2017年高考数学(文、理)专题限时检测2
2017年高考数学专题限时检测二
时间:60分钟 满分:100分
一、选择题(本大题共8小题,每小题6分,共48分;在每小题给出四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(文)已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,若P (x,2)是角θ终边上一点,且cos θ=31313
,则x 的值为( )
A .±3
B .-3
C .3
D .±13
[答案] C
[解析] P 到原点的距离|PO |=x 2+4,由三角函数的定义及题设条件得,?????
x x 2+4=31313,x >0,
解之得x =3. (理)已知倾斜角为α的直线l 与直线x -2y +2=0平行,则tan2α的值为( ) A.4
5 B.3
4 C.4
3 D.23
[答案] C
[解析] ∵tan α=12,∴tan2α=2tan α1-tan 2α=4
3
. 2.(文)下列函数中,周期为π,且在区间[π4,3π
4]上单调递增的函数是( )
A .y =sin2x
B .y =cos2x
C .y =-sin2x
D .y =-cos2x [答案] C
(理)已知f (x )=a sin2x +b cos2x ,其中a 、b ∈R ,ab ≠0,若f (x )≤|f (π
6)|对一切x ∈R 恒成立,
且f (π
2
)>0,则f (x )的单调递增区间是( )
A .[k π-π3,k π+π
6](k ∈Z )
B .[k π+π6,k π+2π
3
](k ∈Z )
C .[k π,k π+π
2](k ∈Z )
D .[k π-π
2,k π](k ∈Z )
[答案] B
[解析] 用淘汰法求解.由条件f (x )≤|f (π6)|知x =π6时f (x )取得最大值或最小值,故k π+π
6为
单调区间的一个端点,排除C 、D ,又当单调区间为A 时,应有f (π
2
)<0,排除A ,∴选B.
3.(文)若向量a 、b 满足|a |=|b |=|a +b |=1,则a ·b 的值为( ) A .-12
B.1
2 C .-1 D .1
[答案] A
[解析] ∵|a |=|b |=|a +b |,∴〈a ,b 〉=120°, ∴a ·b =1×1×cos120°=-12
.
(理)函数y =tan(π4x -π
2)(0 l 与函数的图象交于B 、C 两点,则(OB →+OC →)·OA → 等于( ) A .-8 B .-4 C .4 D .8 [答案] D [解析] A 点坐标为(2,0),即OA → =(2,0), 由y =tan(π4x -π 2)的图象的对称性知A 是BC 的中点. ∴OB →+OC →=2OA →, ∴(OB →+OC →)·OA →=2OA →·OA → =2×|OA →|2=8.故选D. 4.(文)若把函数y =sin ωx 的图象向左平移π 3个单位,则与函数y =cos ωx 的图象重合, 则ω的值可能是( ) A.13 B.3 2 C.2 3 D.12 [答案] B [答案] 由条件知,T 4=π3,∴T =4π 3, 又T =2πω,∴ω=3 2 . (理)函数y =cos 2(2x -π3)的图象向左平移π 6个单位,所得的图象对应的函数是( ) A .值域为[0,2]的奇函数 B .值域为[0,1]的奇函数 C .值域为[0,2]的偶函数 D .值域为[0,1]的偶函数 [答案] D [解析] y =cos 2(2x -π3)=1+cos 4x -2π 3 2,左移π6个单位后为y =12+1 2cos4x 为偶函数, 值域为[0,1],故选D. 5.(文)已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0,-π<φ<π)图象的一部分(如图所示),则ω与φ 的值分别为( ) A.1110,-5π6 B .1,-2π 3 C.710,-π6 D.45,-π3 [答案] B [解析] 由图象知,T > 5π3,3T 4<5π3,∴5π3 5 ,排除C 、D ;又f (0)=2sin φ<-1,∴sin φ<-12,但sin(-5π6)=-12,∴φ≠-5π 6 ,排除A ,故选B. (理)已知y =sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|≤π 2)在区间[0,1]上是单调函数,其图象过点P 1(-1,0), P 2(0,1),则此函数的最小正周期T 及φ的值分别是( ) A .T =4,φ=π 2 B .T =4,φ=1 C .T =4π,φ=π 2 D .T =4π,φ=-1 [答案] A [解析] ∵f (x )的图象过P 1(-1,0)和P 2(0,1),若f (x )在[0,1]上单调递增,则周期T ≥4[1-(-1)]=8,与选项不符,∴f (x )在[0,1]上单调递减,∴T =4,ω=π2,∴f (x )=sin(π 2x +φ),又f (- 1)=0,f (0)=1,|φ|≤π2,∴φ=π2,∴f (x )=sin(π2x +π2)=cos π 2 x ,符合题意,故选A. 6.