高中数学必修5自主学习导学案(14份) 人教课标版(精汇教案)

§1.1.1正弦定理（教师版）

．新课引入

我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边．角关系准确量化的表示呢？

思考：在直角三角形中，“边”与“角”的关系如何？

在RT ABC ?中，sin ,sin a c A b c B ==，

sin sin a b c A B ==，sin 1C =，sin sin sin a b c

A B C

∴==

思考：对于一般三角形，上述结论是否成立？

（）若三角形是锐角三角形

分析：过点作⊥于,此时有sin CD A b =

，sin CD B a

=，所以,

即sin sin a b A B =，同理可得sin sin b c B C =，sin sin sin a b c A B C

∴== （）若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗? ．正弦定理

正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等．

即

sin sin sin a b c

A B C

==

． 证明：（外接圆法）作外接圆, 过作直径,连, 90BAC '∠=，C C '∠=∠，

sin sin 2c C C R '∴==，2sin c R C =，同理2sin a R A =，2sin b R B =，2sin sin sin a b c R A B C

∴=== ．对正弦定理的理解

（）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，该正数为2R ， （）正弦定理的基本作用为：

①已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角. ②已知两角和一边，求其他角和边.

（）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形． ．正弦定理的常见公式变形

()∶∶＝∶∶；()＝，＝，＝； ()＝＝＝；()＝，＝，＝； ()＝，＝，＝；()

．三角形的面积公式：1111

sin sin sin 2222

ABC S ah ab C ac B bc A ?=

===． 证明：过点作⊥于，此时有sin CD b A =，11

sin 22

ABC S c CD bc A ?=?=，

同理可得111

sin sin sin 222

ABC S ab C ac B bc A ?===．

※典型例题

考点：已知两角和任意边，求其他两边和一角（唯一解）

【例】在ABC ?中，已知45A =，60B =，2a =，解三角形．

分析：可先由＋＋＝°求出角，再用正弦定理求出和. 解：由题意，18075C A B =--=，由正弦定理

sin sin sin a b c

A B C

==

，

得

2sin 45sin 60sin 75

b c

==

，解得：b =1c =+． 变式．（）在△中，已知＝°，＝°，＝，求.

（）在ABC ?中，已知45B =，60C =，12a =，解三角形． 解析：（）∵＋＋＝°，∴＝°－°－°＝°，

∴＝°＝°＝(°＋°)＝°°＋°°＝. ∵＝，∴＝＝＝＝＝(－)．

（）由题意，18075A B C =--=，由正弦定理

sin sin sin a b c

A B C

==

，

得

12sin 75sin 45sin 60

b c

==

，解得：12b =，36c =-

45，c =45，c =45，∴120或60 120时，15B ，∵2sin 45sin15

b

=

，b =60时，75，∵

45sin75

b

=

，b =变式．（）已知△中，＝，＝，∠＝°，则∠等于90．

60，b =160sin =

30， 180306090--=，2a =

()当＝°时，＝°－(＋)＝°－(°＋°)＝°. ∴＝＝＝＝－.

综上可得＝°，＝°，＝＋或＝°，＝°，＝－.

考点．正弦定理性质的应用

例．在ABC ?中，已知5,3a b ==，sin :sin A B 的值是（ ） ．5．3．3．5

．等腰三角形 ．直角三角形．等腰或直角三角形 ．等腰直角三角形 解析：由＝，∴＝，∴－＝，∴(－)＝，

∴－＝，∴＝，即为等腰三角形．答案： 变式．在△中，∶∶＝∶∶，则∶∶＝( )

．∶∶ ．∶∶∶∶∶∶

解析：∵＋＋＝°，∶∶＝∶∶，∴＝°，＝°，＝°.由正弦定理的变形公式，得∶∶＝∶∶＝°∶°∶°＝∶∶＝∶∶.故选.

变式．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）

．0

6030或 ．0

6045或 ．0

60120或 ．0

15030或 变式．在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）．

．sin sin a A b B =.cos cos a A b B =. sin sin a B b A =.cos cos a B b A = 变式. 在ABC ?中，若cos cos a A b B =，试判断ABC ?的形状. 【解析】等腰三角形或直角三角形

※当堂检测

．已知?中，∠60=?，a =

sin sin sin a b c

A B C

++++．

．在ABC ?中，若,2a A B

=

=， 则cos ____B = ．已知△中，∶∶＝∶∶，则∶∶等于（ ）.

．∶∶ ．∶∶

．在△中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.

. A B >. A B < . A ≥B . A ．B 的大小关系不能确定

．在ABC ?中，若cos cos A b

B a

=，则ABC ?是（ ）.

