2012年浙江高考数学(理科)试卷(含答案)

2012浙江省高考数学（理科）试卷word 版(含答案)

2012年普通高等学校招生全国统一考试

数 学（理科）

选择题部分（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。

1．设集合{}|14A x x =<<，集合{}

2

|230B x x x =--≤，则()R A C B ?=

A ．(14)，

B ．(34)，

C ．(13)，

D ．(12)(34)?，， 2．已知i 是虚数单位，则

31i

i

+=- A ．12i - B ．2i - C ．2i + D ．12i +

3．设a R ∈，则“1a =”是“直线1l ：210ax y +-=与直线2l ：(1)40x a y +++=平行”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

4．把函数cos 21y x =+的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是

5．设a ，b 是两个非零向量

A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a b

B ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a b

C ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b a

D ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b

6．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有

A ．60种

B ．63种

C ．65种

D ．66种

7．设n S 是公差为d （0d ≠）的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题错误．．的是 A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项 B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <

C ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意*n N ∈，均有0n S >

D ．若对任意*n N ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列

8．如图，

1F ，2F 分别是双曲线

C ：22

221(0)x y a b a b

-=>，的

左、右两焦点，B 是虚轴的端点，直线1F B 与C 的两条渐近 线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点

M ．若112||||MF F F =，则C 的离心率是

A ．

3 B ．2

C D ．9．设0a >，0b >

A ．若2223a b a b +=+，则a b >

B ．2223a b

a b +=+若，则a b <

C ．若2223a b a b -=-，则a b >

D ．若2223a b

a b -=-，则a b <

10．已知矩形ABCD ，1AB =，BC =ABD ?沿矩形的对角线BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，

A ．存在某个位置，使得直线AC 与直线BD 垂直

B ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 垂直

C ．存在某个位置，使得直线A

D 与直线BC 垂直 D ．对任意位置，三对直线“AC 与BD ”，“AB 与CD ”，“AD 与BC ”均不垂直

非选择题部分（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．已知某三棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该三棱锥 的体积等于 3

cm ．

12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ． 13．设公比为(0)q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ． 若2232S a =+，4432S a =+，则q = ． 14．若将函数5()f x x =表示为

2345012345()(1)(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x a x =++++++++++++，

其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a = ． 15．在ABC ?中，M 是BC 的中点，3AM =，10BC =，

则AB BC ?=

．

16．定义：曲线C 上的点到直线的距离的最小值称为曲线C 到直线l

的距离．已知曲线1C ：2

y x a =+到直线l ：y x =的距离等于曲线

2C ：22(4)2x y ++=到直线l ：y x =的距离，则实数a = ．

17．设a R ∈，若0x >时均有()()

2

1110a x x ax ----≥????，

则a = ．

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18．（本题满分14分）在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．

已知2

cos 3

A =，

sin B C =．

（Ⅰ）求tan C 的值；

（Ⅱ）若a =

ABC ?的面积．

19．（本题满分14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等）3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和． （Ⅰ）求X 的分布列； （Ⅱ）求X 的数学期望()E X ．

20．（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是

边长为120BAD ∠=?，且PA ⊥平面ABCD ，

PA =M ，N 分别为PB ，PD 的中点．

（Ⅰ）证明：MN ⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）过点A 作AQ PC ⊥，垂足为点Q ，求二面角

A MN Q --的平面角的余弦值．

21．（本题满分15分）如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b

+=>>的

离心率为

1

2

，其左焦点到点(2,1)P ．．．．O 的 直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）求ABP ?面积取最大值时直线l 的方程．

22．（本题满分14分）已知0a >，b R ∈，函数3()42f x ax bx a b =--+． （Ⅰ）证明：当01x ≤≤时，

（i ）函数()f x 的最大值为|2|a b a -+； （ii ）()|2|0f x a b a +-+≥；

（Ⅱ）若1()1f x -≤≤对[01]x ∈，

恒成立，求a b +的取值范围．

数学（理科）试题参考答案

一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。

1．B 2．D 3．A 4．A 5．C 6．D 7．C 8．B 9．A 10．B

二、填空题：本题考察基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。

11．1 12．

1120 13．3

2 14．10 15．-16 16．94 17．3

2

三、解答题：本题共小题，满分72分。

18．本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

（Ⅰ）因为0A π<<，2

cos 3

A =

，得

s i n A =

=

又

c o s s i n s i n ()

C B A C ==+

s i n

c o s c o s

s i n

A C A C =+

2

cos sin 33

C C =+

所以t a n C =

（Ⅱ）由tan C =，得

s i n C =

，c o s C =

于是

s i n c o s B C ==

由a =

s i n s i n

a c

A C =，得

c = 设ABC ?的面积为S ，则

1sin 2S ac B =

=． 19．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查

抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。

（Ⅰ）由题意得X 取3，4，5，6，且

35395

(3)42C P X C ===， 12453

910(4)21C C P X C ?===， 2245395(5)14C C P X C ?===， 443

91

(6)21

C P X C ===． 所以X

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

13()3(3)4(4)5(5)6(6)3

E X P X P X P X P X =?=+?=+?=+?==

． 20．本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想像能力和运算求解能力。满分15分。

（Ⅰ）因为M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MN 是PBD ?的中位线，所以 //MM BD 又因为MN ?平面A B C D ，所以

//MM 平面A B C D ． （Ⅱ）方法一：

连结AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC ，OD 所在直线为x ，y 轴，建立空间直角坐标系O x y z ，如图所示

在菱形A B C D 中，120BAD ∠=?，得

AC AB ==

6BD ==． 又因为PA ⊥平面A B C D ，所以

P A A C ⊥．

在直角PAC ?

