小学四年级奥数_第十一讲_和倍问题(二)_教师版

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小学四年级奥数_第十一讲_和倍问题(二)_教师版

和倍问题

例题精讲

例1.百货公司卖出花布和白布共395米,卖出的花布是白布的4倍,花布每米6元,白布每米5元,卖出的花布和白布共值多少元?

解:395÷(4+1)=79(米)

79×4=316(米)

5×79+6×316=2291(元)

例2.甲、乙两数之积为2500,是甲、乙两数之和的20倍,而甲数又是乙数的4倍,甲、

乙两数各是多少?

解:2500÷20=125

125÷(4+1)=25

25×4=100

例3.甲、乙两人共储蓄1000元,甲取出240元,乙又存入80元,这时甲蓄储的钱正

好是乙的3倍。原来甲比乙多储蓄多少元?

解:1000-240+80=840(元)

840÷(3+1)=210(元)

210×3=630(元)

630+240=870(元)

210-80=130(元)

例4.光明小学买来足球和篮球共30个,已知买来足球的个数比篮球的2倍少3个,学

校买来足球的篮球各多少个?

解:30+3=33(个)

33÷(2+1)=11(个)

11×2-3=19(个)

例5.大水池里有水2600立方米,小水池里有水1200立方米,如果大水池的水以每分

23立方米的速度流入小水池,那么,多少分后小水池中的水是大水池的4倍?

练习与思考

解:2600+1200=3800(立方米)

3800÷(4+1)=760(立方米)

2600-760=1840(立方米)

1840÷23=80(分钟)

练习与思考

1.甲瓶里有酒精470毫升,乙瓶里有酒精190毫升,为了使甲瓶的酒精是乙瓶酒精的

2倍,应该把甲瓶的酒精倒入乙瓶多少毫升?

答案:30

2.两个自然数的和是286,其中一个数的末位数是0,如果把这个0去掉,所得的数与另一个数相同。原来两个数的积是多少?

答案:6760

3.甲、乙两人存款数相等,如果甲取出30元,乙存入30元,那么,乙的存款数恰好是甲的5倍。甲、乙两人这时各有存款多少元?

答案:15,75

4.有两层书架,共186本书。如果从第一层拿走25本书后,第二层的书就比第一层的2倍还多11本。第二层有多少本书?

答案:111

5.甲、乙两个冷藏库共存鸡蛋1570箱,从甲库运走350箱后,这时乙库存的鸡蛋比甲库剩下的2倍还多80箱。甲、乙两库原来各存鸡蛋多少箱?

答案:730,840

6.商店运来梨子、苹果、香蕉共53千克,梨子的重量是苹果的3倍少3千克,香蕉的重量是苹果的2倍多2千克,梨子重多少千克?

答案:30

7.南水池有水3830立方米,北水池有水850立方米,如果南水池里的水以每分32立方米的速度流入北水池,那么,多少分后南水池中的水是北水池的3倍?

答案:10

8.面值10元的面值5元的钞票若干张,共175元。10元的张数是5元张数的3倍。这两种钞票各几张?

答案:15,5

【精品原创】四年级奥数培优教程讲义第26讲 追及问题(教师版)

第26讲追及问题 根据“路程和=速度和×时间”解决简单的直线上的追及问题 通过画图使较复杂的问题具体化、形象化,融合多种方法达到正确理解题目的目的 有两个人同时行走,一个走得快,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时间就能追上他. 这就产生了“追及问题”.实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走得慢的人多走的路程,也就是要计算两人走的路程之差(追及路程).如果设甲走得快,乙走得慢,在相同的时间(追及时间)内:追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间 =(甲的速度-乙的速度)×追及时间 =速度差×追及时间. 一般地,追击问题有这样的数量关系:追及路程=速度差×追及时间,即=t S V 差差 例如:假设甲乙两人站在100米的跑道上,甲位于起点(0米)处,乙位于中间5米处,经过时间t后甲乙同 时到达终点,甲乙的速度分别为v 甲 和v 乙 ,那么我们可以看到经过时间t后,甲比乙多跑了5米,或者可以说,在时间t内甲的路程比乙的路程多5米,甲用了时间t追了乙5米 例1、小明步行上学,每分钟行70米.离家12分钟后,爸爸发现小明的明具盒忘在家中,爸爸带着明具盒,立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明.问爸爸出发几分钟后追上小明?当爸爸追上小明时他们离家多远? 【解析】 典例分析 知识梳理 教学目标

小明12分钟走的路程 200米/分 当爸爸开始追小明时,小明已经离家:70×12=840(米), 即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米, 我们把这个距离叫做“路程差”,爸爸出发后,两人同时走,每过1分, 他们之间的距离就缩短280-70=210(米),也就是爸爸与小明的速度差为280-70=210 (米/分), 爸爸追及的时间:840÷210=4 (分钟).当爸爸追上小明时,小明已经出发12+4=16 (分钟), 此时离家的距离是:70×16=1120(米) 例2、下午放学时,弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后,哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家,哥哥出发后,经过几分钟可以追上弟弟?(假定从学校到家有足够远,即哥哥追上弟弟时,仍没有回到家). 【解析】若经过5分钟,弟弟已到了A地,此时弟弟已走了40×5=200(米); 哥哥每分钟比弟弟多走20米,几分钟可以追上这200米呢? 40×5÷(60-40)=200÷20=10(分钟),哥哥10分钟可以追上弟弟. 例3、甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞,向同一方向飞行,甲机每小时行300千米,乙机每小时行340千米,飞行4小时后它们相隔多少千米?这时候甲机提高速度用2小时追上乙机,甲机每小时要飞行多少千米? 【解析】(1)4小时后相差多少千米:(340-300)×4=160(千米). (2)甲机提高速度后每小时飞行多少千米:160÷2+340=420(千米). 例4、王芳和李华放学后,一起步行去体校参加排球训练,王芳每分钟走110米,李华每分钟走70米,出发5分钟后,王芳返回学校取运动服,在学校又耽误了2分钟,然后追赶李华.求多少分钟后追上李华?【解析】已知二人出2分钟后,王芳返回学校取运动服,这样用去了5分钟, 在学校又耽误了2分钟,王芳一共耽误了5×2+2= 12(分钟). 李华在这段时间比王芳多走:70×12= 840(米), 速度差为:110-70=40 (米/秒),

