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抛物线中的常用结论

抛物线中的常用结论

抛物线中的常用结论

如图：AB 是过抛物线y 2=2px(p>0)的焦点F 的弦，M 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，C 、D 、N 依次是A 、B 、M 在l 上的射影，求证：

1. y 1y 2=p

2

-

2.

x 1x 2=??

? ??22

p

3. A 、O 、D 三点共线； B 、O 、C 三点共线 （或证AD 过点O ， BC 过点O ）

4. CF ⊥DF

5. NF ⊥AB

6. 设MN 交抛物线于Q ，则Q 平分MN

7. 设AB 的垂直平分线交x 轴于E ，则有AB FE =2 8. AN ⊥BN

9. 以AB 为直径的圆与准线l 相切 10. 设弦AB 的倾斜角α,则)

(sin 2

2αP

AB =

11.

P

BF AF 211=+ 12. S △AOB =

a

p

sin 22

高考复习中抛物线(几个常见结论及其应用)

抛物线的几个常见结论 抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。 结论一：若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2 124 p x x =，212y y p =-。 证明：因为焦点坐标为F(2 p ,0),当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为： ()2p y k x =-， 由2()22p y k x y px ?=- ?? ?=? 得: 2220ky py kp --= ∴212y y p =-，2242 121222244 y y p p x x p p p =?==。 当AB ⊥x 轴时，直线AB 方程为2 p x =，则1y p =，2y p =-，∴2 12y y p =-，同上也有：2124p x x =。 例：已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF +为定值。 结论二：（1）若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α =（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。 证明：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB:()2 p y k x =- 由2()22p y k x y px ? =-?? ?=? 得:,2220ky py kp --= ∴122p y y k +=，212y y p =-， ∴12AB y -=2222 22(1)2(1tan )2tan sin p k p P k ααα ++===。 易验证，结论对斜率不存在时也成立。 （2）由（1）：AB 为通径时，90α= ，2 sin α的值最大，AB 最小。 例：已知过抛物线2 9y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。 结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 已知AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线， 垂足分别为M 、P 、N ，连结AP 、BP 。 由抛物线定义：AM AF =，BN BF =， ∴111 ()()222 QP AM BN AF BF AB =+=+=， ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切 （2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ，

梳理抛物线焦点弦的结论

梳理抛物线焦点弦的有关结论 知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(), ,11y x A ()22,y x B ，则（1）4 2 21p x x =；（2）221p y y -=证明：如图， （1）若AB 的斜率不存在时， 依题意,221p x x ==4221p x x =∴ 若AB 的斜率存在时，设为,k 则? ? ?=2:k y AB .4221p x x =∴ 综上：.4 2 21p x x = （2）p y x p y x 2,22 22211==Θ，,22142221p y y p y y ±=?=∴ 但22121,0p y y y y -=∴< （2）另证：设2:p my x AB +=与px y 22=联立，得 知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2） 设直线AB 证明：（1）由抛物线的定义知 （2）若,2,90210p x x ===则α由（1）知2p AB ==若px y p x k y AB 2,2:,9020=??? ??-=≠与设α联立，得 (),22221k k p x x +=+∴() 222112k k p p x x AB +=++=∴知识点3：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，则以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 证明：过点B A 、

,11B A 、过AB 中点M 向准线引垂线，垂足为,N 设以AB 为直径的圆的半径为,r ∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 知识点4：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为,11B A 、则11=∠FB A 证明借助于平行线和等腰三角形容易证明 知识点5：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点与x 轴相交于点K ，则.BKF AKF ∠=∠ 证明：过点B A 、分别作准线的垂线，垂足分别为B B A A K B K A 1111=∴ B B K B A A K A 1111=∴，而11∠=∠BB K AA K AA 1?∴∽K BB 1? KB B KA A 11∠=∠∴ 知识点6：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，o 为抛物线的顶点，连接AO 并延长交该抛物线的准线于点,C 则//BC 证明：设(),,11y x A ()22,y x B ，则 由知识点1知2 21p y y -= 2222y y p p y C =--=∴逆定理：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦，过点B 作OF BC //交抛物线准线于点,C 则O C A 、、三点共线。 证明略 知识点7：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F ,,n BF m AF ==则 证法：（1）若x AB ⊥轴，则AB 为通径，而,2p AB =

