2017浙江省高中数学竞赛试卷详解

2017年浙江高中数学竞赛

一，填空题（每题8分，共80分）

1. 在多项式()()610

3

21x x x 的展开式+-的系数为______.

2. 已知()5log 35log

17

2

+=-a a ，则实数a=_________.

3. 设()[]1,02在b ax x x f ++=中有两个实数根，则b a 22-的取值范围是___________.

4. 设()

1sin sin sin cos cos cos sin ,,222222=+-+-∈y x y x y x x x R y x 且，则=-y x _______.

5.已知两个命题，命题()()0log :>=x x x f p a 函数单调递增；命题函数:q ()012>++=ax x x g ()R x ∈,

q p q p ∧∨为真命题，若为假命题，则实数a 的取值范围为____.

6. 设S 是??

? ??850，中所有有理想的集合，对简分数()1,,=∈q p S p

q

，定义函数,1p q p q f +=???

? ??则()32

=x f 在S 中根的个数为___________.

7. 已知动点P ,M,N 分别在x 轴上，圆()()1212

2

=-+-y x 和圆()()3432

2

=-+-y x 上，则PN PM +的最小值为

__________.

8. 已知棱长为1的正四面体P —ABC,PC 的中点为D,动点E 在线段AD 上，则直线与平面ABC 所成的角的取值范围为__________.

9.

已知平面向量0.10,321,,,=?<<===c b c b a

若λ，则(

)λλ---1所有取不到的值的集合为____________.

10. 已知()()()0421212,

0.1,

0,22

22

=---+-+??

?≥-<-=x a x x f x x f x x x x x f 方程有三个根.321x x x <<若()12232x x x x -=-，则实数a=_______.

二. 解答题

11. （本题满分20分）设()()()，?=+

=+=

+,2,1,3

16

,322121n x f x x f x x f n n 对每个n ，求()x x f n 3=的实数解。 12. （本题满分20分）已知椭圆12

62

2=+y x 的右焦点为F ，过F 的直线()2-=x k y 交椭圆与P ,Q 两点()0≠k .若PQ 的中点为N ，O 为原点，直线ON 交直线3=x 于M （1）求MFQ ∠的大小；

（2）求MF

PQ

的最大值

13. （本题满分20分）设数列{}n a 满足：，?=≤=-+,3,2,1,2,221n a a a n n n 证明：如果1a 为有理数，则从某项后{}n a 为周期数列

14. （本题满分30分）设+∈Z b b b a a a 321321,,;,,,证明：存在不全为零的数

{}3322113322113212,1,0b b b a a a λλλλλλλλλ++++∈和，使得，，同时被3整除

15. （本题满分30分）设{}{}n a a a n ，，，为，，，??=2121σ的一个排列，记

()()σσσ

F a a a a F n

i i i i i ∑=++==1

11min ,,求

参考答案

一，填空题 1，【答案】-4128

【解析】41282232326

104510541063107-=-?+?-C C C C

2,【答案】2

【解析】将原式化简为()()()5

3

35log ,5log

35log 71

72>

-==++x x x f a a 为由于上的增函数，

()()

()()1221log 25==+=g f R x x g 上的增函数，且为。因此可得函数a=2

3,【答案】[ 0. 2 ]

【解析】因为()4222

2

a b a x b ax x x f -+??? ?

?

+=++=在[0,1]中有两个实数根，所以a,b 满足

()()12

0,04,011,002≤-

≤≥-≥++=≥a

b a b a f b f ，由此可得到b a 22-的取值范围为[0,2] 4,【解析】由于()()y x y x y x y x x x -+=-+-s i n s i n s i n s i n

c o s c o s c o s s i n 222222且()0sin ≠+y x ，所以

()Z k k y x y x ∈+

=-=-,2

21sin π

π。故

5, 【解析】命题p 成立当且仅当a>1；命题q 成立当且仅当-2

(][)+∞?-∈,21,2a

6, 【答案】5 【解析】由于()Z m m p m q x f ∈=-==,3,12,32令则有82

1

,853120<<<-

=13102--

【解析】圆()()()()()3432,11212

2

2

2

=-+-=-+-y x y x 圆，的圆心坐标为关于x 轴对称的圆的圆心坐标为（3，-4）则()()3124132

2

----+-+的最小值为PN PM =13102--

8，【答案】??