中，AC =

PA =A Q P C ⊥，得 2QC =，4PQ =． 由此知各点坐标如下，

(,0,0)A ，(0,3,0)B -，

,0,0)C ，(0,3,0)D ，

(,06)

P

，3

(,,2

M -，

3(,,22N -

，(,0,)33

Q ．

设(,,)x y z =m 为平面

A M N 的法向量．

由3(,,22AM =-

，3(,,22

AN = 知

3

023

022

x y x y -=?++=??

取1x =-，得

(,0,1)

=-m 设(,,)x y z =n 为平面

Q M N 的法向量．

由3(,)2QM =-

，3(,)2QN = 知

30623302x y z x y z ?-

-+=????+=?? 取5z =，得

(,0,5)=n 于是

cos ,|||33

?<>=

=

?m n m n m n |． 所以二面角A M N Q --

方法二：

在菱形A B C D 中，120BAD ∠=?，得

A C A

B B

C

D A ===

，B D A B

=， 有因为PA ⊥平面A B C D ，所以 P A A B ⊥，P A A C ⊥，P A A D ⊥，

所以P B P C

P D ==． 所以P B C P D C ???．

而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以 M Q N Q =，且11

22

AM PB PD AN =

==． 取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ，则 A E M N ⊥，Q E M N ⊥，

所以AEQ ∠为二面角A M N Q --的平面角．

由AB =

PA =

在A M N ?中，3A M A N

==，1

32

M N B D ==，得

2

AE =

． 在直角PAC ?中，A Q P C ⊥，得

AQ =2QG =，4PQ =，

在PBC ?中，2225

c o s

26

PB PC BC BPC PB PC +-∠==?，得

MQ =

在等腰M Q N ?

中，M Q N Q ==3MN =，得

QE =

=

． 在AEQ ?

中，AE =

，QE =

，AQ =

222cos 2AE QE AQ AEQ AE QE +-∠==

? 所以二面角A M N Q --

的平面角的余弦值为

33

． 21．本题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解体能力。满分15分。

（Ⅰ）设椭圆左焦点为(0)F c -，

，则由题意得

1

2

c a ?=??，

得1

2

c a =??

=?

所以椭圆方程为

22

143

x y +=． （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，，线段AB 的中点为M ．

当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为0x =，与不过原点的条件不符，舍去．故

可设直线AB 的方程为

(0)y kx m m =+≠，

由22

3412

y kx m x y =+??+=?消去y ，整理得 222(34)84120k x kmx m +++-=， （1）

则

2222

644(34)(412)0k m k m ?=-+->，1222

12283441234km x x k m x x k ?

+=-??+?-?=?+? 所以AB 线段的中点222

8412

(,)3434km m M k k --

++， 因为M 在直线OP 上，所以

22

323434m km

k k -=++，

得

0m =（舍去）或3

2

k =-，

此时方程（1）为2

2

330x mx m -+=，则

23(12)0m ?=->，1221233x x m m x x +=??

?-=

??

所以

12||||6

AB x x =-=

设点P 到直线AB 距离为d ，则

d =

=

设ABP ?的面积为S ，则

1||26

S AB d =

?=，

其中(m ∈-?，

令2

2

()(12)(4)u m m m =--

，[m ∈-

2'()4(4)(26)4(4)(11u m m m m m m m =----=----，

所以当且仅当1m =()u m 取到最大值，

故当且仅当1m =S 取到最大值．

综上，所求直线l 方程为3220x y ++=．

22．本题主要考查利用导函数研究函数的性质、线性规划等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论等综合解题能力和创新意识。满分14分。

（Ⅰ）（i ）2

2

'()12212()6b

f x ax b a x a

=-=-

当0b ≤时，有'()0f x ≥，此时()f x 在[0,)+∞上单调递增

所以当01x ≤≤时，

max 3,2()max{(0),(1)}max{,3}|2|,2a b b a

f x f f a b a b a b a a b b a

-≤?==-+-==-+?-+>?

（ii ）由于01x ≤≤，故

当2b a ≤时，

333()|2|()34224422(221)

f x a b a f x a b ax bx a ax ax a a x x +-+=+-=-+≥-+=-+

当2b a >时，

333()|2|()42(1)244(1)22(221)

f x a b a f x a b ax b x a ax a x a a x x +-+=-+=+-->+--=-+

设3

()221,01g x x x x =-+≤≤，则

2

'()626(33

g x x x x =-=-+， 于是

所以，m i n ())0g x g ==>，

所以

当01x ≤≤时，3

2210x x -+>

故3()|2|()2(221)0

f x a b a f x a b a x x +-+=-+≥-+≥ （Ⅱ）由（i ）知，当01x ≤≤，max ()|2|f x a b a =-+，所以

|2

|1a b a -+≤ 若|2|1a b a -+≤，则由（ii ）知

()(|2

|)f x a b a ≥--+≥- 所以1()

1f x -≤≤对任意01x ≤≤恒成立的充要条件是 |2|1

a b a a -+≤??

>?，

即20310a b a b a -≥??-≤??>?，或2010a b b a a -

-≤??>?

（1）

在直角坐标系aOb 中，（1）所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，

其中不包括线段BC ，

作一组平行直线()a b t t R +=∈，得 13a b -<+≤．

所以的取值范围是(1,3]-．