中国古典数学题(修改)

古典数学题

（1）两鼠穿垣

今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。问：何日相逢？各穿几何？

题意是：有垛厚五尺（旧制长度单位，1尺=10寸）的墙壁，大小两只老鼠同时从墙的两面，沿一直线相对打洞。大鼠第一天打进1尺，以后每天的进度为前一天的2倍；小鼠第一天也打进1尺，以后每天的进度是前一天的一半。它们几天可以相遇？相遇时各打进了多少？

此题刊于我国著名的古典数学名著《九章算术》一书的“盈不足”一章中。《九章算术》成书大约在公元一世纪，由于年代久远，它的作者以及准确的成书年代，至今尚未能考证出来。该书是采用罗列一个个数学问题的形式编排的。全书共收集了246道数学题，分成九大类，即九章，所以称为《九章算术》。

解答本题并不十分繁难，请你试一试。（思路提示：第一天的时候，大老鼠打了1尺，小老鼠1尺，一共2尺，还剩3尺；第二天的时候，大老鼠打了2尺，小老鼠打了2

1尺，这一天一共打了2.5尺，两天一共打了4.5尺，还剩0.5尺。第三天按道理来说大老鼠打4尺，小老鼠4

1尺，可是现在只剩0.5尺没有打通了，所以在第三天肯定可以打通。我们现在设大老鼠打了X 尺，小老鼠则打了（0.5-X ）

尺则打洞时间相等： X÷4=（0.5-x ）÷41解方程得X=17

8所以大老鼠在第三天打了178尺，小老鼠打了0.5-178=341尺,所以三天总的来说：大老鼠打了317

8尺。） （2）兔子问题。十三世纪，意大利数学家伦纳德提出下面一道有趣的问题：如果每对大兔每月生一对小兔，而每对小兔生长一个月就成为大兔，并且所有的兔子全部存活，那么有人养了初生的一对小兔，一年后共有多少对兔子？ 想：第一个月初，有1对兔子；第二个月初，仍有一对兔子；第三个月初，有2对兔子；第四个月初，有3对兔子；第五个月初，有5对兔子；第六个月初，有8对兔子……。把这此对数顺序排列起来，可得到下面的数列： 1，1，2，3，5，8，13，……

观察这一数列，可以看出：从第三个月起，每月兔子的对数都等于前两个月对数的和。根据这个规律，推算出第十三个月初的兔子对数，也就是一年后养兔人有兔子的总对数。（同学们自己解答）

（3）和尚分馒头

我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：

“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁”？ 如果译成白话文，其意思是：有100个和尚分100只馒头，正好分完。如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大、小和尚各有几人？

方法一，用方程解：

解：设大和尚有x 人，则小和尚有(100－x)人，根据题意列得方程： 3x+3

1(100－x)=100

解方程得：x=25小和尚：100－25＝75（人）

方法二，鸡兔同笼法： (1)假设100人全是大和尚，应吃馒头多少个？

3×100=300(个)． (2)这样多吃了几个呢？300－100=200(个)．(3)为什么多吃了200个呢？这是因为把小和尚当成大和尚。那么把小和尚当成大和尚时，每个

小和尚多算了几个馒头？ 3－31=38 （个）；(4)每个小和尚多算了3

8个馒头，一共多算了200个，所以小和尚有：200÷3

8＝75（人）大和尚：100－75＝25（人）

方法三，分组法：由于大和尚一人分3只馒头，小和尚3人分一只馒头。我们可以把3个小和尚与1个大和尚编为一组，这样每组4个和尚刚好分4个馒头，那么100个和尚总共分为100÷（3+1）=25组，因为每组有1个大和尚，所以有25个大和尚；又因为每组有3个小和尚，所以有25×3＝75个小和尚这是《直指算法统宗》里的解法，原话是：“置僧一百为实，以三一并得四为法除之，得大僧二十五个。”所谓“实”便是“被除数”，“法”便是“除数”。列式就是：100÷（3+1）=25，100-25=75。我国古代劳动人民的智慧由此可见一斑。

（4）求碗问题。我国古代《孙子算经》中有一道著名的“河上荡杯”题（注：荡杯即洗碗）。题目意思是：一位农妇在河边洗碗。邻居问：“你家里来了多少客人，要用这么多碗？”她答道：“客人每两位合用一只饭碗，每三位合用一只汤碗，每四位合用一只菜碗，共享65只碗。”她家里究竟来了多少位客人？ （这题可以用分数应用题的思路：设客人总人数为单位“1”，根据两人合用一

