数学九年级上《相似三角形》复习测试题(答案)

B

A

B

C D

E

F 相似三角形

一、选择题

1、如图1,已知AD 与VC 相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°, ∠D=30°,则∠AOC 的大小为（ ）

A.60°

B.70°

C.80°

D.120°

2、如图，已知D 、E 分别是ABC ?的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADE

DBCE S

S :=:8,四边形 那么:AE AC

等于（ ） A ．1 : 9 B ．1 : 3 C ．1 : 8 D ．1 : 2

3、如图G 是?ABC 的重心，直线L 过A 点与BC 平行。若直线CG 分别与AB 、 L 交于D 、E 两点，直

线BG 与AC 交于F 点，则?AED 的面积：四边形ADGF 的面积=？( )

(A) 1：2 (B) 2：1 (C) 2：3 (D) 3：2

4、图为?ABC 与?DEC 重迭的情形，其中E 在BC 上，AC 交DE 于F 点， 且AB // DE 。若?ABC 与?DEC 的面积相等，且EF =9，AB =12，则DF =？( ) (A) 3 (B) 7 (C) 12 (D) 15 。

5、如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么该古城墙的高度是（ ） A 、6米 B 、8米 C 、18米 D 、24米

A B C

D O 图1 B A C

D E

第4题

B

C D

E A

F E D B C 60°

图2

(第2题图)

6、如图，DEF △是由ABC △经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D E F ，，分别是OA OB OC ，，的中点，则DEF △与ABC △的面积比是（ ） A ．1:6 B ．1:5 C ．1:4 D ．1:2

7、给出两个命题：①两个锐角之和不一定是钝角；②各边对应成比例的两个多边形一定相似．( ) A ．①真②真 B ．①假②真 C ．①真②假 D ．①假②假

8、如图2所示，Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则cosE 的值等于（ ） A.

1

2

B. 2

9、如图，直角梯形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD ，E 为梯形内一点，且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°使BC 与DC 重合，得到△DCF ，连EF 交CD 于M ．已知BC ＝5，CF ＝3，则DM:MC 的值为 （ ） A.5:3 B.3:5 C.4:3 D.3:4

10、如果两个相似三角形的相似比是1:2，那么它们的面积比是（ ） A.1:2

B ．1:4

C

．

D ．2:1

11、如图，在ABC ?中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，若

6BC =，则DE 等于 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2

12、如图，DEF △是由ABC △经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D E F ，，分别是OA OB OC

，，的中点，则DEF △与ABC △的面积比是（ ） A ．1:6 B ．1:5 C ．1:4

B 第18题图

D ．1:2

13、给出两个命题：①两个锐角之和不一定是钝角；②各边对应成比例的两个多边形一定相似．( ) A ．①真②真 B ．①假②真 C ．①真②假 D ．①假②假

14、已知ABC DEF △∽△，相似比为3，且ABC △的周长为18，则DEF △的周长为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．54

15、如图,Rt △ABAC 中,AB ⊥AC ,AB =3,AC =4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于 D ,设BP =x ,则PD+PE =（ ）

A.35

x + B.45

x -

C.

72

D.

2

12125

25

x x -

16、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（ ） A 、b a c =+ B 、b ac = C 、2

2

2

b a

c =+ D 、22b a c ==

17、如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，

AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 （ ） Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31 Ｄ．9

4

18、如图,在△ABC 中,若D E ∥BC,AD DB =1

2

,DE=4cm,则BC 的长为（ ） A.8cm

B.12cm

C.11cm

D.10cm

19、下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）

C

A

B

C

D

E

P

（（第10题图）

E 图5

20、若△ABC∽△DEF，△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3，则S △ABC ︰S △DEF 为（）

A 、2∶3 B、4∶9 C、2∶3 D 、3∶2

21、在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为

（ ） A 、4.8米

B 、6.4米

C 、9.6米

D 、10米

22、小刚身高1.7m ，测得他站立在阳关下的影子长为0.85m 。紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起手臂超出头顶

A.0.5m

B.0.55m

C.0.6m

D.2.2m

33、如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC △相似的是（ ）

二、填空题 1、如图，D E ，两点分别在ABC △的边AB AC ，上，DE 与BC 不平行，

当满足 条件（写出一个即可）时，

A D E A C B

△∽△．

2、如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个三角形面积的比是 ．

3、 （2008上海市）如图5，平行四边形ABCD 中，E 是

边BC 上的点，

AE 交BD 于点F ，如果

2

3

BE BC =， 那么

BF

FD

= ． 4、在比例尺为1︰2000的地图上测得AB 两地间的图上距离为5cm ，则AB 两地间的实际距离为 m ． 5、在Rt △ABC 中，∠C 为直角，CD ⊥AB 于点D,

BC=3,AB=5,写出其中的一对相似三角形是 和 ； 并写出它的面积比 .

