2013年高三数学理科模拟试题
试卷类型：B
2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学（理科）
2013.4
本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟
注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、
学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式Sh V 3
1
=
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．对于任意向量a 、b 、c ，下列命题中正确的是
A ．= a b a b
B ．+=+a b a b
C ．()()= a b c a b c
D ．2
= a a a 2．直线1y kx =+与圆2
2
20x y y +-=的位置关系是
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．取决于k 的值
文3（理1）．若1i -（i 是虚数单位）是关于x 的方程220x px q ++=（p q ∈R 、）的一个解，则p q +=
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
4．已知函数()y f x =的图象如图1所示，则其导函数()y f x '=的图象可能是
5．若函数cos 6y x πω?
?=+
??
?
()*
ω∈N 的一个对称中心是06
π?? ???
，，则ω的最小值为
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
6．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于 圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两 部分，则截面的面积为
A ．
1
4π B ．π C ．9
4
π D ．4π
7．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，
以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是
图1
A ．
B ．
C ．
D ．
图2
A ．8年
B ．10年
C ．12年
D ．15年
8．记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,，最小数为{}12min ,,n x x x …,，则
{}{}
2max min 116x x x x +-+-+=，，
A ．
34 B ．1 C ．3 D ．72
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）
9．某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为2﹕3﹕4．现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n = ． 10．已知 α为锐角，且3
c o s 45
απ??+
= ???，则 sin α= ． 11．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成 个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．
12．已知函数()2
2f x x x =-，点集()()(){}M x y f x f y =
+，≤2，()()(){}N x y f x f y =-，≥0，
则M N 所构成平面区域的面积为 ．
13．数列}{n a 的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2，即数列}{n a 为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = ；2013S = ． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）
在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足1
3
BE BD =，延长AE 交BC 于点F ， 则
BF
FC
的值为 ．
15．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，已知点1,
2A π?? ???
，点P 是曲线2
sin 4cos ρθθ=上任意一点，设点P 到直线 cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面内． （1）求BAC ∠的大小；
（2）求点O 到直线BC 的距离． 17．（本小题满分12分）
已知正方形ABCD 的边长为2，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点．
（1）在正方形ABCD 内部随机取一点P
，求满足||PH <
（2）从A B C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的
距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．
18．（本小题满分14分）
等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足
AD DB =
1
2
CE EA =（如图 3）．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连结1A B 、1A C （如图4）．
（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；
1PA 与平面
（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线
1A BD 所成的角为60 ？若存在，求
出PB 的长，
若不存在，请说明理由．
19．（本小题满分14分）
已知0a >，设命题p ：函数()2
212f
x x a x a =
-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：
()g x x a ax =--在区间()0,+∞上有最小值．若()p q ?∧是真命题，求实数a 的取值范围．
20．（本小题满分14分）
经过点()0,1F 且与直线1y =-相切的动圆的圆心轨迹为M ．点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、C ． （1）求轨迹M 的方程；
（2）证明：BAD CAD ∠=∠； （3）若点D 到直线AB
，且△ABC 的面积为20，求直线BC 的方程． 21．（本小题满分14分）
设n a 是函数()3
2
1f x x n x =+-()
*n ∈N 的零点．
（1）证明：01n a <<； （2）证明：1n n <+1232
n a a a +++< ．