人，两队就有x2人，加上余下的3人，就是全班37人，根据题意，列方程得：
+
2=
x
3
37
解方程得
x
=
17
所以，每个队有17人.
说明小学学过的应用题，既可以用算术方法解，也可以用方程方法解，有时候算术方法容易些，有时候大数方法容易些，但是，随着学习的深入，遇到的问题也就是越来越复杂，将会看到，使用方程解应用题的优越性越来越大.
例2 10箱苹果比6箱梨重54千克，每箱梨重16千克，每箱苹果重多少千克？
解法一设每箱苹果重x千克，根据数量关系
10箱苹果的重量 - 6箱梨的重量 = 54千克
列方程得
-
?
x
16
54
10=
6
=
x
?
10+
54
6
16
x
150
10=
x
=
15
答每箱苹果重15千克.
解法二设每箱苹果重x千克，根据题意数量关系
10箱苹果的重量 - 54千克 = 6箱梨的重量
列方程得
10?
x
-
=
54
6
16
x
15
=
解法三设每箱苹果重x千克，根据数量关系
6箱梨的重量 + 54千克 = 10箱苹果的重量
列方程得
+
?
16=
6
10
54
x
x
=
15
解法四设每箱苹果重x千克，根据数量关系
列方程得
÷
?x
16
+
(=
6
10
)
54
x
15
=
说明我们从不同的角度思考，列出了四种不同形式的方程，他们彼此联系，形同异质.
随堂练习1
（1）果园里有梨树和桃树，桃树的棵树是梨树的5倍，比梨树多480棵，梨树和桃树各多少棵？
（2）汽车上共有15000千克梨，卸下600千克之后，还有45箱，每箱梨重多少？
例3 父亲今年32岁，儿子今年5岁，几年之后，父亲的年龄正好是儿子的年龄的4倍？
分析此题与前几期所讲的和差问题有些类似，但不属同一类问题，因为并没有直接告诉几年后，父亲与儿子的总年龄，所以和差方法不大适用.
这道题用方程解非常简单，数量关系是：儿子的年龄×4 = 父亲的年龄.不过要注意，关系式中的年龄均指几年后的年龄，并且儿子与父亲的年龄是同步增长的.
解设x年后父亲的年龄是儿子年龄的4倍，到那时，父亲年龄是（32 + x）岁，儿子年龄是（5 + x）岁.
根据题意列方程得
=
+
+x
x
32?
)
4
5(
=
+
32+
x4
20
x
32+
=
20
3
x
12=
x
3
4
x
=
即4
x
=
答 4年后父亲的年龄是儿子的4倍.
例4 甲、乙两人生产零件，甲生产了8小时，乙生产了6小时，甲比乙多生产了88个，已知甲每小时比乙少生产2个，求乙每小时生产多少个？
分析 88个零件是甲8小时产量与6小时产量之差，根据这个数量关系列方程，关键是要知道甲、乙每小时各生产多少个.从题目条件中已知“甲每小时比乙少生产2个”，可设乙每小时生产x个，则甲每个小时生产)2
x个.这样，就可以列出方程，求出乙的工作
(-
效率.
解设乙每小时生产x个，那么甲每小时生产)2
x个，根据题意得
(-
?
-x
x
(=
-
88
8
6
)2
-x
x
-
6
8=
88
16
x
=
88
2+
16
x
2=
104
x
52
=
答乙每小时生产52个.
随堂练习2
（1）一个畜牧场，每天生产牛奶和羊奶共2346千克，生产的牛奶量时羊奶的5倍，问：每天生产羊奶和牛奶各多少千克？
（2）两个车间共有工人68人，如果从第一车间调6名到第二车间，两车间人数就相等.求两个车间原有人数.
