复合函数概念精析

复合函数概念精析

蓝田县洩湖中学

王锦锋

复合函数概念精析

复合函数是中学数学深化函数概念，提高运用函数思想解决数学问题能力的重要工具，是进一步学习高等数学的重要基础，也是历届高考常考不衰的热点。但高中数学教材未作介绍，而其他教辅材料上也仅给出描述性的非严格定义，因此，高一数学教学与高考数学复习中介绍有关内容很有必要。

一、复合函数的概念

我们见到的复合函数的描述性定义是：如果y是u的函数，而u 又是x的函数，即y=f(u)，u=g(x)，那么y关于x的函数y=f［g(x)］叫做函数f和g的复合函数，u叫做中间变量。例如y=sin 2x它与y=sin x不同，不是基本初等函数，而是由三角函数y=sin u和一次函数u=2x经过“复合”而成的一个函数。由于上述定义中对“复合”的定义没有明确界定，因而很多同学对复合函数的概念似是而非，含混不清，为此，我们精读这个定义，字斟句酌，纠错补缺，以使我们正确理解复合函数的概念。

1、由字面理解

“复合”本来是指“合在一起，结合起来”的意思，但在复合函数的定义中，对复合步骤的方式有特殊的约定。它不是泛指把几个简单函数随意地结合在一起，例如用四则运算把它们结合起来得到的形如a·f(x)±b·g(x)或a·f(x)·b·g(x)的函数，而是专指把几个映射，像工厂中的生产流水线，依先后顺序合在一起，对同一自变量

逐次映射构作的一个复合映射确定的函数。这里的几个映射可以相同，也可以不同，但只能是常数与基本初等函数间进行的幂的运算，指数运算，对数运算，三角运算，反三角运算。自变量像被加工的零件依次通过第一个映射后到第二个映射，一直到通过全部映射。例如，复合函数y=sin 2x是自变量x先“乘2”（第一次映射），再“取正弦”（第二次映射），最后得到y关于x的一个函数sin 2x。因此有人说复合函数是函数的函数。

为了叙述和应用的方便，我们通常用“层”来描述上述不同的映射所对应的函数。从外向内看，函数y=f［g(x)］中称f定义的函数y=f(u)为外层函数（外函数），称g定义的函数u=g(x)为内层函数（内函数），且称函数y=f［g(x)］为函数f和g复合一次得到。这里外层函数的映射法则f和内层函数的映射法则g构作的复合函数的映射法则称为复合映射f g（注意：不能把f g读作“f乘g”，因为复合映射不具有交换律，即f g≠g f，这是复合映射很重要的一个基本特征）。有人形容复合映射f g是具有传递性的两个映射f和g的链条，可以帮助我们理解复合函数的内涵。

2、从函数定义理解

既然函数y=f［g(x)］可视为函数y=f(u)和函数u=g(x)复合得到，因而它们都必须符合函数的定义，这才是复合函数定义的关键所在。除前面对复合映射结构特征的分析外，我们还须从定义域和值域都是非空的数集出发，考察复合函数定义的相应要求。

设函数u=g(x)的定义域是D，值域是M。再设y=f(u)的定义域是

N，值域是R，则D、M、N、R都是非空的数集。从“复合”中我们发现内层函数u=g(x)具有二重性：一方面它是自变量x的函数，当x ∈D时，则有g(x)∈M；另一方面它又是函数y=f(u)的自变量，当g(x)=u∈N时，则有y=f(u)∈R。要使y=f(u)仍然是函数，就要求u=g(x)的值域M和y=f(u)的定义域N必须有交集（非空数集）。M N ф是复合函数的一个必要但不充分的条件，也就是说，函数y=f(u)的定义域N，既受到外层函数的映射法则f的制约，又受到内层函数u=g(x)的值域M的限定。只看一面，不看另一面就会犯概念的错误。有的同学不加分析地认为任何两个函数都可以复合成一个复合函数，事实却不然，例如y= ln ( sin x –2),y=arc cos(x2+2)等都不是复合函数，因为y=ln u是自然对数，定义域N必须符合u >0 (u∈N),但u= sin x–2,而|sin x|≤1故sin x–2 ≤–1,于是有M N=｛u︱u>0｝ ｛x｜sin x–2≤–1｝=ф,故y= ln (sin x–2)不能构成复合函数。同理,y=arccos(x2+2)也不能构成复合函数（它们都不是函数）。