【精品原创】四年级奥数培优教程讲义第03讲-解决问题(教师版)

第03讲解决问题 教学目标 ①学习了解应用题的解决步骤; ①会解决常见的应用题; ③在解决问题的过程中培养学生的独立思考能力。 知识梳理 一、简单应用题 解答应用题时,必须认真审题,理解题意,深入细致地分析题目中数量间的关系,通过对条件进行比较、转化、重新组合等多种手段,找到解题的突破口,从而使问题得以顺利解决。 二、复合应用题 复合式应用题需要两步或两步以上计算才能求得答案的应用题。解题时后面的每一步得得用前一步。 解答复合应用题时一般有如下四个步骤: (1)弄清题意,找出已知条件和所求问题; (2)分析已知条件和所求问题之间的关系,找出解题的途径; (3)拟定解答计划,列出算式,算出得数; (4)检验解答方法是否合理,结果是否正确,最后写出答案。 典例分析 考点一:简单的应用题 例1、某玩具厂把630件玩具分别装在5个塑料箱和6个纸箱里,1个塑料箱与3个纸箱装的玩具同样多。每个塑料箱和纸箱各装多少件玩具? 【解析】如果玩具全部装在塑料箱或全部装在纸箱里,那么可以求出一个纸箱或一个塑料箱装多少件。因为3个纸箱与一个塑料箱装的同样多,所以6个纸箱与2个塑料箱装的同样多。这样,5个塑料箱装的玩具件数和7个塑料箱装的就同样多。由此,可求出一个塑料箱装多少件。例2、一桶油,连桶重180千克,用去一半油后,连桶还有100千克。问:油和桶各重多少千克?

【解析】原来油和桶共重180千克,用去一半油后,连桶还有100千克,说明用去的一半油的重是180-100=80(千克),一桶油的重量就是80×2=160(千克),油桶的重量就是180-160=20(千克)。 例3、有5盒茶叶,如果从每盒中取出200克,那么5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶的重量相等。原来每盒茶叶有多少克? 【解析】由条件“每盒取出200克,5盒剩下的茶叶正好和原来4盒茶叶重量相等”可以推出,拿出的200×5=1000(克)茶叶正好等于原来的5-4=1(盒)茶叶的重量。 例4、一个木器厂要生产一批课桌。原计划每天生产60张,实际每天比原计划多生产4张,结果提前一天完成任务。原计划要生产多少张课桌? 【解析】这道题的关键是要求出工作时间。因为实际比原计划提前1天完成任务,这就相当于把原计划最后1天的任务平均分到前面的几天去做,正好分完。实际比原计划每天多生产4张,所以实际生产的天数是60÷4=15天,原计划生产的天数是15+1=16天。所以原计划要生产60×16=960张。 例5、有两盒图钉,甲盒有72只,乙盒有48只,从甲盒拿出多少只放入乙盒,才能使两盒中的图钉相等? 【解析】由条件可知,甲盒比乙盒多72-48=24只。要盒两盒中的图钉相等,只要把甲盒比乙盒多的24只图钉平均分成2份,取其中的1份放入乙盒就行了。所以应拿出24÷2=12只。 考点二:复合应用题 例1、某发电厂有10200吨煤,前10天每天烧煤300吨,后来改进炉灶,每天烧煤240吨。这堆煤还能烧多少天? 【解析】条件摘录综合法思路: 前10天每天烧煤300吨,可以求出10天烧的吨数; 已知煤的总吨数和前10天烧的吨数,可以求出还有多少吨没有烧; 根据还剩的吨数和后来每天烧煤240吨,可以求出这堆煤还能烧多少天。 分析法思路: 要求还能烧多少天,要知道还有的吨数和后来每天烧的吨数(240吨);

