2010-2011学年第一学期《微积分》理工类 期末考试试卷(A卷) 参考答案 (20101214)

华中科技大学文华学院

2010~2011学年度第一学期《微积分》期末考试试卷（A 卷）

解答与评分标准

课程性质：必修

使用范围：理工类本科 考试时间：2010年元月16日

考试方式：闭卷

一、1、2-e

2、23--=x y

3、!99-

4、2

e -

5、

dx a

x 2

2

1+

6、)2

2sin(2π

?

+n x n 7、t t 4sin 16- 8、3

3

x

ce

y -

=

二、B

C

C A 13、原式=2

121lim

1lim

)

1(1lim

20

=

-=--=---→→→x

e x

x

e e x x e x

x x

x x

x

x

（2分） （4分） （6分）

14、m

m mt

t

mt

t x t y dx

dy ==

''=-1)

()(1

（2分）

m

m m

t m t

t

m dx

dt mt dt

d dx

y d 21

22

2

11)(=?

=?

=

-（4分） m

m m

t m t

t

m dx

dt t m dt

d dx

y d 31

323

3

11)(=?

=?

=

-

3

1

33

m dx

y d t ==（6分）

15、方程对x 求导得：)(18443

3y x y y y x '+='?+（3分）

将3=x ，3=y 代入上式，解出13

3-='==y x y （6分）

16、?

???

-

=

=

dx x

x

Lnx x

x

Lnxd

Lnxdx x 13

33

3

3

3

2

（4分）

c x L n x x

+-=

3

3

9

13

（6分）

17、令t x =，则2t x = t d t dx 2=（2分）

原式=?

+20

12t

tdt （3分）?+-=+-

=2

2

0))1((2)111(2t Ln t dt t

（4分） )3(22Ln -=（6分）

18、方程化为x

e x

y x

y 11=

+

'（1分）

??

????+?=??

-c dx e x e e

y dx x x x

dx 1（3分） )(1c e x x

+= （5分） 又 ∵ b a y =)(代入上式得a e ab c -= ∴ 特解为 )(1a

x

e ab e x

y -+=

19、（1）)32(5

4)2(5

22

21a dx x V a

-=

=?

ππ

（2分） 4

022)2(2a dx x x V a ππ?

== （4分）

（2）4

5

21)32(5

4a a V V V ππ+-=

+=

由0)1(444)(3

3

4

=-=+-='a a a a a V πππ得驻点1=a （唯一） 又 ∵ 04)1(<-=''πV ∴ 1=a 是极大值点也是最大值点 πππ5

129)132(5

4max =

+-=

V （6分）

20、证：设Lna x a x a aLn x )()()(+-+=?，0)0(=? （2分）

∵ 0)(<-+=

'Lna x

a a x ? （∵ 0>x ，e a >时

1<+x

a a ，1>Lna ）

∴ )(x ? 故0>x 时，)0()(??

a a

a

x a +<+)( （5分）

21、证 ∵ 0)()(>?b f a f 0)2

(

)(<+?b

a f a f 又)(x f 连续

∴ 由零介值定理知)2,(1b a a x +∈?，),2

(2b b

a x +∈， 使0)(1=x f ，0)(2=x f （2分） 在[1x ,2x ]，令x

e

x f x F )()(=

，则F 在[1x ,2x ]上连续可导，且0)()(21==x F x F

故由罗尔定理知，至少有?∈-),(21x x ξ(a ,b ) 使0)()()(2=-'=

'=ξ

ξx x

x

x e

e

x f x f e F ，即)()(ξξf f ='成立 （5分）