j第6课 十字相乘法、解法综合
用适当的方法解一元二次方程1．解方程x2－4＝0.
解：x2＝4
4
x＝±
x1＝2，x2＝－2
用直接开方法
2．解方程x2＋x＝0.
3.解方程（x-2)(x-3)=6
解：x(x＋1)＝0
x＝0，或x＋1＝0
x1＝0，x2＝－1
用因式分解法
PPT课程:第6课十字相乘法、解法综合
十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公式：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的反向运算，它适用于分解二次三
项式。
=-+762
x x )1)(7(-+x x 1
1
?
??7
1
-步骤：
①竖分二次项与常数项
②交叉相乘，再相加等于一次项
系数③横写因式
()6
711-1=?+?十字相乘法（借助十字交叉线分解因式的方法）
顺口溜：
竖分常数交叉验，横写因式不能乱。
例1、把
x 2＋6x －7分解因式
1
=+-1582
x x )
3)(5(--x x 1
1?3
5--??
8
)5(1)3(1-=-?+-?(顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。)
练习：分解因式
例2分解因式3x －10x＋3
2
解：3x －10x＋3
2
1 3－3－1
1×(-1)+3×(-3)=－10
=(x－3)(3x－1)
练习：分解因式5x －17x－12
2
解：5x －17x－12
2
5 1＋3－4
5×(-4)＋1×3=－17
=(5x＋3)(x－4)
一、新课学习
知识点1：十字相乘法
1．(例1)用十字相乘法解方程：
(1)x2－8x＋12＝0；(2)x2＋7x＋12＝0.
解：(1)(x－2)(x－6)＝0
(x－2)=0或(x－6)＝0
x1＝2，x2＝6(2)(x＋3)(x＋4)＝0
(x＋3)=0或(x＋4)＝0 x1＝－3，x2＝－4
2．练习：用十字相乘法解方程：
(1)x2－4x－12＝0; (2)x2＋x－12＝0.
解：(1)(x－6)(x＋2)＝0
(x－6)=0或(x＋2)＝0
x1＝6，x2＝－2(2)(x＋4)(x－3)＝0
(x＋4)=0或(x－3)＝0
x1＝－4，x2＝3
3.(例2)解方程2x 2－5x －3＝0.
解：(2x ＋1)(x －3)＝0
2x ＋1＝0，或x －3＝0
x 1＝－，x 2＝3
1
2
4.练习：解方程3x 2＋2x －1＝0.解：(x ＋1)(3x －1)＝0
x ＋1＝0，或3x －1＝0
x 1＝－1，x 2＝
1
3
5．解方程：
(1)x (x －1)＝12; (2) x (x －1)＝15.
1
2解：(1)x 2
－x ＝12
x 2－x －12＝0(x －4)(x ＋3)＝0x －4＝0，或x ＋3＝0x 1＝4，x 2＝－3
(2)x (x －1)＝30x 2－x ＝30
x 2－x －30＝0
(x ＋5)(x －6)＝0x ＋5＝0，或x －6＝0
x 1＝－5，x 2＝6
6.等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形周长是()
A
A.12 B．9 C．13 D．12或9
7.选择适当的方法解方程(8－2x )(6－2x )＝24.
解：原方程可化为x 2－7x ＋6＝0，
则(x －1)(x －6)＝0，∴x －1＝0，或x －6＝0，
∴x 1＝1，x 2＝6.
二、过关检测
第1关
8．选择适当的方法解方程1 000(1＋x)2＝1 440.
解：(1＋x)2＝1.44
1＋x＝±
1.44
1＋x＝±1.2
x＝－1±1.2
x1＝0.2，x2＝－2.2
9．选择适当的方法解方程48x－4x2＝44.
解：方程化为4x2－48x＋44＝0
x2－12x＋11＝0
(x－1)(x－11)＝0
x1＝1，x2＝11
10.选择适当的方法解方程(2－x)2＝4－2x.
