三角形内外角试题训练

三角形内外角试题训练
三角形内外角试题训练

三角形的内角与外角(一)

一、选择题

1、如图所示,下列结论中正确的是 ( ) A 1234∠+∠>∠+∠ B 1234∠+∠=∠+∠ C 1234∠+∠<∠+∠ D 1432∠+∠=∠+∠

2、给出下列四个说法:①三角形三个内角的和与三个外角和都为0

180;②三角形的一个外角大于这个三角形的任何一个内角;③三角形的一个外角等于这个三角形中任意两个内角和;④一个三角形中的三个内角,至少有个内角大于0

60;⑤三角形的三个外角中至少有两个角是钝角;⑥直角三角形中的两个锐角互余;其中说法正确的个数是 ( ) A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

3、如图所示,AD 平分∠CAE ,0

30B ∠=,060CAD ∠=,则ACD ∠等于 ( ) A 0

50 B 0

65 C 0

80 D 0

90

4、如图(3) 光线a 照射到平面镜CD 上,然后在平面镜AB 与CD 之间来回反射,若已知0

1

55∠=,0

375∠=,则2∠等于

( )

A 0

50 B 0

55

C 0

66 D 0

65

5、一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示放置,若∠3=0

50,则∠1+∠2等于( ) 0

B 0

100 C 0

130

6、如图,在R t △ABC 中,∠BAC=0

90,AC ≠AB ,AD 是斜边BC 上的高,D E ⊥AC ,DF ⊥AB ,

垂足分别为E 、F ,则图中与∠C 相等的角(∠C 除外)有 ( ) A 2个 B 3个 C 4个 D 5个 二、填空题 7、已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1:2,则这个等腰三角形的顶角度数为_______。 8、如图所示,B 处在A 处南偏西0

60方向,C 处在A 处的南偏东0

20方向,C 处在B 处正东方向,则∠ACB 的度数为__________度。

9、如图,D 是AB 上一点,E 在AC 边上,BE 、CD 相交于F ,0

62A ∠=,0

35ACD ∠=,

020ABE ∠=,则BDF ∠的度数为__________,BFD ∠=__________.

10、△ABC 中,BE 、CE 、CD 分别为∠ABC 、∠ACB 、∠ACF 的平分线交于E 、D 两点,

且070A ∠=,则BEC ∠=_______,BDC ∠=________,仔细观察,从而你得到什么结论:

_________________________________________________________________________ 若是两个外角平分线所成角,此角的度数为__________.

11、如图所示,A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=________。

12、一个直角三角形两个锐角的差为0

20,则这两个锐角的度数分别为_____________。 三、解答题

13、如图在△ABC 中,D 是BC 边上一点,∠1=∠

2,∠3=∠4,∠BAC=0

57, 求∠CAD 的度数

14 、在△ABC 中,∠A 是最小角,∠B 是最大角,25B

∠=∠,则是什么范围内变

化?此时∠B 的最大值与最小值分别是多少?

15、如图,B 处在A 处的西南方向,C 处在A 处的南偏东0

15方向,C 处在B 处的北偏东

080方向,求∠ACB 的度数

16、如图所示,在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,CE 是△ABC 的一条角平分线,它们相

交于点P ,已知0

APE=55AEP=∠∠,75,求△ABC 的各个内角的度数。

17、如图、O 为△ABC 内角的平分线AD 、BE 、CF 的交点,O G ⊥BC 于G ,

求证:O B D COG ∠=∠?

三角形培优训练100题集锦

E D F C B A 三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。 7、特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答。 1、已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围. 2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.

(完整版)三角形边角关系培优训练经典

三角内角与外角典型题 1、①求下图各角度数之和。 ②如图,已知∠BOF=120°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________. 2、如图,BE是∠ABD的平分线,CF是∠ACD的平分线,BE、CF相交于点G,∠BDC=140°,∠BGC=110°。求∠A的 度数。 3、如图△ABC中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠ABC=50°,∠ACB=62°,求∠DFE的大小。 4、△ABC中,AD、BE、CF是角平分线,交点是点G,GH⊥BC。求证:∠BGD=∠CGH. E D C B A F E G A B D C F M K N G A B E F

21 P C B A 5.如图,已知CE 为△ABC 的外角∠ACD 的角平分线,CE 交BA 的延长线于点E , 求证:∠BAC > ∠B 6、△ABC 中,∠A: ∠ABC: ∠ACB=3:4:5,CE 是AB 上的高,∠BHC=135° 求证:BD ⊥AC 7、三角形的最大角与最小角之比是4:1,则最小内角的取值范围是多少? 8.若三角形的三个外角的比是2:3:4,则这个三角形的最大内角的度数是 . 9.如图,在△ABC 中,∠ABC = ∠ACB ,∠A = 40°,P 是△ABC 内一点,且∠1 = ∠2.则∠BPC =________。 10.锐角三角形ABC 中,3条高相交于点H ,若∠BAC =70°,则∠BHC =_______ H A B C E D