四年级奥数教师版追及问题

第九讲追击问题 知识导航追及路程=甲走的路程—乙走的路程×追及时间)=(甲的速度×追及时间) —(乙的速度 =(甲的速度—乙的速度)×追及时间 . =速度差×追及时间 千米.同时一列60甲、乙两地相距240千米,一列慢车从甲地出发,每小时行例1:千米.两车同向行驶,快车在慢车后面,经过多少小90快车从乙地出发,每小时行时快车可以追上慢车?(火车长度忽略不计)30??6090(千米),所以追及时千米,速度差解析:追及路程即为两地距离2408??30240. 间(小时) 分钟后,哥哥以每分钟.540米的速度步行回家【巩固1】下午放学时,弟弟以每分钟米的速度也从学校步行回家,哥哥出发后,经过几分钟可以追上弟弟?(假定从60. 学校到家有足够远,即哥哥追上弟弟时,仍没有回到家)2005?40?(米);哥哥每地,此时弟弟已走了解析:若经过5分钟,弟弟已到了A10)?60?40?40?5((分),200米呢?分钟比弟弟多走20米,几分钟可以追上这. 10分钟可以追上弟弟哥哥 千米后乙才开始出发,甲每小时10】甲、乙二人都要从北京去天津,甲行驶【巩固2 千米,问:乙经过多长时间能追上甲?15千米,乙每小时行驶10行驶5?15?10(千千米,以后两人的距离每小时都缩短解析:出发时甲、乙二人相距10千米就是几小时能510千米里有几个米),即两人的速度的差(简称速度差),所以2?10)?(15?10. 2个小时追上:(小时),还需要 126千米的速度向某地前进,【巩固3】解放军某部先遣队,从营地出发,以每小时千米的速度前去联络,问多少小时后,部队有急事,派通讯员骑摩托车以每小时78 时间后,通讯员能赶上先遣队?小时行驶的路程。解析:追及路程就是先遣队121)?(78?6)(6?12?.(小时) 分钟后,爸爸发现小明的明具盒忘在家12米.离家2例:小明步行上学,每分钟行70米的速度去追小明.问爸爸出发几280中,爸爸带着明具盒,立即骑自行车以每分钟分钟后追上小明?爸爸追上小明时他们离家多远?解析:如图: 70?12?840(米),即爸爸要追及的路当爸爸开始追小明时,小明已经离家:程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米,我们把这个距离叫做“路程差”,280?70?210(米)爸爸出发后,两人同时走,每过1分,他们之间的距离就缩短,280?70?210(米/也就是爸爸与小明的速度差为分),爸爸追及的时间:840?210?412?4?16(分钟(分钟).当爸爸追上小明时,小明已经出发),此70?16?1120(米时离家的距离是:) 【巩固1】哥哥和弟弟在同一所学校读书.哥哥每分钟走65米,弟弟每分钟走40米,有一天弟弟先走5分钟后,哥哥才从家出发,当弟弟到达学校时哥哥正好追上弟弟也到达学校,问他们家离学校有多远?

四年级奥数生活中的数学(教师版)

生活中的数学 生活中到处有数学,例如,人们经常要外出学习,工作或活动、买东西,就要走路、乘车、坐船。在在这些过程中,都会遇到许多数学问题。用数学知识来解决这些问题,这就是数学实际问题的应用。 学会解决生活中乘车、坐船、走路、买东西、切西瓜等常见的数学问题,可以提高我们动手、动脑的能力和巧妙解决问题的能力。 例1.有25人要到河的对岸去,河边只有一条小船,船上每次只能坐5人,小船至少要载几次,才能全部过河?、分析:如果直接用25÷5=5(次)来计算,那就错了。因为虽然船上每次能坐5个人,但在船返回的时候,必须有一个人跟着船一起返回。所以,每次只能有5-1=4(人)过河。只有在最后一次的时候由于不需要再返回,所以能运5人。那么,小船至少要载(25-5)÷4+1=6(次),才能全部过河。 解答:每次过河的人数:5-1=4(人) 小船至少要载的次数:(25-5)÷4+1=6(次) 答:小船至少要载6次,才能全部过河. 结论:划小船,要有人划,回来还要留1人在船上,划一次船载5人,只能把4人送到河对岸,有1人划回来,但是最后一趟就不需要再划回去。 练习1.有41人要过河,河边只有一条能坐6人的小船,至少要渡几次才能使大家全部过河? 练习2.有34人要过河,一条只能坐4人的小船,至少要渡几次才能让大家全部过河? 练习3.有21个小朋友要去小河对岸,只有一条小船,每次最多能坐6人。最少要几次,小朋友才能全部渡河? 例2.旅游团有30人要去机场乘飞机,团里有两种车,一种是面包车,每辆可乘9人;另一种是小轿车,每辆可乘4人。应怎样派车把这30人送到机场?哪一种派车方案比较合理? 分析:我们可以只派面包车,30÷9=3(辆)……3(人),3+1=4(辆),要派4辆面包车;也可以只派小轿车,30÷4=7(辆)……2(人),7+1=8(辆),要派8辆小轿车;还可以两种车同时派,根据面包车的数量从多到少考虑,派车的方案列表格如下: 3种方案,即派2辆面包车和3辆小轿车比较好,派出的这5辆车正好坐满,空座位数是0. 解答:最好派2辆面包车,3辆小轿车。 结论:乘车时如果是几种车辆的组合,就要用凑数的方法,看用几辆大车和几辆小车把人一起运走比较合适,可以用列表格的方法将所有方案列举出来,相互比较,得出最优方案。 练习1.一个旅游团20人要过河,河边有大、小两种船,大船每条可坐9人,小船每条可坐4人,应怎样租船把这20人送过河?哪一种租船方案比较好?

四年级奥数追及问题-教师版

追及问题精讲 知识导航 追及路程=甲走的路程—乙走的路程 =(甲的速度×追及时间)—(乙的速度×追及时间) =(甲的速度—乙的速度)×追及时间 =速度差×追及时间. 例1:甲、乙两地相距240千米,一列慢车从甲地出发,每小时行60千米.同时一列快车从乙地出发,每小时行90千米.两车同向行驶,快车在慢车后面,经过多少小时快车可以追上慢车?(火车长度忽略不计) 解析:追及路程即为两地距离240千米,速度差90-60=30(千米),所以追及时间240÷30=8(小时). 【巩固1】下午放学时,弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后,哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家,哥哥出发后,经过几分钟可以追上弟弟?(假定从学校到家有足够远,即哥哥追上弟弟时,仍没有回到家). 解析:若经过5分钟,弟弟已到了A 地,此时弟弟已走了40×5=300(米);哥哥每 分钟比弟弟多走20米,几分钟可以追上这200米呢?40×5÷(60-40)=10(分),哥哥10分钟可以追上弟弟. 【巩固2】甲、乙二人都要从去天津,甲行驶10千米后乙才开始出发,甲每小时行驶15千米,乙每小时行驶10千米,问:乙经过多长时间能追上甲? 解析:出发时甲、乙二人相距10千米,以后两人的距离每小时都缩短15-10=5(千米),即两人的速度的差(简称速度差),所以10千米里有几个5千米就是几小时能追上:10÷(15-10)=2(小时),还需要2个小时. 【巩固3】解放军某部先遣队,从营地出发,以每小时6千米的速度向某地前进,12小时后,部队有急事,派通讯员骑摩托车以每小时78千米的速度前去联络,问多少时间后,通讯员能赶上先遣队? 解析:追及路程就是先遣队12小时行驶的路程。 (6×12)÷(78-6)=1(小时). 例2:小明步行上学,每分钟行70米.离家12分钟后,爸爸发现小明的明具盒忘在家中,爸爸带着明具盒,立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明.问爸爸出发几分钟后追上小明?爸爸追上小明时他们离家多远? 解析:如图: 当爸爸开始追小明时,小明已经离家:8401270=?(米),即爸爸要追及的路程为840

