相似与位似 备考专题复习(解析版)
中考备考专题复习:相似与位似
一、单选题(共12题;共24分)
1、下列各组线段长度成比例的是()
A、1cm、2cm、3cm、4cm
B、1cm、3cm、4.5cm、6.5cm
C、1.1cm、2.2cm、3.3cm、4.4cm
D、1cm、2cm、2cm、4cm
2、如图,点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),下列结论错误的是()
A 、
B、BC2=AB?BC
C 、=
D 、≈0.618
3、设(2y﹣z):(z+2x):y=1:5:2,则(3y﹣z):(2z﹣x):(x+3y)=()
A、1:5:7
B、3:5:7
C、3:5:8
D、2:5:8
4、如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点,边OA在x轴上,OC在y轴上,如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的,那么点B′的坐标是()
A、(-2,3)
B、(2,-3)
C、(3,-2)或(-2,3)
D、(-2,3)或(2,-3)5、已知k=,且+n2+9=6n,则关于自变量x的一次函数y=kx+m+n 的图象一定经过第()象限.
A、一、二
B、二、三
C、三、四
D、一、四
6、在△ABC中,AB=AC=1,BC=x,∠A=36°.则的值为()
A 、
B 、
C、1
D 、
7、线段AB=10cm,点C是线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则AC与AB的关系是()
A、AC=AB
B、AC=AB
C、AC=AB
D、AC=AB
8、如图,已知在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,DE∥BC ,EF∥AB ,且AD:DB=3:5,那么CF:CB等于()
.
A、5:8
B、3:8
C、3:5
D、2:5
9、在△ABC中,AB=12,BC=18,CA=24,另一个和它相似的△DEF最长的一边是36,则△DEF 最短的一边是()
A、72
B、18
C、12
D、20
10、如图,在5×5的正方形方格中,△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上,作一个与△ABC相似的△DEF ,使它的三个顶点都在小正方形的顶点上,则△DEF的最大面积是()
.
A、5
B、10
C 、
D 、
11、(2016?泰安)如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,∠B=30°,CE平分∠ACB交⊙O 于E,交AB于点D,连接AE,则S△ADE:S△CDB的值等于()
A、1:
B、1:
C、1:2
D、2:3 12、(2016?台湾)如图的矩形ABCD中,E点在CD上,且AE<AC.若P、Q两点分别在AD、AE上,AP:PD=4:1,AQ:QE=4:1,直线PQ交AC于R点,且Q、R两点到CD的距离分别
为q、r,则下列关系何者正确?()
A、q<r,QE=RC
B、q<r,QE<RC
C、q=r,QE=RC
D、q=r,QE<RC
二、填空题(共5题;共5分)
13、已知△ABC∽△DEF,∠A=∠D,∠C=∠F且AB:DE=1:2,则EF:BC=________.
14、△ABC中,∠A=90°,AB=AC ,BC=63cm,现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条,如图所示,已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是从下往上数第
________张.
15、(2016?苏州)如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B的坐标分别为(8,0)、(0,
2 ),C是AB的中点,过点C作y轴的垂线,垂足为D,动点P从点D出发,沿DC向点C匀速运动,过点P作x轴的垂线,垂足为E,连接BP、EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时,
点P的坐标为________
16、(2016?宜宾)如图,在边长为4的正方形ABCD中,P是BC边上一动点(不含B、C两点),将△ABP沿直线AP翻折,点B落在点E处;在CD上有一点M,使得将△CMP沿直线MP翻折后,点C落在直线PE上的点F处,直线PE交CD于点N,连接MA,NA.则以下结论中正确的
有________(写出所有正确结论的序号)
①△CMP∽△BPA;
②四边形AMCB的面积最大值为10;
③当P为BC中点时,AE为线段NP的中垂线;
④线段AM的最小值为
2 ;
⑤当△ABP≌△ADN时,
BP=4 ﹣4.
17、(2016?昆明)如图,反比例函数y= (k≠0)的图象经过A,B两点,过点A作AC⊥x轴,垂足为C,过点B作BD⊥x轴,垂足为D,连接AO,连接BO交AC于点E,若OC=CD,四边形BDCE的面积为2,则k的值为________.
三、作图题(共1题;共5分)
18、(2016?陕西)如图,已知△ABC,∠BAC=90°,请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC 分成两个相似的三角形(保留作图痕迹,不写作法)
四、解答题(共4题;共20分)19、已知:如图,△ABC∽△ADE ,∠A=45°,∠C=40°.求:∠ADE的度数.
20、如图,点D、E分别在△ABC的边AB、AC上,且AB=9,AC=6,AD=3,若使△ADE与△ABC 相似,求AE的长.
