指数函数

3.1.2 指数函数

指数函数的概念

定义：

学生练习

1下列函数中，指数函数的个数是( )

①y＝3x＋1；②y＝3x；③y＝x3.

A．0 B．1 C．2 D．3

2函数y＝(a－2)2a x是指数函数，则( )

A．a＝1或a＝3 B．a＝1

C．a＝3 D．a＞0，且a≠1

3若指数函数的图象经过点(5,125)，则该指数函数的解析式为__________．

指数函数的图象与性质

学生练习

1.若函数f(x)＝2a x－1＋3(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是__________．

2.指数函数

=23

y a a

∈??

，，，的图象如图，则分别对应于图象①②③④的a的值为

A ．112,332，

B ．113,223，

C ．113,223，

D ．112,332

， 3.比较下列各题中两个值的大小： (1)0.8－0.1

,0.8

－0.2

； (2)1.70.3,0.93.1； (3)a 1.3，a 2.5

(a ＞0，且a ≠1)．

4.已知(a 2＋2a ＋5)3x ＞(a 2＋2a ＋5)1－

x ，则x 的取值范围是______

与指数有关复合函数问题 5.解方程：4x ＋2x －6＝0.

6.已知f (x )为定义在(－1,1)上的奇函数，当x ∈(0,1)时，2()=41

x f x +.

(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)判断f (x )在(0,1)上的单调性．

7.求下列函数的值域和单调区间： (1)221=2x x

y -+?? ???

； (2)y ＝4x －2x ＋

1＋3，x ∈(－∞，1]．

2.2指数函数地图像及性质

第一章基本初等函数 2 指数函数的图像及性质一、学习目标 1.理解指数函数的概念和意义. 2.能借助计算器或计算机画出指数函数的图象. 3.初步掌握指数函数的有关性质．二、知识梳理 1．指数函数的定义一般地，函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R . 2．指数函数的图象与性质 a ＞1 0＜a ＜1 图象性质定义域R ，值域(0，＋∞) 图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1 当x ＞0时，y ＞1；当x ＜0时，0＜y ＜1 当x ＞0时，0＜y ＜1；当x ＜0时，y ＞1 在R 上是增函数在R 上是减函数三、典型例题知识点一指数函数的概念例1 给出下列函数： ①y ＝2·3x ；②y ＝3 x ＋1 ；③y ＝3x ；④y ＝x 3；⑤y ＝(－2)x .其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 答案 B 解析 ①中，3x 的系数是2，故①不是指数函数；②中，y ＝3 x ＋1 的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，3x 的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x 一项，故③是指数函数；④中，y ＝x 3 的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2＜0，不是指数函数．规律方法 1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a 为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x ；(3)a x 的系数是1. 2．求指数函数的关键是求底数a ，并注意a 的限制条件．跟踪演练1 若函数y ＝(4－3a )x 是指数函数，则实数a 的取值围为________．答案 {a |a ＜4 3 ，且a ≠1}

高一数学指数函数知识点及练习题

2.1.1指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质指数函数练习

1．下列各式中成立的一项（） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果（） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-）（ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{><≤-=-0 ,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围（） A ．)1,1(- B ． ),1(+∞- C ．}20|{-<>x x x 或 D ．}11|{-<>x x x 或 9．函数2 2)2 1(++-=x x y 得单调递增区间是（） A ．]2 1,1[- B ．]1,(--∞ C ．),2[+∞ D ．]2,2 1 [ 10．已知2 )(x x e e x f --=，则下列正确的是（） A ．奇函数，在R 上为增函数 B ．偶函数，在R 上为增函数

指数函数第3课时指数与指数幂的运算(三)

