对一道典型例题的再探究

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对一道典型例题的再探究

作者：狄海军

来源：《中学生数理化·学研版》2015年第09期

原题已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和，a1，a7，a4成等差数列，求证：2S3，S6，S12-S6成等比数列。

证明：由a1，a7，a4成等差数列，可得a1+a4=2a7，即a1+a1q3=2a1q6，所以1+q3=2q6。

S6=a1+a2+a3+q3（a1+a2+a3）=S3（1+q3），S12=S3（1+q3+q6+q9）。

所以2S3（S12-S6）=2S3（S3q9+S3q6）=2S23q6（1+q3）=S23（1+q3）2=（S3+S3q3）

2=S26。

故2S3，S6，S12-S6成等比数列。

由上述的解答过程，可以发现由a1，a7，a4成等差数列，得到重要的关系式1+q3=2q6。这是关于q的指数幂方程，由此可以得到一系列的派生方程，从而构造类似的等比数列。

一、变换结论

1。已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项的和，a1，a7，a4成等差数列，求证：

（1）2S4，S7+S4-S3，S13+S10-S9-S6成等比数列。

（2）2Sn+2，Sn+5+Sn+2-S3，Sn+11+Sn+8-S9-S6成等比数列。

证明：（1）由a1，a7，a4成等差数列，可得a1+a4=2a7，即a1+a1q3=2a1q6，所以

1+q3=2q6。

S7+S4-S3=S3+S4q3+S4-S3=S4（1+q3）。

S13+S10-S9-S6=S13-S6+S10-S9=（a7+a8+a9+a10）+（a10+a11+a12+a13）=S4q6+S4q9。

所以2S4（S13+S10-S9-S6）=2S4（S4q6+S4q9）=2q6S24（1+q3）=[S4（1+q3）]2

=（S7+S4-S3）2。

故2S4，S7+S4-S3，S13+S10-S9-S6成等比数列。

（2）由a1，a7，a4成等差数列，可得a1+a4=2a7，即a1+a1q3=2a1q6，所以1+q3=2q6。