据此，反思前面给出的定义，我们发现这个定义是不严谨的。它忽视了构造复合函数y=f［g(x)］过程中各层子函数及它们复合后的整体都必须适合函数的定义。为此，我们把定义补充为：如果y是u 的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=g(x)，且对于x值所对应的u 值，函数y=f(u)是有定义的, 即y=f(u),u∈N,u=g(x),x∈M，M N=ф,则y关于x的函数y= f［g(x)］叫做f和g的复合函数。

3、从结构特征理解

除最内层函数允许对自变量施行加、乘运算外，每一次复合都是把内层函数的整体作为自变量施行新的映射，这样，像穿衣服一样，

从内到外逐次添加映射，直至构造出所需函数。这一独特的发生过程，不仅给出了复合函数的结构特征，使我们能迅速判断已知函数式是不是一个复合函数，也使我们明白复合函数不是一类新的独立的基本初等函数，而是几个简单函数的特殊构造，因而使我们能从参与复合的简单函数的性态研究复合函数的相应属性。

4、从穿脱原理理解

穿脱原理是复合函数与简单函数相互转化的工具，由它可将简单函数构造成复合函数，也可将复合函数分拆为简单函数。

先看复合。例如由y=3u ，u=sin v , v=x ,欲得到复合函数，可从外层函数开始，逐次代换添加映射，每代换一次增加一个映射，即y=3u =3v sin =3x sin ，最后得到y 关于x 的复合函数y=3x sin 。

一般地，由y=f(u) , u=g(v) , v=? (x)的复合过程可记为y=f(u)=f ［g(v) ］=f{ g ［? (x) ］}。

再看分拆。例如函数y= ln sin 211

x +可以从外层函数开始逐层

拆为简单函数，每拆一层，设一个中间变量，即最外层函数记为y=ln u ，第二层记为u=sin v ，第三层记为v=t -21

，第四层记为t=x 2+1。

上述多次令中间变量进行的代换，叫做连续代换或锁链代换，实质上是换元法。

穿脱原理从发生过程深化了复合函数的概念，在复合函数的性态研究中具有重要作用。例如复合函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、极值，求反函数时都需要它，一些重要运算，如求导、微分更必须依靠它由。

二、 复合函数初等性质举要

在中学，我们可以探讨复合函数的哪些性质呢？和常见的基本

初等函数一样，我们可以探讨复合函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性，极值与最值。探讨中，最关键的是注意复合映射的多层制约，是否使符合函数仍有定义，研究它的每一层映射对复合函数性质的影响。

1、求定义域 因为多层复合映射结构复杂，使求复合函数定义域的题型形式多样，现列举主要题型如下。

（1）已知复合函数的表达式，求复合函数的定义域。

将已知复合函数正确地拆成几个常见的简单函数，根据使函数解析式有定义的要求，由外到内列全限制条件对应的不等式，所得不等式组的解集就是复合函数的定义域。

例1、 函数y=)1(log log 222

1+x 的定义域。

解：要使函数y=)1(log log 222

1+x 有意义，须满足 log )1(log 222

1+x ≥0 （使根式有意义）,

log )1(22+x >0 （使对数有意义）,

x 2+1>0 （使对数有意义）,

解得 –1 ≤ x < –22

或 22 < x ≤ 1,

故所求函数的定义域为［–1, –22）∪（22,1）。

（2）已知函数y = f (x) 的定义域，求复合函数y=f ［g(x)］的定义域。

因为f 代表同一映射，只需用代换法则，先将原函数的定义域写成x 的不等式，再将x 换成中间变量 g ( x )，解所得不等式即可。 例2、 已知函数y = f (x) 的定义域是［0,1］，求函数 y = f (sin

x –cos x )的定义域。

解：由题设知，0≤sin x –cos x ≤1,即 0≤2sin （x –4π ）≤1 ∴2k π+

4π≤ x ≤2k π+2π, 或 （2k+1）π≤ x ≤（2k+1）π+4

π,k ∈Z. 故函数y = f (sin x –cos x )的定义域是

［2k π+4π，2k π+2π］ ［（2k+1）π，（2k+1）π+4π］k ∈Z.