6、已知∠A ＝40°，则∠A 的余角等于＝________度.

7、如图，点

A A A A ，，，在射线OA 上，点

B B B ，，在射线OB 上，且

A ．

B ．

C ．

D ．

A

B

C

（第7题） A ． B ． C ． D ．

D B

图

3

图8

（第12题）

A B

C

E

D 面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和 为 ．

8、两个相似三角形周长的比为2:3，则其对应的面积比为___________.

9、两个相似三角形的面积比S 1:S 2与它们对应高之比h 1:h 2之间的关系为 ． 10、如图8，D 、E 分别是ABC △的边AB 、AC 上的点，则使

AED △∽ABC △的条件是 ．

11、如图4，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且

AC ⊥CE ，ED=1，

BD=4，那么AB=

12、如图，在ABC △中，D E ，分别是AB AC ，的中点，若5DE =，则BC 的长是 ．

13、如图3，要测量A 、B 两点间距离，在O 点打桩，取OA 的中点 C ，OB 的中点D ，测得CD =30米，

则AB =______米．

14、如图，一束光线从y 轴上点A （0，1）发出，经过x 轴上点C 反射后，经过点B （6，2），则光线从A 点到B 点经过的路线的长度为 ．（精确到0.01）

15、如图，ABC △中，AB AC >，D E ，两点分别在边AC AB ，上，且DE 与BC 不平行．请填上一个．．你认为合适的条件： ，使ADE ABC △∽△． （不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）

16、（2008大连）如图5，若△ABC ∽△DEF ，则∠D 的度数为_____________.．

17、（2008上海市）如果两个相似三角形的相似比是1:3，那么这两个三角形面积的比是 ． 18、 （2008上海市）如图，平行四边形ABCD 中，E 是边BC

上的点，AE 交

BD 于点F ，如果

23BE BC =，那么BF

FD

= ．

三、解答题

1、如图5，在△ABC 中，BC>AC ， 点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中

点，连结EF.

（1）求证：EF ∥BC. （2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.

2、如图，在ABC 中，2BAC C ∠=∠。

（1）在图中作出ABC 的内角平分线AD 。（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明） （2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由。 提示：（1）如图，AD 即为所求。

3、（本题6分）如图，点D ，E 在BC 上，且FD ∥AB ，FE ∥AC 。 求证：△ABC ∽△FDE ．

4、 （本小题满分10分）

如图：在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连接AP 交BC 于点E,连接BP 交AC 于点F. (1) 证明：∠CAE=∠CBF; (2) 证明：AE=BF;

(3) 以线段AE ，BF 和AB 为边构成一个新的三角形ABG （点E 与点F 重合于点G ），记△ABC 和△ABG 的面积

分别为S △ABC 和S △ABG ,如果存在点P,能使得S △ABC =S △ABG ,求∠C 的取之范围。

F E

D C B

A E C

B

5、如图，在直角△ABC 内，以A 为一个顶点作正方形ADEF ，使得点E 落在BC 边上.

(1) 用尺规作图，作出D 、E 、F 中的任意一点 (保留作图痕迹，不写作法和证明. 另外两点不需要用

尺规作图确定，作草图即可)；

(2) 若AB = 6，AC = 2，求正方形ADEF 的边长.

6、阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺、标杆、一副三角尺、小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种．．测量方案． （1）所需的测量工具是： ； （2）请在下图中画出测量示意图；

（3）设树高AB 的长度为x ，请用所测数据（用小写字母表示）求出x ．

7、如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E.

