函数值域求法(例题)
函数值域求法（例题）
在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本文就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数
x 1
y =
的值域。
解：∵0x ≠ ∴0
x 1
≠
显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞
例2. 求函数x
3y -
=的值域。
解：∵0x ≥
3x 3,0x ≤-
≤-∴
故函数的值域是：]3,[-∞
2. 配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数
]2,1[x ,5x 2x
y 2
-∈+-=的值域。
解：将函数配方得：4
)1x (y 2
+-=
∵]2,1[x -∈
由二次函数的性质可知：当x =1时，4y m i n =，当1x -=时，8y m a x = 故函数的值域是：[4，8]
3. 判别式法
例4. 求函数2
2
x 1x
x 1y +++=
的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程
x )1y (x
)1y (2
=-+-
（1）当1y ≠时，R x ∈
)1y )(1y (4)1(2
≥----=?
解得：23y 2
1
≤
≤
（2）当y=1时，0x =，而?
?????∈23,211
故函数的值域为?
??
??
?23,21
例5. 求函数
)
x 2(x x y -+
=的值域。
解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 22
2=++-（1）
∵R x ∈ ∴
y 8)1y (42
≥-+=? 解得：2
1y 21+
≤≤-
但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤
由0≥?，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在
区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥?求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数
的值域为?
??
??
?23,21。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵2x 0≤≤
)x 2(x x y ≥-+
=∴
2
1y ,0y min +
==∴代入方程（1）
解得：]
2,0[22
222x 4
1∈-+=
即当
2
2
222x 4
1-+
=
时，
原函数的值域为：]21,0[+
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6. 求函数6x 54
x 3++值域。
解：由原函数式可得：
3
y 5y 64x --=
则其反函数为：
3x 5y
64y --=
，其定义域为：
53x ≠
故所求函数的值域为：?
?? ?
?
∞-53,
5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数
1e
1
e y x
x +-=
的值域。
解：由原函数式可得：
1
y 1y e
x
-+=
∵0e x
>
∴0
1
y 1
y >-+
解得：1y 1<<- 故所求函数的值域为)1,1(-
例8. 求函数
3x sin x
cos y -=
的值域。
解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-，可化为：
y
3)x (x sin 1y
2
=β++
即
1
y
y 3)x (x sin 2
+=
β+
∵R x ∈
∴]1,1[)x (x sin -∈β+
即11y y 312
≤+≤
-
解得：
42y 4
2≤
≤-
故函数的值域为????
???
?-42,42
6. 函数单调性法 例9. 求函数
)
10x 2(1x log
2
y 3
5
x ≤≤-+=-的值域。
解：令
1
x log
y ,2
y 3
25
x 1-==-
则21y ,y 在[2，10]上都是增函数 所以21y y y +=在[2，10]上是增函数 当x=2时，
8112l o g
2y 3
3
m i
n =-+=-
当x=10时，
33
9log
2y 3
5
max =+=
故所求函数的值域为：
???
???33,81
例10. 求函数1
x 1x y --+=
的值域。
解：原函数可化为：1x 1x 2
y -+
+=
令1
x y ,1x y 21-=
+=
，显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数
所以1y y =，2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数 所以当x =1时，
2
1y y y +=有最小值2，原函数有最大值2
2
2
=
显然0y >，故原函数的值域为]2,0(
7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11. 求函数1
x x y -+
=的值域。
解：令t 1x =-，)0t (≥
则1t x 2
+=
∵
43)2
1t (1t t
y 2
2
+
+=++=
又0t ≥，由二次函数的性质可知 当0t =时，1y m i n =
当0t →时，+∞→y 故函数的值域为),1[+∞
例12. 求函数
2
)
1x (12x y +-+
+=的值域。
解：因0)1x (12
≥+-
即
1
)1x (2
≤+
故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+ ∴
1
cos sin cos 11cos y 2
+β+β=β-++β=
1
)4
sin(2+π+
β=
∵
π
≤π+
β≤π≤β≤4540,0
2
11)4
sin(201
)4sin(2
2+
≤+π+
β≤
∴≤π+β≤-∴ 故所求函数的值域为]
21,0[+
例13. 求函数
1x
2x
x x y 2
4
3
++-=
的值域。 解：原函数可变形为：
2
22
x
1x 1x
1x 221y +-?