四年级奥数智巧趣题教师版

智巧趣题 知识要点 数学问题中有许多趣题,它们充分地体现了数学思维和方法的神奇魅力,学习这些趣题,并掌握其中的数学原理,有利于我们思维的拓展,同时激发对数学的兴趣。 本讲主要考察学生对于所学知识的活学活用能力,注意观察生活中的各类事实,学会用数学方法巧解各类问题。旨在锻炼学生的灵活思考、创新思考的能力,鼓励学生多多动手、动脑,从解决问题的过程中感受学习的乐趣。 翻硬币 【例 1】(2003年4月20日第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级2试第6题)桌面上4枚硬币向上的一面都是“数字”,另一面都是“国徽”,如果每次翻转3枚硬币,至少_______次可使向上的一面都是“国徽”。 【分析】将4枚硬币都翻转成向上的一面都是“国徽”要翻转偶数次; 翻转2次后的情况为⑴“国徽”、“国徽”、“国徽”、“数字”⑵“数字”、“数字”、“国徽”、“国徽”; 所以翻转2次不能使向上的一面都是“国徽”; 通过如下操作,可使硬币只翻转4次后为向上的一面都是“国徽”; ①“数字”、“国徽”、“国徽”、“国徽”②“国徽”、“数字”、“数字”、“国徽”; ③“数字”、“国徽”、“数字”、“数字”;④“国徽”、“国徽”、“国徽”、“国徽”。 【例 2】桌上放有345枚正面朝下的硬币,第1次翻动其中1枚,第2次翻动其中2枚,第3次翻动其中3枚,……,第345次翻动其中345枚。经过345次翻动后,能否使这345枚硬币都正面朝上?【分析】第1次与第344次合起来共翻动345枚硬币,可将所有硬币各翻动一次; 同理,第2次与第343次,第3次与第342次,……,第172次与第173次, 都可将所有硬币各翻动一次; 第345次也将所有硬币各翻动一次;

四年级奥数教师版第八讲相遇问题

第八讲相遇问题 知识导航 相遇问题:速度和=总路程÷相遇时间 总路程=速度和×相遇时间 相遇时间=总路程÷速度和 例1:一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出,客车每小时行46千米,货车每小时行48千米.3.5小时两车相遇.甲、乙两个城市的路程是多少千米?解析:本题是简单的相遇问题,根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为:(46+48)×3.5=94×3.5=329(千米). 【巩固】两地间的路程有255千米,两辆汽车同时从两地相对开出,甲车每小时行45千米,乙车每小时行40千米.甲、乙两车相遇时,各行了多少千米? 解析:根据相遇公式知道相遇时间是:255÷(45+40)=255÷85=3(小时), 所以甲走的路程为:45×3=135(千米), 乙走的路程为:40×3=120(千米). 例2:小新的家距离学校3000米,小新爸爸从家去学校接小新放学,小新从学校 回家,他们同时出发,爸爸每分钟比儿子多走24米,50分钟后两人相遇,那么小新的速度是每分钟走多少米? 解析:小新和爸爸的速度和:60 3000= ÷(米/分钟), 50 爸爸的速度:42 ÷ (= +(米/分钟), 60 2 ) 24 小新的速度:18 -(米/分钟). 42 60= 【巩固】甲、乙二人从相距36千米的两地相向而行.若甲先出发2小时,则在乙动身2.5小时后两人相遇;若乙先出发2小时,则甲动身3小时后两人相遇.甲每小时走______千米.乙每小时走_______千米. 解析: 36×2÷(2+3+2.5)=9.6(千米/小时) 甲速:(36-9.6×2.5)÷2=6(千米/小时) 乙速:(36-9.6×3)÷2=3.6(千米/小时) 例3:A、B两地相距90米,包子从A地到B地需要30秒,菠萝从B地到A地需要15

四年级奥数第13讲数数图形(教师版)

四年级奥数第13讲数数图形(教师版)x λ①认识了解线段、角、三角形、长方形等基本图形; λ②学会数基本图形的个数; λ③掌握数图形的规律。 一、学会数图形 同学们,你想学会数图形的方法吗?要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必须要有次序、有条理地数,从中发现规律,以便得到正确的结果。 要正确数出图形的个数,关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图形是什么,有多少个,然后再数出由基本图形组成的新的图形,并求出它们的和。 当我们识了线段、角、三角形、长方形等基本图形后,这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数,就需要仔细地观察,灵活地运用有关的知识和思考方法,掌握数图形的规律,才能获得正确的结果。 二、解题策略 要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点: 1.弄清被数图形的特征和变化规律。 2.要按一定的顺序数,做到不重复,不遗漏。 考点一:基本图形