（1）求证：AB ·AF ＝CB ·CD

（2）已知AB ＝15cm ，BC ＝9cm ，P 是射线DE 上的动点.设DP ＝xcm （x ＞0），四边形BCDP 的面积为ycm 2

. ①求y 关于x 的函数关系式；

B

H

A

B C 第21题图 第20题图

8、如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M

，CG 与AD 相交于点N ．

求证：（1）CG AE =；

（2）.MN CN DN AN ?=?

9、△ABC 是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG ，使正方形的一条边DE 落在BC 上，顶点F 、G 分别落在AC 、AB 上.

Ⅰ.证明：△BDG ≌△CEF ；

Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.

小聪和小明各给出了一种想法，请你在Ⅱ．．．．a ．和Ⅱ．．b ．的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答．．．．．．．．．．．．．．．．．．.． 如果．．

两题都解，只以Ⅱ．．．．．．．．a ．的解答记分．．．．．

. Ⅱa . 小聪想：要画出正方形DEFG ，只要能计算出正方形的边长就能求出BD 和CE 的长，从而确定

D 点和

E 点，再画正方形DEFG 就容易了.

设△ABC 的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .

Ⅱb . 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是： ①在AB 边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；

②连结BF’并延长交AC 于F ；

③作FE ∥F’E’交BC 于E ，FG ∥F ′G ′交AB 于G ，GD ∥G ’D ’交BC 于D ，则四边形DEFG

A

B C D E

F G 图 (1) A

B

C

D

E

F

G 图 (2)

即为所求.

你认为小明的作法正确吗？说明理由.

10、如图11，在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC =

∠AGF =90°，它们的斜边长为2，若?ABC 固定不动，?AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E (点D 不与点B 重合,点E 不与点C 重合),设BE =m ，CD =n.

（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明. （2）求m 与n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围.

（3）以?ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图

12).在边BC 上找一点D ，使BD =CE ，求出D 点的坐标，并通过计算验证BD 2＋CE 2=DE 2.

（4）在旋转过程中,(3)中的等量关系BD 2＋CE 2=DE 2是否始终成立,若成立,请证明,若不成立,请说明

理由.

1190，6AB =

的中点，点P 从点D 出发沿DE 方向运动，过点P 作PQ BC ⊥于Q ，过点Q 作QR BA ∥交AC 于R ，当点Q 与点C 重合时，点P 停止运动．设BQ x =，QR y =．

（1）求点D 到BC 的距离DH 的长；

（2）求y 关于x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；

（3）是否存在点P ，使PQR △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．

12、在△ABC 中，∠A＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN∥BC 交AC

A

B

C D E R

P H Q （第1题图）

于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？

（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？

13、如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC CD ，于点P Q ，．

（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求::BP PQ QR ．

14、如图，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD DE 2

1

。 ⑴求证：△ABF ∽△CEB;

⑵若△DEF 的面积为2，求□ABCD 的面积。

15、 为了加强视力保护意识，小明想在长为3.2米，宽为4.3米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表．在

一次课题学习课上，小明向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖，构思巧妙．

（1）甲生的方案：如图1，将视力表挂在墙ABEF 和墙ADGF 的夹角处，被测试人站立在

对角线AC 上，问：甲生的设计方案是否可行？请说明理由．

（2）乙生的方案：如图2，将视力表挂在墙CDGH 上，在墙ABEF 上挂一面足够大的平面镜，根据平面

镜成像原理可计算得到：测试线应画在距离墙ABEF 米处．

（3）丙生的方案：如图3，根据测试距离为5m 的大视力表制作一个测试距 为3m 的小视

B 图 1

第20题图

A B

C

D E

P

O

R 第21题图

F A

D

E

B C

力表．如果大视力表中“E ”的长是3.5cm ，那么小视力表中相应“E ”的长是多少cm ？

16、（2008年福建宁德）如图，E 是□ABCD 的边BA 延长线上一点，连接EC ，交AD 于F ．在不添加辅助线的情况下，请找出图中的一对相似三角形，并说明理由．

17、(2008 黑龙江)如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且10OA -=．

（1）求点A ，点B 的坐标．

（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请H

H

（图1）

（图2） （图3）

（第22题）

3.5㎝

A

C

F

3m

B

5m

D

18、在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC

交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ． （1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ； （2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？

（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？

19、（08中山）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB 重合，直角边不重合，已知AB=8，

BC=AD=4，AC 与BD 相交于点E ，连结CD ．

(1)填空：如图9，AC=

，BD= ；四边形ABCD 是 梯形. (2)请写出图9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.