+?
=
可令β=tg x ，则有β
=+-β=+2
2
22
cos x
1x 1,
2sin x
1x
2
β
-=β?β-
=∴4sin 4
12cos 2sin 2
1y
当82k π-
π=
β时，41
y m a x =
当
82
k π+
π=β时，
41y m i
n -=
而此时βtan 有意义。
故所求函数的值域为?
??
??
?-41,41
例14. 求函数)1x )(c o s
1x (
s i
n y ++=，?
??
???ππ-∈2,12x 的值域。
解：)
1x )(c o s
1x (si
n y ++=
1x cos x sin x cos x sin +++=
令t x cos x sin =+，则
)
1t
(2
1x c o s x si n 2
-=
2
2
)
1t (2
11t )1t
(21y +=++-=
由)
4/x sin(2x cos x sin t π+=
+=
且
?
??
???ππ-∈2,12x 可得：2
t 22
≤≤
∴当2t =
时，
2
2
3y m a x
+=
，当
22
t =
时，
224
3y +
=
故所求函数的值域为???
?
????++
223
,2243。
例15. 求函数2
x 54x y -++=的值域。
解：由0x 52≥-，可得5
|x |≤
故可令
]
,0[,cos 5x π∈ββ=
4
)4
sin(10sin 54cos 5y +π+
β=β++β=
∵π≤β≤0
4544π≤π+
β≤π∴
当4/π=β时，104y max +=
当π=β时，54y m i n -=
故所求函数的值域为：]
104,54[+-
8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例16. 求函数
2
2
)
8x ()
2x (y ++-=
的值域。
解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=
上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(B -间的距离之和。 由上图可知，当点P 在线段A B 上时，10|AB ||8x ||2x |y ==++-= 当点P 在线段A B 的延长线或反向延长线上时，10|AB ||8x ||2x |y =>++-= 故所求函数的值域为：],10[+∞
例17. 求函数
5
x 4x
13x 6x
y 2
2
++++-=的值域。
解：原函数可变形为：
2
2
2
2
)
10()2x ()
20()3x (y ++++-+-=
上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和， 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，43
)
12()23(|AB |y 2
2min =+++=
=，
故所求函数的值域为
]
,43[+∞
例18. 求函数
5
x 4x
13x 6x
y 2
2
++-
+-=
的值域。
解：将函数变形为：
2
2
2
2
)
10()2x ()20()3x (y -++-
-+-=
上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差。
即：|BP ||AP |y -=
由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点'P ，则构成'ABP ?，根据三角形两边之差小于第三边，有
26
)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||2
2
=-++=<-
即：26
y 26<
<-
（2）当点P 恰好为直线A B 与x 轴的交点时，有26
|AB |||BP ||AP ||==-
综上所述，可知函数的值域为：]26,26(
-
注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A 、B 两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。
如：例17的A ，B 两点坐标分别为：（3，2），)1,2(--，在x 轴的同侧；例18的A ，B 两点坐标分别为（3，2），)1,2(-，在x 轴的同侧。 9. 不等式法
利用基本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3≥++≥+)R c ,b ,a (+
∈，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例19. 求函数
4
)x
c o s 1x (c o s
)x s i n 1
x (s i n y 2
2
-+
++
=的值域。
解：原函数变形为：
5
2
x cot
x tan 3x
cot x tan 3x
sec x ces 1x
cos
1x
sin
1)x cos
x (sin
y 2
23
2
2
2
2
2
2
2
2
=+≥++=++=+
++=
当且仅当x cot x tan =
即当4k x π
±
π=时)z k (∈，等号成立
故原函数的值域为：)
,5[+∞
例20. 求函数x 2s i n x s i n 2y =的值域。
解：x
c o s x s i n x s i n 4y =
x cos x sin
42
=
27
64]
3/)x sin 22x sin x [(sin 8)
x sin
22(x sin
x sin
8x
cos
x sin 16y 3
2
2
2
2
2
2
2
4
=-++≤-==
当且仅当x sin 22x sin 2
2-=，即当
32
x sin
2
=
时，等号成立。
由
2764
y 2
≤
可得：
9
38y 9
38≤
≤-
故原函数的值域为：????
