求数列的通项公式列(教案+例题+习题)

三.数列的通项的求法

1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。

例1.等差数列{}n a 是递增数列,前n 项和为n S ,且931,,a a a 成等比数列,

2

55a S =.求数列{}n a 的通项公式.

解:设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列,∴912

3a a a =, 即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12

=?

∵0≠d , ∴d a =1………………………………① ∵2

55a S = ∴211)4(2

4

55d a d a +=??+

…………② 由①②得:531=

a ,5

3=d ∴n n a n 5

3

53)1(53=?-+=

点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)

后再写出通项。

练一练:已知数列 ,32

1

9,1617,815,413

试写出其一个通项公式:__________; 2.公式法:已知n S (即12()n a a a f n +++= )求n a ,用作差法:{

1

1,(1)

,(2)

n n n S n a S S n -==-≥。 例2.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n

n n .求数列{}n a 的通

项公式。

解:由1121111=?-==a a S a

当2≥n 时,有

,)1(2)(211n

n n n n n a a S S a -?+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+?-

,)1(22221----?+=n n n a a ……,.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+?-+?-++?-

].)1(2[3

2

3

]

)2(1[2)

1(2

)]2()2()2[()1(21211

211--------+=----=-++-+--+=n n n n

n n n n n

经验证11=a 也满足上式,所以])1(2[3

212

---+=

n n n a 点评:利用公式??

?≥???????-=????????????????=-21

1n S S n S a n n

n n 求解时,要注意对n 分类讨论,但若

能合写时一定要合并.

练一练:①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+,求n a ; ②数列{}n a 满足1115

4,3

n n n a S S a ++=+=

,求n a ;

3.作商法:已知12()n a a a f n = 求n a ,用作商法:(1),(1)()

,(2)

(1)n f n f n a n f n =??=?≥?-?。

如数列}{n a 中,,11=a 对所有的2≥n 都有2

321n a a a a n = ,则=+53a a ______ ;

4.累加法:

若1()n n a a f n +-=求n a :11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。

例3. 已知数列{}n a 满足211=a ,n

n a a n n ++=+211

,求n a 。

解:由条件知:1

1

1)1(1121+-

=+=+=

-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ,代入上式得)1(-n 个等式累加之,即

)()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a

)111()4131()3121()211(n

n --+??????+-+-+-=

所以n

a a n 1

11-=-

211=a ,n

n a n 1231121-=-+=∴

如已知数列{}n a 满足11a =,n

n a a n n ++=--11

1(2)n ≥,则n a =________ ;

5.累乘法:已知1()n n a f n a +=求n a ,用累乘法:121121

n n n n n a a a

a a a a a ---=???? (2)n ≥。

例4. 已知数列{}n a 满足321=a ,n n a n n

a 1

1+=+,求n a 。

解:由条件知

1

1+=+n n a a n n ,分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ,代入上式得)1(-n 个等式累乘之,即

1342312-??????????n n a a a a a a a a n

n 1

433221-??????????=n a a n 11=? 又321=

a ,n

a n 32

=∴ 如已知数列}{n a 中,21=a ,前n 项和n S ,若n n a n S 2

=,求n a

6.已知递推关系求n a ,用构造法(构造等差、等比数列)。

(1)形如1n n a ka b -=+、1n

n n a ka b -=+(,k b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后,再求n a 。

①1n n a ka b -=+解法:把原递推公式转化为:)(1t a p t a n n -=-+,其中

p

q

t -=

1,再利用换元法转化为等比数列求解。 例5. 已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a .

解:设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即

321-=?-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ,则4311=+=a b ,且

23

3

11=++=++n n n n a a b b 所以{}n b 是以41=b 为首项,2为公比的等比数列,则11

22

4+-=?=n n n b ,所以

321-=+n n a .

②1n n n a ka b -=+解法:该类型较类型3要复杂一些。一般地,要先在原递推公

式两边同除以1

+n q

,得:

q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b (其中n

n

n q

a b =),得:q

b q p b n n 1

1+=

+再应用1n n a ka b -=+的方法解决.。 例6. 已知数列{}n a 中,651=

a ,1

1)2

1(31+++=n n n a a ,求n a 。 解:在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得:1)2(3

2211

+?=?++n n n n a a

令n n

n a b ?=2,则1321+=+n n b b ,应用例7解法得:n n b )3

2(23-=

所以n

n n

n n b a )31(2)21(32

-== 练一练①已知111,32n n a a a -==+,求n a ;

②已知111,32n

n n a a a -==+,求n a ; (2)形如1

1n n n a a ka b

--=+的递推数列都可以用倒数法求通项。

例7:1,1

3111

=+?=

--a a a a n n n

解:取倒数:

1

1113131---+=+?=n n n n a a a a

?

?????∴n a 1是等差数列,3)1(111?-+=n a a n 3)1(1?-+=n 231-=

?n a n

练一练:已知数列满足1a =1=

n a ;

数列通项公式课后练习

1已知数列{}n a 中,满足a 1=6,a 1+n +1=2(a n +1) (n ∈N +)求数列{}n a 的通项公式。 2已知数列{}n a 中,a n >0,且a 1=3,1+n a =n a +1 (n ∈N +) 3已知数列{}n a 中,a 1=3,a 1+n =

2

1

a n +1(n ∈N +)求数列{}n a 的通项公式 4已知数列{}n a 中,a 1=1,a 1+n =3a n +2,求数列{}n a 的通项公式 5已知数列{}n a 中,a n ≠0,a 1=

2

1,a 1+n =n n a a 21+ (n ∈N +

) 求a n

6设数列{}n a 满足a 1=4,a 2=2,a 3=1 若数列{}n n a a -+1成等差数列,求a n 7设数列{}n a 中,a 1=2,a 1+n =2a n +1 求通项公式a n 8已知数列{}n a 中,a 1=1,2a 1+n = a n + a 2+n 求a n

相关主题
相关文档
最新文档