最新抛物线的几个常见结论及其用

抛物线的几个常见结论及其应用 抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。 结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦）， 且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2 124 p x x =，212y y p =-。 例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ， 求证： 11AF BF +为定值。 结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α， 则 22sin P AB α = （α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线 对称轴的弦）最短。 例：已知过抛物线29y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。AB 倾斜角为3 π 或 23 π 。 结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线， 以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 例：已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过A 、B 做准线的垂线， 垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆 与直线AB 相切。

结论四：若抛物线方程为22(0)y px p =>，过（2p ，0）的直线与之交于A 、B 两点，则OA ⊥OB 。反之也成立。 结论五：对于抛物线22(0)x py p =>，其参数方程为2 22x pt y pt =?? =?， ， 设抛物线22x py =上动 点P 坐标为2 (22)pt pt ， ，O 为抛物线的顶点，显然2 22OP pt k t pt ==，即t 的几何意义为过抛物线顶点O 的动弦OP 的斜率． 例 直线2y x =与抛物线22(0)y px p =>相交于原点和A 点，B 为抛物线上一点，OB 和OA 垂直，且线段AB 长为，求P 的值． 解析：设点A B ，分别为22(22)(22)A A B B pt pt pt pt ， ，，， 则11 2 A OA t k = =，1 2B OA OB t k k = =-=-． A B ，的坐标分别为 (84)2p p p p ??- ???，，， ．AB ∴=．2p =∴． 练习： 1.过抛物线2(0)y ax a =>的焦点F 作一直线交抛物线于P Q ，两点， 若线段PF 与FQ 的长分别是p q ，，则11p q += 故114a p q +=】 2.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线 于A B ，两点．点C 在抛物线的准线上，且BC x ∥轴． 证明直线AC 经过原点O ． 【证明：抛物线焦点为02 p F ?? ??? ， ．设直线AB 的方程为2 p x my =+， 代入抛物线方程，得2220y pmy p --=．若设1122()()A x y B x y ，，，， 则212y y p =-． BC x ∵∥轴，且点C 在准线1 2CO p k y = ； 又由2112y px =，得11 1 2AO y p k x y ==， 故CO AO k k =，即直线AC 经过原点O ．】

初中抛物线常见结论汇总(教师版)

初中抛物线常见结论汇总（教师版） 1. （唯一交点或最值） （1）已知抛物线y=x 2－2x －3，过点D （0,-4）求与抛物线有且只有一个公共点的直线的解析式。 (判别式) （2）已知抛物线y=x 2－2x －3，在第四象限的抛物线上求点P ，使四边形ACPB 的面积最大。 2. (焦点—准线：顶点上下14a 个单位)已知抛物线y ＝12 x 2－x ＋1，直线过点P （1，1）与抛物线交于A 、B 。过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N 。 （1）连PM 、PN ，求证：△PMN 为直角三角形； （2）①求证：AB ＝AM+BN ；②求1AP ＋1BP 的值。 （3）已知点D （1，0），求证：DP 经过△AB D 的内心。 3. 如图，抛物线y ＝12x 2﹣x －32 顶点为D ，对称轴上有一点E （1，4），在抛物线上求点P ，使∠EPD=90°。 4. （定直角特殊点——特殊）已知抛物线y=12 x 2，过对称轴上P 点的任意一条直线与抛物线的两交点A 、B 和O 点构成以O 点为直角顶点的直角三角形，求P 点坐标。（定点：顶点向上平移1/a 个单位长度）

