中学数学习题课教学初探

中学数学习题课教学初探

张 洪 娟

内容摘要：习题课教学，是数学教学中常用的手段之一。一、通过习题课教学，发展学生思维品质；

二、通过习题课教学，培养能力，探寻学习方法；三、通过习题课教学，培养数学学习兴趣，激发学生学习的主观能动性；四、通过习题课教学，加强实际应用问题的训练，发展学生的数学素质。 关键词：数学教学 思维品质 分析归纳 激发兴趣

数学教学要使学生在数学知识、数学能力、数学素质等方面都得到充分的培养和发展。习题课教学，是数学教学中常用的手段之一。通过数学习题课的教学，可以巩固学生对基础知识的理解、掌握，培养数学思维品质，及时纠正学生在解题过程中的错误，及时总结、推广学生中的最佳解题方法和技巧，培养学生的探讨、创新能力，从而训练学生的分析问题、解决问题的能力。下面是笔者就自己的教学实践谈谈习题课教学之浅见。

一、通过习题课教学，发展学生思维品质 现代数学教育理论认为数学知识是数学思维活动的结果，数学教学就是数学思维活动的教学。“启迪思维，培养能力”已成为当前中学数学教学的一项重要任务。而思维品质是思维能力的表现形式。因此，教师可以利用习题课的教学，精心筛选、设计习题，组织教学，通过学生的思维实践，有意识地培养学生的思维品质。

1. 重视课本习题，培养思维的深刻性 思维的深刻性表现为能深刻地理解概念，善于深入地思考问题，抓住事物的规律和本质。课本习题都是针对特定知识点而选编的，重视对课本习题的深刻理解，要求学生熟练掌握是非常有必要的。同时通过课堂练习，课后作业，及时发现问题并加以解决，这样不仅巩固对基础知识和基本概念的掌握，更利于培养思维的深刻性。

例1：求cos20°cos40°cos60°cos80°的值。（高一代数必修本P237.1.(4)） 这道题学生们能够如例题一样运用积化和差公式求值。如果教师提醒学生注意已知角之间的关系，学生们能够很自然地想到2倍角，及其涉及到的公式及联系。只要将原式乘以一个“sin20°”便可形成联锁的二倍角公式。

解：原式 = 22020408022060000000sin cos cos cos sin cos = sin cos cos sin cos 4040802206000000

= sin cos sin 8080222012000?? = 121602222000???sin sin = sin sin 20162000 = 116 接下来，可以让学生思索：对于“sin20°sin40°sin60°sin80°”是否也能用同样的方法来解？因为，“二倍角正弦”公式的形式构造不出来，所以，此法行不通。这样，学生就能理解用此种方法解题所要满足的条件。再布置题目“求cos cos cos πππ72747

值”以巩固这类题的特殊解法。

例2：求sin 2 10°+ cos 2 40°+ sin10°cos40°的值。(P233.例9)

解法（一）：略（可直接运用降次，积化和差，和差化积求得）。

解法（二）：令x = sin 2 10°+ cos 2 40°+ sin10°cos40°

y = cos 2 10°+ sin 2 40°+ cos10°sin40° 则x + y = 2 + sin50°

x - y = - cos20°+ cos 80°- sin30°= - 12 - sin50°

上两式相加，得：2x = 2 - 12 即 x = 34 。

解法（二）是引导学生利用sin 2 10°，cos 2 40°及正、余弦函数的平方关系，构造对偶式得解。这样做，不但加深了学生对三角式的内在联系的理解，并且能让学生接触更多的数学解题方法。

2. 一题多问，培养思维的广阔性

采用一题多问的形式，使解题过程由易到难，由浅入深。这样做利于引导学生的解题思路，提高解题技能与技巧。同时学生通过解题过程学会归纳、总结、推广，提示出一类问题的内在联系，从而培养思维的广阔性。 例3：在棱长为1的正方体ABCD – A ′B ′C ′D ′中，（如图）求： (1) 异面直线A ′C ′与B ′C ，A ′C