(3)如图10，若以AB 所在直线为x 轴，过点A 垂直于AB 的直线为y 轴建立如图10的平面直角坐标

系，保持ΔABD 不动，将ΔABC 向x 轴的正方向平移到ΔFGH 的位置，FH 与BD 相交于点P ，设AF=t ，ΔFBP 面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出t 的取值值范围.

.

20、(2008年福建省福州市)（本题满分13分）

如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题：

（1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由；

（2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式；

（3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？

B D 图 2 B 图 1 P 图 3

D

C

B

A

E

图9

图10

图

8

21、(2008年广东梅州市)本题满分8分．

如图8，四边形ABCD 是平行四边形．O 是对角线AC 的中点，过点O 的直线EF 分别交AB 、DC 于点E 、F ，与CB 、AD 的延长线分别交于点G 、H ．

（1）写出图中不全等的两个相似三角形（不要求证明）；

（2）除AB =CD ，AD =BC ，OA =OC 这三对相等的线段外，图中还有多对相等的线段，请选出其中一对加以证明．

22、(2008年广东梅州市)本题满分8分．

如图10所示，E 是正方形ABCD 的边AB 上的动点， EF ⊥DE 交BC 于点F ． （1）求证： ?ADE ∽?BEF ；

（2）设正方形的边长为4， AE =x ，BF =y ．当x 取什么值时， y 有最大值?并求出这个最大值．

（第21题）

Q P D E F C B A Q P

D E

F C

B

A

23.（2008扬州）如图，在△ABD 和△ACE 中，AB=AD ，AC=AE ，∠BAD=∠CAE ，连结BC 、DE 相交于点F ，BC 与AD 相交于点G.

（1）试判断线段BC 、DE 的数量关系，并说明理由

（2）如果∠ABC=∠CBD ，那么线段FD 是线段FG 和FB 的比例中项吗？为什么？

24、（2008徐州）如图1，一副直角三角板满足AB ＝BC ，AC ＝DE ，∠ABC ＝∠DEF ＝90°，∠EDF ＝30° 【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板．．．．DEF ．．．绕点．．E ．旋转．．，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 于点Q 【探究一】在旋转过程中， (1)如图2，当

CE

1EA

时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明. (2)如图3，当

CE

2EA

＝时EP 与EQ 满足怎样的数量关系？，并说明理由. (3)根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当

CE

EA

m 时，EP 与EQ 满足的数量关系式为_________,其中m 的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)

【探究二】若，AC ＝30cm ，连续PQ ，设△EPQ 的面积为S(cm 2

)，在旋转过程中： (1)S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由. (2)随着S 取不同的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化？不出相应S 值的取值范围.

（图1） （图2） （图3）

25、（2008遵义）（14分）如图(1)所示，一张平行四边形纸片ABCD ，AB=10，AD=6，BD=8，沿对角线BD 把这张纸片剪成△AB 1D 1和△CB 2D 2两个三角形(如图(2)所示)，将△AB 1D 1沿直线AB 1方向移动(点B 2始终在

F

C(E)

A(D)

12

1AB 1上，AB 1与CD 2始终保持平行)，当点A 与B 2重合时停止平移，在平移过程中，AD 1与B 2D 2交于点E ，B 2C 与B 1D 1交于点F ，

(1)当△AB 1D 1平移到图(3)的位置时，试判断四边形B 2FD 1E 是什么四边形？并证明你的结论；

(2)设平移距离B 2B 1为x ，四边形B 2FD 1E 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式；并求出四边形B 2FD 1E 的面积的最大值；

(3)连结B 1C(请在图(3)中画出)。当平移距离B 2B 1的值是多少时，△ B 1B 2F 与△ B 1CF 相似？

参考答案

一、选择题

1、B

2、B

3、D

4、B

5、B

6、C

7、C

8、A

9、C 10、B 11、C 12、C 13、C 14、C 15、A 16、A 17、C 18、B 19、B 20、B 21、C 22、A 23、B 二、填空题

1、∠ADE=∠ACB （或∠AED=∠ABC 或错误！不能通过编辑域代码创建对象。）

2、1:9

3、2

3

4、100

5、

6、50

7、10.5

8、4：9

9、2

1122S h S h ??= ???