（3）已知复合函数的定义域，求外层函数的定义域。

实质是从已知复合函数中x 的取值范围，求出这个复合函数的中间变量的范围。（或内层函数的值域）。

例3、已知函数y = f (

1lg 1-x )的定义域是［100,1000］，求函数y = f (x ) 的定义域。

解：由100≤x ≤1000 得，2≤ lg x ≤3.

∴1≤lg x –1≤2 ∴ 21≤

1

lg 1-x ≤1. 故函数y = f (x) 的定义域是［2

1,1］.

2、求函数表达式

中学阶段求复合函数表达式大致可归纳为两种题型，一是已知各层子函数的映射法则，求复合函数的表达式；二是已知复合函数适合的函数方程，求复合函数的表达式。

（1）已知中间变量，求复合函数。

用代换法则像求函数值一样，从内向外逐次将内层函数的表达式代换外层函数的自变量解出。每次代换只看一层，只代换一个中间

变量。函数的映射法则是对自变量单x 定义的，故复合函数的表达式最终也须将表达式用单x 的运算表示。

例4、 已知函数f ( x ) =

x -21，求函数f ［f(x)］的表达式。 解：∵f ( x ) =

x -21 ∴f ［f(x)］= f(x -21) = x --21

21 = x

x 232-- （2）已知复合函数，求原函数。

关键是沟通中间变量与复合函数表达式间的映射关系，找到原函数用中间变量的整体作自变量的映射法则，常用配凑法，换元法，待定系数法等。

例5、 已知f ( cos x –1) = cos 2x ，求f ( x ) 。

解：设cos x –1 = t,则cos x = t+1 , f ( t ) = ( t+1 )2 ∵–1≤ cos x ≤1 ， ∴ –2≤ cos x –1 ≤0， 即 –2≤ t ≤0，

故 f(x) = (x+1)2 ， (–2≤ x ≤0) 。

（3）已知复合函数适合的函数方程，求复合函数的表达式。 中学只涉及简单的函数方程，因此，关键是将所求复合函数看作未知变量，根据函数方程的结构特征采用代换方法建立方程组，消元解之。

例6、 已知a f(x n )+ f(–x n ) = bx , 其中a ≠1，n 为奇数，求函数

f ( x )。

解：由已知用–x 代换x ，由于n 为奇数，有

a f(–x n )+ f(x n ) = –bx 。

结合已知条件，可解得f(x n ) =

1-a bx ， 而a ≠1，n 为奇数，故f(x n ) = 1

-a x b n 。 （4）已知复合函数，求与外层函数映射法则相同的另一复合函数。

先由已知复合函数求原函数，再由原函数求另一复合函数。

例7、 知f (x+3) = x 2+ 2x + 1 , 求函数f (x-3) 。

解：设 t=x+3,则x=t –3,有

f ( t ) = (t-3)2+ 2 (t-3)+1 = (t-2)2，

∴f(x) = (x-2)2，

故f (x-3) = ［(x-3)-2］2=（x-5）2。

3、求值域

在复合函数定义域上，先求出最内层函数的值域，再用它作中间函数的“自变量”求出中间函数值域，依次外推直至求出最外层函数的值域。

例8．求函数y= arc cos (sin x) (-3π

2π)的值域。 解：∵-3π

＜sin x ≤1.

又∵ y=arc cos u 是减函数。

∴0≤ arc cos(sin x) ＜65π. 故新求函数的值域是［0，6

5π)。

4、判断函数奇偶性

通法是根据奇偶性的定义进行判断。容易产生的一类负迁移是：认为构成复合函数的每层简单函数都要有奇偶性时，复合函数才有奇偶性，这是错误的。例如函数y=lg cosx,可拆成y=lgu，u=cosx,易知外层函数y=lgx不具有奇偶性，但内层函数u=cosx是偶函数，由定义可知y=lg cosx是偶函数。