与AB ′所成角的度数； (2) 异面直线B ′C 与A ′C ′，B ′C 与AC ′之间的距离； (3) B ′D 与平面ADD ′A ′，B ′D 与

平面ACD ′所成角的度数；

(4) 平面A ′BCD ′与平面ADD ′A ′所成角的度数；

(5) 平面AB ′D ′与平面BC ′D 之间的距离。

例4：已知sin α+ cos α= 12 ，求下列各式的值：

(1) sin α〃cos α； (2) sin α- cos α；

(3) sin 3α+ cos 3α； (4) sin 4α+ cos 4α；

(5) tg α+ ctg α； (6) tg 2α+ ctg 2α。 本题解决的关键是第(1)问，运用sin α、cos α的平方关系，及完全平方公式，使sin α+ cos α与sin α〃cos α联系起来。第(1)问解决了，其余各问运用同样的方法，迎刃而解。随着问题的解决，学生的思维也在不断深化。重视这样的练习，对培养学生思维的广阔性，是十分有益的。

3. 一题多解、一题多变，培养思维的灵活性

通过一题多解，使学生的思维始终处于一种应该再从另一角度来思考问题的动的状态，拓宽了思维领域，增加了思维机遇，从而加强知识间的互相沟通，且有效地促进了思维的灵活性。

例5：求证三点A （-2，2）、B （1，3）、C （4，-6）在同一直线上。

解法（一）：证明|AB|=|BC|+|AC|；

解法（二）：证明点B 在直线AC 上；

解法（三）：证明直线AB 、AC 方程相同；

解法（四）：证明直线AB 、AC 斜率相同；

解法（五）：证明点C 到直线AB 的距离为0；

解法（六）：证明△ABC 面积为0；

解法（七）：证明点B 是有向线段AC 的一个定比分点。

这样，学生的思维不拘泥于某一模式，能从多方位，多角度，多层次思考问题，做到对问题举一反三，对知识融会贯通。

4.错解辨析，培养思维的批判性及严谨性 思维的批判性表现为有自己的独立见解，敢于怀疑，有一定的辨识能力。思维的严谨性表现为能够完整地运用题目条件，严密而全面地讨论结论，准确表述解答等。教学中，引导学生进行错解辨析，提高学生的判断能力，从而达到培养思维的批判性和严谨性的目的。

例6：在△ABC 中，135cos ,53sin ==B A 求cosC 的值。

错解：B A B A B A C B A cos cos sin sin )cos(cos 13

12sin ,54cos -=+-=∴=±=

6556cos 6516cos ==∴C C 或

引导学生进行辩析，找到出错原因：未寻找已知中数字的隐含条件，影响正确判断A 、B 的范围。 正确解法：?<

6516cos 1312sin ,54cos 450180180135=∴==?<+?<

二、通过习题课教学，培养能力，探寻学习方法

1. 注重分析，培养能力 不少学生在解数学题时，只懂得课本的例、习题的解法、证明。一旦改变了条件，或者题目复杂一点，就束手无策。这说明他们综合运用知识的能力差。这就需要教师在平时教学过程中，注重对题目的分析、讲解，以培养学生分析问题、解决问题的能力。

例7：在二面角m-AB-n 的平面m 内的直线OC

与AB 成45°角，与平面n 成30°角，求二面角

m-AB-n 的大小。

分析： 第一步：

复习有关求角问题的解题步骤：

(1) 作图： 体现已知角、所求角；

(2) 论证： 证明为什么某个角即为已知角，为什么某个角即为所求角；

(3) 计算： 指出所在的三角形。

第二步：

本题目中所涉及到的“直线与直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的角”的定义是什么？如何作出这些角？

第三步：

将已知与所求联系起来，在三角形中去求边与角。 解：作CD ⊥平面 n 于D ，连结OD 。则OD 为OC 在平面 n 内的射影，所以∠COD ＝30°。 在平面m 内作CE ⊥AB 于E ，连结DE 。则DE 为CE 在平面n 内的射影，所以DE ⊥AB ，则∠CED 即为所求二面角m-AB-n 的平面角。