???
?-938,938
10. 一一映射法
原理：因为)
0c (d
cx b ax y ≠++=
在定义域上x 与y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，
就可以求另一个变量范围。
例21. 求函数
1x 2x
31y +-=
的值域。
解：∵定义域为
??
????
->-<21x 21x |x 或 由
1x 2x 31y +-=
得
3y 2y 1x +-=
故2
13
y 2y 1x -
>+-=
或
2
13
y 2y
1x -
<+-=
解得
23y 2
3y -
>-<或
故函数的值域为?
??
??+∞-??? ?
?-∞-,2323,
11. 多种方法综合运用
例22. 求函数
3x 2
x y ++=
的值域。
解：令
)
0t (2x t ≥+=
，则1t 3x 2
+=+
（1）当0t >时，
2
1t
1t 11
t
t y 2
≤
+
=
+=
，当且仅当t =1，即1x -=时取等号，所以
21y 0≤
<
（2）当t=0时，y =0。
综上所述，函数的值域为：?
??
??
?21,0 注：先换元，后用不等式法
例23. 求函数
4
2
4
32x
x
21x x x
2x 1y ++++-+=
的值域。
解：
4
2
3
4
2
42x
x
21x x x
x
21x x 21y ++++
+++-=
22
22x 1x
x 1x 1++???? ??+-= 令2tan x β=，则β
=?
??? ??+-2
2
22c o s
x 1x 1
β
=
+sin 2
1x
1x 2
1
sin 2
1sin sin 2
1cos y 2
2
+β+
β-=β+β=∴
161741sin 2
+
?
?? ?
?
-β-=
∴当
41si n =
β时，
1617y max =
当1sin -=β时，2y m i n -=
此时
2t a n
β
都存在，故函数的值域为?????
?
-1617,2 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用βsin 的有界性。
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
求值域经典例题
四、经典例题 例1、求下列函数的值域： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 分析：对于形如（1）（2）（3）的函数求值域，基本策略是（ⅰ）化归为的值域；（ⅱ）转化为sinx（或cosx）的二次函数；对于（4）（5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是（ⅰ）在适当的条件下考察y2；（ⅱ）转化为分段函数来处理；（ⅲ）运用其周期性、奇偶性或函数图象对称性转化. 解： （1） ∵ ∴， 即所求函数的值域为. （2）由
∴ ∴ 注意到这里x∈R，， ∴ ∴所求函数的值域为[－1，1]. （3）这里 令sinx＋cosx＝t 则有 且由 于是有 ∵ ∴ 因此，所求函数的值域为. （4）注意到这里y>0，且 ∵
∴ 即所求函数的值域为. （5）注意到所给函数为偶函数， 又当 ∴此时 同理，当亦有. ∴所求函数的值域为. （6）令 则易见f（x）为偶函数，且 ∴是f（x）的一个正周期.① 只需求出f（x）在一个周期上的取值范围. 当x∈[0，]时， 又注意到， ∴x＝为f（x）图象的一条对称轴②∴只需求出f（x）在[0，]上的最大值. 而在[0，]上，递增.③ 亦递增④∴由③④得f（x）在[0，]上单调递增.