11、如图,BE平分∠ABD交CD于F,CE平分∠ACD交AB于G,AB、CD交于点O,且∠A=48?,∠D=46?,则∠BEC= 。 12.已知△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,则∠BOC一定() A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 13. △ABC的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形是() A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 14、若?ABC的三个内角满足3∠A>5∠B,3∠C<2∠B,则三角形是() A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.都有可能

初中几何经典培优题型(三角形)

全等三角形辅助线 找全等三角形的方法: (1)可以从结论出发,看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可能全等的三角形中;(2)可以从已知条件出发,看已知条件可以确定哪两个三角形相等; (3)从条件和结论综合考虑,看它们能一同确定哪两个三角形全等; (4)若上述方法均不行,可考虑添加辅助线,构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法: ①延长中线构造全等三角形; ②利用翻折,构造全等三角形; ③引平行线构造全等三角形; ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种: 1)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换 中的“对折”. 2)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思 维模式是全等变换中的“旋转”. 3)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形 全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理. 4)过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平 移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线 段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目. 6)特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接 起来,利用三角形面积的知识解答. 常见辅助线写法: ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线,垂足为D ⑶延长AB至C,使BC=AC ⑷在AB上截取AC,使AC=DE ⑸作∠ABC的平分线,交AC于D ⑹取AB中点C,连接CD交EF于G点

三角形边角关系培优训练

三角形三边关系、内角练习题一、三边关系 1.已知 ABC中,周长为12,b=1 2 (a+c),则b为 2.一边长为5cm,另一边长为10cm的等腰三角形的周长是 3.有木条4根,长度为14厘米,10厘米,8厘米,6厘米,选其中三根组成三角形,则选择的种数有种 4.三角形两边长为2cm和7cm,第三边长为奇数,那么这个三角形的周长是 cm 5.一条线段的长为a,若要使3a—l,4a+1,12-a这三条线段组成一个三角形,求a的取值范围? 6.设△ABC的三边a , b ,c 的长度均为自然数,且a≤b≤c ,a + b + c =13 , 则以a , b , c 为三边的三角形共有多少个。 6.在右图中,已知AD是△ABC的BC边上的高,AE是BC边上的中线,求证: AB+AE+1 2 BC>AD+AC 证明:∵AD⊥BC( )∴AB>AD( ) 在△AEC中,AE+EC>AC( )又∵AE为中线( ) ∴EC=1 2 BC( ) 即AE+1 2 BC>AC( ) ∴AB+AE+ 1 2 BC>AD+AC

21P C B A B 7.如图,已知D 是△AB C 内任意一点,则有AB+AC >DB+DC. 8.如图,已知P 是△ABC 内一点,连结AP ,PB,PC, 求证:(1)PA+PB+PC > 21 (AB+AC+BC) (2) PA+PB+PC < AB+AC+BC 二、三角关系 1.若三角形的三个外角的比是2:3:4,则这个三角形的最大内角的度数是 . 2.已知△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ,则∠BOC 一定( ) A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 3. △ABC 的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 4.如图△ABC,∠ABC = ∠ACB,∠A = 40°,P 是△ABC 内一点,∠1 = ∠2.则∠BPC =____。

中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)及答案

中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)及答案 一、直角三角形的边角关系 1.已知:如图,在四边形 ABCD 中, AB ∥CD , ∠ACB =90°, AB=10cm , BC=8cm , OD 垂直平分 A C .点 P 从点 B 出发,沿 BA 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;同时,点 Q 从点 D 出发,沿 DC 方向匀速运动,速度为 1cm/s ;当一个点停止运动,另一个点也停止运动.过点 P 作 PE ⊥AB ,交 BC 于点 E ,过点 Q 作 QF ∥AC ,分别交 AD , OD 于点 F , G .连接 OP ,EG .设运动时间为 t ( s )(0<t <5) ,解答下列问题: (1)当 t 为何值时,点 E 在 BAC 的平分线上? (2)设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ,求 S 与 t 的函数关系式; (3)在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使四边形 PEGO 的面积最大?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由; (4)连接 OE , OQ ,在运动过程中,是否存在某一时刻 t ,使 OE ⊥OQ ?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)4s t =;(2)PEGO S 四边形23 15688 t t =-++ ,(05)t <<;(3)52t =时,PEGO S 四边形取得最大值;(4)165 t = 时,OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】 (1)当点E 在∠BAC 的平分线上时,因为EP ⊥AB ,EC ⊥AC ,可得PE=EC ,由此构建方程即可解决问题. (2)根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +(S △OPC +S △PCE -S △OEC )构建函数关系式即可. (3)利用二次函数的性质解决问题即可. (4)证明∠EOC=∠QOG ,可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ,推出 EC GQ OC OG =,由此构建方程即可解决问题. 【详解】 (1)在Rt △ABC 中,∵∠ACB=90°,AB=10cm ,BC=8cm , ∴22108-=6(cm ), ∵OD 垂直平分线段AC , ∴OC=OA=3(cm ),∠DOC=90°, ∵CD ∥AB ,

