2013年考研数学一真题及参考答案(完整版)

2013数学一硕士研究生入学考试

1.已知极限0arctan lim

k x x x

c x

→-=，其中k ，c 为常数，且0c ≠，则（ ） A. 12,2k c ==- B. 12,2k c == C. 13,3k c ==- D. 1

3,3

k c ==

2.曲面2cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） A. 2x y z -+=- B. 0x y z ++= C. 23x y z -+=- D. 0x y z --=

3.设1

()2

f x x =-，102()sin (1,2,)n b f x n xdx n π==? ，令1()sin n n S x b n x π∞==∑，则

9

()4-=S （ ）

A .34 B. 14 C. 14- D. 34

- 4.设221:1L x y +=，222:2L x y +=，223:22L x y +=，224:22L x y +=为四条逆

时针方向的平面曲线，记33

()(2)(1,2,3,4)63i

i L y x I y dx x dy i =++-=? ，则{}1234m a x ,,,I I I I =

A. 1I

B. 2I

C. 3I D 4I 5.设A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB=C ，且B 可逆，则（ ）

A.矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价

6.矩阵1111a a b a a ?? ? ? ???与20000000b ?? ?

? ???

相似的充分必要条件为（ ）

A. 0,2a b ==

B. 0,a b = 为任意常数

C. 2,0a b ==

D. 2,a b = 为任意常数

7.设123,,X X X 是随机变量，且1(0,1)X N ，22(0,2)X N ，23(5,3)X N ，

{}22(1,2,3)=-≤≤=i i P P X i ，则（ ）

A. 123P P P >>

B. 213P P P >>

C. 322P P P >> D 132P P P >>

8.设随机变量()X t n ,(1,)Y F n ，给定(00.5)a a <<，常数c 满足{}P X c a >=，则

{}2P Y c >=( )

9.设函数y=f(x)由方程y-x=e x(1-y) 确定，则01

lim [()1]n n f n

→-＝ 。

10.已知y 1=e 3x –xe 2x ，y 2=e x –xe 2x ，y 3= –xe 2x

是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解y = 。

11.设224

sin ()sin cos t x t d y t y t t t

dx π==?=?=+?为参数，则 。

12.2

1

ln (1)x

dx x +∞

=+?

。

13.设A=(a ij )是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，A ij 为a ij 的代数余子式.若a ij +A ij =0(i ，j=1,2,3），则｜A ｜＝ 。

14.设随机变量Y 服从参数为1的指数分布，a 为常数且大于零，则P{Y ≤a+1|Y ＞a}=

三．解答题： （15）（本题满分10分） 计算dx x

x f )(1

?，其中f(x)＝.)

1ln(1

dt t

t x

+?

(16)(本题10分)

设数列｛a n ｝满足条件：0123,1(1)0(2).n n a a a n n a n -=--≥＝，

＝S （x ）是幂级数 0

.n n n a x ∞

=∑的和函数

（1）证明：()()0;''-=S x S x （2）求().S x 的表达式

（17）（本题满分10分）

求函数的极值y

x e x y y x f ++=)3

(),(3.

(18)(本题满分10分)

设奇函数f(x)在[]1,1-上具有二阶导数，且f (1)=1，证明：

（I ）存在.1)(1,0='∈

ξξf ），使得（ （Ⅱ）存在1,1() 1.f f ηηη'''∈

-+=（），使得（）

19.(本题满分10分)

设直线L过A（1,0,0），B（0,1,1）两点将L绕z轴旋转一周得到曲面∑，∑与平面0,2

z z

==所围成的立体为Ω。

（1）求曲面∑的方程；

（2）求Ω的形心坐标。

20.（本题满分11分）

设

101

,

101

a

A B

b

????

==

? ?

????

，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所

有矩阵C。

21.（本题满分11分）

设二次型22123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记123a a a α?? ?

= ? ???，

123b b b β?? ?

= ? ???

。

（1） 证明二次型f 对应的矩阵为2T T ααββ+；

（2） 若,αβ正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22

122y y +。

22.（本题满分11分）

设随机变量X 的概率密度为2

1,03,

()0,x x f x a ?<

2,1,

,12,

1,2x Y x x x ≤??=<

（1） 求Y 的分布函数； （2） 求概率{}P X Y ≤.

23.(本题满分11分)

设总体X 的概率密度为23,

0,(;)0,x e x f x x

θθθ-?>?=???

其他

其中θ为未知参数且大于零，

12,,n X X X ，为来自总体X 的简单随机样本。

（1） 求θ的矩估计量；

（2） 求θ的最大似然估计量。