解：(2－x)2－2(2－x)＝0
(2－x)(2－x－2)＝0
－x(2－x)＝0
－x＝0，或2－x＝0
∴x
1＝0，x
2
＝2
第2关
11．选择适当的方法解方程200(1－x)2＝162.
解：(1－x)2＝0.81
1－x＝±
0.81
1－x＝±0.9
x＝1±0.9
x1＝0.1，x2＝1.9
12.选择适当的方法解方程(8－2x)(6－2x)＝24.
解：原方程可化为x2－7x＋6＝0，
则(x－1)(x－6)＝0，
∴x－1＝0，或x－6＝0，
∴x
1＝1，x
2
＝6.
十字相乘法在化学计算中的应用
十字相乘法概念 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项a分解成两个因数a1,a2的积 a1?a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接 写成结果:在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。 一般地，对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1 c1 ╳ a2 c2 a1a2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1a2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b，即 a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法. 就是比较两个分数的大小 例;a/b与c/d 则=ad与cb 就是两个分子分母互相乘 来比较乘积的大小 先看一则例子 例：将质量分数分别为30%和5%的盐酸按一定比例混合后得到质量分数为10%的盐酸，计算需加入的30%和5%盐酸的质量比是多少？ 分析：可用十字交叉法进行计算 [解]设：30%和质量5%的盐酸的质量为x和y，有 x 30%\ /10%-5% 5% 1 — = 10% ———= —= — y 5%/ \30%-10% 20% 4 答：需要的30%和5%的盐酸的质量为1：4 什么是十字交叉法？ 即根据质量分数不同（如a，b，且a>b）的两份溶液按比例混合后得到另一质量分数的溶液（如c），则混合前溶液的质量（如x和y）比例可用以下公式进行计算： （说明：混合前a>b，混合后的质量分数大小必为a 教学设计方案 学校：闵行四中年级：七年级班级：六班 人 数： 30 日期：2015-11-26 学科：数学课题：十字相乘法因式分解课 时： 1 教师：萨如拉 教学目标确定的依据： 内容分析：因式分解在学生进一步学习一元二次方程、分式方程、无理方程中起着至关重要的作用，特别是在学生即将要进行的分式学习中更是举足轻重，如分式基本性质的学习、分式加减法中的通分与分式乘除法中的约分等都要用到因式分解。可以说学生掌握因式分解的程度直接影响着学生对代数的进一步学习。因此前几节课中我们通过提取公式法、公式法分解因式的学习帮助学生了解了如何利用这些方法去将二次三项式降次并分解因式。但主要涉及的二次三项式都有着可以直接提取公因式或可以利用乘法公式逆应用来完成因式分解的特殊的一面。但是面对一个在学生已有认知中没有“规律”的 的二次三项式，该如何去理解并完成因式分解呢？对于学生来讲这将是一个难点。为了帮助学生克服这个难点，我们将研究思路从利用特殊的一次二项式乘一次二项式的公式——平方差公式和完全平方公式，回归到整式乘法一般法则的逆向思维中。为此我们将本节课的教学过程分为三个环节展开。第一环节是“初步感知与规律探究”。这一环节主要目的是帮助学生将研究思路从运用特殊的乘法公式转换到一般法则的理解和运用上，初步感知十字相乘法因式分解的意义。第二环节是“形成十字相乘法的概念”。这一环节的目的是帮助学生在“二拆一凑”中探究出十字相乘因式分解法。第三环节是“巩固练习与拓展延伸”。这一环节的目的是帮助学生通过相应的练习巩固理解十字相乘分解因式法，帮助学生梳理包括完全平方公式法在内的分解二次三项式 的基本路径，帮助学生形成解决 因式分解问题的基本思路。 学生分析：学生通过对因式分解概念的学习和提取公因式、公式法因式分解，已经 十字相乘法分解因式（1） 一、教学目标： 1、进一步理解因式分解的定义； 2、会用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解； 3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。 二、教学的重点、难点 1、教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解。 2、教学难点：在q px x ++2分解因式时，准确地找出a 、b ，使p ab =，q b a =+。 三、导学过程： （一）创设情境，导入新课： 1、什么叫分解因式？分解因式的方法有那些？ 2、你知道652++x x 怎样分解因式吗？ （二）自主学习 我们知道()()22356x x x x ++=++，反过来，就得到二次三项式256x x ++的因式分解形式，即()()25623x x x x ++=++，其中常数项6分解成2，3两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即6=2×3，且2+3=5。 一般地，由多项式乘法，()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，反过来，就得到 （三）合作探索 这就是说，对于二次三项式2x px q ++，如果能够把常数项q 分解成两个因数a 、b 的积，并且a+b 等于一次项的系数p ，那么它就可以分解因式，即 ()()()22x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++。