培优专题二:与三角形有关的角

D C B A 专题2 与三角形有关的角 一、三角形内角和定理: 二、三角形外角的性质: 如图,∠是△的外角, 则:①∠ =∠ +∠ ; 或∠ =∠ —∠ ; 或∠ =∠ —∠ 。 ② > 基本图形介绍: 1、对顶三角形: ①如图,、相交于O ,求证:∠∠∠∠D ②如图,、相交于O ,、分别平分∠、∠, 求证:∠12 (∠∠C ) A

A B C P E A B C P A C D P A B C D 2、“飞镖”形: ①如图,求证:∠∠∠∠C ②如图,、分别平分∠、∠,求证:∠12 (∠∠D ) 3、三角形内外角平分线问题: ①如图,△中,P 是△的角平分线的交点,求证:∠90°+12∠A ②如图,△中,P 是∠的角平分线和△的外角∠的角平分线的交点。 求证:∠12 ∠A

A B C E F P ③如图,△中,P 是外角∠与∠的角平分线的交点。 求证:∠90°-12 ∠A 光的反射问题可转化为角平分线问题: ①由光的反射原理:∠1=∠2 又因为∠1=∠3,所以∠2=∠3,所以平分∠。 ②作法线,则平分∠ 4、一角平分线问题: ①在△中,平分∠,∠C>∠B 求证:(1)∠ =90°-12 (∠C —∠B) (2)∠12 (∠∠B) D C A E

D E D C B A P E D C B A P E D C B A ②在△中,平分∠,⊥,求证:∠ =12 (∠C —∠B) 拓展:①在△中,平分∠,P 是延长线上一点,过P 作⊥, 求证:∠ =12 (∠C —∠B) 拓展:②在△中,平分∠,P 是延长线上一点,过P 作⊥, 求证:∠ =12 (∠C —∠B) 5、直角三角形斜边上的高的问题: ①如图,△中,∠90°,⊥于D ,求证:∠1=∠

11.2与三角形有关的角能力培优训练含答案

11.2与三角形有关的角 专题一利用三角形的内角和求角度 1.如图,在厶ABC中,/ ABC的平分线与/ 线相 交于D点,/ A=50°则/ D=( A. 15 ° B. 20 ° C. 25° 2.如 图,已知:在直角△ ABC中,/ C=90 °, BD平 分/ ABC且交AC于D.若AP平分/ BAC 且交BD于P,求/ BFA的度数. 3.已知:如图1 ,线段AB、CD相交于点0,连接AD、CB,如图2,在图1的条件下,/ DAB 和/ BCD的 平分线AF和CF相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N .试解答下列问题: (1)__________________________________________________________________ 在图1中,请直接写出/ A、/ B、/ C、/ D之间的数量关系: _______________________________ ; (2)在图2中,若/ D=40° / B=30°,试求/ F的度数;(写出解答过程) (3)如果图2中/ D和/B为任意角,其他条件不变,试写出/ F与/ D、/ B之间的数量关系.(直接写出结论即可)

6.如图: (1 )求证:/ BDC = / A+/ B+/C ; (2)如果点D 与点A 分别在线段 BC 的两侧,猜想/ BDC 、/ A 、/ ABD 、/ ACD 这4个 专题二利用三角形外角的性质解决问题 4. 如图,/ ABD ,/ ACD 的角平分线交于点 P ,若/ A=50 ° / D=10°,则/ P 的度数为( ) A . 15 ° B . 20 ° C . 25 ° D . 30 ° 5. 如图,△ ABC 中,CD 是/ ACB 的角平分线,CE 是AB 边上 的高,若/ A=40° , / B=72° . (1) 求/ DCE 的度数; (2) 试写出/ DCE 与/ A 、/ B 的之间的关系式. (不必证明 ) 角之间有怎样的关系,并证明你的结论.

中考数学 直角三角形的边角关系 培优 易错 难题练习(含答案)及答案

中考数学直角三角形的边角关系培优易错难题练习(含答案)及答案 一、直角三角形的边角关系 1.如图,山坡上有一棵树AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为63米,山坡的坡角为30°.小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高,点C到测角仪EF的水平距离CF=1米,从E处测得树顶部A的仰角为45°,树底部B的仰角为20°,求树AB的高度.(参考数 值:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36) 【答案】6.4米 【解析】 解:∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米,山坡的坡角为30°. ∴DC=BC?cos30°=3 ==米, 639 ∵CF=1米, ∴DC=9+1=10米, ∴GE=10米, ∵∠AEG=45°, ∴AG=EG=10米, 在直角三角形BGF中, BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米, ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米, 答:树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC中求得DC的长,然后求得DF的长,进而求得GF的长,然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长,从而求得树高 2.小红将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,她在底板下面垫入散热架ACO'后,电脑转到AO'B'位置(如图3),侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm,O'C⊥OA于点C,O'C=12cm. (1)求∠CAO'的度数. (2)显示屏的顶部B'比原来升高了多少? (3)如图4,垫入散热架后,要使显示屏O'B'与水平线的夹角仍保持120°,则显示屏O'B'应绕点O'按顺时针方向旋转多少度?