∴ 即⑤ 于是由①、②、⑤得所求函数的值域为. 点评：解（1）（2）运用的是基本化归方法；解（3）运用的是求解关于sinx＋cosx与sinxcosx的函数值域的特定方法；解（4）借助平方转化；解（5）（6）则是利用函数性质化繁为简，化暗为明.这一点在解（6）时表现得淋漓尽致. 例2、求下列函数的周期： （1）； （2）； （3）； （4）； （5） 分析：与求值域的情形相似，求三角函数的周期，首选是将所给函数化为＋k的形式，而后运用已知公式.对于含有绝对值的三角函数，在不能利用已有认知的情况下，设法转化为分段函数来处理. 解： （1） ＝ ＝ ∴所求最小正周期. （2）
高中函数值域的12种求法
高中函数值域的12种求法 一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x)的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x)的值域。解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。 本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝） 二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y－1或y1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为 {y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
函数值域的求法(精选例题)
函数值域的求法 1、（观察法）求下列函数的值域 （1）求函数y1=121 1x +的值域 (]1,0 （2）求函数y1=2－x 的值域。 (]2-，∞ 2、（配方法）求下列函数的值域 （1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域 ][84， （2）求函数y =的值域： ][20， （3）,x y 是关于m 的方程2260m am a -++=的根,则()()2211x y -+-的最小值是（ ） C A.-1241 B.18 C.8 D.43
3、（换元法）求下列函数的值域 （1）21y x =+[)∞+，3 （2）4y x =++ ][234,1+ （3）求函数y=32 ++x x 的值域 ??????21,0 （4）求函数y = ][2,1 （5）求函数 y=12243++-x x x x 的值域 ??????41,41-
4、（分离常数法）求下列函数的值域 （1）求值域（1）1 (4)2x y x x -=≥-+ ()??? ???∞+∞，，251- （2）求函数122+--=x x x x y 的值域。 ?????? 131 -， 5、（判别式法）求下列函数的值域 （1）求函数的值域2222 1x x y x x -+=++ ][51， （2）求函数3274222++-+=x x x x y 的值域。 ?????? 229 -， （3）已知函数12)(22 +++=x b ax x f x 的值域是[1，3 ]，求实数a ， b 的值. a=2或-2，b=2
6、(单调性法)求下列函数的值域 （1）求函数32()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。 (2)-48f = （2）设函数f(x)＝ln(2x ＋3)＋x 2.求f(x)在区间???? ??－34，14上的最大值和最小值． max 171()=ln +4216()f f x = min 11(-)=ln 2+24()f f x = 7、(数形结合法)求下列函数的值域 （1）求函数y=4 1362+-x x 4-542++x x 的值域 (]265-， （2）求函数y=4 12++x x 4-1 - 2 +x x 的值域 ()1,1-
值域经典题型
值域简单练习题 1.求6)(2+-=x x x f 在[]11， -上的值域 2.求函数132)(++= x x x f 的值域 3. 求函数1 33)(2+++=x x x x f 的值域 4.求函数x x x f -+=1)(的值域 5.1321 3)(x x +?-=x f 6.1)(22 +--=x x x x x f 7.x -1x 3131)(-+=x f 8.x x x f +-+=243)( 9.2x 2x -)(2++=x f 10.y =11.2256y x x =-++ 12.2cos 1 3cos 2x y x +=- 13. 求函数()1y x =≥的值域。
值域的求法加强练习题 解答题（共10小题） 1．已知函数的定义域为集合A，函数的值域为集合B，求A∩B和（C R A）∩（C R B）． 2．已知函数f（x）=x2﹣bx+3，且f（0）=f（4）． （1）求函数y=f（x）的零点，写出满足条件f（x）＜0的x的集合； （2）求函数y=f（x）在区间（0，3]上的值域． 3．求函数的值域：． 4．求下列函数的值域： （1）y=3x2﹣x+2；（2）；（3）； （4）；（5）（6）； 5．求下列函数的值域 （1）； （2）； （3）x∈[0，3]且x≠1；
（4）． 6．求函数的值域：y=|x﹣1|+|x+4|． 7．求下列函数的值域． （1）y=﹣x2+x+2；（2）y=3﹣2x，x∈[﹣2，9]；（3）y=x2﹣2x﹣3，x∈（﹣1，2]；（4）y=．8．已知函数f（x）=22x+2x+1+3，求f（x）的值域． 9．已知f（x）的值域为，求y=的值域． 10．设的值域为[﹣1，4]，求a、b的值．
函数值域的13种求法
函数值域十三种求法 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数 x 1 y =的值域 解：∵0x ≠ ∴0x 1≠ 显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞ 例2. 求函数x 3y -=的值域 解：∵0x ≥ 3x 3,0x ≤-≤-∴ 故函数的值域是：]3,[-∞ 2. 配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数 ]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域 解：将函数配方得： 4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈ 由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8] 3. 判别式法(只有定义域为整个实数集R 时才可直接用) 例4. 求函数 22 x 1x x 1y +++=的值域 解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+- （1）当1y ≠时，R x ∈ 0)1y )(1y (4)1(2≥----=? 解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而??????∈23,211 故函数的值域为????? ?23,21