5. （定直角特殊点——半特殊）如图：抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，交点C 向上平移t 个单位长度到D ，过D 作EF ∥AB ，交抛物线于E 、F ，∠ECF＝90°。求t 与a 的关系。 6. （定直角特殊点——一般）如图：抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，点P （m,n ）为抛物线 上任意一点，过D （0，n+t ）作EF ∥AB ，交抛物线于E 、F ，∠EPF＝90°。求t 与a 的关系。 7. （纵向平分对称点——特殊）已知抛物线y=12 x 2，过对称轴上P 点的任意一条直线与抛物线的两交点为A 、B ，在对称轴负半轴上有点Q （0，-2），且∠AQB 被对称轴平分，求P 点坐标。 8. （纵向平分对称点——一般）如图，抛物线y ＝x 2-x －2与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，点D 和点C 关于对 称轴对称，MN ∥AD ，交抛物线于M 、N ，直线MD 、ND 分别交y 轴于E 、F 。求证：CF ＝CE 。

抛物线常用性质总结

结论一：若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则： 2 124 p x x =，212y y p =-。 结论二：已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F ，求证：112=AF BF p + 。 结论三：（1）若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则 22sin P AB α = （α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。 结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

证明结论二： 例：已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF +为定值。 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+ ，22 p BF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2 124 p x x =。 则：212 121211()()()2224AF BF AB AB p p AF BF AF BF x x x x x x ++===?+++++ =22 2()424 AB p p p p AB p =+-+（常数 证明：结论四： 已知AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 切。 证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线， 垂足分别为M 、P 、N ，连结AP 、BP 。 由抛物线定义：AM AF =，BN BF =， ∴111 ()()222 QP AM BN AF BF AB = +=+=， ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切 （2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ， ∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠AMF=∠MFO ∴∠AFM=∠MFO 。同理，∠BFN=∠NFO ， ∴∠MFN= 1 2 （∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO ）=90°， ∴1 2 MP NP FP MN ===， ∴∠PFM=∠FMP ∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP ⊥AB

抛物线的常见结论

抛物线的常见结论 一、知识点总结 1. 抛物线的弦长公式 2122122124)(11x x x x k x x k l -+?+=-+=， 其中k 是弦所在直线的斜率，21,x x 是交点的横坐标，本表达式不包含斜率不存在的情况。 2122122124)(11y y y y m y y m l -+?+=-+=，其中弦长所在直线 方程为b my x +=，21,y y 是交点的纵坐标，本表达式包含斜率不存在的情况。 2. 抛物线的焦点弦 对于抛物线，022 >=p px y ，，倾斜角为α的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，过A,B 做抛物线准线的垂线，垂足分别为C,D ，那么有： ①2212 21,4 p y y p x x -==A B F C D O α

由?????+==222p my x px y 得0222=--p pmy y （＊） ，因此?? ???==-=44)(2222121221p p y y x x p y y ②焦点弦长 p x x AB ++=21，焦点弦长α 2 sin 2P AB = α αsin 4)(sin 212212 1y y y y y y AB -+= -=，结合（＊）式与αtan 1 =m 得： α ααααααααα sin sin sin sin cos 2sin 1tan 12sin 4tan 4sin 442 22222 222 22+= +=+= += p p p p p m p AB α αα22sin 2sin sin 1 2p p == ③ P BF AF 211=+ 简单证明如下:p p p y y p y y P BF AF BF AF BF AF 222sin sin sin 211221212====+=+ααα ④焦点三角形面积α sin 22 P S = 简单证明如下：以 AB 为底，以O 到AB 的距离为高，该三角形面积课表示为： α αααsin 2sin 2sin 221sin 2122p p p OF AB S AOB =??== ⑤焦点弦相关的几何关系： a. 以AF/BF 为直径的圆与y 轴相切 b. 以AB 为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于AB. c. 以CD 为直径的圆与AB 相切 d. A,B 在准线上的投影对F 的张角为90°，?=∠90CFD e. 以A,B 为切点分别做两条切线，两切线的交点在准线上；在准线上取一点做抛物线的切线，

圆锥曲线常见结论

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个 端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形 的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的 两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y a b -=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b -=. 7. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双 曲线的焦点角形的面积为122 t 2 F PF S b co γ ?=. 8. 双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c 当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-. 当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =-- 9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相 应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ， A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 0202y a x b K K AB OM =?，即020 2y a x b K AB =。 12. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b -=-. 13. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b -=-.