例1、数出下图中有多少条线段? 【解析】方法一:我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A点为左端点的线段有:AB、AC、AD 3条;以B点为左端点的线段有:BC、BD 2条;以C点为左端点的线段有:CD 1条。所以,图中共有线段3+2+1=6(条)。 方法二:把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数,那么,由1条基本线段构成的线段有:AB、BC、CD 3条;由2条基本线段构成的线段有:AC、BD 2条;由3条基本线段构成的线段有:AD 1条。所以,图中一共有3+2+1=6(条)线段。 例2、数出图中有几个角? 【解析】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。 方法一:以OA为一边的角有:∠AOB、∠AOC、∠AOD 3个;以OB为一边的角还有: ∠BOC、∠BOD 2个;以OC为一边的角还有:∠COD 1个。所以,图中共有角3+2+1=6(个)。 方法二:把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角来数,那么,由1个基本角构成的角有:∠AOB、∠BOC、∠COD 3个;由2个基本角构成的角有: ∠AOC、∠BOD 2个;由3个基本角构成的角有:∠AOD 1个。所以,图中一

四年级奥数-教师版-第三讲-方阵问题

第三讲方阵问题 知识导航 学生排队,士兵列队,横着排叫做行,竖着排叫做列。如果行数与列数都相等,则正好排成一个正方形,这种图形就叫方队,也叫做方阵(亦叫乘方问题)。 核心公式: 1.方阵总人数=最外层每边人数的平方(方阵问题的核心) 2.方阵最外层每边人数=(方阵最外层总人数÷4)+1 3.方阵外一层总人数比内一层总人数多2 4.去掉一行、一列的总人数=去掉的每边人数×2-1 例1:学校学生排成一个方阵,最外层的人数是60人,问这个方阵共有学生多少人? 解析:方阵问题的核心是求最外层每边人数。 根据四周人数和每边人数的关系可以知: 每边人数=四周人数÷4+1,可以求出方阵最外层每边人数,那么整个方阵队列 的总人数就可以求了。 方阵最外层每边人数:60÷4+1=16(人) 整个方阵共有学生人数:16×16=256(人)。 【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵,最外一层的人数为60人.问方 阵外层每边有多少人?这个方阵共有五年级学生多少人? 解析:根据四周人数和每边人数的关系可以知:每边人数=四周人数÷4+1,可 以求出方阵最外层每边人数,那么整个方阵队列的总人数就可以求了。 解:方阵最外层每边人数:60÷4+1=16(人) 整个方阵共有学生人数:16×16=256(人) 答:方阵最外层每边有16人,此方阵中共有256人。 【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵,最外一层每边有围棋子 14个.晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个? 解析:方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个.知道最外面一层每边放14个,就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数,就 可以求出各层总数。 解法1:最外边一层棋子个数:(14-1)×4=52(个) 第二层棋子个数:(14-2-1)×4=44(个) 第三层棋子个数:(14-2×2-1)×4=36(个). 摆这个方阵共用棋子:52+44+36=132(个)

四年级奥数第18讲重叠问题(教师版)

四年级奥数第18讲重叠问题(教师版) λ 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容 λ掌握容斥原理在组合计数等各个方面的应用 一、两量重叠问题 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算.求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数, 用式子可表示成:A B A B A B =+-,则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理. 图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积. 图示如下:A 表示小圆部分,B 表示大圆部分,C 表示大圆与小圆的公共部分,记为:A B ,即阴影面积. 包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数,可分以下两步 进行: 第一步:分别计算集合A B 、的元素个数,然后加起来,即先求A B +(意思是把A B 、的一切元 素都“包含”进来,加在一起); 第二步:从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数). 教学目标 知识梳理 1.先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次,多加了1次; 2.再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去.

二、三量重叠问题 A 类、 B 类与 C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数.用符号表示为:A B C A B C A B B C A C A B C =++---+.图示如下: 在解答有关包含排除问题时,我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考. 考点一:两量重叠问题 12 有,人29参加数学兴趣小组的有,人28参加语文兴趣小组的有,实验小学四年级二班、1例人两个小组都参加.这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组? C B A 【解析】如图所示,A 圆表示参加语文兴趣小组的人,B 圆表示参加数学兴趣小组的人,A 与B 重合的部分C (阴影部分)表示同时参加两个小组的人.图中A 圆不含阴影的部分表示只参加 典例分析 图中小圆表示A 的元素的个数,中圆表示B 的元素的个数,大 圆表示C 的元素的个数. 1.先包含:A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次,多加了1次. 2.再排除:A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次,但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了. 3.再包含:A B C A B B C A C A B C ++---+.

四年级奥数统筹与规划教师版

统筹与规划 知识要点 宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,无处不用数学。 人类的一切社会实践活动,既要讲求效率,又要经济,即要在尽可能地节约时间、精力和经费支出的同时,取得在可能范围内的最好效果。最优化概念反映了人类实践活动中的普遍现象。最优化问题成为现代应用数学的一个重要课题,它在实际生产、科学研究以及日常生活中均有广泛的应用。作为热爱数学的少年,接触一些简单的实际问题,了解一些优化的思想是十分有益的。 统筹和规划可以归属于一门称为“运筹学”的范畴,都是用于解决最优化问题,即在一组约束条件下求最大或最小值的问题。 规划论研究的问题主要有两类:一类是确定了一项任务,研究怎样精打细算使用最少的人力、物力、时间去完成它;另一类是在已有一定数量的人力、物力条件下,研究怎样合理安排,使它们发挥最大限度的作用,从而完成最多的任务。 如何求最大值或最小值呢?从有限个数中间,总可以找出一个最大的和一个最小的。如果一组数个数不多,以至于我们可以一一地写出来,那么凭着观察和比较,便可以找出其中的最大值和最小值,这就是所谓的“穷举法”。但是如果数的个数太多,或者不容易甚至于不可能一下子写清楚,这时就需要灵活地运用数学基础知识,把实际问题数学化,通过正确的推理,化未知为已知。 节约时间 【例 1】(1986年第1届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛小学组初赛第4题)妈妈让小明给客人烧水沏茶。 洗水壶要用1分钟,烧开水要用15分钟。洗茶壶要用1分钟,洗茶杯要用1分钟,拿茶叶要用2分钟。小明估算了一下,完成这些工作要20分钟,为了使客人早点喝上茶,按你认为最合理的安排,多少分钟就能沏茶了? 【分析】先洗水壶用1分钟,接着烧开水用15分钟,在等待开水的过程中,同时洗茶杯、拿茶叶。 水开了就沏茶,总共用了16分钟。 又因为烧开水的15分钟不能减少,烧水前必须洗水壶,所以用16分钟是最少的。