指数函数第3课时指数与指数幂的运算（三）（一）教学目标 1．知识与技能：能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值. 2．过程与方法：通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质. 3．情感、态度、价值观（1）培养学生观察、分析问题的能力；（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力. （二）教学重点、难点 1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值. 2．难点：有理指数幂性质的灵活应用. （三）教学方法 1.启发学生认识根式与分数指数幂实质是相同的.并能熟练应用有理指数幂的运算性质对根式与分数指数幂进行互化. 2.引导学生在化简求值的过程中，注意将根式转化为分数指数幂的形式和积累一些常用技巧.如凑完全平方、分解因式、化小数为分数等等.另外，在运用有理指数幂的运算性质化简变形时，应注意根据底数进行分类，以精简解题的过程. （四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习 1.分数指数幂的概念. * (0,,) m n m n a a a m n N =>∈ * 1 (0,,) m n m n a a m n N a - =>∈ 2.分数指数幂的运算性质. (0,,) r s r s a a a a r R s R + ?=>∈∈ ()(0,,) r s rs a a a r R s R =>∈∈ ()(0,) r r r a b a b a r R ?=>∈ 师：提出问题生：复习回顾师：总结完善复习旧知，为新课作铺垫.

应用举例例1．（P56，例4）计算下列各式（式中字母都是正数）（1） 2115 11 3366 22 (2)(6)(3) a b a b a b -÷- （2） 3 1 8 8 4 () m n- 学生思考，口答，教师板演、点评．例 1 （先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的.整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序. 我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行. 第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算. 解：（1）原式 = 211115 326236 [2(6)(3)]a b +-+- ?-÷- =0 4ab =4a （2）原式= 3 1 88 8 4 ()() m n- =23 m n- 通过这二个例题的解答，巩固所学的分数指数幂与根式的互化，以及分数指数幂的求值，提高运算能力．

指数函数知识点总结

指数函数（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．（二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =；指数函数·例题解析

指数函数及其图形

指数函数及其图形基本题：【1】下列五个数中，何者为最小？(A) 23 1(B)2)8 1 (－(C) 41 2- (D)21 )21((E) 831 －。 [解答]：(E) 【详解】： ∵ (81)－2＝(2－3)－2＝26；(2 1)21 ＝22 1 －；831 －＝(23)31 －＝2－1 ∵ 26 ＞23 1 ＞2 4 1－＞2 2 1－＞2－1 ∴ 最小的是2－1 ＝8 3 1－【2】a ＞0，a ≠1，且4 3 2a a a ＝a x ，则x 之值为(A)61(B)485(C)31(D)21(E)32。 [解答]：(A) 【详解】： 3 2 a a ＝( 3 2a a )2 1＝(a 3 1)2 1＝a 6 1 a x ＝(a 2 1 )4 1．(a 6 1)4 1＝a 24 181＋＝a 24 4＝a 6 1 ∵ a ≠0，1，－1?∴ x ＝6 1 【3】6332 32 32－．－．＋值为(A)1(B)2－3(C)2＋3(D)0 (E)2 3 1＋。 [解答]：(A) 【详解】： 6 332 32 32－．－．＋=()( ) ()()2 12 16 1311 323 23232-?+=-?++ =()()[] 132322 1=-?+ 【4】化简22341062329－＋－－＝。 [解答]：2＋1 【详解】：原式＝)12(41062329－＋－－＝82662329＋－－＝)24(62329＋－－＝1821129－－＝)29(29－－＝223＋＝12＋

【5】化简求值： (1)[(4 1 )6．64]－4．(32)－3＝。 (2)(16 81)－0.25 ．21 )94(－．(0.25)－1.5＝。 [解答]：(1) 512(2) 8 【6】指数函数f 1 (x)＝a x ，f 2 (x)＝b x ，f 3 (x)＝c x ，f 4 (x)＝d x 的图形如图，请由大而小写出 a ， b ， c ， d 的大小顺序：。 [解答]：c ＞d ＞a ＞b 【详解】： ∵ f 1，f 2的图形是递减的 ∴ 0＜a ＜1，0＜b ＜1 令x ＝1，得a 1＞b 1?1＞a ＞b 又f 3，f 4的图形是递增的 ∴ c ＞1，d ＞1 令x ＝1，得c 1＞d 1?c ＞d ＞1 故c ＞d ＞1＞a ＞b 【7】比较大小：(1) 260，330，620由小而大排列为。 (2)36433 9 27，，由小而大排列为。 [解答]：(1) 330＜620＜260(2)43627 33 9＜＜【详解】： (1) 因]64)2(2[]36)6(6[]27)3(3[101066010102201010330==<==<== (2) 因]3327[ ]3333 33[ ]339[4 34343 23 43 136 2626====?===＜＜【8】方程式的实根个数：(1)方程式(2 1 )x ＝x ＋1的实根共有个。 (2)方程式x 2＝2x 的实根共有个。 [解答]：(1) 1(2) 3 【详解】： (1)绘出?????+==1 )21(x y y x 图形，找交点数 (2) 绘出???==x y x y 22图形，找交点数