当复合函数各层子函数都有奇偶性时，可用下列法则判断它的奇偶性。

定理1 当内层函数u=?(x)为偶函数时，复合函数y=f［?(x)］为偶函数（此时f可为任意函数），简记为“内偶则偶”。

定理2 当内层函数u=? (x)为奇函数时，若外层函数y=f(u)为奇函数，则复合函数y=f［?(x)］为奇函数；若外层函数y=f(u)为偶函数，则复合函数y=f［?(x)］为偶函数。记为“内奇外奇则奇”，“内奇外偶则偶”。

5、判断函数单调性

通法仍然是由函数单调性的定义判断。但若其中某层中间变量没有单调性时，则复合函数无单调性。只有复合函数的各层子函数在定义域上均为严格单调函数时，复合函数才具有单调性，并可用下列法则判断复合函数的单调性。

定理1当y=f(u),u=g(u)均为增函数时，则复合函数 y=f［g(x)］为增函数；当y=f(u) ,u=g(u)均为减函数时，则复合函数y=f［g(x)］为增函数，简记为“同向为增”。

定理2当y=f(u)为增函数，u=g(u)为减函数，或y=f(u)为减函

数，u=g(u)为增函数，则复合函数y=f［g(x)］为减函数，简记为“异向为减”。

以上定理可推广至n层复合函数，即：

定理3 若有限次复合函数的每层子函数均有意义且严格单调，则减函数的层数为偶数时，复合函数为增函数；减函数的层数为奇数时，复合函数为减函数。

6、求函数周期

（1）由周期函数的定义易知关键是最内层函数是否有周期性。当最内层函数为周期函数时，复合函数必为周期函数，但最小正周期可能改变。

例如y=cos2x,由y=u2,u=cosx复合得到，内层函数u=cosx为周期函数，T=2л，则y=cos2仍为周期函数，但Tˊ=л.

若外层函数y= f( u )为严格单调函数，内层函数u=g(x)是以T

，则复合函数y=f［g(x)］是周为周期的函数，并且有最小正周期T

期函数，并且有最小正周期T

。

（2）当内层函数无周期性，外层函数有周期性时，应由周期函数的定义判断。特殊情形可由下列定理判断：

定理1 若外层函数y= f( u )是以T为周期的函数，且u=ax+b

T

则复合函数y=f(ax+b) 是周期函数，周期为

a

定理2 若外层函数y= f ( u )为周期函数，且函数y= f( u )为偶函数，u=|x|，则复合函数y= f(|x| )是周期函数。

7、求函数的最值

（1）已知复合函数的表达式，求复合函数的最值。

若外层函数是严格单调函数，内层函数有最值时，内层函数的最值点就是复合函数的最值点；若外层函数有最值时，外层函数的最值点就是复合函数的最值点。

若外层函数y= f ( u )与内层函数u= g( x )都是严格单调函数时，复合函数y=f[g(x)]的值域为开区间，则复合函数无最值；值域在闭区间，则复合函数既有最大值，也有最小值；值域为半开半闭区间，则复合函数只有最大值而无最小值，或只有最小值而无最大值。 例9、已知0 ＜a ≤2,求函数y=(sinx+a)(cosx+a)的最值。 解：y=(sinx+a)(cosx+a)=sinx cosx + a(sinx+cosx)+a 2 =22)cos (sin 2

1)cos (sin a x x a x x +++-+, 令 t = sinx + cosx , 由sinx + cosx =

2sin(x+4π) 知 |t|≤2, ∴y = 212-t + at + a 2=2

1

(t + a)2+ 21(a 2-1), 当t=-a 时，y 最小=21(a 2-1),

当t=2时，y 最大=a 2+2a + 21

。

（2）已知复合函数，求原函数的最值。

先由复合函数求得原函数，再求原函数的最值。

例10、 已知f (2x+1) = 2

447

82+++x x x ,求函数f (x) 的最值。 解：令t = 2x+1，则x = 21-t ，于是得 f ( t ) =134

2++t t ，

∴ f ( x ) =1

342++x x = y (x ∈R)， 即 yx 2-4x+(y-3)= 0，

当y=0时，x= -4

3；当y ≠0时，因x ∈R,故?= 16 –4y(y –3)≥0，

∴-1≤ y ≤4, 且当x = 2

1时,f(x)最大=4；当x= -2时,f(x)最小= -1。 8、求反函数

当复合函数y=f ［g(x)］的各层子函数均为严格单调函数时，有反函数。一般先逐层求出各层子函数的反函数，后复合为原函数的反函数，或用穿脱原则从外到内依次取原映射的逆映射。注意由原函数的值域写出它的反函数的定义域。