10、AED B =∠∠，或ADE C =∠∠，或

AD AE

AC AB

=

11、4 12、10 13、60 14、6.71 15、 16、30° 17、1:9 18、

2

3

三、解答题 1、（1）证明：

CF ACB ∠平分，

∴ 12∠=∠. 又∵ DC AC =,

∴ CF 是△ACD 的中线， ∴ 点F 是AD 的中点. ∵ 点E 是AB 的中点， ∴ EF ∥BD, 即 EF ∥BC.

（2）解：由（1）知，EF ∥BD ， ∴ △AEF ∽△ABD , ∴

2

(AEF ABD S AE S AB

??=. 又∵ 1

2

AE AB =

, 6AEF ABD ABD BDFE S S S S ???=-=-四边形, ∴

2

61(2

ABD ABD S S ??-= ,

∴ 8ABD S ?=,

∴ ABD ?的面积为8.

2、（2）ABD CBA ，理由如下：

AD 平分,2,BAC BAC C ∠∠=∠则BAD BCA ∠=∠， 又B B ∠=∠，故ABD

CBA 。

3、证明：略

4、（1）∵△ABC 为等腰三角形 ∴AC=BC ∠CAB=∠CBA

又∵CH 为底边上的高，P 为高线上的点 ∴PA=PB

∴∠PAB=∠PBA

∵∠CAE=∠CAB-∠PAB ∠CBF=∠CBA-∠PBA ∴∠CAE=∠CBF （2）∵AC=BC

∠CAE=∠CBF ∠ACE=∠BCF

∴△ACE ～△BCF(AAS) ∴AE=BF

（3）若存在点P 能使S △ABC =S △ABG ，因为AE=BF ，所以△ABG 也是一个等腰三角形，这两个三角形面积相等，

底边也相同，所以高也相等，进而可以说明△ABC ～△ABG ，则对应边AC=AE,∠ACE=∠AEC,所以0°≤∠C ＜90°

5、解：⑴ 作图：作∠BAC 的平分线交线段BC 于E ； ………………4分

（痕迹清晰、准确，本步骤给满分4分，否则酌情扣1至4分；另外两点及边作的是否准确，不扣分） ⑵ 如图，∵ 四边形ADEF 是正方形，

∴ EF ∥AB ，AD = DE = EF = FA. 5分

∴ △CFE ∽△CAB . ∴

CA

CF

BA EF =

.………………6分 ∵ AC = 2 ，AB = 6，

设AD = DE = EF = FA = x ，

∴ 662x x -=. …………………7分

∴ x ＝23.即正方形ADEF 的边长为2

3

. ……………8分

（本题可以先作图后计算，也可以先计算后作图；未求出AD 或AF 的值用作中垂线的方法找到D 点或F 点，

给2分）

6、解：（1）皮尺、标杆．

（2）测量示意图如右图所示． （3）如图，测得标杆DE a =，

树和标杆的影长分别为AC b =，EF c =． DEF BAC △∽△，

DE FE BA CA

∴=

． a c x b ∴=． ab x c

∴=． 7、（1）证明：∵AD ＝CD ，DE ⊥AC ，∴DE 垂直平分AC

∴AF ＝CF ，∠DFA ＝DFC ＝90°，∠DAF ＝∠DCF.

∵∠DAB ＝∠DAF ＋∠CAB ＝90°，∠CAB ＋∠B ＝90°，∴∠DCF ＝∠DAF ＝∠B 在Rt △DCF 和Rt △ABC 中，∠DFC ＝∠ACB ＝90°，∠DCF ＝∠B ∴△DCF ∽△ABC

∴

CD CF AB CB =，即CD AF

AB CB

=.∴AB ·AF ＝CB ·CD （2）解：①∵AB ＝15，BC ＝9，∠ACB ＝90°，

A

B

C

第21题图

D

E

F

C

D

E F B

A （第20题答案图）

∴AC

＝12，∴CF ＝AF ＝6

∴1

(9)2

y x =

+×6＝3x ＋27（x ＞0） ②∵BC ＝9（定值），∴△PBC 的周长最小，就是PB ＋PC 最小.由（1）可知，点C 关于直线DE 的对称点是点A ，∴PB ＋PC ＝PB ＋PA ，故只要求PB ＋PA 最小.