设CE ＝a ，在Rt △CEO 中，∵∠COE ＝45°，∴AC ＝2a 。

在Rt △CDO 中，∵∠COD ＝30°，∴CD ＝2a 2。

在Rt △CED 中，∵∠CDE ＝90°，∴sin ∠CED ＝CD CE a 2a ==222。

∴∠CED ＝45°

2. 总结归纳，寻找方法

将同类习题在适当的时候，进行归纳整理，寻求解题规律，形成一定的结构，可以更好地帮助学生在理解的基础上加以记忆，掌握解法。

如：在代数“两角和与差的三角函数”一章结束后，提供下列习题：

求下列函数的最大值、最小值、周期：

(1) y = sinx cosx ； (2) y =cos(πθ32+)〃sin(πθ32-) ；

(3) y = 6cos α+ 8sin α； (4) y = 2sin2x-23cos2x ； (5) y = a sinx + b ； (6) y = 23sin(36

x +π) - 4 sin3x ；

(7) y = sin 2x + cosx +34 其中第(7)题是曾经接触过的，只简单复习解法。通过这几道题的解答，可以引导学生总结前六题做为一类讨论函数最值、周期的问题的一般解法：应用三角公式将原函数变形，转化为y = A sin (ωx +φ) + B 或y =

A cos (ωx +φ) +

B 的形式，即一个角的一个三角函数的形式。这样才能运用正、余弦函数的基本性质讨论所求函数的最值、周期。

三、通过习题课教学，培养数学学习兴趣，激发学生学习的主观能动性 学生往往觉得数学知识抽象、枯燥，学习起来相对吃力，对知识不易理解。所以应针对学生们的认知水平、智商高低及心理特点确定习题，有意识地使学生在解题过程中体会到发现方法的乐趣，或者注意活跃课堂气氛，激发学生的求知欲，往往能收到较好的教学效果。

如学生初学立几时，是怀着浓厚的兴趣的。对于问题“三个平面可以把空间分成几部分？”学生们积极思考，纷纷动手作图。教师抓住时机，启发学生考虑“三条直线可以将平面分成几部分？将直线推广视为平面。”这样很多学生能作出如下(1)——(4)较规范的立体图形，分别分成3，6，6，7部分。再提示学生“给你一个西瓜切三刀，最多可以切几块？”这可是个实际问题，大家的积极性被调动起来了，再通过师生共同完成图(5)，不但增强了立方体感，同时也激发了学生的学习兴趣。

(1) (2) (3) 例8：圆锥底面半径为2，高为42，

一只蚂蚁从A 点出发，沿着圆锥的侧面爬

行一周，求回到A 点的最短距离。

解此类题学生兴趣浓厚，通过猜想、动

四、通过习题课教学，加强实际应用问题的训练，发展学生的数学素质 当前我国基础教育的数学内容相对陈旧，既具有实用功能，又有智力价值，并且能够联系学生的生活实际可以让学生掌握的内容非常少。习题课上，引导学生寻找生活中的原型，将所学知识运用于实际，从日常的生活角度思考问题，寻求解题策略，以此培养学生获取新知识的能力及解决实际问题的能力。

学习了分式方程后，提供给学生如下题目： 例9：六月的一天，一个小贩挑着一袋绿豆，一路吆喝着：三千克大米对换一千克绿豆。王大妈听到吆喝声，端着一盆大米来换绿豆，小贩连盆带米往秤盘上一放，刚好三千克，后又用此盆连绿豆称出一千克给王大妈。问如此易货谁吃亏？

解：设盆重a 千克，王大妈换回的绿豆为x 千克

则 x a -=313 解得 31a x -=

若王大妈盆重a=0.3千克，则用3-0.3=2.7千克的大米，应换回0.9千克的绿豆，而实际上王大妈只换回了0.7千克绿豆。显然王大妈吃亏了。

通过创设学习情境，使学生在探索中领悟知识，在实践中提高分析问题、解决问题的能力，在成功后体会到学为所用的乐趣。

结束语 习题课的教学效果，可以通过单元练习或测验，试卷总结、讲评来检测。通过试卷总结、分析，可以了解学生对知识的掌握情况，寻找薄弱环节，有针对性地调整教学。讲评试卷时，结合错例进行剖析，引导学生对

各种题型的知识、解法进行归纳、总结，掌握解题思路，提高解题技巧，并能及时补上漏洞，巩固知识。

习题课并不是简单的重复讲解，而是针对教材，重新组织例习题。可将知识前后串联综合，可跨章节进行系统讲解，也可对例习题进行适当地拓广延伸，使学生在熟悉基本题型的基础上，扩大知识面，提高解题能力。