可以用交叉线来表示： 十字相乘法的定义：利用十字交叉来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相 乘法。 （四）、展示交流： 例1 把232x x ++分解因式。 分析：这里，常数项2是正数，所以分解成的 两个因数必是同号，而2=1×2=(－1)( －2)，要 使它们的代数和等于3，只需取1,2即可。 例2 把276x x -+分解因式。 例3 把2421x x --分解因式。 x x +a +b 2、运用公式法进行因式分解 【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 a b a b a b 22-=+-()() 完全平方公式 a ab b a b 2222±+=±() 立方和、立方差公式 a b a b a ab b 3322±=±?+()()μ 补充：欧拉公式： 特别地：（1）当a b c ++=0时，有a b c abc 3333++= （2）当c =0时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。 下面我们就来学习用公式法进行因式分解 【分类解析】 1. 把a a b b 2222+--分解因式的结果是（ ） A. ()()()a b a b -++22 B. ()()a b a b -++2 C. ()()a b a b -++2 D. ()()a b b a 2222-- 分析：a a b b a a b b a b 22222222212111+--=++---=+-+()()。 再利用平方差公式进行分解，最后得到()()a b a b -++2，故选择B 。 说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。同时要注意分解一定要彻底。 2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用 例：已知多项式232x x m -+有一个因式是21x +，求m 的值。 分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出m 的值。 解：根据已知条件，设221322x x m x x ax b -+=+++()() 则222123232x x m x a x a b x b -+=+++++()() 由此可得211120 23a a b m b +=-+==???????()()() 课题：十字相乘法 一、教学设计与说明 一、教材分析： “十字相乘法分解因式”是七年级第二学期第八章第4节的内容，也是学生在学习提取公因式与公式法两种因式分解后的内容。学生对因式分解已有了解及应用，再借助十字交叉线分解因式，学生容易掌握，同时这节课也为以后学习分式的运算、一元二次方程、二次函数、分式方程、一元二次不等式等作铺垫，这节课无论从它的内容还是它的地位都十分重要。 二、教学目标： 1、进一步理解因式分解的定义； 2、会用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解； 3、通过学生的不断尝试，培养学生的耐心和信心，同时在尝试中提高学生的观察能力。 三、教学的重点难点 教学重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式（q px x ++2）的因式分解。 教学难点：在q px x ++2分解因式时，准确地找出a 、b ，使p ab =，q b a =+。 四、教学设计 1、通过学生对问题的“议一议”，发现“232 ++x x ”不是一个完全平方形式，产生 了究竟是否还能分解的问题，学生带着问题进入新课。（吸引学生） 2、通过学生对多项式乘法的“算一算”，巩固了多项式的乘法的知识，又观察到了计算 中含有“232++x x ”这个结论，为以下“想一想”作了充分准备。 3、通过学生对多项式乘法遗留问题的“想一想”，既加深了对因式分解定义的理解，又 得到了“232++x x ”的分解结果，从而过渡到 “ab x b a x +++)(2”的分解。 4、借助十字交叉线给师生互动，让学生“动一动”理解十字相乘法的定义。 5、通过学生的多次尝试，用“做一做”的环节来体验“如何用十字相乘法因式分解”。 6、知道了十字相乘法，那么“练一练”的环节是不可缺少的，通过“练一练”，学生就 有实践的体会，并能把知识延伸与拓展，学生学习兴趣盎然。 7、最后是学生的自主小结，交流各自的感受，达成共识。 总之，整节课力争体现学生学习的主动性，让学生完全参与整节课的教学活动，体验知识的发生发展过程，通过多次尝试，培养学生的耐心和信心，提高学生的观察能力。 十字相乘法 1．2() +++型的因式分解 x p q x pq 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 22 x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ ()()()()()因此，2()()() +++=++ x p q x pq x p x q 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式 例1．把下列各式因式分解： (1) 276 x x ++ -+(2) 21336 x x 小结： 例2．