?

??

?

∈714arctan 0，

θ 【解析】记BC 中点为O 点，以O 为原点，BC 为X 轴正向，OA 为y 轴正向，建立空间直角坐标系，则

,36,

630,0,021,0,0,21,0,230???

? ????? ????? ??-???? ??，，，P C B A 所以?

??

?

??66,123,41D .从而可设

()1066,12352341≤≤???? ??-+t t t t E ，于是????

??-+=t t t 66,123523,214

1。设所求角为θ，则

2722162766c o t 121272tan 2

1122222

≥+??? ?

?

-=+-=+-=---t t t t t t θθ。所以，

这里最后一个不等式是由于单调性以及714

tan 011≤

≤≥-θ因此有。t ，即?????

?∈714arctan 0，θ

9, 【答案】

【解析】将向量,的起点平移至原点O ，再以,分别为x,y 轴正向建立平面直角坐标系。则向量()c b λλ-+1对应的点坐标为()()λλ-13,2P 。

()()31241322-

---+-()∞+????

??-∞-，

，4113136

于是(

OP OP λλλλ--=

+-=113

13

6,91813min 2表示的是点P 到单位圆周上的距离d ，则d 的最大值为4，最小值为113136-.因此所有取不到的值的集合为()∞+???

?

??-∞-，，4113136 10，【答案】

【解析】设()11,122≤≤--=x x x g 定义域为，()()()()()()()()x g x f x g x f x g x f -++=2

1

,max

方程可变形为()()()2

2

122.2,max 2-

≤-≥-+=x x x ax x g x f 得由，从而有 ()()()???

???

?-∈--

-∈-=]1,22[12]22

,1[,2,max 2x x x x x g x f 于是2220,2212222-≤≤???

?

??-≤≤-+-

=?+=-a x a x ax x 可得； ()12233212

22,4

4,0212x x x x x x x a a

x x ax x -=-<<+-

==?+=-。由于，可得 2

3

17,41224,32221-=

+=+=a a a a x x 有即

二，解答题

11，【证明】利用数学归纳法 （1）()x x f x n 32==是的解 当n=1时，x=2是()x x x f 33221=+=

的解。

当n=k 时，设()()()623

16

42,621=+

=

=+k k k f f f 则 由此可得()()

n x x f x n 对于所有的解是32== （2）当x>2时，()2

2

33x x x f n <

< ()()22

333212

21><

<+==x x x x x f n 时，当 ()()()x x x x f x x f x x x f k n k k k 383

16,23322212=+<+=<

<=+则时，设当 由此可得2>x 都不是()x x f n 3=的解（对于所有的n ） （3）当()x x f x n 320><<时，

()()20383212221<<=+>+==x x x x x x f n 时，当 ()()()x x x x f x x f x x f k n k k k 3163

16

,3221>+>+

=>=+则时，设当 由此可得()()

n x x f x n 对于所有的的解都不是320=<< 因此，对每个n,()x x f n 3=的实数解为2=x 12，

【解】：（1）联立()()

06121213,212

622222

2=-+-+??

???-==+

k x k x k x k y y x 可得 设P 点的坐标为()()

则点的坐标为,,,,q q p p y x Q y x

1

36

12,13122

222+-=+=+k k y x k k x x q p q p 于是有()

1

3442

+-=

-+=+k k

k x x k y y q p q p 因为PQ 的中点为N,所以N ???

? ??+-+132,136222k k k k 。因此ON 的斜率为k k ON 31

-=。 因为直线ON 交直线k

k MF k M M x MF 113,3-=??? ??-

=的斜率为。故，所以于， 即得。垂直，与因此。

2

1π

=∠-=?MFQ PQ MF k k PQ MF

（2）

令()()???

?

????-??? ??--=??? ??--

-=+-=+=169411316212113163218

,132

222

u u u u u u I k u 则

由于。故11

0,1132

<≤

>+=u

k u 因此()

143max ±===k u I 时取到最大值，也即当。 综上所述，3的最大值为MF

PQ

13，

【解析】证：（1）{}n a a 为有理数，则

若1为周期数列 （2）对于任意的n,设(),1,,==

x y x

y

a n 由已知条件，有且仅有下述一个等式成立 ()()

()

()

[

]

()()

2222

2222422

22

2222

221312413122413144411++=???