(完整word版)三角形提高题 培优卷

1 、如图,三角形ABC 内任一点P ,连接PA 、PB 、PC , 求证:1/2(AB+BC+AC )∠CAD 4、1}一个等腰三角形的一个外角等于110?,则这个三角形的三个角应该为 。 2}在⊿ABC 中,AB = AC ,周长为20cm ,D 是AC 上一点,⊿ABD 与⊿BCD 面积相等且周长差为3cm ,⊿ABC 各边的长为 。 5、如图,已知△ABC 中,∠C=90°,AC=1.5BC ,在AC 上取点D ,使得AD=0.5BC ,量得BD=1cm ,求△ABD 的面积。 6、如图,在七星形ABCDEFG 中,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数。 7、如图,△ABC 中,∠C >∠B ,AE 为角平分线,AD ⊥BC 于D 。 (1)求证:∠EAD =2 1(∠C -∠B) ; (2)当垂足D 点在直线BC 上运动时(不与点E 重全),垂线交直线AE 于A ’,其它条件不变,画出相应的图形,并指出与(1)相应的结论是 什么?是否仍成立? A B C P B E C A D

8、如图,△ABC 中,AD 是高,AE ,BF 是角平分线,它们相交于点O ,∠CAB =50°,∠ C =60°,求∠DAC 及∠BOA . 9.观察并探求下列各问题,写出你所观察得到的结论,并说明理由。 (1)如图①,△ABC 中,P 为边BC 上一点,试观察比较BP + PC 与AB + AC 的大小,并 说明理由。 C B A P 图① (2)将(1)中点P 移至△ABC 内,得图②,试观察比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小,并说明理由。 C B A P 图② (3)将(2)中点P 变为两个点P 1、P 2得图③,试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小,并说明理由。 C B A P 1P 2 图③ (4)将(3)中的点P 1、P 2移至△ABC 外,并使点P 1、P 2与点A 在边BC 的异侧,且∠P 1BC <∠ABC ,∠P 2CB <∠ACB ,得图④,试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小,并说明理由。 图④ C B A P 1P 2

2020-2021九年级数学直角三角形的边角关系的专项培优易错试卷练习题(含答案)及详细答案

2020-2021九年级数学直角三角形的边角关系的专项培优易错试卷练习题(含答 案)及详细答案 一、直角三角形的边角关系 1.如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度(3=1.7). 【答案】32.4米. 【解析】 试题分析:首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解. 试题解析:如图,过点B作BE⊥CD于点E, 根据题意,∠DBE=45°,∠CBE=30°. ∵AB⊥AC,CD⊥AC, ∴四边形ABEC为矩形, ∴CE=AB=12m, 在Rt△CBE中,cot∠CBE=BE CE , ∴BE=CE?cot30°=12×3=123, 在Rt△BDE中,由∠DBE=45°, 得DE=BE=123. ∴CD=CE+DE=12(3+1)≈32.4. 答:楼房CD的高度约为32.4m. 考点:解直角三角形的应用——仰角俯角问题.

2.在Rt △ACB 和△AEF 中,∠ACB =∠AEF =90°,若点P 是BF 的中点,连接PC ,PE. 特殊发现: 如图1,若点E 、F 分别落在边AB ,AC 上,则结论:PC =PE 成立(不要求证明). 问题探究: 把图1中的△AEF 绕点A 顺时针旋转. (1)如图2,若点E 落在边CA 的延长线上,则上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; (2)如图3,若点F 落在边AB 上,则上述结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; (3)记 AC BC =k ,当k 为何值时,△CPE 总是等边三角形?(请直接写出后的值,不必说) 【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ,PC PE =成立 ()3当k 3 CPE V 总是等边三角形 【解析】 【分析】 (1)过点P 作PM ⊥CE 于点M ,由EF ⊥AE ,BC ⊥AC ,得到EF ∥MP ∥CB ,从而有 EM FP MC PB =,再根据点P 是BF 的中点,可得EM=MC ,据此得到PC=PE . (2)过点F 作FD ⊥AC 于点D ,过点P 作PM ⊥AC 于点M ,连接PD ,先证△DAF ≌△EAF ,即可得出AD=AE ;再证△DAP ≌△EAP ,即可得出PD=PE ;最后根据FD ⊥AC ,BC ⊥AC ,PM ⊥AC ,可得FD ∥BC ∥PM ,再根据点P 是BF 的中点,推得PC=PD ,再根据PD=PE ,即可得到结论. (3)因为△CPE 总是等边三角形,可得∠CEP=60°,∠CAB=60°;由∠ACB=90°,求出∠CBA=30°;最后根据AC k BC =,AC BC =tan30°,求出当△CPE 总是等边三角形时,k 的值是多少即可. 【详解】 解:(1)PC=PE 成立,理由如下: 如图2,过点P 作PM ⊥CE 于点M ,∵EF ⊥AE ,BC ⊥AC ,∴EF ∥MP ∥CB ,∴ EM FP MC PB =,∵点P 是BF 的中点,∴EM=MC ,又∵PM ⊥CE ,∴PC=PE ;