．等腰三角形 ．等腰三角形或直角三角形 ．直角三角形 ．等边三角形 ．在△ABC 中，若

C

c

B b A a cos cos cos =

=，则△ABC 是 等边三角形

. 已知△中，＝，∠＝°，∠＝120?，解此三角形．

解：∠＝°－°－120?°，由正弦定理

sin sin sin BC AC AB

A B C

==，解得＝，AC =

．±．－．±

解析：由＝··∠，得＝×××∠，∴∠＝，从而∠＝±.答案： 【例】在△中，，，分别是角，，的对边，若＝，＝. ()求角的大小．()若＝，求△的面积．

解析：()∵＝，∴＝，＝.

又∵＝－(＋)＝－＝－＝，且<<π，∴＝.

()由正弦定理＝，得＝＝＝，由＝(＋)＝，得＝， ∴△的面积△＝＝.

．在ABC ?中，下列等式总能成立的是（ ）

．A c C a cos cos =．A c C b sin sin =．B bc C ab sin sin =．A c C a sin sin = ．在ABC ?中，已知

60,8==B a ，°，则b 等于（ ）

．24．34．64．

3

32 ．在ABC ?中，°，24,34==b a ，则角等于（ ）

．°或°．°．°．以上答案都不对

．根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） ．

30,16,8===A b a ，有两解 ．

60,20,18===B c b ，有一解 ． 90,2,5===A b a ，无解

．

150,25,30===A b a ，有一解

．已知ABC ?中，

45,60,10===C B a ，则等于（ ） ．310+．)13(10-．)13(10+．310

．在ABC ?中，已知A b B a tan tan 2

2

=，则此三角形是（ ） ．锐角三角形 ．直角三角形 ．钝角三角形 ．直角或等腰三角形

．在ABC ?中，已知,2,45a x b B ===，如果利用正弦定理，三角形有两解，则x 的取值范围是（） ．22．2

．三角形两边之差为，夹角的余弦值为5

3

．该三角形的面积为，则这两边分别为（ ） ．和

．和．和

．和

．在ABC △中，3AB =45A =，75C =，则BC =33 ．在ABC ?中，若

60,32,2=∠==B b a ，则，=∠C 90．

．在ABC ?中，已知6:5:4)(:)(:)(=+++b a a c c b ，则C B A sin :sin :sin 等于 ．在ABC ?中， 30,1,3===

B b a 3 ．已知在AB

C ?中，°，2,6==BC AB ，求其他边和角．

解析：由正弦定理：sin sin AB BC

C A

=

62sin 45=，解得3sin C =，所以AB BC >， 所以°或°， 当°，°，

31AC =

当°，°，31AC =

．在△中，已知

．．

求 , .

解：∠＝°－°－°°，由正弦定理

10

sin 45sin105sin 30

a b ==，

解得a =，b =.

．在△中，已知＝，＝，∠＝°，判断△的形状． 解析：由＝×＝，即<<，故此题有两解．

由正弦定理，得＝＝. ∴∠＝°或∠＝°. 当∠＝°时，∠＝°－(∠＋∠)＝°，△为直角三角形； 当∠＝°时，∠＝°－(∠＋∠)＝°＝∠，△为等腰三角形. ．在△中，(－)＝，＝.

()求的值；()设＝，求△的面积．

解析：()∵(－)＝，－π<－<π，∴－＝.

∵＋＋＝π，∴＋＋＋＝π，∴＝－2A ，∴＝＝2A ＝， ∴－2A ＝，∴2A ＝，∴＝.

()由()知，为锐角，∴＝，＝＝＝.

由正弦定理，得＝＝＝，∴△＝··＝×××＝.

§1.1.1正弦定理（学生版）

．新课引入

我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边．角关系准确量化的表示呢？

思考：在直角三角形中，“边”与“角”的关系如何？

在RT ABC ?中，sin ,sin a c A b c B ==，

sin sin a b c A B ==，sin 1C =，sin sin sin a b c

A B C

∴==

思考：对于一般三角形，上述结论是否成立？

（）若三角形是锐角三角形

分析：过点作⊥于,此时有sin CD A b =

，sin CD B a

=，所以,

即sin sin a b A B =，同理可得sin sin b c B C =，sin sin sin a b c

A B C

∴== （）若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗? ．正弦定理

正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等．

即

sin sin sin a b c

A B C

==． 证明：（外接圆法）作外接圆, 过作直径,连, 90BAC '∠=，C C '∠=∠，

sin sin 2c C C R '∴==，2sin c R C =，同理2sin a R A =，2sin b R B =，2sin sin sin a b c R A B C

∴=== ．对正弦定理的理解

（）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，该正数为2R ， （）正弦定理的基本作用为：

①已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角. ②已知两角和一边，求其他角和边.