只饭碗，那么饭碗个数的分率是2

1，每三人合用一只汤碗，那么汤碗个数的分率是31，每四人合用一只菜碗，那么菜碗个数的分率是4

1，那么共有碗65只对应的分率就是三种碗分率的和，即21+31+41，算式是65÷（21+31+4

1）=60（人）。）

（5）百钱问题

今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁母雏各几何？

相传在南北朝时期（公元386年——公元589年），我国北方出了一个“神童”，他反映敏捷，计算能力超群，许多连大人一时也难以解答的问题，他一下子就给算出来了。远远近近的人都喜欢找他计算数学问题。

“神童”的名气越来越大，传到当时宰相的耳中。有一天，宰相为了弄清“神童”是真是假，特地把“神童”的父亲叫了去，给了他100文钱，让第二天带100

只鸡来。并规定100只鸡中公鸡、母鸡和小鸡都要有，而且不准多，也不准少，一定要刚好百钱百鸡。当时，买1只公鸡5文钱，买1只母鸡3文钱，买3只小鸡才1文钱。怎样才能凑成百钱百鸡呢？“神童”想了一会，告诉父亲说，只要送4只公鸡、18只母鸡和78只小鸡就行了。

第二天，宰相见到送来的鸡正好满足百钱百鸡，大为惊奇。他想了一下，又给了100文钱，让明天再送100只鸡来，还规定不准只有4只公鸡。这个问题也没有难住“神童”。他想了一会，叫父亲送8只公鸡、11只母鸡和81只小鸡去。还告诉父亲说，遇到类似问题，只要怎样怎样就行了。第二天，宰相见到了送来的100只鸡，赞叹不已。他又给了100文钱，要求下次再送100只鸡来。岂料才一会儿，“神童”的父亲就送来了100只鸡。宰相一数：公鸡12只、母鸡4只、小鸡84只，正好又满足百钱百鸡……。这个“神童”就是张丘建。他继续勤奋学习，终于成为一个著名的数学家。他的名著《张丘建算经》里，最后一个题目就是这个有趣的“百鸡问题”。那么，他又是怎样算出题目的几个答案的呢？原来，张丘建发现了一个秘密：4只公鸡值20文钱，3只小鸡值1文钱，合起来鸡数是7，钱数是21；而7只母鸡呢，鸡数是7，钱数也是21。如果少买7只母鸡，就可以用这笔钱多买4只公鸡和3只小鸡。这样，百鸡仍是百鸡，百钱仍是百钱。所以，只要只有求出一个答案，根据这种法则，马上就可以求出其它的答案来。这就是驰名中外的“百鸡术”。

（6）元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：

九百九十九文钱，及时梨果买一千，

一十一文梨九个，七枚果子四文钱。

问：梨果多少价几何？

此题的题意是：用999文钱买得梨和果共1000个，梨11文买9个，果4文买7个。问买梨、果各几个，各付多少钱？

此题主要考察学生用已学过的知识，借助假设、替换等思维方法，去解决这一传统而典型的实际问题的能力，有利于激发学生对数学的兴趣。

先求梨和果的单价。每个梨价：11÷9=

911（文）每个果价：4÷7=7

4（文）假设1000个全是梨，则需9

11×1000＝122292文钱，比999文多22392文钱。每把一个果假设为梨，会多算6341文钱，再用22392÷63

41可以求出果地个数。即果的个数：（11×1000－999）÷（911－7

4）＝343（个）梨的个数：1000－343＝657（个）梨的总价：91×657＝803（文）果的总价：74×343＝196（元） 答：买果343个，共付196文钱；买梨657个，共付803文钱。当然，这道题也可以假设1000个全是果，同样的方法可以求出梨果的个数和付的钱数。（同学们可以试一试）

（7）百羊问题

《算法统宗》是中国古代数学著作之一。书里有这样一题：甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊一只随其后；戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑。玄机奥妙谁猜透？

方程方法的解答的解是：解：设甲有x 羊。 X+X+

21X+4

1X+1=100最后解得：x=36

（8）李白买酒

我国唐代的天文学家、数学家张逐曾以“李白喝酒”为题材编了一道算题：“李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗（斗是古代酒具，也可作计量单位）。三遇店和花，喝光壶中酒，原有多少酒？”

解题方法：壶中原有酒量是要求的，并告诉了壶中酒的变化及最后结果--三遍成倍添（乘以2）定量减（减斗）而光。求解这个问题，一般以变化后的结果出发，利用乘与除、加与减的互逆关系，逐步逆推还原。“三遇店和花，喝光壶中酒”，可见三遇花时壶中有酒，则三遇店时有酒1÷2斗，那么，二遇花时有酒1÷2+1斗，二遇店有酒（1÷2+1）÷2斗，于是一遇花时有酒（1÷2+1）÷2+1斗，一

