高考小题专项练习3

12＋4满分练(3)

1.已知集合M ＝{x |x 2－x －2＜0}，N ＝????

??y |y ＝－12x 2＋1，x ∈R ，则M ∩N 等于( ) A.{x |－2≤x ＜1}

B.{x |1＜x ＜2}

C.{x |－1＜x ≤1}

D.{x |1≤x ＜2}

答案 C 解析 M ＝{x |－1＜x ＜2}，N ＝{y |y ≤1}，则M ∩N ＝{x |－1＜x ≤1}，故选C.

2.(2017·重庆模拟)已知a ＋2i i

＝b ＋i(a ，b 是实数)，其中i 是虚数单位，则ab 等于( ) A.－2 B.－1 C.1 D.3

答案 A

解析 由题设可得a ＋2i ＝b i －1，

则a ＝－1，b ＝2，

故ab ＝－2，故选A.

3.某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A 和B 都不是第一个出场，B 不是最后一个出场”的前提下，学生C 第一个出场的概率为( ) A.13 B.15 C.19 D.320

答案 A

解析 先排B ，有A 13(非第一与最后)种方法，再排A 有A 13(非第一)种方法，

其余3人自由排，共有A 13A 13A 33＝54(种)方法，这是总结果；学生C 第一个出场，先排B ，有A 13(非第一与最后)

种方法，再排A 有A 13种方法，C 第一个出场，剩余2人自由排，故有A 13A 13A 22＝18(种)，故学

生C 第一个出场的概率为1854＝13

. 4.(2017·安阳模拟)已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12?

???A ＞0，0＜φ＜π2的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线x ＝π12

对称，若对于任意的x ∈????0，π2，都有m 2－3m ≤f (x )，则实数m 的取值范围为( )

A.????1，32

B.[1，2]

C.????32，2

D.????

??3－132，3＋132 答案 B

解析 由已知得，sin ????2×π12＋φ＝1?φ＝π3

， f (0)＝1?A sin π3－12

＝1?A ＝3， 则f (x )＝3sin ?

???2x ＋π3－12， 当x ∈????0，π2时，π3≤2x ＋π3≤4π3

， 所以f (x )min ＝f ????4π3＝－2，

则m 2－3m ≤－2?m 2－3m ＋2≤0，

解得1≤m ≤2，故选B.

5.(2017届云南省云南师范大学附属中学月考)四面体P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，P A ＝8，BC ＝4，PB ＝PC ＝AB ＝AC ，且平面PBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为( )

A.64π

B.65π

C.66π

D.128π

答案 B

解析 如图，D ，E 分别为BC ，P A 的中点，

易知球心O 点在线段DE 上，

∵PB ＝PC ＝AB ＝AC ，

则PD ⊥BC ，AD ⊥BC ，PD ＝AD .

又∵平面PBC ⊥平面ABC ，

平面PBC ∩平面ABC ＝BC ，

∴PD ⊥平面ABC ，

∴PD ⊥AD ，

∴PD ＝AD ＝4 2.

∵点E 是P A 的中点，

∴ED ⊥P A ，且ED ＝EA ＝PE ＝4.

设球O 的半径为R ，OE ＝x ，则OD ＝4－x ，

在Rt △OEA 中，有R 2＝16＋x 2，

在Rt △OBD 中，有R 2＝4＋(4－x )2，

解得R 2＝654

， ∴S ＝4πR 2＝65π.故选B.

6.(2017·唐山模拟)一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的n ＝12，则输出的结果b 等于( )

A.4

B.72

C.9728

D.6414

答案 C

解析 n ＝12，a ＝6，i ＝1，b ＝4.

满足i ＜3，第一次循环：i ＝2，a ＝4，b ＝72

； 满足i ＜3，第二次循环：i ＝3，a ＝72，b ＝9728

； 不满足i ＜3，退出循环.故选C.

7.(2017·绵阳中学模拟)已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得

a m a n ＝4a 1，则1m ＋16n

的最小值为( ) A.256 B.32 C.83 D.215

答案 D

解析 设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，

由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，

解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因为a m a n ＝16a 21，

所以(a 1q m －1)(a 1q n －1)＝16a 21，

则q m ＋n －2＝16，解得m ＋n ＝6，

所以1m ＋16n ＝16

×(m ＋n )×????1m ＋16n ＝16???17＋n m ＋16m n ≥16????17＋2n m ×16m n ＝256

， 因为mn 取整数，验证可得，当m ＝1，n ＝5时，取最小值为215. 8.(2017·贵阳模拟)过点M ????22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ，l 与x 轴的交点为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，l 与抛物线E 交于A ，B 两点，则AB 的中点到抛物线E 的准线的距离为( )

A.522

B.32

C.722

D.4 2 答案 D

解析 由题意得，过点M ????22

，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ， 可得直线l 的方程为x －y －2＝0，

此时直线l 与x 轴的交点坐标为(2，0)，

又(2，0)与抛物线的焦点重合，

即p 2

＝2，解得p ＝22， 即y 2＝42x ，且准线方程为x ＝－2，

联立方程组????? y 2＝42x ，

x －y －2＝0， 整理得x 2－62x ＋2＝0，

则x 1＋x 2＝62，

则x 1＋x 22

＝32， 所以AB 的中点到抛物线的准线的距离为x 1＋x 22

＋2＝42，故选D.