（）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形． ．正弦定理的常见公式变形

()∶∶＝∶∶；()＝，＝，＝； ()＝＝＝；()＝，＝，＝； ()＝，＝，＝；()

．三角形的面积公式：1111

sin sin sin 2222

ABC S ah ab C ac B bc A ?=

===． 证明：过点作⊥于，此时有sin CD b A =，11

sin 22

ABC S c CD bc A ?=?=，

同理可得111

sin sin sin 222

ABC S ab C ac B bc A ?===．

※典型例题

考点：已知两角和任意边，求其他两边和一角（唯一解） 【例】在ABC ?中，已知45A =，60B =，2a =，解三角形．

分析：可先由＋＋＝°求出角，再用正弦定理求出和.

变式．（）在△中，已知＝°，＝°，＝，求.

（）在ABC ?中，已知45B =，60C =，12a =，解三角形．

45，c =

变式．（）已知△中，＝，＝，∠＝°，则∠等于90．

（）在60,1,,ABC b B c a A C ?===中，求和．

变式．在△中，已知＝，＝，＝°，解这个三角形．

分析：本题考查正弦定理，已知两边和其中一边的对角，求另外的边和角，可利用正弦定理结合三角形内角和定理解决．

考点．正弦定理性质的应用

例．在ABC ?中，已知5,3a b ==，sin :sin A B 的值是（ ） ．53．35．37．57

例．在△中，若＝，则△是( )

．等腰三角形 ．直角三角形．等腰或直角三角形 ．等腰直角三角形 变式．在△中，∶∶＝∶∶，则∶∶＝( )

．∶∶ ．∶∶∶∶∶∶

变式．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）

．0

6030或 ．0

6045或 ．0

60120或 ．0

15030或 变式．在ABC ?中，一定成立的等式是（ ）．

．sin sin a A b B =.cos cos a A b B =. sin sin a B b A =.cos cos a B b A = 变式. 在ABC ?中，若cos cos a A b B =，试判断ABC ?的形状.

※当堂检测

．已知?中，∠60=?，a =

sin sin sin a b c

A B C

++++．

．在ABC ?中，若,2a A B =

=， 则cos _________B = ．已知△中，∶∶＝∶∶，则∶∶等于（ ）.

．∶∶ ．∶∶

．在△中，若sin sin A B >，则A 与B 的大小关系为（ ）.

. A B >. A B < . A ≥B . A ．B 的大小关系不能确定

．在ABC ?中，若cos cos A b

B a

=，则ABC ?是（ ）.

．等腰三角形 ．等腰三角形或直角三角形 ．直角三角形 ．等边三角形

．在△ABC 中，若

C

c

B b A a cos cos cos =

=，则△ABC 是 . 已知△中，＝，∠＝°，∠＝120?，解此三角形．

考点．三角形面积公式的应用 【例】在△中，已知＝°，＝，＝，求△的面积．

练习．在△中，已知，，，则△。

．在△中，＝，＝，△的面积为，则∠等于( )

．±．－．±

【例】在△中，，，分别是角，，的对边，若＝，＝.

()求角的大小．()若＝，求△的面积．

．在ABC ?中，下列等式总能成立的是（ ）

．A c C a cos cos =．A c C b sin sin = ．B bc C ab sin sin = ．A c C a sin sin = ．在ABC ?中，已知

60,8==B a ，°，则b 等于（ ）

．24．34．64．

3

32 ．在ABC ?中，°，24,34==b a ，则角等于（ ）

．°或°．°．°．以上答案都不对

．根据下列条件，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） ．

30,16,8===A b a ，有两解 ．

60,20,18===B c b ，有一解 ． 90,2,5===A b a ，无解

．

150,25,30===A b a ，有一解

．已知ABC ?中，

45,60,10===C B a ，则等于（ ） ．310+．)13(10-．)13(10+．310

．在ABC ?中，已知A b B a tan tan 2

2

=，则此三角形是（ ） ．锐角三角形 ．直角三角形 ．钝角三角形 ．直角或等腰三角形

．在ABC ?中，已知,2,45a x b B ===，如果利用正弦定理，三角形有两解，则x 的取值范围是（） ．22．2

．三角形两边之差为，夹角的余弦值为5

3

．该三角形的面积为，则这两边分别为（ ） ．和

．和．和

．和

．在ABC △中，AB =45A =，75C =，则BC = ．在ABC ?中，若

60,32,2=∠==B b a ，则，=∠C ．

．在ABC ?中，已知6:5:4)(:)(:)(=+++b a a c c b ，则C B A sin :sin :sin 等于 ．在ABC ?中， 30,1,3===B b a ，则三角形的面积等于．

．已知在ABC ?中，°，2,6==

BC AB ，求其他边和角．

．在△中，已知

．．

求 , .

．在△中，已知＝，＝，∠＝°，判断△的形状．

．在△中，(－)＝，＝.

()求的值；()设＝，求△的面积．