把下列各式因式分解： (1) 2524 -- x x +-(2) 2215 x x 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212 ,,,a a c c 写成112 2 a c a c ?，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等 于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成 1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 例3. (1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ 例4. (1) 2576x x +- (2) 261110y y -- 十字相乘法教学设计 班级姓名组别代码评价 【使用说明与学法指导】 1．在自习或自主时间通过阅读课本用20分钟把预习探究案中的所有知识完成。训练案在自习或自主时间完成。 2.重点预习：十字相乘法教学设计 【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q的二次三项式分解因式； 2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力； 3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质；【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式. 【教学难点】把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p. 【教学过程】 【探究案】 合作探究（一）：探索十字相乘法的原理 1.展开下列多项式，观察展开后的式子中一次项系数和常数项与展开前因式中的常数有何关系？ (1) (x+2)(x+1) (2) (x+2)(x－1) (3) (x－2)(x+1) (4) (x－2)(x －1) = = = = （５） (x + a)(x + b) = 2.看谁算得又快又准确？ (1) (x+2)(x+3) (2) (x+2)(x －3) (3) (x －2)(x+3) (4) (x －2)(x －3) = = = = 3．能否把62－－x x 和ab x b a x +++)2（分解成两个一次二项式相乘的形式？试一 试,。 引例：因式分解: x 2 + 4x + 3 将二次三项式x 2 + 4x + 3因式分解，就需要将二次项x 2分解为x ·x ，常数项3 分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: x 2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1). x +3 x +1 3x + x = 4x 试一试： 因式分解: x 2 － 2x －3 推广：ab x b a x +++ )2（= 归纳：十字相乘法定义： 利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 合作探究（二） 用十字相乘法分解下列因式 例1：将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）： 6= ； 12= ； 24= ； -6= ； -12= ； -24= . 十字相乘法 1．2()x p q x pq +++型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是： (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． 22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++ 因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++ 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式 例1．把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ 小结： 例2．把下列各式因式分解： (1) 2524x x +- (2) 2215x x -- 说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同． 2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212 ,,,a a c c 写成112 2 a c a c ?，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等 于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成 1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解． 例3. (1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ 例4. (1) 2576x x +- (2) 261110y y -- 十字相乘法 十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 x2-5x+4x2+6x+8x2-7x+10 x2-3x-10x2+8x-202x2+5x-3 6x2-x-13x2+5x-22x2+3x+1 4x2-17x+410x2－21xy+2y2 一元二次方程应用题 专题：增长率问题： 1、某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米。