?????+--+=-+=-=+-+-=

??? ??=k k k k k k k k x x x x k x x k k x x k x x MF PQ I q

p q p q p q p q p

()*

++-=-=+=

+=x

x

y a a x x y a a n n n n 2222,222211或

1+n n a a 与有相同的分母（不进行约分）

（3）设()因此，为整数。由于则?=≤===

,3,2,1,2,,1,,1n a b p

b a q p p q

a n n n n p

b p n 22≤≤-

（4）若存在两个自然数1

递推公式以及，

?=≤,3,2,1,2n a

n

可得{}n a 从第k 项开始是一个周期数列，周期为k l -

（5）由（3）可知对于任意的n,n b 的值只有14+ρ（有限个），故总能找到1,b b l k k =<使得， 从而有l k a a =

综上所述，如果1a 为有理数，则从某项后{}n a 为周期数列

14，

【证明】：不妨设()(){}3,2,1,2,1,0,,3mod ,3mod =∈==i l k l b k a i i i i i i 则要证明结论正确，只要证明存在不全为零的数{}，使得，，2,1,0321∈λλλ

()()()*

≡++≡++。

3mod 03mod 332211332211l l l k k k λλλλλλ

记(){}2,1,0,3mod 1221∈≡-c c l k l k 这里

情形（1）当不全为零。或者则时1111,,0,0l k l k c === 若()

式成立，有，则取*=====01,011321λλλl k

若且，则取不全为零，不妨设,0,k ,0,31221111=-==≠λλλλk l k

()

()

()式即*

??

?≡-=++≡-=++,3mod 03mod 021123322112112332211l k l k l l l k k k k k k k λλλλλλ

情形（2）()3mod 1212

≡=c c ，即时或当

记()()()(){}2,1,0,,3mod ,3mod 212311312332∈≡-≡-c c c l k l k c c l k l k c 这里 令{}且不全为零，且，，则2,1,0,1,,32132211∈===λλλλλλc c

()()()()()()

()(),

3mod 03mod 13mod ,3mod 323221123323113123323

2211332211≡-≡+-≡+-+-≡++=++k c k k l k l k ck k k l k l k c k l k l k c k k c k c k k k ，λλλ

类似可以证明()3mod 0332211≡++l l l λλλ

15，【解】问题等价于圆周上放置n 个数，使得相邻的乘积之和为最小，最小值记为n T 不妨设n a =1，则数字1必与它相邻。否则设()j j a a a n j a ，则可将?≠=,,,,2,132的数字改变为2

1,,a a a j j ，?-上的数字，则相邻数的乘积和的该变量为

()()021*******<--=--++++a a a a a a a a a a a a j j j j j j

于是可确定12=a 。再说明数字2也必与数字n 相邻，即2=n a

事实上，若()n j a j ≠=,2，则交换。，为，n j j j j j a a a a a a ??+-,,,,11此时的目标改变值为

()()0111111<--=--+---n j j j j n j n j a a a a a a a a a a a a

因此目标取到最小值时，2,21===n a n a n a ，由此出发，依次可得2,113-=-=-n a n a n 。在已安排好的两端数字，若剩下的数比两端数字都小，则在剩下的数中找两个最小的数字，按小对大，大对小放置；若剩下的数比两端数字大，则在剩下的数字中找两个最大的数，按大队小，小对大放置。由此规律即得。?-=-===--,4,3,4,33524n a n a a a n n 下面用递推法计算n T 。

考虑n+2个数字，我们在n T 的数字排序中，将每个数字加1，再放置1，n+2这两个数字，在2,n+1的中间插入n+2，1.即可得到2+n T 。

因此()()()()1222212+-++++++'=+n n n n T T n n 其中()()()。由此可得2111

1

++=++=

'+=∑n n T a

a T n i n

i i

n

5422+++=+n n T T n n

可以推出

???????-=-++=-++=12,165216

12,16

5

21612323m n n n n m n n n n T n