指数及指数函数知识点

（一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： 43 421Λa n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()0 10a a =≠ ()10,n n a a n N a -* = ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）() (),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根，即：若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-．说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ；若0>a 则0>n a ，若o a <则0a 则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作： n a -；（例如：8的平方根228±=± 16的4次方根2164±=±） ③若n 是偶数，且0a <则n a 没意义，即负数没有偶次方根； ④( )* ∈>=N n n n ,100Θ 0=； ⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =．． 4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则a a n n =；若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ．（二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()102 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用，例如：若0a >，则3 223233a a a ???== ??? ，4 554544a a a ???== ???， 23a = 4 5 a =．即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>；（2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>．

指数函数图像与性质的教案

§3.指数函数图像和性质一、教材分析教材的地位和作用函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数，以及指数函数的图象与性质。一方面可以进一步深化学生对函数概念的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，同时也为今后进一步熟悉函数的性质和作用，研究对数函数以及等比数列的性质打下坚实的基础。因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。重难点分析教学重点：指数函数的图像、性质及其简单运用教学难点：指数函数图象和性质的发现过程，及指数函数图像与底的关系。二、教学目标分析知识目标：理解指数函数的定义，掌握指数函数的图像、性质及其简单应用能力目标：通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合和分类讨论思想以及从特殊到一般等学习数学的方法，增强识图用图的能力情感目标：通过学习，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，构建和谐的课堂氛围，培养学生勇于提问，善于探索的思维品质。三、教法学法分析教法分析采用梳理—探究—训练的教学方法，充分利用多媒体辅助教学，通过学生的互动探究，教师点拨，启发学生主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受学法分析学生思维活跃，求知欲强，但在思维习惯上还有待教师引导；从学生原有知识和能力出发，在教师的带领下创设疑问，通过合作交流，共同探索，逐步解决问题。四、教学过程分析 1.创设情景，形成概念 2.发现问题，探究新知 3.深入探究，加深理解 4.强化训练，巩固双基 5.小结归纳，拓展深化 6.布置作业，升华提高

指数与指数函数(3)

指数与指数函数080612 一、考题选析：例1、（07江苏）设函数()f x 定义在实数集上，它的图像关于直线1x =对称，且当1x ≥时， ()31x f x =-，则有（）Ａ．132323f f f ?? ???? << ? ? ??????? Ｂ．231323f f f ?????? << ? ? ??????? Ｃ．213332f f f ?????? << ? ? ??????? Ｄ．321233f f f ?????? << ? ? ??????? 例2、（07上海春）若21,x x 为方程1 1 )2 1(2+-=x x 的两个实数解，则=+21x x ；例3、（05全国Ⅱ）设函数11 ()2 x x f x +--=，求使()f x ≥x 取值范围．例4、（05江西10）已知实数a , b 满足等式,)3 1()2 1 (b a =下列五个关系式 ①0， 225()()4 x g x a e =+ 。若存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，求a 的取值范围。点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。解：（Ⅰ）f `(x)＝－[x 2＋(a －2)x ＋b －a ]e 3－ x , 由f `(3)=0，得－[32＋(a －2)3＋b －a ]e 3－3＝0，即得b ＝－3－2a ，则 f `(x)＝[x 2＋(a －2)x －3－2a －a ]e 3 －x ＝－[x 2＋(a －2)x －3－3a ]e 3－x ＝－(x －3)(x ＋a+1)e 3－ x . 令f `(x)＝0，得x 1＝3或x 2＝－a －1，由于x ＝3是极值点，所以x+a+1≠0，那么a ≠－4. 当a <－4时，x 2>3＝x 1，则在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；

指数函数知识点汇总

指数函数知识点汇总

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指数函数（一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。当n 是奇数时， a a n n =，当n 是偶数时， ? ? ?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ) 1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3） s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．（二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 )1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质 a >1 0