(完整版)四年级奥数第五讲_等差数列(二)_教师版

第五讲等差数列(二) 解题方法 某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列,如果是等差数列才可以运用它的一些公式。 在解决自然数的数字问题时,应根据题目的具体特点,有时可考虑将题中的数适当分组,并将每组中的数合理配对,使问题得以顺利解决。 例题1小王看一本书第一天看了20页,以后每天都比前一天多看2页,第30天看了78 页正好看完。这本书共有多少页? 提示根据条件“以后每天比前一天多看2页”可以知道他每天看的页数都是按照一定规律排列的数,即20、22、24、…、76、78。要求这本书共有多少页也就是求出这列数的和。 解:由题意可知,这列数是一个等差数列,首项=20,末项=78,项数=30,所以这本书共有(20+78)×30÷2=1470(页) 答:这本书共有1470页。 引申 1、文丽学英语单词,第一天学会了3个,以后每天都比前一天多学会1个,最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了多少个英语单词? 解:文丽每天学会的单词个数是一个等差数列,即3、4、5、6、…、21。首项=3,末项=21,项数=(21-3)÷2+1=10。所以,文丽在这些天中共学会了(3+21)×10÷2=120(个) 答:文丽在这些天中共学会了120个英语单词。 2、李师傅做一批零件,第一天做了25 个,以后每天都比前一天多做2个,第20天做了63个正好做完。这批零件共有多少个? 答:(25+63)×20÷2=880(个) 3、小李读一本短篇小说,她第一天读了20页这个等差数列共有多少项? 答:这个等差数列共有29项。 例题2 建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。 提示:根据图可以知道,这是一个以3为首项,以1为公差的等差数列,求钢管一共有多少根其实是求这列数的和。 解:求钢管一共有多少根,其实就是求3+4+5+…+9+10的和。 项数=(10-3)÷1+1=8,根据公式求和为: 3+4+5+…+9+10 =(3+10)×8÷2 =13×8÷ 2 =52(根)。 答:这堆钢管一共有52根。

四年级奥数 奇数与偶数(教师用含答案)

本讲知识点属于数论大板块内的“定性分析”部分,小学生的数学思维模式大多为“纯粹的定量计算,拿到一个题就先去试数,或者是找规律,在性质分析层面几乎为0,本讲力求实现的一个主要目标是提高孩子对数学的严密分析能力,培养孩子明白做题前有时要“先看能不能这么做,再去动手做”的思维模式。无论是小升初还是杯赛会经常遇到,但不会单独出题,而是结合其他知识点来考察学生综合能力。 一、 奇数和偶数的定义 整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数。通常偶数可以用2k (k 为整数)表示,奇数则可以用2k+1(k 为整数)表示。 特别注意,因为0能被2整除,所以0是偶数。 二、奇数与偶数的运算性质 性质1:偶数〒偶数=偶数,奇数〒奇数=偶数 性质2:偶数〒奇数=奇数 性质3:偶数个奇数的和或差是偶数 性质4:奇数个奇数的和或差是奇数 性质5:偶数〓奇数=偶数,奇数〓奇数=奇数,偶数〓偶数=偶数 三、两个实用的推论: 推论1:在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性,奇数改变运算结果的奇偶性。 推论2:对于任意2个整数a,b ,有a+b 与a-b 同奇或同偶 模块一:奇数偶数基本概念及基本加减法运算性质 【例 1】 1231993++++……的和是奇数还是偶数? 例题精讲 知识点拨 教学目标 第二讲:奇数与偶数