21、(2016?南海区校级模拟)如图,已知△ABC.只用直尺(没有刻度的尺)和圆规,求作一个△DEF,使得△DEF∽△ABC,且EF=BC.(要求保留作图痕迹,不必写出作法)
22、(2016春?薛城区期中)在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,﹣4),B(3,﹣2),C(6,﹣3).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
(2)以M点为位似中心,在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2,使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2:1;
(3)若每一个方格的面积为1,则△A2B2C2的面积为.
五、综合题(共2题;共25分)
23、(2016?邵阳)尤秀同学遇到了这样一个问题:如图1所示,已知AF,BE是△ABC的中线,且AF⊥BE,垂足为P,设BC=a,AC=b,AB=c.
求证:a2+b2=5c2
该同学仔细分析后,得到如下解题思路:
先连接EF,利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA,故
,设PF=m,
PE=n,用m,n把PA,PB分别表示出来,再在Rt△APE,Rt△BPF中利用勾股定理计算,消去m,n即可得证
(1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程.
(2)利用题中的结论,解答下列问题:在边长为3的菱形ABCD中,O为对角线AC,BD的交点,E,F分别为线段AO,DO的中点,连接BE,CF并延长交于点M,BM,CM分别交AD于点G,H,如图2所示,求MG2+MH2的值.
24、(2016?衢州)如图1,在直角坐标系xoy中,直线l:y=kx+b交x轴,y轴于点E,F,点B 的坐标是(2,2),过点B分别作x轴、y轴的垂线,垂足为A、C,点D是线段CO上的动点,以BD为对称轴,作与△BCD或轴对称的△BC′D.
(1)当∠CBD=15°时,求点C′的坐标.
(2)当图1中的直线l经过点A,且k=﹣
时(如图2),求点D由C到O的运动过程中,线段
BC′扫过的图形与△OAF重叠部分的面积.
(3)当图1中的直线l经过点D,C′时(如图3),以DE为对称轴,作于△DOE或轴对称的△DO′E,连结O′C,O′O,问是否存在点D,使得△DO′E与△CO′O相似?若存在,求出k、b的值;若不存在,请说明理由.
答案解析部分
一、单选题
【答案】D
【考点】比例线段
【解析】【解答】A、1×4≠2×3,故错误;
B、1×6.5≠3×4.5,故错误;
C、1.1×4.4≠2.2×3.3,故错误;
D、1×4=2×2,故正确.
故选D.
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积,则四条线段叫成比例线段.依次分析各项即可.
【答案】B
【考点】黄金分割
【解析】【解答】∵AC>BC,
∴AC是较长的线段,
根据黄金分割的定义可知:AB:AC=AC:BC,故A正确,不符合题意;
AC2=AB?BC,故B 错误,=,故C 正确,不符合题意;≈0.618,故D正确,不符
合题意.
故选B.
【分析】本题主要考查了黄金分割,应该识记黄金分割的公式:较短的线段=原线段的倍,较长的线段=原线段的倍,把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值()叫做黄金比.
【答案】B
【考点】分式的化简求值,比例线段
【解析】【解答】由已知,得
2(2y﹣z)=y,即
y=z,①
5(2y﹣z)=z+2x,即x=5y﹣3z,②由①②,得
x=z,③把①③代入(3y﹣z):(2z﹣x):(x+3y),得
(3y﹣z):(2z﹣x):(x+3y)=z :z :z=3:5:7.
故选B.
【分析】先根据已知条件,利用z来表示x和y,然后再将其代入所求化简、求值。
【答案】D
【考点】坐标与图形性质,位似变换
【解析】【解答】∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似,
∴矩形OA′B′C′∽矩形OABC,
∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC 面积的,
∴位似比为:1:2,
∵点B的坐标为(-4,6),
∴点B′的坐标是:(-2,3)或(2,-3).
故选:D.
【分析】由矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的
,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,即可求得矩形OA′B′C′与矩形OABC的位似比为1:2,又由点B的坐标为(-4,6),即可求得答案.
【答案】A
【考点】比例的性质,一次函数的性质,平方的非负性,二次根式的非负性
【解析】【解答】+n2+9=6n,
=﹣(n﹣3)2,
∴m=5,n=3,
∵k=
∴a+b﹣c=ck,a﹣b+c=bk,﹣a+b+c=ak,
相加得:a+b+c=(a+b+c)k,
当a+b+c=0时,k为任何数,
当a+b+c≠0时,k=1,
即:y=kx+8或y=x+8,
所以图象一定经过一二象限.
故选A.
【分析】首先由+n2+9=6n,根据二次根式和完全平方式确定m n的值,再由
k=,利用比例的性质确定K的值,根据函数的图象特点即可判断出选项.【答案】D
【考点】黄金分割
【解析】【解答】由题意可得△ABC为黄金三角形,根据黄金比即可得到x的值,再代入求值即