培优专题二:与三角形有关的角

A B C P E A B C P O D C B A 专题2 与三角形有关的角 一、三角形内角和定理: 二、三角形外角的性质: 如图,∠ACD 是△ABC 的外角, 则:①∠ =∠ +∠ ; 或∠ =∠ —∠ ; 或∠ =∠ —∠ 。 ② > 或 > 基本图形介绍: 1、对顶三角形: ①如图,AD 、BC 相交于O ,求证:∠A+∠B=∠C+∠D ②如图,AD 、BC 相交于O ,BP 、DP 分别平分∠ABC 、∠ADC , 求证:∠P=12 (∠A+∠C ) 2、“飞镖”形: ①如图,求证:∠BDC=∠A+∠B+∠C ②如图,BP 、CP 分别平分∠ABD 、∠ACD ,求证:∠P= 12 (∠A+∠D ) 3、三角形内外角平分线问题: ①如图,△ABC 中,P 是△ACB 的角平分线的交点,求证:∠BPC=90°+ 12∠A ②如图,△ABC 中,P 是∠ABC 的角平分线和△ABC 的外角∠ACE 的角平分线的交点。 求证:∠BPC=12 ∠A ③如图,△ABC 中,P 是外角∠EBC 与∠BCF 的角平分线的交点。 求证:∠BPC=90°-12 ∠A 光的反射问题可转化为角平分线问题: ①由光的反射原理:∠1=∠2 又因为∠1=∠3,所以∠2=∠3,所以MD 平分∠BMC 。 ②作法线MN ,则MN 平分∠AMB 4、一角平分线问题: ①在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,∠C>∠B 求证:(1)∠ADC =90°-12 (∠C —∠B) D C B A E

C E D C B A E B A (2)∠ADC=12 (∠ACE+∠B) ②在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,AE ⊥BC ,求证:∠EAD =12 (∠C —∠B) 拓展:①在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,P 是AD 延长线上一点,过P 作PE ⊥BC , 求证:∠EPD =12(∠C —∠B) 拓展:②在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,P 是BC 延长线上一点,过P 作PE ⊥AD , 求证:∠EPD =12 (∠C —∠B) 5、直角三角形斜边上的高的问题: ①如图,△ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ,求证:∠1=∠A ;∠2=∠B ②如图,△ABC 中,∠BCA=90°,CD ⊥AB ,AF 平分∠BAC 6、翻折问题: 如图,将三角形沿直线DE 翻折使点A 在△ABC 的内部得' A , 求证:∠A=12(∠1+∠2) 巩固练习: 1、在△ABC 中,∠A=12∠B=13 ∠C ,则此三角形是( ) A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 2、如图,△ABC 中,∠B=∠C ,点D 在AB 上,DE ⊥AC 于E ,EF ⊥BC 于F ,若∠BDE=140°,那么∠DEF 是( ) A 、55° B 、60° C 、65° D 、70° 3、如图,△ABC 中,AD 为△ABC 的角平分线,BE 为△ABC 的高,∠C=70°,∠ABC=48°,那么∠3是( ) A 、59° B 、60° C 、56° D 、22° 4、如图,△ABC 中,∠A=θα-,∠B=θ,∠C=θα+,(090αθ<<<)若∠BAC 与∠BCA 的平分线交于P 点,则∠APC 是( ) A 、90° B 、105° C 、120° D 、150° 第2题 第3题 第4题 第5题 5、如图,已知E 、F 是△ABC 的边AB 、AC 上的点,△AEF 沿EF 折叠,并使点A 落在四边形EBCF 内,∠BEG=20°,∠CFG=86°,那么∠A 是( ) A 、52° B 、53° C 、54° D 、60° 6、等腰三角形的某个内角的外角是130°,那么这个三角形的三个内角的大小是( ) A 、50°,50°,80° B 、50°,50°,80°或130°,25°,25° C 、50°,65°,65° D 、50°,50°,80°或50°,65°,65° 7、已知:△ABC 中,∠A=66°,△ABC 的高BE 、CF 所在直线相交于点G ,则∠BGC=( )

中考数学 直角三角形的边角关系 培优练习(含答案)含答案

中考数学直角三角形的边角关系培优练习(含答案)含答案 一、直角三角形的边角关系 1.如图13,矩形的对角线,相交于点,关于的对称图形为. (1)求证:四边形是菱形; (2)连接,若,. ①求的值; ②若点为线段上一动点(不与点重合),连接,一动点从点出发,以 的速度沿线段匀速运动到点,再以的速度沿线段匀速运动到点,到达点后停止运动.当点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时,求的长和点走完全程所需的时间. 【答案】(1)详见解析;(2)①②和走完全程所需时间为 【解析】 试题分析:(1)利用四边相等的四边形是菱形;(2)①构造直角三角形求; ②先确定点沿上述路线运动到点所需要的时间最短时的位置,再计算运到的时间. 试题解析:解:(1)证明:四边形是矩形. 与交于点O,且关于对称 四边形是菱形. (2)①连接,直线分别交于点,交于点 关于的对称图形为 在矩形中,为的中点,且O为AC的中点 为的中位线 同理可得:为的中点,