(文)已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点,则AP →·(AB →+AC → )( ) A .最大值为8 B .是定值6 C .最小值为2 D .与P 的位置有关 [答案] B [解析] 如图,∵AB →+AC →=AD →=2AO → ,△ABC 为正三角形, ∴四边形ABDC 为菱形,BC ⊥AO ,∴AP →在向量AD → 上的投影为AO →,又|AO →|=3,∴AP →·(AB →+AC →)=|AO →|·|AD →|=6,故选B. (理)如图,已知△ABC 中,点M 在线段AC 上,点P 在线段BM 上且满足AM MC =MP PB =2, 若|AB →|=2,|AC →|=3,∠BAC =120°,则AP →·BC →的值为( ) A .-2 B .2 C.2 3 D .-11 3 [答案] A [解析] 由条件知AM →=23AC →,BP →=13BM →,AB →·AC → =2×3cos120°=-3, ∴AP →·BC →=(AB →+BP →)·BC →=(AB →+13BM →)·BC → =(AB →+13AM →-13 AB →)·BC → =(23AB →+13·23AC →)·BC → =(23AB →+29AC →)·(AC →-AB →) =49AB →·AC →-23|AB →|2+29 |AC →|2=-2. 7.已知锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c,23cos 2A +cos2A =0,a =7,c =6,则b =( ) A .10 B .9 C .8 D .5 [答案] D [解析] 本题考查了倍角公式、余弦定理.由倍角公式得23cos 2A +cos2A =25 cos 2A -1=0,cos 2A =125,△ABC 为锐角三角形cos A =1 5,由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,得b 2 -12 5 b -13=0,即5b 2-12b -65=0,解方程得b =5. 8.(文)设F 1、F 2是椭圆x 24+y 2 =1的两个焦点,点P 在椭圆上,当△F 1PF 2的面积为1 时,PF 1→·PF 2→的值为( ) A .0 B .1 C.1 2 D .2 [答案] A [解析] 设P (x ,y ),F 1(-3,0),F 2(3,0), 则PF 1→·PF 2→=(-3-x ,-y )·(3-x ,-y )=x 2+y 2-3. ∵△F 1PF 2的面积S =12|F 1F 2→||y |=12·23·|y |=3|y |=1, ∴y 2=1 3.由于点P 在椭圆上, ∴x 24+y 2=1.∴x 2=83 . ∴PF 1→·PF 2→=x 2+y 2-3=83+13 -3=0.故选A. (理)已知椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0),F (c,0)是右焦点,经过坐标原点O 的直线l 与椭圆交于 点A 、B ,且F A →·FB →=0,|OA →-OB →|=2|OA →-OF → |,则该椭圆的离心率为( ) A.2 2 B.32 C.2-1 D.3-1 [解析] ∵|OA →-OB →|=|AB →|,|OA →-OF →|=|AF →|,且|OA →-OB →|=2|OA →-OF → |, ∴AB =2AF ,∵F A →·FB → =0,∴F A ⊥FB , ∴OF =OA =AF ,∴A (c 2,-3 2c )在椭圆上, ∴c 24a 2+3c 2 4b 2=1, ∴c 24a 2+3c 24a 2-4c 2=1,∴14e 2+34 e 2-4=1, ∵0 二、填空题(本大题共2小题,每小题6分,共12分,将答案填写在题中横线上.) 9.(文)在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,且cos A cos B =b a =3 4.