广东省佛山市第一中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题
2014学年度上学期期中考试高二理科数学试题
命题人：黄俊斌 审题人：何历程
参考公式：台体体积 ：
1
(3
V h
S S +=
+上底下底
锥体体积：Sh V 3
1
=错误！未找到引用源。， 球体体积：33
4
R V π=错误！未找到引用源。 球表面积：错误！未找到引用源。 柱体体积：
Sh
V =
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40 分）
2、某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )
A ．
283π-
B ．83π
-
C ．82π-
D ．23π
3、在平面直角坐标系xOy 中，
直线3450x y +-=与圆2
2
4x y +=相交于,A B 两点，则弦AB 的长等于( )
A. B.
D.1
4、直线a,b,c 及平面α,β,γ,下列命题正确的是（ ）
A 、若a ?α，b ?α,c ⊥a, c ⊥b 则c ⊥α
B 、若b ?α, a//b 则 a//α
C 、若a//α,α∩β=b 则a//b
D 、若a ⊥α, b ⊥α 则a//b 5、 a, b 是异面直线，下面四个命题：
①过a 至少有一个平面平行于b ； ②过a 至少有一个平面垂直于b ； ③至多有一条直线与a ，b 都垂直；④至少有一个平面与a ，b 都平行。 其中正确命题的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
6、如图，四棱锥S —ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ， 则下列结论中不正确的是（ ）
A 、AC ⊥SB
B 、AB ∥平面SCD
C 、SA 与平面SB
D 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D 、AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角
7、任意的实数k ，直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是（ ） A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
8、在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是( ) A 、23 B 、34 C 、45 D 、5
6
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30 分）
9、经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是 ． 10、以点（2，－1）为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是_______________________ 11、与直线01125=++y x 平行，并且与其距离等于2的直线方程是_____________ 12、若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为
13、已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB=6，BC=则棱锥O-ABCD 的体积为_____________．
14、如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是_____(写出所有正确命题的编号).
①当1
02
CQ <<时,S 为四边形; ②当1
2CQ =
时,S 为等腰梯形; ③当34CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足111
3C R =;
④当3
14
CQ <<时,S 为六边形;
⑤当1CQ =时,S
三、解答题（本大题共6个小题，15、16两题各12分，其余各题14分，共80分。需有必要的运算及推理过程，答案写在答卷上）
15、（12分）已知圆C 过点A （13+，0）、B （31-，0），半径为2,且圆心在X 轴上方。
A
B
C
S
G
F
E
D
A 1
B 1
B
A
（1）求圆C 的方程
（2）求圆C 关于直线033=+-y x 对称的圆的方程。
16、（12分）如图,在三棱锥ABC S -中, 平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =, 过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,
点G E ，分别是棱SC SA ，的中点. 求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.
17、（14分）已知：以点C(t,
t
2
) (0,≠∈t R t )为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为坐标原点。
（1）求证：OAB ?的面积为定值。
（2）设直线42+-=x y 与圆C 交于点M 、N ，若OM=ON ，求圆C 的方程。
18、（14分）如图，四棱锥S ABCD -中，
CD AB //,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，
2,1AB BC CD SD ====．
（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;
（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的正弦值．
19、（14分）如图，在三棱柱111-ABC A B C 中，侧棱1AA
⊥底面ABC ,,⊥AB BC D 为AC 的中点,
12A A AB ==.
(1) 求证：1//AB 平面1BC D ；
(2) 若四棱锥11-B AAC D 的体积为3,
A
S
G
F
E
求二面角1--C BC D 的正切值.