抛物线的有关结论

探索与研究 圆锥曲线中抛物线的有关结论 山东省德州市实验中学 肖成荣 由于抛物线的离心率是常数，导致了许多自身具有的规律性，再加上抛物线的方程比较简单，所以灵活性就更加显现，了解了抛物线的规律性后在处理抛物线的相关问题时会起到事半功倍的效果。下面就抛物线的结论作以归整，供参考！ 一、焦点)0,2 ( p F 处的结论 1、焦半径长：),(11y x A ，)0,2 ( p F ，2||1p x AF +=； 2、焦点弦长：),(11y x A 、),(22y x B 在抛物线上， 且AB 过焦点F ，则p x x AB ++=21||，或θ 2 sin 2||p AB = （θ为直线l 与抛物线对称轴的夹角）； 3、过焦点的直线与抛物线相交于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为M 、N ，MN 的中点为G 。 （1）两相切：①以焦半径AF 为直径的圆与y 轴相切；②以焦点弦AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. （2）三直角：① ∠AGB ②090=∠MFN ③GF （3）六定值：),(11y x A 、),(22y x B 的乘积是定值：21x x =24 3 p -=?； ②n BF m AF ==,mn GF =||. ③22sin AOB p S θ ?= 二、点)0,(p D 处的结论 例：抛物线px y 22=上的点到)0,(a A 的最近距离是多少？ 结论：)0,(p D 是抛物线px y 22=上到点)0,(a A 的距离最近的点为顶点的分界点， )0,(a A 在)0,(p D 左边顶点到点)0,(a A 的距离最近，右边横坐标为p a -的那两个抛物 线上的点到点)0,(a A 的距离最近. 三、点)0,2(p E 处的结论 B A ,是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，OB OA ⊥，),(11y x A ，),(22y x B ，则 ⅰ.2214p x x =，2214p y y -=；ⅱ.直线AB 过定点)0,2(p ；ⅲ.求AB 中点的轨迹方程； ⅳ.过O 向AB 引垂线，求垂足T 的轨迹方程；ⅴ.求AOB ?面积的最小值. 结论：),(11y x A 、),(22y x B 是抛物线)0(22>=p px y 上的两点，O 为抛物线的顶点，（1）090=∠AOB ?直线AB 过点)0,2(p E .（2）2214p x x =，2214p y y -=. 四、准线上的有关结论 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点B A ,，再以B A ,为切点作抛物线的切 线，其交点在抛物线的准线上，且两切线垂直。反过来， 准线上任意一点做抛 物线的切线有两条，且两条切线垂直，两切点连线过抛物线的焦点。