遇店时有酒，即壶中原有酒的计算式为[（1÷2+1）÷2+1]÷2=8

7（斗） 故壶中原有8

7斗酒。 以上解法的要点在于逆推还原，这种思路也可用示意图或线段图表示出来。 当然，若用方程方法来解，这题数量关系更明确。设壶中原有酒x 斗，据题意列方程

2[2（2x-1）-1]-1=0

解之，得x=8

7 （9）浮屠增级

在明朝程大位<<算法统宗》中，有这样的一首歌谣，叫做浮屠增级歌。 远看巍巍塔七层 红光点点倍加倍

共灯三百八十一 请问尖头几盏灯

这首古诗描述的这个宝塔，其古称浮屠。本题说它一共有七层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，问这个塔顶有几盏灯答曰:顶层三盏浮屠就是佛塔. 本题是说,远处有一座雄伟的佛塔,塔上挂满了许多红灯,下一层灯数是上一层灯数的2倍,全塔共有381盏,试问顶层有几盏灯?

首先列出各层灯数的份数：最上层为1份，依此类推各层份数是 ：

1:2:4:8:16:32:64 其总和1+2+4+8+16+31+64=127（份）这题可以用方程解把总灯数分成127份,一份的灯数是 361÷127=3（盏）,这就是顶层的灯数. 解：设一层x

x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381

127x=381

x=3

8x=24

答：第四层24红灯

（10）中国剩余定理，此定理源于我国古代数学名著《孙子算经》，其中记载了这样一个“物不知数”的问题：“今有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”这个问题的意思是：有一个正整数，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的正整数．此问题及其解题原理在世界上颇负盛名，中外数学家们称之为“孙子定理”、“中国剩余定理”或“大衍求一术”等．对以上“物不知数”的问题，求得满足条件的最小正整数为23

翻译:一个数被3除余2,被5除余3,被7除余2.求这个数.

《孙子算经》的解决方法大体是这样的,

先求被3除余2,同时能被5,7都整除的数,最小为140.

在求被5除余3,同时能被3,7都整除的数,最小为63.

最后求被7除余2,同时能被3,5整除的数,最小为30.于是数140+63+30=233,就是一个所需求的数,它减去或加上3,5,7的最小公倍数“105”的倍数,233-210=23. 233+105=388,......也是符合要求的数,所以符合要求的数有无限个.最小的是23.

（11）鸡兔同笼

我国古代数学名著《孙子算经》中有一道流传久远的名题———“鸡兔同笼”问题，原文是：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉、兔各几何？”

翻译：鸡兔在同一笼中，共有头35只，脚有94只，鸡和兔各有多少只?

在小学我们通常用以下方法来解：

1、化归法：

假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47

与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12（只）。显然，鸡的只数就是35－12＝23（只）了,上面的计算，可以归结为下面算式：

总脚数÷2－总头数＝兔子数。

上面的解法是《孙子算经》中记载的。做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数。

2、假设法：

如果设想35只都是兔子，那么就有4×35只脚，比94只脚多了35×4－94＝46(只)。

每只鸡比兔子少(4－2)只脚，所以共有鸡(35×4－94)÷(4－2)＝ 23(只)。 说明我们设想的35只"兔子"中，有23只不是兔子。而是鸡。因此可以列出公式：鸡数＝(兔脚数×总头数－总脚数)÷(兔脚数－鸡脚数)。

当然，我们也可以设想34只都是“鸡”，也可以列出公式： 兔数＝(总脚数－鸡脚数×总头数)÷(兔脚数－鸡脚数)。

3、倍数关系法：

如果35只都是兔子，脚有35×4＝140条；如果35只都是鸡，脚有35×2＝70条，分别和94条相差140－94＝46条；94－70＝24条。可以看出鸡的只数是兔

子的46÷24＝1223所以兔子有35÷（1＋12

23）＝12只，鸡有35－12＝23只 4、方程法.通过找等量关系解方程,同学们自己尝试解决。

（13）《九章算术》中的原题：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺。蒲生日自半，莞生日自倍。问几何日而长等”？

题意是：蒲和莞从第1天刚开始从0尺开始生长。第1天蒲增长了3尺长，莞增长1尺长。蒲每天长度增加前一天增长数的一半，而莞每天增加前一天增长数的二倍。即蒲每天增长速度为（从第n 天初到第n 天末的速度）3，1.5，0.75，0.325……尺/天；莞每天增长数为1，2，4，8……尺/天。这里在一天之内增长速度不变。求第几天长度相等。解法是：