例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域 解：两边平方整理得： 0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈ ∴ 0y 8)1y (42≥-+=? 解得：21y 21+≤≤- 但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤ 由0≥?，仅保证关于x 的方程： 0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥?求出 的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为????? ?23,21。 可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵2x 0≤≤ 0)x 2(x x y ≥-+=∴ 21y ,0y min +==∴代入方程（1） 解得：] 2,0[22 222x 41∈-+= 即当22222x 41-+=时， 原函数的值域为：]21,0[+ 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。 4. 反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。 例6. 求函数6x 54 x 3++值域 解：由原函数式可得： 3y 5y 64x --= 则其反函数为：3x 5y 64y --=，其定义域为：53x ≠ 故所求函数的值域为：33(,)(,)55 -∞?+∞
高中数学-函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--
函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题
函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ； ②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； （3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数） （4）函数的单调性：特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 （9）数形结合法 4. 求函数的单调性 （1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性： （4）关于函数单调性还有以下一些常见结论： ①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性； ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 （6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f （x ） 与f （－x ）的关系。f （x ） －
高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)
高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项
函数值域的求法及例题
函数值域的求法 在函数概念的三要素中，定义域和对应法则是最基本的，值域是由定义域和对应法则所确定，因此，研究值域仍应注重函数对应法则的作用和定义域对值域的制约，以下试举例说明常用方法. [例1]：求下列函数的值域 (1)y ＝1－2x （x ∈R ） (2)y ＝｜x ｜－1 x ∈{－2，－1，0，1，2} (3)y ＝x 2＋4x ＋3 （－3≤x ≤1） (4)y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜ (5)y ＝2x －3＋134-x (6)y ＝2 224)1(5 +++x x x (7)y ＝5 21+-x x (8)y ＝1223222++--x x x x (9)y ＝3－2x －x 2 x ∈[－3，1] (10)y ＝2 1322+-x x 分析：求函数的值域应确定相应的定义域后再根据函数的具体形式及运算确定其值域. 对于(1)(2)可用“直接法”根据它们的定义域及对应法则得到(1)(2)的值域. 对于(3)(4)可借助数形结合思想利用它们的图象得到值域，即“图象法”. 对于(5)(6)可借用整体思想利用“换元法”求得值域. 对于(7)可将其分离出一个常数，即利用“分离常数法”求得它的值域. 对于(8)可通过对“Δ”的分析，即利用“判别式”法求得其值域. 对于(9)(10)可“通过中间函数的值域去求所求函数的值域”这一方法即“中间媒介法”求得其值域. 解：(1)y ∈R (2)y ∈{1，0，－1} (3)画出y ＝x 2＋4x ＋3（－3≤x ≤1）的图象，如图所示，当x ∈[－3，1] 时，得y ∈[－1，8] (4)对于y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜的理解，从几何意义入 手，即利用绝对值的几何意义可知，｜x ＋1｜表示在数轴上表示x 的点到点－1的距离，｜x －2｜表示在数轴上表示x 的点到点2的距离，在数轴上任取三个点x A ≤－1，－1＜x B ＜2，x C ≥c ，如图所示，可以看出｜x A ＋1｜－｜x A －2｜＝－3 －3＜｜x B ＋1｜－｜x B －2｜＜3，｜x C ＋1｜－｜x C －2｜＝3，由此可知，对于任意实数x ，都有－3≤｜x ＋1｜－｜x －2｜≤3所以函数y ＝｜x ＋1｜－｜x －2｜的值域为y ∈[－3，3] (5)对于没有给定自变量的函数，应先考查函数的定义域，再求其值域. ∵4x －13≥0 ∴x ∈[4 13 ，＋∞)令t ＝134-x 则得：x ＝4132+t
函数定义域、值域经典习题及答案88322