很全抛物线焦点弦的有关结论附标准答案

很全抛物线焦点弦的有关结论附答案

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x B A y o F B A y o F [很全]抛物线焦点弦的有关结论 知识点1：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(),,11y x A ()22,y x B ，则 （1）4 2 21p x x =；（2）221p y y -= 证明：如图， （1）若AB 的斜率不存在时， 依题意,2 21p x x ==4221p x x =∴ 若AB 的斜率存在时，设为,k 则??? ? ? -=2:p x k y AB ，与px y 22=联立，得 () 04222222 222 2=++-?=?? ? ??-p k px k x k px p x k .4221p x x =∴ 综上：.4 2 21p x x = （2）p y x p y x 2,22 22211==Θ，,22142 221p y y p y y ±=?=∴ 但22121,0p y y y y -=∴< （2）另证：设2 :p my x AB + =与px y 22=联立，得22122,02p y y p pmy y -=∴=-- 知识点2：若AB 是过抛物线()022>=p px y 的焦点F 的弦。设(),,11y x A ()22,y x B ，则（1）;21p x x AB ++=（2）设直线AB 的倾斜角为α，则α 2 sin 2p AB = 。 证明：（1）由抛物线的定义知 ,2 ,221p x BF p x AF +=+= p x x BF AF AB ++=+=∴21 （2）若,2,90210p x x = ==则α由（1）知α 2 sin 22p p AB == 若px y p x k y AB 2,2:,9020=??? ? ? -=≠与设α联立，得

高考复习中抛物线(几个常见结论及其应用)

抛物线的几个常见结论 抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。 结论一：若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2 124 p x x =，212y y p =-。 证明：因为焦点坐标为F( 2 p ,0),当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为： ()2p y k x =-， 由2 ()22p y k x y px ?=-???=? 得: 2220ky py kp --= ∴212y y p =-，2242 12 1222244y y p p x x p p p =?==。 当AB ⊥x 轴时，直线AB 方程为2 p x =，则1y p =，2y p =-，∴2 12y y p =-，同上也有：2124p x x =。 例：已知直线AB 是过抛物线2 2(0)y px p =>焦点F ，求证：11AF BF +为定值。 结论二：（1）若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α =（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。 — 证明：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB:()2 p y k x =- 由2()22p y k x y px ?=- ?? ?=? 得:,2220ky py kp --= ∴122p y y k +=，212y y p =-， ∴12AB y -=222222(1)2(1tan )2tan sin p k p P k ααα++===。 易验证，结论对斜率不存在时也成立。 （2）由（1）：AB 为通径时，90α=，2 sin α的值最大，AB 最小。 例：已知过抛物线2 9y x =的焦点的弦AB 长为12，则直线AB 倾斜角为 。 结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 【 已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线， 垂足分别为M 、P 、N ，连结AP 、BP 。 由抛物线定义：AM AF =，BN BF =， ∴111 ()()222 QP AM BN AF BF AB =+=+=，

抛物线常用性质总结

结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则： 2 124 p x x = ，212y y p =-。 结论二：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：112= AF BF p + 。 结论三：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则 2 2sin P A B α = （α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。 结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。 （2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

证明结论二： 例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证： 11AF BF + 为定值。 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12 p A F x =+ ，22 p B F x =+ ，又 AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2 124 p x x = 。 则：2 12121211()() ()222 4AF BF AB AB p p p p AF BF AF BF x x x x x x ++== =?+ + + ++ = 2 2 2()4 2 4 AB p p p p AB p = + -+ （常数 证明：结论四： 已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。 (2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆与直线AB 相 切。 证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线， 垂足分别为M 、P 、N ，连结AP 、BP 。 由抛物线定义：AM AF =，BN BF =， ∴111()()2 2 2 Q P A M B N A F B F A B = += += ， ∴以AB 为直径为圆与准线l 相切 （2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ， ∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠AMF=∠MFO ， ∴∠AFM=∠MFO 。同理，∠BFN=∠NFO ， ∴∠MFN= 12 （∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO ）=90°， ∴12 M P N P F P M N === ， ∴∠PFM=∠FMP ∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP ⊥AB B A M N Q P y x O F O A M N P y x F B