9.(2017·江西省师大附中、临川一中联考)某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.73

B.8－π3

C.83

D.7－π3

答案 B

解析 由三视图中提供的数据信息和几何特征可知该几何体是一个四棱锥去掉半圆锥的组合

体，其体积V ＝13×2×2×2－13×12π×1×2＝8－π3

. 10.如图，茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污染，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )

A.12

B.35

C.45

D.710

答案 C

解析 由茎叶图可知，甲的平均成绩为x

甲＝88＋89＋90＋91＋925＝90，乙的平均成绩为x 乙＝83＋83＋87＋99＋x 5，因为x 甲＞x 乙，即352＋x ＜450，得到x ＜98，又由题意可知x ≥90，且x 是整数，故基本事件有从90到99共10个，而满足条件的有从90到97共8个，故甲的

平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P ＝810＝45

，故选C. 11.(2017·江西省师大附中、临川一中联考)已知将函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12

的图象向左平移5π12

个单位长度后得到y ＝g (x )的图象，则g (x )在????－π12，π3上的值域为( ) A.????－12，1 B.????－1，12 C.???－32，12 D.???

?－12，32

答案 B

解析 因为f (x )＝32sin 2x ＋12

cos 2x ＝sin ????2x ＋π6， 故g (x )＝sin ???

?2????x ＋5π12＋π6＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ， 因为－π12≤x ≤π3

， 故－π6≤2x ≤2π3

， 则－12

≤sin 2x ≤1， 所以－1≤g (x )≤12

，故选B. 12.(2017届湖南衡阳期末)函数f (x )在定义域(0，＋∞)内恒满足：①f (x )＞0，②2f (x )＜xf ′(x )＜3f (x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，则( ) A.14＜f (1)f (2)＜12 B.116＜f (1)f (2)＜18 C.13＜f (1)f (2)＜12 D.18＜f (1)f (2)＜14

答案 D

解析 令g (x )＝f (x )x

2，x ∈(0，＋∞)，则 g ′(x )＝xf ′(x )－2f (x )x 3

， ∵?x ∈(0，＋∞)，2f (x )＜xf ′(x )＜3f (x )恒成立，

f (x )＞0，∴

g ′(x )＝xf ′(x )－2f (x )x 3

＞0， ∴函数g (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，

∴f (1)1＜f (2)4，∴f (1)f (2)＜14

. 令h (x )＝f (x )x

3，x ∈(0，＋∞)， 则h ′(x )＝xf ′(x )－3f (x )x 4

， ∵?x ∈(0，＋∞)，2f (x )＜xf ′(x )＜3f (x )恒成立，

∴h ′(x )＝xf ′(x )－3f (x )x 4

＜0，

∴函数h (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递减，

∴f (1)1＞f (2)8，∴f (1)f (2)＞18

. 综上可得18＜f (1)f (2)＜14

，故选D. 13.在周长为10的△ABC 中，AB ＝2，则CA →·CB →的最小值是________.

答案 14

解析 设CA ＝m ，CB ＝n ，则m ＋n ＝8，

所以由余弦定理可得CA →·CB →＝mn cos C

＝m 2＋n 2－42＝()m ＋n 2－2mn －42＝82－4－2mn 2

＝30－mn ， 又因为mn ≤? ??

??m ＋n 22＝16， 当且仅当m ＝n ＝4时，等号成立.

所以CA →·CB →≥30－16＝14.

14.若?m 1(2x －1)d x ＝6，则二项式(1－2x )3m 的展开式中各项系数和为________.

答案 －1

解析 ?m 1(2x －1)d x ＝(x 2－x )|m 1＝m 2－m ＝6，m ＝3(m ＝－2舍去)，

令x ＝1，则(1－2×1)9＝－1，即为所求系数和.

15.若数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 2

(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则S n ＝____. 答案 34?

???1－13n 解析 因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 2

， 所以当n ≥2时有a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3

n －2a n －1＝n －12

， 两式作差得3n －1a n ＝12

， 所以a n ＝12·13n －1(n ≥2，n ∈N *)， 又因为当n ＝1时，a 1＝12适合此式，

所以数列{}a n 的通项公式为a n ＝12·13n －1， 所以S n ＝12????1－13n 1－13

＝34????1－13n . 16.已知双曲线x 2

－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________.

答案 0或－8

解析 因为点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，

所以MN 的垂直平分线为y ＝x ＋m ，

所以直线MN 的斜率为－1.

设线段MN 的中点P (x 0，x 0＋m )，

直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，

则x 0＋m ＝－x 0＋b ，

所以b ＝2x 0＋m .

由?

???? y ＝－x ＋b ，

x 2－y 23＝1，得2x 2＋2bx －b 2－3＝0， 所以x M ＋x N ＝－b ，

所以x 0＝－b 2

， 所以b ＝m 2

， 所以P ???

?－m 4，34m . 因为MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，

所以916m 2＝－92

m ， 解m ＝0或m ＝－8.