复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： 2) y = 1 + (2 x - 1)0+ 4 - x 2 1+ 1 x -1 2、设函数 f (x )的定义域为［0，1］，则函数f (x 2)的定义域为_ _ _；函数 f ( x -2) 的定义域为 _______ 3、若函数 f (x +1)的定义域为［-2，3］，则函数 f (2x -1)的定义域是 ；函 数 f (1 + 2)的定义域为 。 x 4、 已知函数f (x )的定义域为［-1, 1］，且函数F (x )= f (x +m )-f (x -m )的定义域存在， 求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴ y = x 2 +2x -3 (x R ) ⑵ y = x 2 +2x -3 x [1,2] ⑶y =3x -1 x + 1 ⑷y = 3x -1 (x 5) x +1 三、求函数的解析式 1、 已知函数 f (x -1) = x - 4x ，求函数 f (x )， f (2x +1) 的解析式。 2、 已知 f (x )是二次函数，且 f (x +1)+ f (x -1)=2x -4x ，求 f (x )的解析式。 ⑴y = x 2 -2x -15 x +3-3 y = 2x - 6 x +2
3、已知函数f(x)满足2f(x)+ f(-x)=3x+4，则f(x)= 。 4、设f(x)是R 上的奇函数，且当x[0,+)时，f(x)=x(1+3x)，则当x(-,0)时f(x)= ________ _ f(x)在R 上的解析式为 5、设f(x)与g(x)的定义域是｛x|x R,且x1｝，f(x) 是偶函数，g(x)是奇函数，且 f(x)+g(x)=1，求f(x)与g(x) 的解析表达式 x - 1 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ y= x2+2x+3 ⑵ y = -x2+2x +3 ⑶ y = x2- 6x -1 7、函数f(x)在[0,+)上是单调递减函数，则f(1-x2)的单调递增区间是 8、函数y = 2-x的递减区间是；函数y = 2-x的递减 3x + 6 3x + 6 区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 ( ) ⑴y1=(x+3)(x-5)，y2=x-5；⑵y1= x+1 x-1 ，y2= (x+1)(x-1) ； x+3 ⑶f (x) = x，g(x) = x2 ；⑷f (x) = x，g(x)= 3x3 ；⑸f1(x) = ( 2x-5)2 ， f (x) = 2x - 5。 A、⑴、⑵ B 、⑵、 ⑶ C 、⑷D、⑶、⑸ 10、若函数f(x)= x - 4的定义域为R ,则实数 m mx2+ 4mx + 3 的取值范围是 ( ) A、(－∞,+∞) 3 B 、(0,3 ] 3 C 、(3,+∞ ) 3 D 、[0, 3 ) 11、若函数f (x) = mx2+mx+1的定义域为R，则实数m的取值范围是( )
求值域的方法,带例题
1．直接观察法：利用常见函数的值域来求值域或者通过对函数定义域、性质或者图像的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 一次函数y=ax+b(a ≠0)的定义域为R ，值域为R ； 反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{x|x ≠0}，值域为{y|y ≠0}； 二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的定义域为R ， 当a>0时，值域为{a b ac y y 44|2-≥}；当a<0时，值域为{a b a c y y 44|2 -≤}. 练习1．求下列函数的值域 ① y=3x+2 (-1≤x ≤1) ②x x f -+=42)( ③1 += x x y 2.分离常数法：分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围。 练习2.求函数1 1)(+-= x x e e x f 的值域。 3．有解判别法： 有解判别法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，并且分子、分母，没有公因式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例1．求函数y=1 1 22+++-x x x x 值域 解：原式可化为1)1(22+-=++x x x x y , 整理得2(1)(1)10y x y x y -+++-=， 若y=1,即2x=0,则x=0； 若y ≠1,由题?≥0，
即0)14(-)1(22≥+y-y , 解得33 1 ≤≤y 且 y ≠1. 综上：值域{y|33 1 ≤≤y }. 例2．求函数6 6 522-++-=x x x x y 的值域（注意此题分子、分母有公因式，怎么求解呢？） 解：把已知函数化为(2)(3)36 1(2)(3)33 x x x y x x x x ---===- -+++ (x ≠2且 x ≠-3) 由此可得 y ≠1 ∵ x=2时 51-=y ∴ 5 1 -≠y ∴函数66522-++-=x x x x y 的值域为 { y| y ≠1且 y ≠5 1 -} 练习3（1）31 (1)2 x y x x +=≤- （2）22 1x x y x x -=-+ 4．二次函数在给定区间上的值域。 例3． 求下列函数的最大值、最小值与值域： ①142+-=x x y ； ②]4,3[,142 ∈+-=x x x y ； ③]1,0[,142∈+-=x x x y ④]5,0[,142∈+-=x x x y ； 注：对于二次函数)0()(2 ≠++=a c bx ax x f , ⑴若定义域为R 时， ①当a>0时，则当a b x 2-=时，其最小值 321-1-2-3 654321-1-2x O y
函数定义域知识点梳理、经典例题及解析、高考题带答案
函数的定义域 【考纲说明】 1、理解函数的定义域，掌握求函数定义域基本方法。 2、会求较简单的复合函数的定义域。 3、会讨论求解其中参数的取值范围。 【知识梳理】 （1） 定义：定义域是在一个函数关系中所有能使函数有意义的 的集合。 （2） 确定函数定义域的原则 1.当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域指的是表格中所有实数x 的集合。 2.当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域指的是图象在x 轴上的投影所覆盖的实数的集合。 3.当函数y=f(x)用解析式给出时，函数定义域指的是使解析式有意义的实数的集合。 4.当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数定义域要使函数有意义，同时还要符合实际情况。 3、.确定定义域的依据： ①f(x)是整式（无分母），则定义域为 ； ②f(x)是分式，则定义域为 的集合； ③f(x)是偶次根式，则定义域为 的集合； ④对数式中真数 ，当指数式、对数式底中含有变量x 时，底数 ； ⑤零次幂中， ，即x 0中 ； ⑥若f(x)是由几个基本初等函数的四则运算而合成的函数，则定义域是各个函数定义域的 。 ⑦正切函数x y tan = 4、抽象函数的定义域（难点） （1）已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可 得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 （2）已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