设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为x ，则可列方程为 ________________； 3、美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某市城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示） (1)根据图中所提供的信息，回答下列问题：2001年底的绿地面 积为公顷，比2000年底增加 了公顷；在1999年，2000年，2001年这三年中，绿地面积增加最多的是年； （2）为满足城市发展的需要，计划到2003年底使城区绿地总面积达到72．6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增长率． 1、甲、乙两艘旅游客轮同时从台湾省某港出发来厦门。甲沿直航线航行180海里到达厦门；乙沿原来航线绕道香港后来厦门，共航行了720海里，结果乙比甲晚20小时到达厦门。已知乙速比甲速每小时快6海里，求甲客轮的速度（其中两客轮速度都大于16海里/小时）？ 2、为了开阔学生视野，某校组织学生从学校出发，步行6千米到科技展览馆参观。返回时比去时每小题少走1千米，结果返回时比去时多用了半小时。求学生返回时步行的速度 3、甲、乙两个城市间的铁路路程为1600公里，经过技术改造，列车实施了提速，提速后比提速前速度增加20公里/小时，列车从甲城到乙城行驶时间减少4小时，这条铁路在现有的安全条件下安全行驶速度不得超过140公里/小时.请你用学过的数学知识说明在这条铁路现有的条件下列车还可以再次提速. 十字相乘法进行因式分解 【基础知识精讲】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 【重点难点解析】 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322 --x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2 (a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于 一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如： )45)(2(86522-+=-+x x y xy x （使交叉相乘再相加后的和等于一次项系数，在横向写出积的形式。） 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对 十字相乘法用来解决一些比例问题特别方便。 （一）原理介绍：通过一个例题来说明原理。 某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。求该班男生和女生的比例。 方法一：假设男生有A，女生有B。 （A*75+B85）/（A+B）=80 整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。 方法二： 男生：75 5 80 女生：85 5 男生：女生=1：1。 一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A 的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B有（1-X）。 AX+B（1-X）=C X=（C-B）/（A-B） 1-X=（A-C）/A-B 因此：X：（1-X）=（C-B）：（A-C） 上面的计算过程可以抽象为： A C-B C B A-C 这就是所谓的十字相乘法。 十字相乘法使用时要注意几点： 第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。 第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。 第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。 1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数之比是：A．2：5 B．1：3 C．1：4 D．1：5 分析： 男教练：90% 2% 82% 男运动员：80% 8% 男教练：男运动员=2%：8%=1：4 答案：C 2.（2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少 A．2∶1 B．3∶2 C. 2∶3 D．1∶2 答案：B 分析：职工平均工资15000/25=600 男职工工资：580 30 600 女职工工资：630 20 男职工：女职工=30：20=3：2 3．（2005年国考）某城市现在有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%。现在城镇人口有（）万。 A30 B 31.2 C 40 D41.6 分析：城镇人口：4% 0.6% 4.8% 农村人口：5.4% 0.8% 城镇人口：农村人口=0.6%；0.8%=3：4 70*（3/7）=30 答案A 4.