②过点P作交于点 由运动到所需的时间为3s 由①可得, 点O以的速度从P到A所需的时间等于以从M运动到A 即: 由O运动到P所需的时间就是OP+MA和最小. 如下图,当P运动到,即时,所用时间最短. 在中,设 解得: 和走完全程所需时间为 考点:菱形的判定方法;构造直角三角形求三角函数值;确定极值时动点的特殊位置

2.如图,抛物线y=﹣x2+3x+4与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,点D在抛物线上且横坐标为3. (1)求tan∠DBC的值; (2)点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标. 【答案】(1)tan∠DBC=; (2)P(﹣,). 【解析】 试题分析:(1)连接CD,过点D作DE⊥BC于点E.利用抛物线解析式可以求得点A、B、C、D的坐标,则可得CD//AB,OB=OC,所以∠BCO=∠BCD=∠ABC=45°.由直角三角形 的性质、勾股定理和图中相关线段间的关系可得BC=4,BE=BC﹣DE=.由此可知tan∠DBC=; (2)过点P作PF⊥x轴于点F.由∠DBP=45°及∠ABC=45°可得∠PBF=∠DBC,利用(1)中 的结果得到:tan∠PBF=.设P(x,﹣x2+3x+4),则利用锐角三角函数定义推知=,通过解方程求得点P的坐标为(﹣,). 试题解析: (1)令y=0,则﹣x2+3x+4=﹣(x+1)(x﹣4)=0, 解得 x1=﹣1,x2=4. ∴A(﹣1,0),B(4,0). 当x=3时,y=﹣32+3×3+4=4, ∴D(3,4). 如图,连接CD,过点D作DE⊥BC于点E.

第二节 与三角形有关的角-学而思培优

第二节与三角形有关的角一、课标导航 二、核心纲要 1.三角形内角和定理及其应用 180 (1)三角形内角和定理:三角形三个内角的和是. (2)三角形内角和定理的应用 ①在三角形中已知两角可求第三角,或已知各角之间关系,求各角; ②证明角之间的关系. 2.三角形的外角 (1)定义:三角形一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角. (2)性质:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和, 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 360 (3)三角形外角和定理:三角形外角和是. (4)三角形外角的性质的应用 ①已知外角和与它不相邻两个内角中的一个可求“另一个”; ②可证一个角等于另两个角的和; ③利用它作为中间关系式证明两个角相等; ④利用它证明角的不等关系. 3.几何模型

4.思想方法 (1)分类讨论. (2)方程思想, 本节重点讲解:一个性质(外角的性质),两大定理(三角形内、外角和定理),两个思想,四个模型(“小旗”模型,“飞镖”模型,“8”字模型和角平分线相关模型). 三、全能突破 基 础 演 练 1.-副三角板,按图11-2—1所示方式叠放在一起,则图中α∠的度数是( ). 75.A o B 60. 65.C o D 55. 2.如图11-2 -2所示,在△ABC 中,,,ABD A BDC C ABC ∠=∠∠=∠=∠则A ∠的度数为( ). 36.A 72.B 108.C 144.D 3.我们知道:等腰三角形的两个底角相等,已知等腰三角形的一个内角为,40 则这个等腰三角形的顶角 为( ). 40.A 100.B o C 10040.或 005070.或D

三角形边角关系培优训练(供参考)

C B D A 三角形三边关系、内角练习题 一、三边关系 1.已知 ABC 中,周长为12,b=12 (a+c),则b 为 2.一边长为5cm ,另一边长为10cm 的等腰三角形的周长是 3.有木条4根,长度为14厘米,10厘米,8厘米,6厘米,选其中三根组成三角形,则选择的种数有 种 4.三角形两边长为2cm 和7cm ,第三边长为奇数,那么这个三角形的周长是 cm 5.一条线段的长为a ,若要使3a —l ,4a+1,12-a 这三条线段组成一个三角形,求a 的取值范围? 6.设△ABC 的三边a , b ,c 的长度均为自然数,且a ≤b ≤c ,a + b + c =13 , 则以a , b , c 为三边的三角形共有多少个。 6.在右图中,已知AD 是△ABC 的BC 边上的高,AE 是BC 边上的中线,求证:AB+AE+12 BC>AD+AC 证明:∵AD ⊥BC( )∴AB >AD( ) 在△AEC 中,AE+EC>AC( )又∵AE 为中线( ) ∴EC=12 BC( ) 即AE+ 12BC>AC( ) ∴AB+AE+12BC >AD+AC 7.如图,已知D 是△ABC 内任意一点,则有AB+AC >DB+DC. 8.如图,已知P 是△ABC 内一点,连结AP ,PB,PC, 求证:(1)PA+PB+PC > 21 (AB+AC+BC) (2) PA+PB+PC < AB+AC+BC 二、三角关系 1.若三角形的三个外角的比是2:3:4,则这个三角形的最大内角的度数是 .