到第2天末，蒲长为3+1.5=4.5，莞长为1+2=3，4.5>3，不足4.5-3=1.5尺；到第3天末，蒲长为4.5+0.75=5.25，莞长为3+4=7，5.25<7，有余7-5.25=1.75尺。于是知道是在第三天初到第三天末之间生长到同一长度的，这期间它们生长速度分别为0.75尺/天，4尺/天。于是用它们长度的差除以速度的差得到追齐

的时间：1.5÷(4－0.75)=136天或1.75÷(4－0.75)=13

7天于是所用总时间为2136天也就等于3－13

7天。 （14）托尔斯泰的算术题

俄国伟大的作家托尔斯泰，曾出过这样一个题：一组割草人要把二块草地的草割完。大的一块比小的一块大一倍，上午全部人都在大的一块草地割草。下午一半

人仍留在大草地上，到傍晚时把草割完。另一半人去割小草地的草，到傍晚还剩下一块，这一块由一个割草人再用一天时间刚好割完。问这组割草人共有多少人？

（每个割草人的割草速度都相同）

(思路提示：解法一：已知大草地面积为小草地而积的2倍，则在相同天数里割完大草地的人数为割完小草地人数的2倍。换句话说，割草队割完大草地的时间就等于半个割草队割完小草地的时间。根据题意，割草队在大草地上割了0．5天，下午半个割草队把大草地余下的草割完。也就是说，若由整个割草队来割，则只需0．5×0．5＝0．25天就能把大草地余下的草割完。因此，整个割草队割完大草地需0．5＋0．25＝0．75天，即半个割草队割完小草地也要0．75天。根据题意，半个割草队已割了0．5天，则余下的部分半个割草队只要再割0．2 5天。不难换算出，余下的部分需0．125个割草队再割1天。从题意可知，余下的部分由1人1天割完，因此整个割草队人数为8。

解法二：我们可以设半组人半天的割草量为1份，则全组人半大在大草地上的割草量为 2份。所以，在大草地上的割草量为1＋2＝3份。因为大草地的面积比小草地大1倍，因此小草地上的总割草量为1．5份。在这1．5份中有半组人半大割草量1份，则剩下0．5份就是由一个人一天完成。现在条件就是一个人一天完成0．5份，而全组人半大的割草量为2份，也就是全组人一天完成4份，可推算出全组人数为4÷0．5＝8人。从上面的两种解法可以看出，尽管解法各具特色，但不能忽略解答这道“割草问题”的总体思路就是，设法求出全组人一天完成割草量与一人一天完成的割草量的关系，再从这个比例关系中换算得到全组的人数。）

（15）路程问题

《九章算术》是我国最古老的数学著作之一，全书共分九章，有246个题目。其中一道是这样的：一个人用车装米，从甲地运往乙地，装米的车日行25千米，不装米的空车日行35千米，5日往返三次，问二地相距多少千米？

（思路提示：装米的车行每千米需要1÷25=

25

1日，不装米的空车行每千米需要1÷35=35

1日，则往返各行1千米需要251+351=17512日，已知，5日往返3次，则往返一次需要5÷3=35天，可得：两地相距35÷17512=16

875千米。） 六年级的同学还可以用比来解决，你想试一试吗? 16中国古代经典的统筹规划故事：丁谓施工

中国古代有一个丁谓施工的故事，也蕴含着运筹学的思想。

传说宋真宗在位时，皇宫曾起火。一夜之间，大片的宫室楼台殿阁亭榭变成了废墟。为了修复这些宫殿，宋真宗派当时的晋国公丁谓主持修缮工程。当时，要完成这项重大的建筑工程，面临着三个大问题：第一，需要把大量的废墟垃圾清理掉；第二，要运来大批木材和石料；第三，要运来大量新土。不论是运走垃圾还是运来建筑材料和新土，都涉及到大量的运输问题。如果安排不当，施工现场会杂乱无章，正常的交通和生活秩序都会受到严重影响。丁谓研究了工程之后，制订了这样的施工方案：首先，从施工现场向外挖了若干条大深沟，把挖出来的土作为施工需要的新土备用，于是就解决了新土问题。第二步，从城外把汴水引入所挖的大沟中，于是就可以利用木排及船只运送木材石料，解决了木材石料的运输问题。最后，等到材料运输任务完成之后，再把沟中的水排掉，把工地上的垃圾填入沟内，使沟重新变为平地。简单归纳起来，就是这样一个过程：挖沟（取土）→引水入沟（水道运输）→填沟（处理垃圾）。按照这个施工方案，不仅节约了许多时间和经费，而且使工地秩序井然，使城内的交通和生活秩序不受施工太大的影响，因而确实是很科学的施工方案。