【解析】 在1至1993中,共有1993个连续自然数,其中997个奇数,996个偶数,即共有 奇数个奇数,那么原式的计算结果为奇数 【巩固】 123456799100999897967654321 +++++++++++++++++++++ 的和是奇数还是偶数?为什么? 【解析】 在算式中,1~99都出现了2 次,所以123499999897964321++++++++++++++ 是偶数,而100也是偶数, 所以1234567991009998979676++++++++++++++++ 54321+++++的和是偶数. 【巩固】 2930318788+++++……得数是奇数还是偶数? 【解析】 偶数。原式中共有60个连续自然数,奇数开头偶数结尾说明有30个奇数,为偶数 个。 【例 2】 (200201202288151152153233++++-++++……)(……) 得数是奇数还是偶数? 【解析】 200至288共89个数,其中偶数比奇数多1,44个奇数的和是偶数;151至233 共83个数,奇数比偶数多1,42个奇数,为偶数;偶数减去偶数仍为偶数。 【例 3】 12345679899+?+?+?++? 的计算结果是奇数还是偶数,为什么? 【解析】 特殊数字:“1”.在这个算式中,所有做乘法运算的都是奇数?偶数,所以它们的 乘积都是偶数,这些偶数相加的结果还是偶数,只有1是奇数,又因为奇数+偶数 =奇数,所以这个题的计算结果是奇数. 【例 4】 能否在下式的“□”内填入加号或减号,使等式成立,若能请填入符号,不能请 说明理由 (1)1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9=10 (2)1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9=27 不能。很多学生拿到这个题就开始试数,试了半天也试不出来因为,这时给他讲解,原式有5个奇数,无论经加、减运算后结果一定是奇数。本小题是一个典型的奇偶性质“先定性分析后定量计算的题目”(2)可以。12345678927+++++++-=或12345678927---+++++= 模块二:奇偶运算性质综合及代数分析法 【例 5】 是否存在自然数a 和b ,使得ab(a +b)=115? 【解析】 不存在。此类问题引导学生接触分类讨论的基本思想,即2个自然数在奇偶性的 组合上只有3种情况,“2奇0偶,1奇1偶,0奇2偶”,可以分别讨论发现均不 成立。 【巩固】 是否存在自然数a 、b 、c ,使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327? 【解析】 不存在。可以分情况来讨论:3奇0偶,2奇1偶,1奇2偶,0奇3偶。但是比 较繁琐,可以根据45327是一个奇数,只有奇数乘以奇数才能得到,所以a-b 、b-c 、 a-c 都为奇数,再根据奇偶性进行判断。 【巩固】 已知a,b,c 中有一个是511,一个是622,一个是793。求证:(1)(2)(3) a b c ---是一个偶数 【解析】 因为在a,b,c 中有2个是奇数,1个是偶数,那么说明a,c 两个数中至少有一个是

(完整)人教版四年级奥数题及答案

人教版小学四年级奥数试题及答案 1、甲、乙两人相距10千米,甲在前,乙在后,甲每小时行5千米,乙每小时行6千米。两人同时出发同向而行,乙几小时能追上甲? 2、书架上放有3本不同的数学书,5本不同的语文书,6本不同的英语书。 (1)若从这些书中任取一本,有多少种不同的取法? (2)若从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本,有多少种不同的取法? (3)若从这些书中取不同的科目两本,有多少种不同的取法?

3、学校进行篮球比赛,上场时10名队员互相握了一次手,一共握了多少次手? 4、小林为家里做饭,他择菜要5分钟,淘米要2分钟,煮饭要15分钟,切菜花4分钟。如果只有单火头煤气灶,做完这些事情至少需要多少分钟? 5、24辆卡车一次能运货物192吨,同样的卡车36辆,一次能运货物多少吨?

6、张师傅计划加工552个零件,前五天加工345个,照这样计算,这批零件还要几天加工完? 7、修一条长1944米的水渠,54人12天修好。若增加18人,天数缩小到原来的一半,可以修水渠多少米?

1、[解答]10/(6-5)=10(小时) 答:乙10小时能追上甲 2[解答](1)3+5+6=14(种)答。。。 (2)3*5*6=90(种) (3)3*5+3*6+5*6=63(种) 3【解答】9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 4【解答】小林先淘米2分钟,接着煮饭15分钟,在煮饭的同时,可以择菜8分钟,洗菜5分钟,接着用2分钟切完菜花,取下饭后再用2分钟切菜花,最后炒菜用时6分钟。一共2+15+2+6=25(分钟)5【解答】一份量:192/24=8(吨), 总数量:8*36=288(吨), 综合算式:192/24*36=288(吨) 6【解答】552-345=207(个) 345/5=69(个/天) 207/69=3(天)答:------ 7【解答】1944/54/12=3米/(人*天) 54+18=72(人) 12/2=6(天) 3*72*6=1296(米)

人教版小学数学四年级下册奥数题

四年级数学下期尖子生、奥数题(一) 1、小明在计算一道三位数乘两位数的计算题时,把一个乘数个位上的数8错写成3,乘得的结果是2323,实际结果应该是2828,这两个乘数分别是多少? 2、甲、乙、丙、丁四个朋友结伴春游,中午凑钱买了5袋蛋糕平均分着吃,甲拿出3袋蛋糕的钱,乙拿出2袋蛋糕的钱,丙、丁都没有拿钱,丁想了想,自己和丙应该每人出5元钱。问:甲和乙各应收回多少钱? 3、分装一批糖果,计划每只盒子装40块,要装15盒,现在只有12 只盒子,要把这些糖装完,平均每只盒子比计划多装多少块糖? 4、甲、乙、丙、丁四个人的平均年龄是28岁,四人中没有大于30岁的,那么年龄最小的可能是多少? 5、两袋玻璃球,一袋有68 粒,另一袋有20粒,每次从多的一袋拿

出6粒放入少的一袋,请问拿几次才能使两袋的玻璃球一样多?6、水果店有9箱一样重的橙子,如果从每个箱子里取出20千克,9 箱里剩下的橙子正好等于原来4箱的重量,原来每箱橙子重多少千克? 7、甲、乙两个车站共停了195辆汽车,如果从乙站开往甲站36辆, 又从甲站开走45辆汽车,这时甲站停的汽车辆数是乙站的2倍,原来甲、乙两站各停放了多少辆汽车? 8、两个数的和是126,小明在计算时误将其中一个加数个位上的0漏掉了,结果算出的和是45,求这两个数分别是多少? 9、一列快车和一列慢车同时从相距468千米的甲、乙两地相对开出,快车每小时行驶65千米,经过4小时相遇,慢车每小时行驶多少千米? 10、四年级一班的学雷锋小组到花园里栽花。如果每人栽16棵,还有24棵没栽;如果每人栽19棵,还有6棵没栽。一共有多少名同学?