（2006年国考）某市居民生活用电每月标准用电价格为每度0.50元，若每月用电超过规定的标准用电，超 十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两 十字相乘法 个因数a1,a2的积a1.a2，把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果:ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2),在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x^2+（p+q)x+pq=(x+p)(x+q)所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x*2+7x+12进行因式分解. 上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以 上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4) 又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5*(-3).而5+(-3)又恰好等于一次项系数2,所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3). 讲解： x^2-3x+2=如下： x 1 ╳ x 2 左边x乘x=x^2 右边-1乘-2=2 中间-1乘x+-2乘x（对角）=-3x 上边的【x+（-1）】*下边的【x+（-2）】 就等于（x-1）*（x-2） x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）例题 例1 把2x^2-7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3 公务员考试中的数学运算部分主要考察考生的算术式子的计算比较和数学应用题的分析运算能力。考生必须具备熟练的数学运算技能和扎实的数学基础知识，掌握一定的数学思想和方法，才能达到准确、迅速求解的要求。利用十字相乘法解公务员考试中的一些习题是很有效的。下面我们简单介绍一下这种方法，并结合例题分析。 十字相乘法的具体原理如下： 一个集合中的个体，可以有两个（或三个）不同的取值，一部分取值为A,另一部分的取值为B,平均值为C,求取值为A的个体与取值为B的个体的比例，假设A有X，B有（1-X）。 则 AX+B(1-X)=C X=(C-B)÷/(A-B) 1-X=(A-C)÷(A-B) 因此X ：(1-X) = (C-B) ：（A-C） 上面计算过程可抽象为 A C-B C B A-C 这就是十字相乘法，使用时要注意：1、用来解决两者之间的比例关系问题，2、得出的比例关系是基数的比例关系，3、总均值放中间，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。 例：某高校2006年度毕业学生7650名，比上年度增长2%，其中本科毕业生比上年度减少2%，而研究生毕业数量比上年度增加10%，那么，这所高校今年的本科生有（）。 A 3920 B4410 C4900 D5490 解析：方法一：按照我们常规的思维方法，大家都能想到的是方程法，这样我们 设这所高校今年的本科生有x 人，则据题意可列如下方程： ， 解得x= 4900. 我们看到题目的数字比较大，大家动笔计算起来很是复杂，这样虽然是算对了，但是会费很多的时间，这样在公务员考试有限的时间中，会给考生一些压力，并导致答不完题目。下面我们用上面介绍的十字相乘法解答，大家可以对照一下。 方法二：7650÷（1+2%）=7500，即2005年毕业生一共有7500人。 十字相乘法(3) 教学目标 1.使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式； 2.进一步培养学生的观察力和思维和敏捷性. 教学重点和难点 重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1的二次三项式分解因式； 难点：灵活运用十字相乘法分解因式. 教学过程设计 一、导入新课 把下列各式多分解因式： 1.x2+6x－72； 2.(x+y) 2－8(x+y)+48； 3.x4－7x2+18； 4.x2－10xy－56y2. 答： 1.(x+12)(x－6)； 2.(x+y－12)(x+y+4)； 3.(x+3)(x－3)(x2+2)； 4.(x－14y)(x+4y). 我们已经学习了把形如x2+px+q的某些二次三项式分解因式，也学习了通过设辅助元的方法把能转化为形如x2+px+q型的某些多项式分解因式. 对于二次项系数不是非曲直的二次三项式如何分解因式呢?这节课就来讨论这个问题,即把某些形如ax2+bx+c的二次三项式分解因式. 二、新课 例1 把2x2－7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下解，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数)： 2＝1×2＝2×1； 分解常数项： 3=1×3=1×3==(－3)×(－1)=(－1)×(－3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 2 1 1×1+2×3 =7 1 －1 2 －3 1×(－3)+2×(－1) =－5 1 －3 浅谈十字相乘法解决小学数学应用题 摘要：应用题教学是小学数学教学内容中非常重要的部分，在实际教学过程中很多老师感到很困惑，不知用什么样的方法才能让学生更明白，更清楚、更容易接受。也有很多学生会感到解决应用题非常困难，做题的速度慢，错误率高，不会找题中的数量关系，不会理解题中的已知条件和未知问题，特别是我们农村的小学生，就更难了。为了帮助学生提高应用题解题效率，使其掌握更多，更简单易懂的解题技巧，通过自己教学经验，总结出可以利用十字相乘法解决成正比例关系的应用题，希望能为今后的农村从事数学教学工作者提供帮助。 