若c =10, 则△ABC 的面积是________. [答案] 24 [解析] 由cos A cos B =b a 得a cos A = b cos B , 由正弦定理得sin2A =sin2B , 由 cos A cos B =3 4 知A ≠B ,∴2A =π-2B , ∴A +B =π2,∴C =π 2 , 又b a =34,c =10,∴b =6,a =8,S =1 2ab =24. (理)已知函数f (x )=cos x sin x ,给出下列四个结论: ①若f (x 1)=-f (x 2),则x 1=-x 2; ②f (x )的最小正周期是2π; ③f (x )在区间[-π4,π 4]上是增函数; ④f (x )的图象关于直线x =3π 4对称. 其中正确的结论是________. [解析] f (x )=12sin2x 最小正周期T =π,对称轴x =k π2+π4,k ∈Z ,令k =1得x =3π 4;由 2k π-π2≤2x ≤2k π+π2得,k π-π4≤x ≤k π+π4,取k =0知,f (x )在区间[-π4,π 4]上为增函数,f (x )为 奇函数,当x 1=-x 2时,有f (x 1)=f (-x 2)=-f (x 2),但f (x 1)=-f (x 2)时,由周期性知不一定有x 1=-x 2,故正确选项为③④. 10.(文)关于平面向量a 、b 、c ,有下列四个命题: ①若a ∥b ,a ≠0,则?λ∈R ,使b =λa ; ②若a ·b =0,则a =0或b =0; ③存在不全为零的实数λ,μ,使得c =λa +μb ; ④若a ·b =a ·c ,则a ⊥(b -c ). 其中正确的命题序号是________. [答案] ①④ [解析] 逐个判断.由向量共线定理知①正确;若a ·b =0,则a =0或b =0或a ⊥b ,所以②错误;在a ,b 能够作为基底时,对平面上任意向量,存在实数λ,μ使得c =λa +μb ,所以③错误;若a ·b =a ·c ,则a ·(b -c )=0,所以a ⊥(b -c ),所以④正确.故正确命题序号是①④. (理)在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM =1,点P 在AM 上且满足AP →=2PM →,则P A →·(PB →+PC → )等于________. [答案] -4 9 [解析] AM =1,AP →=2PM →,∴|P A →|=23,|PM →|=1 3, ∴P A →·(PB →+PC →)=P A →·(2PM → )=-2×23×13=-49 . 三、解答题(本大题共3小题,共40分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11.(本小题满分13分)(文)△ABC 中,已知A =45°,cos B =4 5. (1)求sin C 的值; (2)若BC =10,D 为AB 的中点,求AB 、CD 的长. [解析] (1)∵三角形中,cos B =4 5,所以B 为锐角, ∴sin B =3 5 所以sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B = 72 10 . (2)三角形ABC 中,由正弦定理得AB sin C =BC sin A , ∴AB =14, 又D 为AB 中点,所以BD =7, 在三角形BCD 中,由余弦定理得CD 2=BC 2+BD 2-2BC ·BD ·cos B =37,∴CD =37. (理)在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .已知b (cos A -2cos C )=(2c -a )cos B . (1)求c a 的值; (2)若cos B =1 4,△ABC 的周长为5,求b . [解析] (1)在△ABC 中,有 a sin A = b sin B = c sin C =2R , 又b (cos A -2cos C )=(2c -a )cos B ,则 sin B (cos A -2cos C )=2(sin C -sin A )cos B , 即sin B cos A -2sin B cos C =2sin C cos B -sin A cos B , ∴sin(A +B )=2sin(B +C )?sin C =2sin A ?c a =2.(也可用余弦定理求解) (2)由(1)c a =2?c =2a ,又a + b + c =5,∴b =5-3a . 由余弦定理得:b 2=c 2+a 2-2ac cos B , ∴(5-3a )2=(2a )2+a 2-4a 2×1 4?a =1,或a =5, 当a =1?b =2,当a =5与a +b +c =5矛盾.故b =2. 12.