21P C B A 2.已知△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ,则∠BOC 一定( ) A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 3. △ABC 的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 4.如图△ABC,∠ABC = ∠ACB,∠A = 40°,P 是△ABC 内一点,∠1 = ∠2.则∠BPC =____。 5.锐 角三角形ABC 中,3条高相交于 点H ,若∠BAC =70°,则∠BHC = _______ 6.如 图,BE 平分∠ABD 交CD 于F ,CE 平 分∠ACD 交AB 于G ,AB 、CD 交于点O ,且∠A=48?, ∠D=46?,则∠BEC= 。 7.若?ABC 的三个内角满足3∠A>5∠B ,3∠C<2∠B ,则三角形是( ) A .钝角三角形 B .直角三角形 C .锐角三角形 D .都有可能 8.如图,已知∠BOF=120°,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数. 9.如图,BE 是∠ABD 的平分线,CF 是∠ACD 的平分线,BE 、CF 相交于点G ,∠BDC=140°,∠BGC=110°。求∠A 的度数。 10.如图△ABC 中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠ABC=50°,∠ACB=62°,求∠DFE 的大小。 11.△ABC 中,AD 、BE 、CF 是角平分线,交点是点G ,GH ⊥BC 。求证:∠BGD=∠CGH. 12. 如图,△ABC 中,D 、E 分别是BC 、AB 边上的点, AD 平分∠EDC , 试说明∠BED >∠B 的道理。 13.△ABC 中,∠A: ∠ABC: ∠ACB=3:4:5,CE 是AB 上的高,∠BHC=135° 求证:BD ⊥AC

三角形培优经典题型

《三角形》练习题 班级_________ 姓名__________ 分数__________一、选择题(每题4分) 1.等腰三角形的两边长分别是3和7,那么它的周长是() A、13 B、16 C、17 D、13或17 2、如图1,图中三角形的个数为() A.17 B.18 C.19 D.20 3、在△ABC中,∠A-∠C=25°,∠B-∠A=10°,则∠B=() A、28° B、35° C、15° D、21° 4、如图2,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于D点, ∠A=50°,则∠D=() A.15°B.20°C.25°D.30° 5、已知一个多边形的每一个内角都等于135°,则这个多边形是() A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 6、如图3,∠ABD,∠ACD的角平分线交于点P,若∠A=50°,∠D=10°, 则∠P的度数为() A.15°B.20°C.25°D.30° 7、一个多边形截去一个内角后,形成另一个多边形,它的内角和为2520°, 则原来多边形的边数不可能是() A、15条 B、16条 C、17条 D、18条 8、已知三条线段分别是a、b、c且a<b<c(a、b、c均为整数), 若c=6,则线段a、b、c能组成三角形的个数为() A、3个 B、4个 C、5个 D、6个 图1 图2 图3 二、填空题(每题4分) 9、若△ABC的三边长分别是4,X,9,则X的取值范围是_____, 周长L的取值范围是_____;当周长为奇数时,X=_____ 10、一条线段的长为a,若要使3a—l,4a+1,12-a这三条线段组成一个三角形,则a的取 值范围__________. 11、等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12和10两部分, 则此等腰三角形的腰长是_____ 12、如图4,小亮从A点出发,沿直线前进100m后向左转30°,再沿直线前进100m,又向 左转30°,…照这样走下去,他第一次回到出发地A点时,一共走了________m 13、如图5,在△ABC中E是BC上的一点,EC=2BE,点D是AC的中点,S△ABC=12,

2020-2021备战中考数学 直角三角形的边角关系 培优练习(含答案)含答案

2020-2021备战中考数学 直角三角形的边角关系 培优练习(含答案)含答案 一、直角三角形的边角关系 1.如图,某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞 行高度AC 为60m ,随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. (1)求之间的距离 (2)求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】(1)120米;(2)3 5 . 【解析】 【分析】 (1)解直角三角形即可得到结论; (2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D ,于是得到'60A E AC ==, '30CE AA ==3Rt △ABC 中,求得DC= 3 3 3,然后根据三角函数的定义即可得到结论. 【详解】 解:(1)由题意得:∠ABD=30°,∠ADC=60°, 在Rt △ABC 中,AC=60m , ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120(m ) (2)过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ,连接'A D , 则'60A E AC ==, '30CE AA ==3 在Rt △ABC 中, AC=60m ,∠ADC=60°, ∴DC=333∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE 5032 35 答:从无人机'A 上看目标D 2 35

【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用,添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 2.如图,海上观察哨所B 位于观察哨所A 正北方向,距离为25海里.在某时刻,哨所A 与哨所B 同时发现一走私船,其位置C 位于哨所A 北偏东53°的方向上,位于哨所B 南偏东37°的方向上. (1)求观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离; (2)若观察哨所A 发现走私船从C 处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜,并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截.求缉私艇的速度为多少时,恰好在D 处成功拦截.(结果保留根号) (参考数据:sin37°=cos53°≈,cos37 =sin53°≈去,tan37°≈2,tan76°≈) 【答案】(1)观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里;(2)当缉私艇以每小时617D 处成功拦截. 【解析】 【分析】 (1)先根据三角形内角和定理求出∠ACB =90°,再解Rt △ABC ,利用正弦函数定义得出AC 即可; (2)过点C 作CM ⊥AB 于点M ,易知,D 、C 、M 在一条直线上.解Rt △AMC ,求出CM 、AM .解Rt △AMD 中,求出DM 、AD ,得出CD .设缉私艇的速度为x 海里/小时,根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程,解方程即可. 【详解】 (1)在ABC △中,180180375390ACB B BAC ?????∠=-∠-∠=--=. 在Rt ABC V 中,sin AC B AB = ,所以3sin 3725155 AC AB ? =?=?=(海里). 答:观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里. (2)过点C 作CM AB ⊥,垂足为M ,由题意易知,D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM V 中,4 sin 15125 CM AC CAM =?∠=? =,