关键词：十字相乘小学应用题 十字相乘法一般运用在成正比例的应用题中，对于部分小学生的理解能力比较差，分不清楚题目的意思，不知怎么动笔解决此类应用题，我们可以跟学生介绍十字相乘法，这种题你教会学生画出十字架，并跟学生讲清楚，讲明白，为什么要这样写，可以通过题中的那句话来画，同时教学生怎么列式计算，这样学生就不会在乘除法中出现错误了。只要你能画出十字架，你就解决了题目中的一半了。总之只要是成正比例的问题，我们都可以利用画十字架的方法解决。这样学生比较清楚用乘法还是除法。 例：一辆客车3小时行174千米，照这样的速度，它12小时可以行多少千米？这是一道小学四年级上册的应用题，因四年级学生理解能力还不很成熟，可能不管老师怎么讲怎么分析都无法理解，如果我们用十字相乘法学生就容易理解，也容易接受，更容易掌握了。 分析：3小时 174千米表示：3小时行了174千米 12小时 ？千米 表示：12小时多少千米？ 注意点：做这种题时一定要注意单位对齐，并且交叉相乘相等，即：3×？＝12×174。在没学习方程之前可以问学生3和？表示什么数？（因数）再问学生因数等于什么？（因数＝积÷另一个因数），这样为后面解方程打下基础。也可以教会学生谁跟问号相连，谁就写在除法的后面：即÷3，别外两个数字相乘写在除号的前面,即：12×174÷3。如果学了方程就更简单了，可以利用解方法，即３ｘ＝12×174。 例：有5 2千克的糖平均分给3个小朋友，每个小朋友分多少千克？ 这是六年级上册分数除法中的一道题，也是常见的一道题。 52千克 3个 52千克的糖平均分给3个小朋友 ？千克 1个 1个小朋友分得多少千克 分析：3跟问题相连所以将3写在除号的后面，1与52 相乘写在除号的前面， 即：？＝52÷3 用这种方法解决一定要强调学生以下几个方面：（１）单位对齐，可以是横着对齐，也可以纵着对齐。但为了怕学生搞错，再说我们在前面的计算中谈到的对齐都是纵象对齐，所以我们还是强调学生纵向对齐，学生没有那么容易错。单位不同时换成单位统一的。（２）要求学生横着写，横着写容易要求学生单位对齐。这块以我教学生的情况有部分学生以为是交叉写，交叉写就是错的，所以老师在这块一定要强调学生，帮学生订证过来。 小学的数学解题方法是多样的，但对于农村的孩子，5+2=0的教育，基础差，理解能力更差，并且有时在一个班上还存在着部分学生字都不认识几个。而做为一线的数学教师，就应根据自己所带班的实际情况，积极思考，认真总结，找到一种或几种比较让你所带的学生更容易接收，更容易理解的方法来进行教学，只有学生乐于接受的方法才是好办法，我们不一定要根据书本上的方法，或者以前的老方法进行教学。 【教学内容】十字相乘法 【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q的二次三项式分解因式； 2、通过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力； 3、培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质.【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如x2 + px + q 的二次三项式分解因式. 【教学难点】把x2 + px + q分解因式时，准确地找出a、b，使a ·b = q；a + b = p. 【教学过程】 一、复习导入 1．口答计算结果： (1) (x+2)(x+1) (2) (x+2)(x－1) (3) (x－2)(x+1) (4) (x－2)(x－1) (5) (x+2)(x+3) (6) (x+2)(x－3) (7) (x－2)(x+3) (8) (x－2)(x－3) 2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢? [在多项式的乘法中,有(x + a)(x + b) = x2 +(a + b)x + ab ] 二、探索新知 1、观察与发现: 等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是乘法计算. 反过来可得x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b). 等式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解. 2、体会与尝试： ①试一试因式分解: x2 + 4x + 3 ；x2 －2x －3 将二次三项式x2 + 4x + 3因式分解，就需要将二次项x2分解为x·x，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示: 3.练习 1、x4-13x2+36 2、x2+3xy-4y2 3、x2y2+16xy+48 4、(2+a)2+5(2+a)-36 5、x4-2x3-48x2 十字相乘法 “十字相乘法”虽然比较难学,但是学会了它, 用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运算量不大，不容易出错。它在分解因式/解一元二次方程中有广泛的应用： 十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 例1把m2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为 1 -2 1 ╳ 6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x2+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为 1 2 5 ╳ -4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3解方程x2-8x+15=0 分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15， 3×5。 