高中数学求函数值域的类题型和种方法
高中数学求函数值域的类 题型和种方法 Last updated on the afternoon of January 3, 2021
求函数值域的 7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合； ②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： 1.一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R. 2.二次函数()2 0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ?? -+∞?? ?? ，当0a <时的值域为24,4ac b a ?? --∞ ???.， 3.反比例函数()0k y k x = ≠的值域为{}0y R y ∈≠. 4.指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >. 5.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.
6.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R. 三、求解函数值域的7种题型 题型一：一次函数()0y ax b a =+≠的值域（最值） 1、一次函数：()0y ax b a =+≠当其定义域为R ，其值域为R ； 2、一次函数()0y ax b a =+≠在区间[],m n 上的最值，只需分别求出()(),f m f n ，并比较它们的大小即可。若区间的形式为(],n -∞或[),m +∞等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 的值域（最值） 1、二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，当其定义域为R 时，其值域为 ()()22 4 044 04ac b y a a ac b y a a ?-≥>???-?≤时，()2b f a -是函数的最小值，最大值为(),()f m f n 中 较大者；当0a <时，()2b f a -是函数的最大值，最大值为 (),()f m f n 中较小者。 （2）若[],2b m n a - ?,只需比较(),()f m f n 的大小即可决定函数的最大（小）值。 特别提醒： ①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②若给定的区间形式是[)(]()(),,,,,,,a b a b +∞-∞+∞-∞等时，要结合图像来确函数的值域； ③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 例1：已知()22f x x --的定义域为[)3,-+∞，则()f x 的定义域为(],1-∞。 例2：已知()211f x x -=+，且()3,4x ∈-，则()f x 的值域为()1,17。 题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数)0(≠= k x k y 的定义域为{}0x x ≠，值域为{}0y y ≠ 2、形如：cx d y ax b +=+的值域：
高一数学函数解析式的七种求法
高一数学函数解析式的七种求 法(总4页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除
函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设b ax x f +=)( )0(≠a ，则 二、 配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域。 例2 已知221)1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：2)1()1(2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 解：令1+=x t ，则1≥t ，2)1(-=t x 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 解：设),(y x M 为)(x g y =上任一点，且),(y x M '''为),(y x M 关于点)3,2(-的对称点 则?????=+'-=+'32 22y y x x ，解得：???-='--='y y x x 64 ， 点),(y x M '''在)(x g y =上 把???-='--='y y x x 64代入得： 整理得672---=x x y
高一数学《函数的定义域值域》练习题
函数值域、定义域、解析式专题 一、函数值域的求法 1、直接法： 例1：求函数y = 例2：求函数1y 的值域。 2、配方法： 例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 例2：求 函 数]2,1[x ,5x 2x y 2 -∈+-= 的 值域。 例3：求函数2256y x x =-++的值域。 3、分离常数法： 例1：求函数125 x y x -=+的值域。 例2：求函数1 22+--=x x x x y 的值域． 例3：求函数1 32 x y x -=-得值域. 4、换元法： 例1：求函数2y x = 例2： 求 函 数1x x y -+=的 值 域。 5、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。 例1：求函数y x = 例2：求函数()x x x f -++=11的值域。
例3：求 函 数1x 1x y --+=的 值 域。 6、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。 例1：求函数|3||5|y x x =++-的值域。 7、非负数法 根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。 例1、(1)求函数216x y -=的值域。 (2)求函数1 3 22+-=x x y 的值域。 二、函数定义域 例1：已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 例2：若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ?=-++的定义域． 例3：求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-= x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③ x x x f -+ += 21 1)( 例4：求下列函数的定义域： ④ 14)(2--=x x f ⑤ ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ⑥ 3 7 3132+++-= x x y ④x x x x f -+= 0)1()( 三、解析式的求法 1、配凑法 例1：已知 ：23)1(2 +-=+x x x f ，求f(x)；