20、（14分） 已知圆C ：4)3(22=-+y x ，一动直线l 过A （-1，0）与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：063=++y x 相交于N. (1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； (2)当32=PQ 时，求直线l 的方程； (3)探索向量AM 与向量AN ，AN AM ?是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；
若有关，请说明理由。
2014
一．选择题：把正确答案的选项符号填涂在答题卡上！
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把正确答案填在答题卷上 9._____________; 10.________________; 11.__________________ 12._____________; 13.________________; 14．_____________________; 三．解答题（共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本题满分12分）
16.（本题满分12分）
班级： 姓名： 试室号
17.（本题满分14分）
18.（本题满分14分）
D
C 1
A 1
B 1
C
B
A
19.（本题满分14分）
20.（本题满分14分）
2014学年度上学期期中考试高二理科数学试题参考答案
二．填空题
9、10x y -+= 10、22
25(2)(1)2
x y -++=
11、027125=++y x 或025125=-+y x 12、
π3
3
13、 14、①②③⑤ 三、解答题
15、（12分）已知圆C 过点A （13+，0）、B （31-，0），半径为2，且圆心在X 轴上方。 （1）求圆C 的方程
（2）求圆C 关于直线033=+-y x 对称的圆的方程。
解：（1）022222=---+y x y x ----------------------------------4分 （2）C （1，1）关于033=+-y x 的对称点为（-2，2）------------------------------10分 所以圆C 关于直线033=+-y x 对称的圆的方程为4)2()2(22=-++y x ------------12分 16、（12分）如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点. 求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥. 证明:(1)∵AB AS =,SB AF ⊥ ∴F 分别是SB 的中点
∵E.F 分别是SA.SB 的中点
∴EF∥AB --------------------------2分 又∵EF ?平面ABC, AB ?平面ABC
∴EF∥平面ABC
同理:FG∥平面ABC -------------------------4分 又∵EF FG=F, EF.FG ?平面ABC
∴平面//EFG 平面ABC ------------------------6分 (2)∵平面⊥SAB 平面SBC ，平面SAB 平面SBC =SB AF ?平面SAB ， AF⊥SB
∴AF⊥平面SBC -----------------------8分 又∵BC ?平面SBC
∴AF⊥BC --------------------------9分
A
C S
G F E
又∵BC AB ⊥, AB AF=A, AB.AF ?平面SAB
∴BC⊥平面SAB -------------------------------------11分 又∵SA ?平面SAB
∴BC⊥SA ---------------------------------------12分 17、（14分）已知：以点C(t,
t
2
) (0,≠∈t R t )为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B ，其中O 为坐标原点。
（1）求证：OAB ?的面积为定值。
（2）设直线42+-=x y 与圆C 交于点M 、N ，若OM=ON ，求圆C 的方程。
（1）证明： 圆C 过原点O ，22
2
4
t
t OC +
=， ---------------------------1分 ∴可设圆的方程是2222
4)2()(t
t t y t x +=-+- -----------------------2分
令x=0，得y=0或y=t
4
，令y=0，得x=0或x=2t ---------------------4分
∴ 4242121==?=
?t t
OB OA S OAB ---------------------------6分 即OAB ?的面积为定值
（2）解： OM=ON,CM=CN
∴OC 垂直平分线段MN 2
1,2=
∴-=OC MN k k ∴直线OC 的方程是x y 2
1
= -------------------------------7分 ∴
2
2t
t =，解得t=-2或t=2 ----------------------------------9分 I ）当t=2时，圆心C 的坐标为（2，1），半径r=5
圆心到直线42+-=x y 的距离
551
<=
d ，
圆C 与直线42+-=x y 交于两点 ------------------------------11分 Ii)当t=-2时，圆心C 的坐标为（-2，-1），半径r=5
圆心到直线42+-=x y 的距离
559
>=
d ，
圆C 与直线42+-=x y 不相交， 不合题意，舍去。 -----------------------13分 ∴圆C 的方程为
5
)1()2(22=-+-y x -----------------------14分18、
（14分）如图，四棱锥S ABCD -中， CD AB //,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，
2,1AB BC CD SD ====．
（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;
（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成角的正弦值．
（I ）取AB 中点E ，连结DE ，则四边形BCDE 为矩形，DE=CB=2， 连结SE
，则,SE AB SE ⊥=
又SD=1，故222
ED SE SD =+，
所以DSE ∠为直角。 ----------------------------------…………4分 由,,AB DE AB SE DE SE E ⊥⊥= ， 得AB ⊥平面SDE ，所以AB SD ⊥。 SD 与两条相交直线AB 、SE 都垂直。 所以SD ⊥平面SAB 。
---------------------------------…………8分
（II ）由AB ⊥平面SDE 知， 平面ABCD ⊥平面SED 。
作,SF DE ⊥垂足为F ，则SF ⊥平面ABCD ， -----------------------------9分
S D S E SF DE ?=
= --------------------------- 10分
作FG BC ⊥，垂足为G ，则FG=DC=1。 连结SG ，则SG BC ⊥， 又,BC FG SG FG G ⊥= ，
故BC ⊥平面SFG ，平面SBC ⊥平面SFG 。 ----------------…………12分 作FH SG ⊥，H 为垂足，则FH ⊥平面SBC 。
G
F
E
O
D
C 1
A 1
B 1
C
B
A
D
C 1
A 1
B 1
C
B
A
S F F G FH SG ?=
=，即F 到平面SBC
的距离为7--------------------------13分
由于ED//BC ，所以ED//平面SBC ，E 到平面SBC 的距离d
也有
设AB 与平面SBC 所成的角为α， 则7
21sin ==
EB d α ----------------…………14分
19、（14分）如图，在三棱柱111-ABC A B C 中， 侧棱1AA ⊥底面ABC ,,⊥AB BC D 为AC 的中点,
12A A AB ==.