共需要栽多少棵花? 保持门窗干净、无尘土、玻璃清洁、透明。

四年级奥数第26讲追及问题(教师版)

四年级奥数第26讲追及问题(教师版) λ根据“路程和=速度和×时间”解决简单的直线上的追及问题 λ通过画图使较复杂的问题具体化、形象化,融合多种方法达到正确理解题目的目的 有两个人同时行走,一个走得快,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走得慢的人多走的路程,也就是要计算两人走的路程之差(追及路程).如果设甲走得快,乙走得慢,在相同的时间(追及时间)内: 追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间 =(甲的速度-乙的速度)×追及时间 =速度差×追及时间. 一般地,追击问题有这样的数量关系:追及路程=速度差×追及时间,即=t S V 差差 例如:假设甲乙两人站在100米的跑道上,甲位于起点(0米)处,乙位于中间5米处,经过时间t 后甲乙同时到达终点,甲乙的速度分别为v 甲 和v 乙 ,那么我们可以看到经过时间t后,甲比乙多跑了5米,或者可以说,在时间t内甲的路程比乙的路程多5米,甲用了时间t追了乙5米 例1、小明步行上学,每分钟行70米.离家12分钟后,爸爸发现小明的明具盒忘在家中,爸爸带着明具盒,立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明.问爸爸出发几分钟后追上小明?当爸爸追上小明时他们离家多远? 【解析】 教学目标 知识梳理 典例分析

小明12分钟走的路程 200米/分 当爸爸开始追小明时,小明已经离家:70×12=840(米), 即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米, 我们把这个距离叫做“路程差”,爸爸出发后,两人同时走,每过1分, 他们之间的距离就缩短280-70=210(米),也就是爸爸与小明的速度差为280-70=210 (米/分), 爸爸追及的时间:840÷210=4 (分钟).当爸爸追上小明时,小明已经出发12+4=16 (分钟), 此时离家的距离是:70×16=1120(米) 例2、下午放学时,弟弟以每分钟40米的速度步行回家.5分钟后,哥哥以每分钟60米的速度也从学校步行回家,哥哥出发后,经过几分钟可以追上弟弟?(假定从学校到家有足够远,即哥哥追上弟弟时,仍没有回到家). 【解析】若经过5分钟,弟弟已到了A地,此时弟弟已走了40×5=200(米); 哥哥每分钟比弟弟多走20米,几分钟可以追上这200米呢? 40×5÷(60-40)=200÷20=10(分钟),哥哥10分钟可以追上弟弟. 例3、甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞,向同一方向飞行,甲机每小时行300千米,乙机每小时行340千米,飞行4小时后它们相隔多少千米?这时候甲机提高速度用2小时追上乙机,甲机每小时要飞行多少千米? 【解析】(1)4小时后相差多少千米:(340-300)×4=160(千米). (2)甲机提高速度后每小时飞行多少千米:160÷2+340=420(千米). 例4、王芳和李华放学后,一起步行去体校参加排球训练,王芳每分钟走110米,李华每分钟走70米,出发5分钟后,王芳返回学校取运动服,在学校又耽误了2分钟,然后追赶李华.求多少分钟后追上李华? 【解析】已知二人出2分钟后,王芳返回学校取运动服,这样用去了5分钟, 在学校又耽误了2分钟,王芳一共耽误了5×2+2= 12(分钟).

四年级奥数计算数阵图教师版

知识要点 数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形,有时简称数阵. 常见的数阵图有以下三种: 1.有一种数阵图,它们的特点是从一个中心出发,向外作了一些射线,我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图.填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和,然后通过对各数的分析,进行试验填数求解. 2.有一种数阵图,它的各边之间相互连接,形成封闭图形,我们称它们为“封闭型数阵图”.填这样的图形,主要是顶点数字,抓住条件提供的关系式,进行分析,用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和,最后填出数阵图. 3.有的数阵图既有辐射型数阵图的特点,又有封闭型数阵图的要求,所以叫做“复合型数阵图”.我们在思考数阵图问题时,首先要确定所求的和与关键数间的关系,再用试验的方法,找到相等的和与关键数字. 数阵图的解题关键是找”重复数”。 解题步骤: ?的形式。 一.从整体考虑,将要求满足相等的几个数字和全部相加,一般为n S 二.从个体考虑,分别计算每一个位置数字相加的次数,将比较特殊的(多加或少加几次)位置数字 用未知数表示,全部相加,一般为题目所给全部数字和?一般位置数字相加次数±特殊位置数字和?多加或少加次数的形式。 三.根据整体与个体的关系,列出等式即 ?=题目所给全部数字和?一般位置数字相加次数±特殊位置数字和?多加或少加次数。 n S 四.根据数论知识即整除性确定特殊位置数的取值及相对应的S值。 五.根据确定的特殊位置数字及S值进行数字分组及尝试。

放射型 老师带领同学们一起去参加数学灯谜会,同学们在里面玩的热火朝天,其中有个灯谜是这样的: 把5~1这五个数分别填在下图中的方格中,使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9.那么应该怎么填呢? 【分析】1234515++++=,92153?-=,可见中间的重叠数为3。如此可得填法如右上图。 小猴丁丁和当当一起玩数阵游戏,他们在地上画了个如图所示的数阵,丁丁出题,它在最中间的圆圈中写了数字5,要求当当把4~1这四个数填入剩下的四个○里,使两条直线上的三个数之和相等.你能帮当当解决这道题吗? 【分析】根据题意可知两条直线上的三个数的和为(123455)210+++++÷=,在剩下的四 个数中14235+=+=,可得填法如右上图。 54 3215 3 4 2 1 5 方法 整除性 尝试 列出等式 个体考虑 整体考虑 数阵图

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