(本小题满分13分)(文)函数f (x )=sin ωx cos φ-cos ωx sin φ(ω>0,0<φ<π)的图象过点(π 6, 0),且相邻两条对称轴间的距离为π 2 . (1)求f (x )的表达式; (2)试求函数y =f 2(12x )+1 2的单调增区间. [解析] (1)由题意y =sin(ωx -φ), ∵相邻两条对称轴间的距离为π 2, ∴T =π=2π ω,∴ω=2, 故f (x )=sin(2x -φ), 又y =f (x )的图象过点(π 6 ,0), ∴2×π 6-φ=k π,k ∈Z , ∴φ=π 3-k π,k ∈Z , 又0<φ<π,∴φ=π 3, f (x )=sin(2x -π 3 ). (2)y =f 2(12x )+12=sin 2(x -π3)+1 2 =1-cos 2x -2π3 2+12=1-12cos(2x -2π 3), 由2k π≤2x -2π 3≤2k π+π, 解之得k π+π3≤x ≤k π+5π 6 , ∴y =f 2(12x )+12的增区间为[k π+π3,k π+5π 6],(k ∈Z ). (理)已知函数f (x )=sin x +a cos x 的一个零点是3π 4. (1)求实数a 的值; (2)设g (x )=[f (x )]2-2sin 2x ,求g (x )的单调递增区间. [解析] (1)依题意,得f (3π 4)=0, ∴sin 3π4+a cos 3π4=22-2a 2 =0, ∴a =1. (2)由(1)得f (x )=sin x +cos x , ∴g (x )=[f (x )]2-2sin 2x =(sin x +cos x )2-2sin 2x =sin2x +cos2x =2sin(2x +π4). 由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π 2得, k π-3π8≤x ≤k π+π 8 ,k ∈Z ∴g (x )的单调递增区间为[k π-3π8,k π+π 8 ](k ∈Z ). 13.(本小题满分14分)(文)如图,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB =AD ,记∠CAD =α,∠ABC =β. (1)证明:sin α+cos2β=0; (2)若AC =3DC ,求β. [解析] (1)证明:∵AB =AD ,∠ABC =β,∠CAD =α, ∴2β=π 2 +α, ∴sin α+cos2β=sin α+cos(π 2+α)=sin α-sin α=0. (2)在△ABC 中, ∵AC =3DC ,∴sin β=3sin α, ∴sin β=3sin α=-3cos2β=23sin 2β- 3. ∵β∈(0,π2),∴sin β=3 2, ∴β=π 3 . (理)已知向量a =(sin ωx,2cos ωx ),b =(cos ωx ,-23 3cos ωx )(ω>0),函数f (x )=a·(3b + a )-1,且函数f (x )的最小正周期为π 2 . (1)求ω的值; (2)设△ABC 的三边a 、b 、c 满足:b 2=ac ,且边b 所对的角为x ,若方程f (x )=k 有两个不同的实数解,求实数k 的取值范围. [解析] (1)∵f (x )=a ·(3b +a )-1 =(sin ωx,2cos ωx )·(sin ωx +3cos ωx,0)-1 = 32sin2ωx -12cos2ωx -1 2 =sin(2ωx -π6)-12. ∵T =2π2ω=π 2 ,∴ω=2. (2)由(1)知,f (x )=sin(4x -π6)-1 2 , ∵在△ABC 中,cos x =a 2+c 2-b 22ac ≥2ac -ac 2ac =1 2 , ∴0 6 . ∴f (x )=sin(4x -π6)-12=k 有两个不同的实数解时,k 的取值范围是(-1,1 2 ). 一、选择题 1.(文)将函数y =cos(x -5π 6)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 再将所得图象向左平移π 3 个单位,则所得函数图象对应的解析式是( ) A .y =cos(x 2-π 4) B .y =cos(2x -π 6) C .y =sin2x D .y =cos(x 2-2π 3 ) [答案] D [解析] y =cos(x -5π6)――→各点横坐标伸长到原来的2倍y =cos(12x -5π6)― ―→向左平移π3个单位y =cos(x 2-2π 3 ). (理)将函数y =cos(x +π 3)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左 平移π 6 个单位,所得函数的最小正周期为( ) A .