高中数学与抛物线有关的结论

与抛物线有结论 抛物线中有一些常见、常2()22p y k x y px ? =-?? ?=? 用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题 时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。 结论一：若AB 是抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，22(,)B x y ，则：2 124 p x x =， 212y y p =-。 证明：因为焦点坐标为F( 2p ,0),当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为： ()2 p y k x =-， 由得: 2 2 20ky py kp --= ∴2 12y y p =-，2242 121222244 y y p p x x p p p =?==。 当AB ⊥x 轴时，直线AB 方程为2 p x = ，则1y p =，2y p =-，∴212y y p =-，同上也有：2 124 p x x =。 例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证： 11AF BF +为定值。 证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12p AF x =+ ，22 p BF x =+，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2 124 p x x =。 则：212121211()()()2224AF BF AB AB p p AF BF AF BF x x x x x x ++== =?+++++ =222()424 AB p p p p AB p =+-+（常数） 结论二：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则22sin P AB α = （α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。 证明：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线AB:()2 p y k x =- 由2 ()22p y k x y px ? =-???=? 得:,2220ky py kp --= ∴122p y y k +=，212y y p =-， ∴12AB y =-222222(1)2(1tan )2tan sin p k p P k ααα++===。 易验证，结论对斜率不存在时也成立。 （2）由（1）：AB 为通径时，90α=，2sin α的值最大，AB 最小。

高考抛物线知识点总结

高考抛物线知识点总结 1. 抛物线定义： 平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值(离心率e)不同，当e=1时为抛物线，当0 2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质(如下表)：其中为抛物线上任一点。 3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。 4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有解。 说明： 1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。 2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。 3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。 抛物线的焦点弦的性质： 关于抛物线的几个重要结论：

(1)弦长公式同椭圆. (2)对于抛物线y2=2px(p0)，我们有P(x0，y0)在抛物线内部P(x0，y0)在抛物线外部 (3)抛物线y2=2px上的点P(x1，y1)的切线方程是抛物线y2=2px(p,高二;0)的斜率为k的切线方程是y=kx+ (4)抛物线y2=2px外一点P(x0，y0)的切点弦方程是 (5)过抛物线y2=2px上两点的两条切线交于点M(x0，y0)，则 (6)自抛物线外一点P作两条切线，切点为A,B，若焦点为F, 又若切线PA⊥PB，则AB必过抛物线焦点F. 利用抛物线的几何性质解题的方法： 根据抛物线定义得出抛物线一个非常重要的几何性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.利用抛物线的几何性质，可以进行求值、图形的判断及有关证明. 抛物线中定点问题的解决方法： 在高考中一般以填空题或选择题的形式考查抛物线的定义、标准方程以及几何性质等基础知识，在解答题中常常将解析几何中的方法、技巧与思想集于一身，与其他圆锥曲线或其他章节的内容相结合，考查综合分析问题的能力，而与抛物线有关的定值及最值问题是一个很好的切人点，充分利用点在抛物线上及抛物线方程的特点是解决此类题型的关键，在求最值时经常运用基本不等式、判别式以及转化为函数最值

高考复习中抛物线(几个常见结论及其应用)

2 x 证明：因为焦点坐标为 F(E,O),当AB 不垂直于x 轴时，可设直线 AB 的方程为: 2 由 y =k (x —#)得: 2 y = 2 px ky 2 _2py _kp 2 = 0 /. y^ y 2 2 mx 2 生 2p 2 y 2 y = k(x _ —) 2 4 2 p p 2 2p 4p“ 4 当AB 丄x 轴时，直线AB 方程为x =卫，则y

抛物线焦点弦性质总结30条

基础回顾 1. 以AB 2. 2 124 p x x =3. 212y y p =-; 4. '90AC B ∠=; 5. ''90A FB ∠=; 6. 123222()2sin p p AB x x p x α=++=+ =; 7. 112AF BF P +=; 8. A 、O 、'B 三点共线； 9. B 、O 、' A 三点共线； 10. 2 2sin AOB P S α =； 11. 23()2 AOB S P AB =（定值）； 12. 1cos P AF α= -；1cos P BF α=+； 13. 'BC 垂直平分'B F ； 14. 'AC 垂直平分'A F ； 15. 'C F AB ⊥； 16. 2AB P ≥； 17. 11'('')22CC AB AA BB = =+； 18. AB 3 P K =y ； 19. 2 p 22 y tan =x -α;