显然当P 、A 、B 三点共线时PB ＋PA 最小.此时DP ＝DE ，PB ＋PA ＝AB. 由（1），∠ADF ＝∠FAE ，∠DFA ＝∠ACB ＝90°，地△DAF ∽△ABC.

EF ∥BC ，得AE ＝BE ＝

12AB ＝152，EF ＝92

. ∴AF ∶BC ＝AD ∶AB ，即6∶9＝AD ∶15.∴AD ＝10.

Rt △ADF 中，AD ＝10，AF ＝6，∴DF ＝8. ∴DE ＝DF ＋FE ＝8＋92＝252

. ∴当x ＝

25

2

时，△PBC 的周长最小，此时y ＝1292

8、证明：（1） 四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形

,,90,AD CD DE DG ADC EDG ∴==∠=∠=

,ADE CDG ADE CDG ∴∠=∠∴△≌△，

AE CG ∴=

（2）由（1）得 ，又CND ANM DCG DAE CDG ADE ∠=∠∠=∠∴???,,

AN MN

AN DN CN MN CN DN ∴

=?=?，即

∴?AMN∽?CDN 9、Ⅰ.证明：∵DEFG 为正方形，

∴GD =FE ，∠GDB =∠FEC =90°

∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠C =60° ∴△BDG ≌△CEF (AAS )

Ⅱa .解法一：设正方形的边长为x ，作△ABC 的高AH ，

求得3=AH

由△AGF ∽△ABC 得：3

32

x

x -=

解之得：3

232+=

x (或634-=x )

解法二：设正方形的边长为x ，则2

2x

BD -=

A

B

C

D

E

F G 解图 (2)

H

在Rt △BDG 中，tan ∠B =

BD

GD

， ∴

32

2=-x x

解之得：3

232+=x (或634-=x )

解法三：设正方形的边长为x ，

则x GB x

BD -=-=

2,2

2 由勾股定理得：2

22)2

2()2(x x x -+=- 解之得：634-=x Ⅱb .解： 正确

由已知可知，四边形GDEF 为矩形

∵FE ∥F ’E ’ ，

∴

B

F FB

E F FE '=''， 同理B

F FB

G F FG '=

''， ∴

G F FG

E F FE '

'=

'' 又∵F’E ’=F’G’，

∴FE =FG

因此，矩形GDEF 为正方形

10、解:(1)?ABE ∽?DAE , ?ABE ∽?DCA

∵∠BAE =∠BAD +45°,∠CDA =∠BAD +45° ∴∠BAE =∠CDA 又∠B =∠C =45° ∴?ABE ∽?DCA (2)∵?ABE ∽?DCA

∴

CD

BA

CA BE =

由依题意可知CA =BA =2

∴

n

m 22

=

∴m=

n

2 自变量n 的取值范围为1

n

2 A

B

C

D E

F

G 解图 (3)

G ’ F ’

E ’ D ’

∴m=n=2 ∵OB =OC =

2

1

BC =1 ∴OE =OD =2－1 ∴D (1－2, 0)

∴BD =OB －OD =1-(2－1)=2－2=CE , DE =BC －2BD =2-2(2－2)=22－2 ∵BD 2＋CE 2=2 BD 2=2(2－2)2=12－82, DE 2=(22－2)2= 12－82 ∴BD 2＋CE 2=DE 2

(4)成立

证明:如图,将?ACE 绕点A 顺时针旋转90°至?ABH 的位置,则CE =HB ,AE =AH , ∠ABH =∠C =45°,旋转角∠EAH =90°.

连接HD ,在?EAD 和?

∵AE =AH , ∠HAD =∠EAH -∠FAG =45°=∠EAD , AD =AD . ∴?EAD ≌?HAD ∴DH =DE

又∠HBD =∠ABH +∠ABD =90° ∴BD 2

+HB 2

=DH 2

即BD 2

＋CE 2

=DE 2

11、解：（1）

Rt A ∠=∠，6AB =，8AC =，10BC ∴=．

点D 为AB 中点，1

32

BD AB ∴==．

90DHB A ∠=∠=，B B ∠=∠．

BHD BAC ∴△∽△， DH BD AC BC ∴=，3128105

BD DH AC BC ∴==?=． （2）

QR AB ∥，90QRC A ∴∠=∠=．