解：因为 1 -3 1 ╳ -5 所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0 所以x1=3 x2=5 例4、解方程 6x2-5x-25=0 分析：把6x2-5x-25看成一个关于x的二次三项式， 则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。 解：因为 2 -5 3 ╳ 5 所以原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0 所以 x1=5/2 x2=-5/3 用十字相乘法解一些比较难的题目： 例5把14x2-67xy+18y2分解因式 分析：把14x2-67xy+18y2看成是一个关于x的二次三项式, 则14可分为1×14,2×7, 18y2可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y 解: 因为 2 -9y 7 ╳ -2y 所以 14x2-67xy+18y2= (2x-9y)(7x-2y) 例6 把10x2-27xy-28y2-x+25y-3分解因式 分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式 的形式 解法一、10x2-27xy-28y2-x+25y-3 =10x2-（27y+1）x -（28y2-25y+3） 4y -3 7y ╳ -1 =10x2-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1） 2 -（7y – 1） 5 ╳ 4y - 3 十字相乘法进行因式分解 【学习目标】 （1）理解二次三项式的意义； （2）理解十字相乘法的根据； （3）能用十字相乘法分解二次三项式； （4）重点是掌握十字相乘法，难点是首项系数不为1的二次三项式的十字相乘法． 学习重点：理解十字相乘法的根据。 学习难点：能用十字相乘法分解二次三项式。 学习过程： 1．二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般 规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．如：)45)(2(86522-+=-+x x y xy x 3．因式分解一般要遵循的步骤 多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”． 【典型例题】 “十字相乘法”教学设计 学情分析——补充教学的必要性 旧人教版书本介绍的十字相乘法这种因式分解的方法，在现行的版本上对这一教学内容作了删除处理，只是在后面的阅读与思考中稍稍提到。但我觉得很有必要向学生介绍这方面的知识。首先这种因式分解的方法学生是完全可以接受的，因为十字相乘法是在学生学习了多项式乘法、整式乘法、分解质因数、整式加减法、提取公因式和运用乘法公式对多项式进行因式分解等知识的基础上，在学生已经掌握了运用完全平方公式进行因式分解之后，自然过渡到具有一般形式的二次三项式的因式分解，是从特殊到一般的认知规律的典型范例。其次这种因式分解的方法在数额上的数学学习中仍具有较强的实用性，一是对它的学习和研究，不仅给出了一般的二次三项式的因式分解方法，能直接运用于某些形如x2+px+q这类二次三项式的因式分解，再是还间接运用于解一元二次方程和确定二次函数解析式上。为以后的求解一元二次方程、确定二次函数解析式等内容奠定了基础，十字相乘法在初中阶段的教学中具有十分重要的地位。因此我们很有必要在学生学有余力的情况下加以补充教学。 教学目标 1. 知识与技能 ⑴了解十字相乘法的特征。 ⑵理解十字相乘法这一因式分解的方法及其适用环境。 2. 过程与方法 ⑴会用十字相乘法，进一步因式分解的意义； ⑵通过问题的解决使学生掌握运用十字相乘法对某些形如x2+px+q的二次三项式进行分解因式的方法。 3.情感、态度与价值观 ⑴进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性， ⑵体会从特殊到一般、从具体到抽象等数学思想和方法。 教学重点、难点： 重点：能熟练应用十字相乘法进行二次三项式x2+px+q的因式分解。 难点：在x2+px+q分解因式时，准确地找出a、b，使ab=q，a+b=p 教学过程 一、创设情境导入新课 情景一⑴你还记得什么是因式分解吗？ ⑵你还记得二次三项式x2-4x+4是如何进行因式分解的吗？ ⑶你会对二次三项式x2+5x+6进行因式分解吗？ 二、合作学习探究新知 (一) 自主学习 1. 计算两个一次二项式的积(x+a) (x+b) = x2+(a+b)x+ab 2. 观察上述乘积是个怎样的整式，乘积中常数项和一次项的系数与相乘的那两个一次二项式中的常数项和一次项系数存在怎样的关系？ 3. 计算①(x+2) (x+3) , ②(x-3) (x+4) ；再次验证乘积中上述关系。 (二) 探究新知 1. 因式分解与整式乘法存在怎样的关系？ 2. 根据因式分解与整式乘法的关系，二次三项式x2+(a+b)x+ab可以因式分解吗？ 3. 二次三项式x2+5x+6能因式分解吗？x2+x-12呢？十字相乘法因式分解-教学设计
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