例5 已知篮球、足球、排球平均每个36元，篮球比排球每个多10元，足球比排球每个多8元，每个足球多少元？
分析 因为题中篮球、足球都与排球进行比较，所以把排球的单价设为x 元，这样篮球和足球的单价可分别表示为)10(+x 元和)8(+x 元，三种球各买一个的总价为)8()10(++++x x x 元，另一方面，由已知篮球、足球、排球平均每个36元知三种球各买一个的总价为36×3 = 108元，这就可以列出方程，求出排球的单价就能求出足球的单价. 解 设每个排球x 元，根据题意得方程
636)8()10(?=++++x x x
108183=+x
30=x
则足球每个30 + 8 = 38（元）
答 每个足球38元.
说明 此题如果直接假设每个足球x 元，则稍繁一些.
例6 有四个数，从中每次取出三个数相加，得到的和分别是22,24,27,20.求这四个数各是多少？
分析 如果直接设这四个数，显然一个未知数不够用，我们没讲过这种设法，那我们试着设四个数的和为x ，则这四个数就可分别表示为22-x ，24-x ，27-x ，20-x .从而不难列出方程.
解 设这四个数的和为x ，则
x x x x x =-+-+-+-)20()27()24()22(
化简得 x x =-934
解得 31=x
922=-x ，724=-x ，427=-x ，1120=-x
答 这四个数分别为 4， 7， 9， 11.
说明 以上两题属间接设未知数法，当不能或难以直接设未知数时，常用这种方法.
随堂练习3
（1）小张其中考试，考了四门功课，语文78分，自然83分，历史81分，数学分数比四门课的平均分多7分，数学考了多少分？
（2）甲、乙两地相距180千米，一人骑自行车从甲地除法每小时走15千米，另一人骑摩托车从乙地同时出发，两人相向而行.已知摩托车速度是自行车的3倍，问：多少小时后两人相遇？
课时小结
本课在前期课程的基础上，对方程进行了应用，难度更大，要求有较高的分析题目能力，能从题目中找到等量关系，然后列方程，可以说这个功夫不是一朝就能学成，要学生经过长期的数学沉淀，有良好的数学感觉才能很快做到。本节课主要是老师带着学生分析题目，使学生明白方程带来的方便，学生做题目的同时，老师要从旁辅助，不要求一下子全部掌握，毕竟学习也是一个循序渐进的过程。
作业
一、填空题
1、根据“x的3倍与5的和等于x的10倍与7倍的差”所列出的方程是______________.
2、某数的3倍加上8与这个数的10倍减10相等，这个数是____________________.
3、某班有女生25人，比男生的3倍少20人，这个班有_________人.
4、是乙的4倍，若两数各减去20，则甲是乙的6倍，原来甲是_______，乙是______.
5、奶奶今年56岁，恰好是小芳年龄的7倍，______年后奶奶年龄是小芳的3倍.
6、一次数学竞赛共15道题，没做对一道得8分，做错一道倒扣4分，李晓明所有题目都做了，但只得了72分，他做对了___________道题.
二、选择题
7、某数的5倍减14风雨它的2倍加4，那么这个数是（）
A.8
B.6
C.4
D.9
8、用一匹布做旗子，若做4面就多出12米，若做6面就少4米，那么这匹布长（）
A.44米
B.28米
C.48米
D.36米
9、小亮与父亲五年后的年龄和为45岁，父亲今年年龄恰好是小亮年龄的6倍，小亮5年后年龄为（）
A.5岁
B.7岁
C.10岁
D.13岁
10、甲袋中球数是乙袋中球数的6倍，从甲袋中拿出13个球后等于乙袋放入12个球后的球数，那么乙袋中原来有球（）
A.30个
B.5个
C.18个
D.25个
三、简答题
11、全区各小学共配备计算机570台，其中5所小学每校30台，其余各学校每校20台，全区共有多少所小学？
12、有70块糖，三个小朋友分，第一个分的糖数是第二个的2倍，第二个分的糖数是第三个的2倍，最后还省7块糖没分，问：每个小朋友各分得几块糖？
13甲、乙两人从相距240千米的两地同时出发，相向而行，3小时相遇，已知甲每小时行50千米，乙每小时行多少千米？