20. 2A'B'4AF BF =?; 21. 1C'F A'B'2 =. 22. 切线方程 ()x x m y y +=00 性质深究 一)焦点弦与切线 1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有 何特殊之 处？ 结论1：交点在准线上 先猜后证：当弦x AB ⊥轴时，则点P 的坐标为?? ? ?? -0,2p 在准线上． 证明: 从略 结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴 结论3 弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴． 2、上述命题的逆命题是否成立？ 结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 先猜后证：过准线与x 轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB 的弦必过焦点． 结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径． 3、AB 是抛物线px y 22=（p ＞0）焦点弦，Q 是AB 的中点，l 是抛物线的准线，l AA ⊥1，l BB ⊥1，过A ，B 的切线相交于P ，PQ 与抛物线交于点M ．则有 结论6P A ⊥PB ． 结论7PF ⊥AB ． 结论8 M 平分PQ ． 结论9 P A 平分∠A 1AB ，PB 平分∠B 1BA ． 结论2= 结论11PAB S ?2min p = 二)非焦点弦与切线 思考：当弦AB 不过焦点，切线交于P 点时， 也有与上述结论类似结果： 结论12 ①p y y x p 221=，2 21y y y p += 结论13 P A 平分∠A 1AB ，同理PB 平分∠B 1BA ． 结论14 PFB PFA ∠=∠ 结论15 点M 平分PQ 结论16 2 PF = 相关考题

(完整word版)抛物线的常见结论.doc

抛物线的常见结论 一、知识点总结 1.抛物线的弦长公式 l 1 k 2 x1x2 1 k 2 ? ( x1x2 ) 24x1x2，其中k是弦所在直线的斜率， x1 , x2是交点的横坐标，本表达式不包含斜率不存在的情况。 l 1 m2 y1 y2 1 m2 ? ( y1 y2 ) 2 4 y1 y2 ，其中弦长所在直线 方程为x my b ，y1, y2是交点的纵坐标，本表达式包含斜率不存在的情况。 2.抛物线的焦点弦 C A α O F D B 对于抛物线，y2 2 px， p 0 ，倾斜角为α的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于 A ，B 两点，过 A,B 做抛物线准线的垂线，垂足分别为C,D ，那么有： ① x1 x2 p2 , y1 y2p2 4

y 2 2px 得 y 2 p2 y1 y2 p2 由p 2 pmy 0 （＊），因此( y1 y2 ) 2 p 2 x my 2 x1x2 4 p2 4 ② 焦点弦长AB x1 x2 p ，焦点弦长AB 2P sin 2 y1 y2 ( y1 y2 )2 4y1 y2 ，结合（＊）式与m 1 得： AB sin tan sin 2 m 2 4 p 2 4 p2 4 p2 2 p 1 1 2 p cos2 sin 2 4 p tan2 tan 2 sin2 sin 2 AB sin sin sin sin 2 p 1 2 p sin 2 sin sin 2 ③ 1 1 2 AF BF P 1 1 AF BF 2P 2p 2 p 2 简单证明如下 : sin2 y1 y2 y1 y2 p2 AF BF AF BF p sin sin ④ 焦点三角形面积S P2 2sin 简单证明如下：以AB 为底，以O到AB的距离为高，该三角形面积课表示为： S AOB 1 AB OF sin 1 2 p p sin p2 2 2 sin 2 2 2sin ⑤ 焦点弦相关的几何关系： a.以 AF/BF 为直径的圆与 y轴相切 b.以 AB 为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于AB. c.以 CD 为直径的圆与 AB 相切 d.A,B 在准线上的投影对F的张角为 90 °，CFD90 e.以 A,B 为切点分别做两条切线，两切线的交点在准线上；在准线上取一点做抛物线的切线，

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