例11、 求函数y = 2 arctan ( 2x -2π)的反函数。

解：y=2arc tan ( 2x - 2π),x=21(tan 2y + 2π) 故 y = 21tan 2x +4

π

又- 2π＜arc tan ( 2x - 2π)＜2

π

，-π＜2arc tan ( 2x - 2

π)＜π， 故所求反函数为y = 21tan 2x +4π (-π＜x ＜π)。 三、复合函数的图像

作复合函数的图像一般都比较繁杂，这里仅介绍用图像变换法作复合函数的图像。当复合函数y=f ［g(x)］可视为由常见的简单函数经过平移，伸缩，对称等变换得到时，可由简单函数的图像施行图像变换作出复合函数的图像。

例12、作函数y= -2 lg(-3

1x+1)-2的图像。 解：原函数y= -2 lg(-3

1x+1)-2的图像可由函数y= lgx 的图像经过下列变换得到：

y= lgx 沿x 轴伸长3倍后，向右平移3个单位 y= lg(3

1x -1) 关于直线x=3对称

y=lg ［- (31x -1)］ 沿y 轴方向伸长2倍 y=2lg ［- (3

1x -1)］ 关于x 轴对称

y= -2lg ［- (31x -1)］沿y 轴向下平移2个单位 y= -2lg ［- (31x -1)］-2 = -2 lg(-3

1x+1)-2。 图像 略。

四、复合函数的符号语言

对复合函数的符号语言，应从函数定义与函数符号出发准确理解，不可误读误写误用。

（1）f(x)与f(-x)的区别。

f(x)是简单函数的记号，而f(-x)则为复合函数的记号，y= f(-x)由y=f(u)，u= -x 复合而成。

（2）y=f ［g(x)］与y=g ［f(x)］的区别。

由于复合映射f g 不具有交换律，即f g ≠g f ，所以它们是两个不同的复合函数，不是同一个复合函数。因而y=f ［f 1-(x)］与y=f 1-［f(x)］也不是同一个函数；y=f ［f 1-(x)］=x,这里的x 表示函数y=f(x)的值域中的任一个值，而y=f 1-［f(x)］=x ，这里的x 却表示函数y=f(x)的定义域中的任一个值。例如y=sin (arc sin x)=x,x ∈［-1,1］ ；y=arc sin(sin x)=x,x ∈R.

(3) y= g 1-［f 1-(x)］与y= f 1-［g(x)］的区别。

函数y= g 1-［f 1-(x)］是复合函数y=f ［g(x)］的反函数，它们的图像关于直线y=x 对称。而函数y= f 1-［g(x)］不是f ［g(x)］的反函数，它们的图像关于直线y=x 不对称，严格地说它们是关于中间

变量u=g(x)成反函数关系，它们的图像应由外层函数的反函数关系结合内层函数施行相应的几何变换或代数变换而得到。

例13、已知函数y=f(x)的图像过点(0,1)，则函数y= f1-(x+4)的图像过点( )。

错解：因函数y=f(x)的图像过点(0,1)，而函数y=f(x+4)的图像可由函数y=f(x)的图像向左平移4个单位得到，故y=f(x+4)的图像必过点(-4,1)，再由反函数定义知函数y= f1-(x+4)的图像必过点(1,-4) 。正解：因y=f(x)的图像过点(0,1)，故y= f1-(x)的图像应过点(1,0)，又y=f(x+4)的图像可由y=f(x)的图像向左平移4个单位得到，所以y= f1-(x+4)的图像应由y= f1-(x)的图像向左平移4个单位得到，故y= f1-(x+4)必过点(-3,0)。

综上所述，只有通过我们做大量的习题，才能掌握复合函数的概念及性质，为后续学习打下坚实的基础。