求函数最值常用的方法及经典例题讲解
求函数最值常用的方法及经典例题讲解 知识点： 一、函数最大（小）值定义 最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最大值． 思考：依照函数最大值的定义，结出函数()y f x =的最小值的定义． 注意： ①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥． 二、求函数最大（小）值常用的方法． 案例分析： 例1、画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ ①()3f x x =-+ ②()3 [1,2]f x x x =-+∈- ③2()21f x x x =++ ④2 ()21[2,2]f x x x x =++∈-
类型一、直接观察法 对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。 例 1、求函数 1 ,[1,2] y x x =∈ 的值域 A、单调递减，无最小值 B、单调递减，有最小值 B、单调递增，无最大值 D、单调递增，有最大值小试牛刀： 1、求函数 2 1 y x = - 在区间[2，6] 上的最大值和最小值． 2
()5522++=x x x f 类型二、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域) 例： 求函数3456x y x +=+值域。 实战训练场： 1) 求函数2 13-+= x x y 的值域； 2) 函数.11的值域是x x y +-= 类型三、倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例1 、求函数 y = 的值域。 例2、求函数 的值域。
高中数学求值域的10种方法
求函数值域的十种方法 一．直接法（观察法）：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1．求函数1y = 的值域。 【解析】0≥11≥，∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【练习】 1．求下列函数的值域： ①32(11)y x x =+-≤≤； ②x x f -+=42)(； ③1 += x x y ； ○ 4()112 --=x y ，{}2,1,0,1-∈x 。 【参考答案】①[1,5]-；②[2,)+∞；③(,1)(1,)-∞+∞U ；○4{1,0,3}-。 二．配方法：适用于二次函数及能通过换元法等转化为二次函数的题型。形如 2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。 例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 【解析】2242(2)6y x x x =-++=--+。 ∵11x -≤≤，∴321x -≤-≤-，∴21(2)9x ≤-≤，∴23(2)65x -≤--+≤，∴35y -≤≤。 ∴函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域为[3,5]-。 例3．求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 【解析】本题中含有二次函数可利用配方法求解，为便于计算不妨设： )0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2∈+--=x x x f 利用二次函数的相关知识得 ][4,0)(∈x f ，从而得出：]0,2y ?∈?。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为： 0)(≥x f 。 例4．若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。
高考求函数值域及最值得方法及例题,训练题
函数专题之值域与最值问题 一．观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。 解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0， 故3+√(2－3x)≥3。 ∴函数的知域为. 点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）二．反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。 解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。 点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝） 三．配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。 点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。 解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2] 点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。 练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域.(答案:值域为{y∣y≤3}) 四．判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。 点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。 解：将上式化为（y－2）x2－(y－2)x+(y-3)=0 （＊） 当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x+(y－3)≥0，解得：2＜x≤10/3 当y=2时,方程(＊)无解。∴函数的值域为2＜y≤10/3。