π B .2π C .4π D .8π [答案] C [解析] y =cos(x +π3)――→各点的横坐标伸长到原来的2倍y =cos(x 2+π3)― ―→向左平移π6个单位y =cos(x 2+5π 12). ∴最小正周期为T =2π 12 =4π. 2.已知向量|a |=2,|b |=3,a 、b 的夹角为120°,那么|a -b |等于( ) A .19 B.19 C .7 D.7 [答案] B [解析] ∵|a |=2,|b |=3,〈a ,b 〉=120°,∴a ·b =|a |·|b |·cos120°=-3,∴|a -b |2=|a |2 +|b |2-2·a ·b =4+9-2×(-3)=19,∴|a -b |=19. 3.(文)在△ABC 中,已知cos A =513,sin B =3 5,则cos C 的值为( ) A.16 65 B.5665 C.1665或5665 D .-1665或5665 [答案] A [解析] 由cos A =513>0得A 为锐角,且sin A =1213,sin B =3 5,sin A >sin B ,因此B 为锐角, 于是cos B =45,cos C =cos[π-(A +B )]=-cos(A +B )=sin A sin B -cos A cos B =16 65 ,选A. (理)在△ABC 中,若2cos B ·sin A =sin C ,则△ABC 的形状一定是( ) A .等腰直角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等边三角形 [答案] C [解析] 解法1:∵C =π-(A +B ), ∴sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B =2cos B sin A . ∴sin A cos B -cos A sin B =0,即sin(A -B )=0. ∵-π 解法2:由正弦定理sin A =a 2R ,sin C =c 2R ,cos B =a 2+c 2-b 22ac , 代入条件式得2·a 2+c 2-b 22ac ·a 2R =c 2R , ∴a 2=b 2.故a =b . 4.设函数f (x )=sin(ωx +φ)(x ∈R ,ω>0,|φ|<π 2)的部分图象如右图所示,则函数f (x )的表 达式为( ) A .f (x )=sin(2x +π 4) B .f (x )=sin(2x -π 4) C .f (x )=sin(4x +3π 4) D .f (x )=sin(4x -π 4) [答案] A [解析] 周期T =4(3π8-π8)=π,故ω=2,又点(π8,1)在图象上,代入可得φ=π 4,故选 A. 5.已知定义在R 上的函数f (x )是周期为3的奇函数,当x ∈(0,3 2)时,f (x )=sinπx ,则 函数f (x )在区间[0,5]上的零点个数为( ) A .9 B .8 C .7 D .6 [答案] D [解析] 由条件知,当x ∈(-32,3 2)时,f (x )=sinπx . ∴f (-1)=f (0)=f (1)=0. 又f (x )的周期为3, ∴f (2)=f (3)=f (4)=f (5)=0. ∴f (x )在区间[0,5]上有6个零点. 6.(文)在△ABC 中,∠A =60°,最大边和最小边恰为方程x 2-7x +11=0的两根,则第三边的长是( ) A .3 B .4 C .5 D .6 [答案] B [解析] 设最大边为x 1,最小边为x 2,且x 1+x 2=7,x 1x 2=11.而a 边不是最大边和最小 边,故a 2=x 21+x 2 2-2x 1x 2· cos A =(x 1+x 2)2-2x 1x 2-2x 1x 2cos A =(x 1+x 2)2-3x 1x 2=72-3×11=16,∴a =4. (理)设f 1(x )=cos x ,定义f n +1(x )为f n (x )的导数,即f n +1(x )=f n ′(x ),n ∈N +,若△ABC 的内角A 满足f 1(A )+f 2(A )+…+f 2013(A )=0,则sin A 的值是( ) A .1 B.32 C.2 2 D.12 [答案] A [解析] f 1(x )=cos x ,f 2(x )=f 1′(x )=-sin x ,f 3(x )=f 2′(x )=-cos x ,f 4(x )=f 3′(x )=sin x ,f 5(x )=f 4′(x )=cos x ,…可见f n (x )关于n 呈周期出现,周期为4.