求数列的通项公式列(教案+例题+习题)
三.数列的通项的求法
1.定义法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。
例1.等差数列{}n a 是递增数列,前n 项和为n S ,且931,,a a a 成等比数列,
2
55a S =.求数列{}n a 的通项公式.
解:设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列,∴912
3a a a =, 即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12
=?
∵0≠d , ∴d a =1………………………………① ∵2
55a S = ∴211)4(2
4
55d a d a +=??+
…………② 由①②得:531=
a ,5
3=d ∴n n a n 5
3
53)1(53=?-+=
点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)
后再写出通项。
练一练:已知数列 ,32
1
9,1617,815,413
试写出其一个通项公式:__________; 2.公式法:已知n S (即12()n a a a f n +++= )求n a ,用作差法:{
1
1,(1)
,(2)
n n n S n a S S n -==-≥。 例2.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n
n n .求数列{}n a 的通
项公式。
解:由1121111=?-==a a S a
当2≥n 时,有
,)1(2)(211n
n n n n n a a S S a -?+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+?-
,)1(22221----?+=n n n a a ……,.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+?-+?-++?-
].)1(2[3
2
3
]
)2(1[2)
1(2
)]2()2()2[()1(21211
211--------+=----=-++-+--+=n n n n
n n n n n
经验证11=a 也满足上式,所以])1(2[3
212
---+=
n n n a 点评:利用公式??
?≥???????-=????????????????=-21
1n S S n S a n n
n n 求解时,要注意对n 分类讨论,但若
能合写时一定要合并.
练一练:①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+,求n a ; ②数列{}n a 满足1115
4,3
n n n a S S a ++=+=
,求n a ;
3.作商法:已知12()n a a a f n = 求n a ,用作商法:(1),(1)()
,(2)
(1)n f n f n a n f n =??=?≥?-?。
如数列}{n a 中,,11=a 对所有的2≥n 都有2
321n a a a a n = ,则=+53a a ______ ;
4.累加法:
若1()n n a a f n +-=求n a :11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++- 1a +(2)n ≥。
例3. 已知数列{}n a 满足211=a ,n
n a a n n ++=+211
,求n a 。
解:由条件知:1
1
1)1(1121+-
=+=+=
-+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ,代入上式得)1(-n 个等式累加之,即
)()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a
)111()4131()3121()211(n
n --+??????+-+-+-=
所以n
a a n 1
11-=-
211=a ,n
n a n 1231121-=-+=∴
如已知数列{}n a 满足11a =,n
n a a n n ++=--11
1(2)n ≥,则n a =________ ;
5.累乘法:已知1()n n a f n a +=求n a ,用累乘法:121121
n n n n n a a a
a a a a a ---=???? (2)n ≥。
例4. 已知数列{}n a 满足321=a ,n n a n n
a 1
1+=+,求n a 。
解:由条件知
1
1+=+n n a a n n ,分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ,代入上式得)1(-n 个等式累乘之,即
1342312-??????????n n a a a a a a a a n
n 1
433221-??????????=n a a n 11=? 又321=
a ,n
a n 32
=∴ 如已知数列}{n a 中,21=a ,前n 项和n S ,若n n a n S 2
=,求n a
6.已知递推关系求n a ,用构造法(构造等差、等比数列)。
(1)形如1n n a ka b -=+、1n
n n a ka b -=+(,k b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后,再求n a 。
①1n n a ka b -=+解法:把原递推公式转化为:)(1t a p t a n n -=-+,其中
p
q
t -=
1,再利用换元法转化为等比数列求解。 例5. 已知数列{}n a 中,11=a ,321+=+n n a a ,求n a .
解:设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即
321-=?-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ,则4311=+=a b ,且
23
3
11=++=++n n n n a a b b 所以{}n b 是以41=b 为首项,2为公比的等比数列,则11
22
4+-=?=n n n b ,所以
321-=+n n a .
②1n n n a ka b -=+解法:该类型较类型3要复杂一些。一般地,要先在原递推公
式两边同除以1
+n q
,得:
q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b (其中n
n
n q
a b =),得:q
b q p b n n 1
1+=
+再应用1n n a ka b -=+的方法解决.。 例6. 已知数列{}n a 中,651=
a ,1
1)2
1(31+++=n n n a a ,求n a 。 解:在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得:1)2(3
2211
+?=?++n n n n a a
令n n
n a b ?=2,则1321+=+n n b b ,应用例7解法得:n n b )3
2(23-=
所以n
n n
n n b a )31(2)21(32
-== 练一练①已知111,32n n a a a -==+,求n a ;
②已知111,32n
n n a a a -==+,求n a ; (2)形如1
1n n n a a ka b
--=+的递推数列都可以用倒数法求通项。
例7:1,1
3111
=+?=
--a a a a n n n
解:取倒数:
1
1113131---+=+?=n n n n a a a a
?
?????∴n a 1是等差数列,3)1(111?-+=n a a n 3)1(1?-+=n 231-=
?n a n
练一练:已知数列满足1a =1=
n a ;
数列通项公式课后练习
1已知数列{}n a 中,满足a 1=6,a 1+n +1=2(a n +1) (n ∈N +)求数列{}n a 的通项公式。 2已知数列{}n a 中,a n >0,且a 1=3,1+n a =n a +1 (n ∈N +) 3已知数列{}n a 中,a 1=3,a 1+n =
2
1
a n +1(n ∈N +)求数列{}n a 的通项公式 4已知数列{}n a 中,a 1=1,a 1+n =3a n +2,求数列{}n a 的通项公式 5已知数列{}n a 中,a n ≠0,a 1=
2
1,a 1+n =n n a a 21+ (n ∈N +
) 求a n
6设数列{}n a 满足a 1=4,a 2=2,a 3=1 若数列{}n n a a -+1成等差数列,求a n 7设数列{}n a 中,a 1=2,a 1+n =2a n +1 求通项公式a n 8已知数列{}n a 中,a 1=1,2a 1+n = a n + a 2+n 求a n