(1) 求证：1//AB 平面1BC D ；
(2) 若四棱锥11-B AAC D 的体积为3,
求二面角1--C BC D 的正切值.
（1）证明: 连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD , ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,
∴点O 为1B C 的中点. ∵D 为AC 的中点，
∴OD 为△1AB C 的中位线,
∴ 1//OD AB . …… 4分 ∵OD ?平面1BC D ,1?AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D . …… 6分 (2)解: 依题意知，12AB BB ==，
∵1⊥AA 平面ABC ,1AA ?平面11AAC C ,
∴ 平面ABC ⊥平面11AAC C ，且平面ABC 平面11AAC C
AC =.
作BE AC ⊥，垂足为E ，则BE ⊥平面11AAC C ， ……8分 设BC a =，
在Rt △ABC
中，AC =
=
AB BC BE AC =
=
， ∴四棱锥11-B AAC D 的体积()11111
32
V AC AD AA BE =?+
126=
a =. …… 10分
依题意得，3a =，即3BC =. …… 11分 ∵11,,AB BC AB BB BC BB B ⊥⊥= ,BC ?平面11BB C C ，1BB ?平面11BB C C ， ∴AB ⊥平面11BB C C .
取BC 的中点F ，连接DF ，则DF //AB ,且1
12
DF AB ==. ∴DF ⊥平面11BB C C .
作1FG BC ⊥，垂足为G ，连接DG ， 由于1DF BC ⊥，且DF FG F = ， ∴1BC ⊥平面DFG . ∵DG ?平面DFG , ∴1BC ⊥DG .
∴DGF ∠为二面角1--C BC D 的平面角. …… 13分
由Rt △BGF ～Rt △1BCC ,得11GF BF
CC BC =,
得1132
13BF CC GF BC ?=== ,
在Rt △DFG 中, tan DF DGF GF ∠
=
=∴二面角1--C BC D
的正切值为3
. …… 14分
20、（14分）已知圆C ：4)3(22=-+y x ，一动直线l 过A （-1，0）与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点，l 与直线m ：063=++y x 相交于N. (1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； (2)当32=PQ 时，求直线l 的方程； (3)探索向量AM 与向量AN ，AN AM ?是否与直线l 的倾斜角有关，若无关，请求出其值；
若有关，请说明理由。
（1）证明：因为l 与m 垂直，且,3
1
-=m
k -----------------1分 所以,3=l
k
故直线033),1(3:=+-+=y x x y l 即 -------------2分
圆心（0，3）在直线l 上，即当l 与m 垂直时，l 必过圆心C----------3分 （2）解： 当直线l 与x 轴垂直时，
1-=x 符合题意 ----------------4分
当直线l 与x 轴不垂直时，
设直线l 的方程为0),1(=+-+=k y kx x k y 即，----------------6分 因为32=PQ ，所以134=-=CM ，
则由
34
,11
32=
=++-=
k k k CM 得 -----------------7分
所以直线l ：0434=+-y x
综上，直线l 的方程为1-=x 或0434=+-y x -----------------8分 （3）因为MN CM ⊥，
所以?+=?)(
?=?+?= ----------------9分
当直线l 与x 轴垂直时，
),3
5,0(),35,1(-=--N 则
又5),3,1(-=?=?=所以 -------------11分
当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为),1(+=x k y
则由??
?
??+-++=+++=)315,3163-N ,063)1(k k k k y x x k y （得
则)315,315(
k
k
k AN +-+-= 所以5-=?=?AN AC AN AM -----------------13分 综上，?与直线l 的斜率无关，因此与倾斜角也无关，且5-=?-14分