且f 1(x )+f 2(x )+f 3(x )+f 4(x )=0, ∴f 1(A )+f 2(A )+…+f 2013(A )=503×0+f 2013(A )=f 1(A )=cos A =0, ∴sin A =1.故选A. 7.(文)函数y =sin x (3sin x +4cos x )(x ∈R )的最大值为M ,最小正周期为T ,则有序数对(M ,T )为( ) A .(5,π) B .(4,π) C .(-1,2π) D .(4,2π) [答案] B [解析] 依题意得y =3sin 2x +2sin2x = 3 1-cos2x 2+2sin2x =52sin(2x -θ)+3 2 (其中 tan θ=34),所以M =4,T =2π 2 =π,结合各选项知,选B. (理)△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a ,b ,c ,设向量p =(sin B ,a +c ),q =(sin C -sin A ,b -a ).若?λ∈R ,使p =λq ,则角C 的大小为( ) A.π6 B.2π3 C.π3 D.π2 [答案] C [解析] 由题意知,sin B =λ(sin C -sin A ),a +c =λ(b -a ),∴b =λ(c -a ),∴λ= b c -a ,∴a +c =b c -a (b -a ),∴ c 2-a 2=b 2-ab ,即a 2+b 2-c 2 =ab ,∴cos C =a 2+b 2-c 22ab =12,∴C =π 3 . 8.在△ABC 中,若AB 2→=AB →·AC →+BA →·BC →+CA →·CB → ,则△ABC 是( ) A .等边三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .直角三角形 [答案] D [解析] ∵AB →2=AB →·AC →+BA →·BC →+CA →·CB →=AB →·AC →-AB →·(AC →-AB →)-AC →·(AB →-AC →)=AB →2 -AC →·AB →+AC →2=AB →2+AC →·(AC →-AB →)=AB →2+AC →·BC →,∴AC →·BC →=0,∴AC →⊥BC →. 二、填空题 9.(文)在正三角形ABC 中,D 是边BC 上的点,若AB =3,BD =1,则AB →·AD → =________. [答案] 15 2 [解析] AB →·AD →=AB →(AB →+BD →)=AB →2+AB →·BD → =32+3×1×cos120°=9-32=152 . (理)已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边,若c =2,b =3,A +C =3B ,则sin C =________. [答案] 63 [解析] 本题主要考查正弦定理及应用.由A +C =3B 得B =π 4 ,由正弦定理知,sin C = c b sin B =63 . 10.在△ABC 中,边AC =1,AB =2,角A =2π3,过A 作AP ⊥BC 于P ,且AP →=λAB → + μAC → ,则λμ=________. [答案] 1049 [解析] 如图,BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC cos 2π 3 =4+1-2×2×1×(-1 2)=7,∴BC =7, 设BP =x ,则CP =7-x , ∵AB 2-BP 2=AP 2=AC 2-PC 2, ∴4-x 2=1-(7-x )2,∴x =57 , ∴PC =7-x = 27 . ∴BP →=57BC →,∴AP →=AB →+BP →=AB →+57BC → =AB →+57(AC →-AB →)=27AB →+57AC → , ∴λ=27,u =57,∴λu =10 49. 三、解答题 11.(文)在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且b cos C =(3a -c )cos B . (1)求cos B 的值; (2)若BA →·BC →=2,且b =22,求a 和c 的值. [解析] (1)由正弦定理得,sin B cos C =3sin A cos B -sin C cos B , ∴sin(B +C )=3sin A cos B , 可得sin A =3sin A cos B . 又sin A ≠0,∴cos B =13 . (2)由BA →·BC →=2,可得ac cos B =2. 又cos B =1 3 ,∴ac =6. 