三角形边角关系培优训练经典

21P C B A 三角内角与外角典型题 1、①求下图各角度数之和。 ②如图,已知∠BOF=120°,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________. 2、如图,BE 是∠ABD 的平分线,CF 是∠ACD 的平分线,BE 、CF 相交于点G ,∠BDC=140°,∠BGC=110°。求∠A 的度数。 3、如图△ABC 中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠ABC=50°,∠ACB=62°,求∠DFE 的大小。 4、△ABC 中,AD 、BE 、CF 是角平分线,交点是点G ,GH ⊥BC 。 求证:∠BGD=∠CGH. 5.如图,已知CE 为△ABC 的外角∠ACD 的角平分线,CE 交BA 的延长线于点E , 求证:∠BAC > ∠B 6、△ABC 中,∠A: ∠ABC: ∠ACB=3:4:5,CE 是AB 上的高,∠BHC=135° 求证:BD ⊥AC 7、三角形的最大角与最小角之比是4:1,则最小内角的取值范围是 8.若三角形的三个外角的比是2:3:4,则这个三角形的最大内角的 是???? . 9.如图,在△ABC 中,∠ABC = ∠ACB ,∠A = 40°,P 是△ABC 内一 点,且∠1 = ∠2.则∠BPC =________。 10.锐角三角形ABC 中,3条高相交于点H ,若∠BAC =70°,则∠BHC =_______ 11、如图,BE 平分?ABD 交CD 于F ,CE 平分?ACD 交AB 于G ,AB 、CD 交于 点O ,且?A=48?,?D=46?,则?BEC= 。 12.已知△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ,则∠BOC 一定( ) A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 13. △ABC 的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形是( ) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 14、若?ABC 的三个内角满足3?A>5?B ,3?C<2?B ,则三角形是( ) A .钝角三角形 B .直角三角形 C .锐角三角形 D .都有可能 H A B C E D E G A B D C F G A B C D E F H

中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)附答案

中考数学直角三角形的边角关系(大题培优易错难题)附答案 一、直角三角形的边角关系 1.如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度(3=1.7). 【答案】32.4米. 【解析】 试题分析:首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解. 试题解析:如图,过点B作BE⊥CD于点E, 根据题意,∠DBE=45°,∠CBE=30°. ∵AB⊥AC,CD⊥AC, ∴四边形ABEC为矩形, ∴CE=AB=12m, 在Rt△CBE中,cot∠CBE=BE CE , ∴BE=CE?cot30°=12×3=123, 在Rt△BDE中,由∠DBE=45°, 得DE=BE=123. ∴CD=CE+DE=12(3+1)≈32.4. 答:楼房CD的高度约为32.4m. 考点:解直角三角形的应用——仰角俯角问题.

2.在等腰△ABC中,∠B=90°,AM是△ABC的角平分线,过点M作MN⊥AC于点N, ∠EMF=135°.将∠EMF绕点M旋转,使∠EMF的两边交直线AB于点E,交直线AC于点F,请解答下列问题: (1)当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时,求证:BE+CF=BM; (2)当∠EMF绕点M旋转到如图②,图③的位置时,请分别写出线段BE,CF,BM之间的数量关系,不需要证明; (3)在(1)和(2)的条件下,tan∠BEM=,AN=+1,则BM=,CF=. 【答案】(1)证明见解析(2)见解析(3)1,1+或1﹣ 【解析】 【分析】 (1)由等腰△ABC中,∠B=90°,AM是△ABC的角平分线,过点M作MN⊥AC于点N,可得BM=MN,∠BMN=135°,又∠EMF=135°,可证明的△BME≌△NMF,可得BE=NF, NC=NM=BM进而得出结论; (2)①如图②时,同(1)可证△BME≌△NMF,可得BE﹣CF=BM, ②如图③时,同(1)可证△BME≌△NMF,可得CF﹣BE=BM; (3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中,, 可得Rt△ABM≌Rt△ANM,后分别求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的长,结合(1)(2)的结论对图①②③进行讨论可得CF的长. 【详解】 (1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形, ∴∠BAC=∠C=45°, ∵AM是∠BAC的平分线,MN⊥AC, ∴BM=MN, 在四边形ABMN中,∠,BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°, ∵∠ENF=135°,, ∴∠BME=∠NMF, ∴△BME≌△NMF, ∴BE=NF, ∵MN⊥AC,∠C=45°, ∴∠CMN=∠C=45°,

相关文档
最新文档