由b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,及b =22, 可得a 2+c 2=12, ∴(a -c )2=0,即a =c . ∴a =c = 6. (理)已知在△ABC 中,cos A =6 3 ,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边. (1)求tan2A 的值; (2)若sin(π2+B )=22 3,c =22,求△ABC 的面积. [解析] (1)因为cos A =6 3 ,A ∈(0,π), 所以sin A = 33,则tan A =22 . 所以tan2A =2tan A 1-tan 2A =2 2. (2)由sin(π2+B )=223,得cos B =22 3, 又B ∈(0,π),所以sin B =1 3 . 则sin C =sin(A +B )=sin A cos B +cos A sin B = 63 . 由正弦定理知a =c sin A sin C =2,所以△ABC 的面积为 S =12ac sin B =223 . 12.(文)在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,若m =(2b -c ,cos C ),n =(a ,cos A ),且m ∥n . (1)求角A 的大小; (2)记B =x ,作出函数y =2sin 2x +cos ????π 3-2x 的图象. [解析] (1)由m ∥n 得,(2b -c )·cos A -a cos C =0, 由正弦定理得:2sin B cos A -sin C cos A -sin A cos C =0, ∴2sin B cos A -sin(A +C )=0,∴2sin B cos A -sin B =0, ∵A 、B ∈(0,π),∴sin B ≠0,cos A =12,∴A =π 3 . (2)y =2sin 2x +cos(π3-2x )=2sin 2x +12cos2x +32sin2x =1-12cos2x +32sin2x =sin(2x -π 6) +1, ∵B =x ,∴由(1)知x ∈(0, 2π 3 ). 列表: 函数y =2sin 2x +cos(π 3 -2x )的图象如图所示. (理)已知向量m =1,sin ωx +π3,n =????2,2sin ????ωx -π6(其中ω为正常数). (1)若ω=1,x ∈???? π6,2π3,求m ∥n 时tan x 的值; (2)设f (x )=m ·n -2,若函数f (x )的图象的相邻两个对称中心的距离为π2 ,求f (x )在区间 ??? ?0,π2上的最小值. [解析] (1)m ∥n 时,sin ????x -π6=sin ????x +π3, sin x cos π6-cos x sin π6=sin x cos π3+cos x sin π 3, 则32sin x -12cos x =12sin x +3 2 cos x . ∴ 3-12sin x =3+12cos x ,所以tan x =3+1 3-1 =2+ 3. (2)f (x )=2sin ????ωx -π6sin ????ωx +π 3 =2sin ? ???ωx -π 6cos ??? ?????ωx +π3-π2 =2sin ????ωx -π6cos ????ωx -π6=sin ????2ωx -π3. (或f (x )=2sin ????ωx -π6sin ????ωx +π 3 =2????32sin ωx -12cos ωx ????12sin ωx +32cos ωx =2?? ??34sin 2ωx -34cos 2ωx +12sin ωx cos ωx =- 32sin2ωx +1 2 sin2ωx =sin ????2ωx -π3.) ∵函数f (x )的图象的相邻两个对称中心的距离为π 2, ∴f (x )的最小正周期为π,又ω为正常数, ∴ 2π 2ω =π,解得ω=1.故f (x )=sin ????2x -π3. 因为x ∈????0,π2,所以-π3≤2x -π3≤2π 3. 故当x =-π3时,f (x )取最小值-3 2 . 13.(文)在△ABC 中,角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c .已知cos2A -3cos(B +C )=1. (1)求角A 的大小; (2)若△ABC 的面积S =53,b =5,求sin B sinC 的值. [解析] (1)由cos2A -3cos(B +C )=1,得2cos 2A +3cos A -2=0. 即(2cos A -1)(cos A +2)=0,解得cos A =1 2或cos A =-2(舍去)